可能是最容易懂的浮点数IEEE 754的表示范围计算方法了

题前：

学tensorRT捡起来考研的时候就写错了的浮点数的表示范围计算，我哭了鸭，我总算把这个知识点学会了啊，王道教我的时候就没教会啊TAT

TLDR

• 指数位均为1表示特殊值

  • 无穷大 如0 11111 0000000000
  • NaN 如0 11111 0000000001

• 最大正值 如 0 11110 1111111111

  • 符号位 0
  • 指数位除最后一位为0外均为1
  • 尾数均为1

• 最小正值 如 0 00000 0000000001 【这是非规格数】

  • 符号位 0
  • 指数位均为0
  • 尾数除最后一位为1外均为0

计算规则

• 正规数
  • 指数部分：二进制-偏置数
  • 尾数部分：1+尾数 （有隐含的前导1）
  • 计算：$(-1)^{符号位} \times 2^{阶码} \times (1+尾数)$
• 非正规数 【当指数部分全为0时为非正规数】
  • 固定指数部分：1-偏置数
  • 尾数部分：尾数 （没有隐含的前导1，直接是尾数）
  • 计算：$(-1)^{符号位} \times 2^{1-偏置数} \times 尾数$

示例

0 00000001 0000001 （正规数 ）

• 指数部分 $1 - 127 = -126$ 这是正规数
• 尾数部分 尾数的十进制值，正规数有隐含的1，$0000001_{(2)} = 2^{-7}$,所以需要$1+2^{-7}$
• $2^{-126} \times (1 + 2^{-7}) = 6.11 \times 10^{-5}$

0 00000000 0000001 （非正规数）

• 指数部分 $1 - 127 = -126$ 对于非规格数实际指数固定为 $1−偏置值$
• 尾数部分 尾数的十进制值，因为是非规格数，没有隐含的1,$0000001_{(2)} = 2^{-7}$, 所以只有 $2^{-7}$，不需要+1
• $2^{-126} \times 2^{-7} = 2^{-133} = 9.2 × 10^{−41}$

参考文献

www.paddlepaddle.org.cn/documentati… 但要指出的是这里有一个问题

BF16（BFloat16）

表示范围 ：$[9.2 × 10^{−41} ， 3.38953139×10^{38}]$

• BF16使用16位表示浮点数，其中1位用于符号位，8位用于指数部分，7位用于尾数部分。
• BF16提供了较高的计算速度和较小的内存占用，适用于深度学习加速器（如TPU）等场景。
• BF16的精度介于FP16和FP32之间，适用于一些计算密集型任务。

bf16最大正值

0 11111110 1111111

• 指数部分 254 - 127 = 127
• $2^{127} \times (1+ 1- 2^{-7}) = 2^{127} \times 1.9921875 = 3.38953139×10^{38}$

bf16最小正值

0 00000000 0000001

• 指数部分 1 - 127 = -126 对于非规格数实际指数固定为 1−偏置值
• 尾数部分 尾数的十进制值，因为是非规格数，没有隐含的1, 所以只有 2^{-7}，不需要+1
• $2^{-126} \times 2^{-7} = 2^(-133) = 9.2 × 10^{−41}$

注意

0 00000001 0000001

• 指数部分 1 - 127 = -126 这是正规数
• 尾数部分 尾数的十进制值，正规数有隐含的1，所以需要1+2^{-7}
• $2^{-126} \times (1 + 2^{-7}) = 6.11 \times 10^{-5}$

2. FP16（Half Precision）

表示范围 ：$[5.96 \times 10^{-8}, 65504]$

• FP16也使用16位表示浮点数，其中1位用于符号位，5位用于指数部分，10位用于尾数部分。

• FP16提供了较高的计算速度和较小的内存占用，适用于GPU等设备上的深度学习计算。

• FP16的精度较低，可能会导致数值精度损失，但在一些情况下可以提高计算速度和减少内存占用。

• FP16的最大值是由以下几部分构成：

  • 符号位为 0（表示正数）。
  • 指数位为 11110（最大指数值 - 1，因为 11111 用于表示无穷大和NaN）。
  • 尾数位为 1111111111（尾数位全为1提供了该指数级别下可能的最大尾数）。

计算 FP16 的最大正规数

• 给定上述结构，FP16的最大正规数计算如下：
• 指数计算：最大指数位为 11110，代表的指数值为 2+4+8+16 = 30 ,偏移量15 ，30-15 = 15

选择15作为偏移量是为了在5位指数中平衡正负数的表示范围。这样的设计确保了：

• 能表示的最小指数是 -14（对于非正规数）和 -15（对于正规数）。
• 能表示的最大指数是 +15。
• 特殊编码（全0和全1的指数）被用来表示0、非正规数、无穷大和NaN。

• 尾数计算：尾数位 1111111111 表示的额外值为 1−2^{−10} =0.9990234375。

最大正规数为 1.9990234375× 2 ^15 =65504。

fp16的最小正值是

• 指数部分 1 - 15 = -14
• 0 00000 0000000001 = $2^{-14} \times 2^{-10} = 2^{-24} = (0.000000059604645)_{10} = 5.96 \times 10^{-8}$

bf16 vs fp16

总的来说，

BF16提供了更好的精度和表示范围，适用于一些需要较高精度的任务，

而FP16提供了更快的计算速度和更小的内存占用，适用于一些对精度要求不那么严格的任务。

正规数vs非规格数

在讨论FP16或BF16等浮点数格式的最大值、最小值以及表示范围时，我们通常指的是正规数（normalized numbers）。这是因为正规数能够使用其所有的位精确地表示数值，并利用隐含的前导一优化存储空间。非正规数通常用于填补零与最小正规数之间的间隙，允许接近零的值能够被表示，尽管这些数的精度较低。

• 关于正规数和非正规数
  • 最大值：通常指最大的正规数，这是浮点格式可以表示的最大的非无穷大数值。
  • 最小值：在不同上下文中，这可能指最小的正规数或最小的正非正规数。最小的正规数是除零外，可以表示的最小的正数，并且具有完整的精度。而最小的正非正规数是可以表示的最接近零的正数，但精度较低。
• 正规数（Normalized Numbers）正规数是浮点数格式中的一种数，其中包括：
  • 非零的指数。
  • 一个隐含的前导一（即尾数部分在数学上总是以1开始）。

对于正规数，其二进制表示的指数部分从最小的正值开始（全0保留为表示非正规数和零），使得尾数能够用其全部位精确地表示数字，而指数则提供了数值的大小级。例如，在FP16中，最小正规指数是 -14（编码为 00001），对应于二进制表示中的实际指数 1−15=−14。

• 非正规数（Subnormal Numbers）非正规数用于表示非常接近于零的数值，这些数值太小，不能以正规数的形式表示。在非正规数的表示中：
  • 指数部分为全0，这是一个特殊编码，表示这些数的实际指数比正规数的最小指数还要小一级（在FP16中为 −14−1=−15）。
  • 没有隐含的前导一，尾数直接从0开始，这减少了数值的精度，但增加了接近零的表示范围。

非正规数的引入主要是为了解决“下溢”问题，即当数值过小，无法表示为正规数时，如果没有非正规数，这些值就会直接四舍五入为零。使用非正规数可以让我们表示和处理这些极小的值，虽然这样做牺牲了一些精度。