首先快慢指针是指 两个指针移动速度不一样，比如 fast 指针每次移动长度为2，slow 指针每次移动长度为 1 ，这样如果链表中存在环的话，fast 指针和 slow 指针一定会相遇

快慢指针可以解决什么问题？

• 判断链表是否有环
• 寻找链表的中点，（fast指针走到终点的时候，slow走到中点）
• 寻找链表的倒数第k个节点 （设 fast = slow + k，fast 走到链表末尾时，slow走到倒数第k个节点）
• 寻找链表的入环点 （先得到相遇指针，在让慢指针与相遇指针一起走，相遇的点就是入环点）
• 求有环链表的环长 （第一次相遇后，让快慢指针继续跑，第二次相遇时，两者步数之差就为环长）

寻找链表的入环点

如图所示，如果链表中存在环，fast 指针和 slow 指针一定在环中相遇 这时 fast 指针走过的距离为：$dis(fast) = x + y + n*(y + z)$ slow 指针走过的距离为：$dis(flow) = x + y$由于 slow 指针走一步，fast 指针走 两步，所以 $2 * dis(slow) = dis(fast)$ 即：$2 * (x + y) = x + y + n * (y + z)$ 化简得到： $x + y = n * (y + z)$

等式成立的条件是： $\begin{aligned} & x=z \\ & x=y+2 z=z+(y+z) \\ & x=2 y+3 z=z+2(y+z) \\ & \cdots \\ & x=n y+(n+1) z=z+n(y+z)\end{aligned}$

(y + z)代表走一圈的距离

所以让 fast 指针和 slow 指针相交处的指针，绕环移动 那么这个指针走到入环点的距离是 $z + n(y + z)$ 所以相遇指针和指向头节点的指针，同时开始移动，必然会在入环点相遇。

fast 指针每次移动 3 步是否可行？ 4步，5步呢？

设 fast 指针每次走 k 步，环的长度为 s，并且 fast 指针和 slow 指针在第 n 圈的时候相遇，相遇点为 y

那么得到等式 $k * (x + y) = x + y + n * s$ 化简得： $(k - 1) * (x + y) = n * s$ 将(y + z)除过去，得：

$(x + y) = \dfrac{n * s }{k - 1}$ 其中 x，s 是确定的，变量 步长 k 和 相遇点 y ，和 圈数 n

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证不出来，希望有那位佬可以帮忙从数学式子的角度证明一下

上另外一种好理解的证明方法：

假设，慢指针步长为 1，快指针步长为 k，环入口到链表起点距离为 x，环的长度为 s.

因为慢指针是一步一步走，所以可以遍历到链表中的每一个点，所以我们可以假设他们会相遇再任意一个节点

设 快慢指针 相遇点为 y 且 y 为 s 的整数倍，且 y > x; 那么 y 就表示 选取快慢指针相交的点。

那么此时快指针走过的距离为 ky，快慢指针的路径差为 (k - 1) * y; 因为 y 是 s 的整数倍，所以快慢指针肯定能遇见。

根据上面的假设有式子：(k - 1)y = (k - 1)ns，s是确定的，n可以取满足 y 大于 x 的最小值，所以k - 1越小，相遇的越快，当 k = 2 时，有最小值

题目打卡

下面四道题中，前面两道可以用双指针来做，后面两道可以用快慢指针来做。

lc.24 两两交换链表中的节点

面试题 02.07 链表相交

lc.19 删除链表的倒数第N个节点

lc.142 环形链表 Ⅱ