Games101-2 线性代数 Review of Linear Algebra

向量

求单位向量

向量/向量长度

向量加法

从a向量起点，连接到b向量终点，这个新的向量则为向量加法的结果

点乘

点乘常用公式

常用来计算夹角

点乘具体计算方法

点乘运算法则

负责乘法一般运算法则

投影计算

b到a的投影，等于b的长度乘上a和b之间的夹角余弦。 进一步来说，就等于b的长度乘上a和b的点积。 假设a为单位向量，那么最终透明长度为b的长度乘上cosθ

计算出了b在a上的投影，还可以计算出b另一个方向的向量，如下图所示，向量减法是末尾相连，指向被减数。

点乘的意义

• 通过点乘可以判断两个向量是否接近
• 还可以根据积是否大于0可以判断是否同方向，如果积大于0同向，小于0，逆向，0代表垂直
• 方向越接近，积越接近于1，越垂直越接近于0，越相反越接近于-1

叉乘

叉乘的值

a和b叉乘可以得到一个垂直于a和b所在平面的向量，该向量长度等于a和b的长度成语sinθ。该向量正方向为右手从a到b握拳，大拇指指向的方向。右手螺旋法则。通过这个法则可以看出，向量的叉乘，不满足交换律，交换结果需要乘上一个-1

叉乘计算规则

注意： 如果X叉乘Y得到Z，那么说明这个坐标系是右手坐标系，因为这是通过右手螺旋法则得出的。

分配律和结合律仍然存在

叉乘的计算公式

两种计算方法

叉乘的意义

1. 一个常用的是计算向量左右，如下图左图，由图可知，是一个右手坐标系。a叉乘b，如果得到的是一个正值，那么b在a的左边，如果是负值，那么b在a的右边；左图中在左边。如果拿b叉乘a，就会得到一个负值，果然a在b的右侧。如果结果为0向量，那么他们平行。

注意叉乘的值所说的正负都是基于叉乘得到的向量所在轴来说的

2. 判断内外：例如P点，用AB叉乘AP，BC叉乘BP，CA叉乘CP；忽略给定三角形顺序。如果都为正值或都为负值，那么P点在三角形ABC的内部。

矩阵

矩阵指的是常用于transform计算的二维数组

矩阵乘积

首先左侧矩阵的列数等于右侧矩阵的行数，才可以乘。最终结果为左侧的行数和右侧的列数的矩阵。新矩阵的结果（i，j）等于左侧矩阵的i行和右侧举着你的j列点乘的结果。

矩阵乘法计算率

矩阵乘法没有任何交换律

矩阵乘法可以使用结合分配律

矩阵向量乘法

将向量看成一个列向量，例如(mx1)的矩阵，向量永远放在右侧，矩阵放在左侧即可。

上图展示了一个反转y轴的矩阵，用于求Y轴的镜像。

矩阵的转置

矩阵的逆

如果一个矩阵和另一个矩阵相乘，得到一个单位矩阵，那么这个矩阵称为矩阵的逆。A^-1

矩阵来表示向量乘法

点乘

A和B点乘可以写成A^-TB

叉乘

叉乘如下图所示，比较特殊，需要写成dual matrix的形式，然后再乘上$\vec{b}$矩阵。