力扣435-无重叠区间

题目描述

给定一个区间的集合 $intervals$ ，其中 $intervals[i] = [starti, endi]$ 。返回 需要移除区间的最小数量，使剩余区间互不重叠 。

用例

输入: $intervals = [[1,2],[2,3],[3,4],[1,3]]$
输出: $1$
解释: 移除 $[1,3]$ 后，剩下的区间没有重叠。

输入: $intervals = [ [1,2], [1,2], [1,2] ]$
输出: $2$
解释: 你需要移除两个 $[1,2]$ 来使剩下的区间没有重叠。

输入: $intervals = [ [1,2], [2,3] ]$
输出: $0$
解释: 你不需要移除任何区间，因为它们已经是无重叠的了。

题目分析

这就是经典的活动选择类问题，活动选择问题是给定一堆活动，让你进行选择，约束是一个活动结束了才能参加下一个活动(即下一个活动开始时间不小于上一个活动结束时间)，问最多参与多少个活动。要想尽可能多参加活动，直观的策略是参加活动时长短的活动，但是这个贪心策略容易找到反例，即活动时长短的活动可能卡住两个不重合的长活动。理想贪心策略是优先参加活动结束时间早的活动。

简单用数学归纳法说明贪心策略的正确性。
我们对算法的步骤进行归纳证明。
归纳基础，你用结束时间最早的活动替换最优解的第一个活动，得到的解显然仍然是最优解，即存在包括最早结束时间的活动的最优活动安排。
归纳假设，存在最优活动安排包含算法第$k$步得到的活动。
归纳步骤，存在最优活动安排$Act_{i_1},Act_{i_2},...,Act_{i_{k-1}},Act_{i_{k}},...,Act_{i_{n}}$,其中$Act_{i_1},Act_{i_2},...,Act_{i_{k-1}},Act_{i_{k}}$是按算法$1$ to $k$步所得。首先，我们用算法第$k+1$步得到的活动替换$Act_{i_{k+1}}$并没有破坏活动之间的约束，同时，经过替换后得到的活动序列的长度并没有变少，故而它也是最优活动安排。

回到无重叠区间问题，那么解法就简单了。第一步，我们对各个区间按区间后边界进行升序排序；第二步，我们按照贪心策略遍历各个区间，如果该区间前边界小于上一选定的区间后边界，则删除数累加，否则更新上一选定区间；最后，返回累加数。

代码

class Solution {
public:
    int eraseOverlapIntervals(vector<vector<int>>& intervals) {
		int del_num= 0;
		// sort
		sort(intervals.begin(), intervals.end(), [](vector<int> a, vector<int> b){
			return a[1]< b[1];
		});
		// count
		for(int i= 1, k= 0; i< intervals.size(); i++){
			if(intervals[i][0]< intervals[k][1]){del_num+= 1;}
			else{k= i;}
		}
		return del_num;
    }
};

其中，时间复杂度$T(n)=O(nlogn)$.