二分查找

一、什么是二分法。

定义：对于区间 [a，b] 上连续不断且 f（a）· f（b）<0的函数 y = f（x），通过不断地把函数 f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法（也称为二分查找或折半查找）。（百度）

算法：当数据量很大适宜采用该方法。采用二分法查找时，数据需是排好序的。

基本思想：

假设数据是按升序排序的，对于给定值 key，从序列的中间位置 k 开始比较，如果当前位置 arr[k] 值等于 key，则查找成功；

若 key 小于当前位置值 arr[k]，则在数列的前半段中查找, arr[low, mid-1]；

若 key 大于当前位置值 arr[k]，则在数列的后半段中继续查找 arr[mid+1, high]，直到找到为止，时间复杂度: O(log(n))

二、常用来解决什么问题

查找特定元素：在有序数组中查找特定元素的索引位置。通过反复将搜索范围缩小为一半，可以在较短的时间内快速找到目标元素或者确定其不存在。
判断元素是否存在：在有序数组中确定某个元素是否存在。如果二分查找结束时未找到目标元素，则可以确定目标元素不存在于数组中。
查找边界：找到有序数组中满足某种条件的边界，例如最小的大于等于某个值的元素的索引，或者最大的小于等于某个值的元素的索引。
求解单调函数的最值问题：对于某些特定类型的函数，例如单调递增或单调递减函数，可以利用二分法求解函数的最大值或最小值。
分治算法中的子问题的解决：在一些分治算法中，二分法常常用于解决子问题，例如快速排序中的分区操作就是利用了二分法。

总的来说，二分法适用于有序数组，并且其时间复杂度为 O(log n) ，因此对于大型数据集，二分法通常比线性搜索更加高效。

常见解法，难点

1、常见解法

例如：搜索插入位置

给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。

请必须使用时间复杂度为 O(log n) 的算法。解法：三种区间方式解答。

闭区间

// nums[i] 属于 [low, high]
const searchInsert = (nums, target) => {
    let low = 0, high = nums.length - 1;
    while (low <= high) {
        const mid = ((high - low) >> 1) + low;
        if (nums[mid] >= target) {
            high = mid - 1; // 范围缩小到 [low, mid-1]
        } else {
            low = mid + 1; // 范围缩小到 [mid+1, high]
        }
    }
    return low; // 或者 high+1
}

左闭右开区间

// nums[i] 属于 [low, high)
const searchInsert = (nums, target) => {
    let low = 0, high = nums.length - 1;
    while (low < high) {
        const mid = ((high - low) >> 1) + low;
        // 新区间需要包括target 
        // 区间 [low, target, mid, right] 
        if (nums[mid] >= target) {
            high = mid; // 范围缩小到 [low, mid)
        } else {
        // 区间 [low, mid, target right] 
            low = mid + 1; // 范围缩小到 [mid+1, high)
        }
    }
    return low; // 或者 high
}

开区间

// nums[i] 属于 (low, high)
const searchInsert = (nums, target) => {
   let low = -1, high = nums.length - 1;
   while (low + 1 < high) {
       const mid = ((high - low) >> 1) + low;
       if (nums[mid] >= target) {
           high = mid; // 范围缩小到 (low, mid)
       } else {
           low = mid; // 范围缩小到 (mid, high)
       }
   }
   return low + 1; // 或者 high
}

2、难点

判断单调区间，然后区间得开闭情况。在单调区间内，查找符合条件的数据。

二分法划分的新区间需要包括target，目标条件值。

常见的二分算法问题

leetcode 题目：

... ...

总结整理，完成。有指正欢迎友好交流，谢谢！

[JS]二分查找笔记