870. 约数个数 - AcWing题库

根据算数基本定理，一个数可以由若干个质因子的乘积组成。公式如下：

求约数个数的公式：

我们可以发现求约数个数的公式是其所有约数的指数+1相乘得到的。

验证：

以12举例，$12 = 2^{2} + 3^{1}$

12的约数有1， 2， 3， 4， 6， 12

约数个数：$（2 + 1） * （1 + 1） = 6$，相当于求每个约数的组合个数，前面有三种可能，$2^{0} = 1$, $2^{1} = 2$ ,$2^{2} = 4$ ,后面有两种可能，$3^{0} = 1 , 3^{1} = 3$ 。将前面三种可能和后面两种可能进行排列组合，总共有2 * 3种可能。

证明

无

求约数之和的公式：

约数之和： 相当于对约数个数的每种可能取出，进行相加，得到所有约数的和。

验证：

解：将360分解质因数可得

$360=2^3*3^2*5^1$

由约数和定理可知，360所有正约数的和为

$(2^0+2^1+2^2+2^3)×(3^0+3^1+3^2)×(5^0+5^1)=(1+2+4+8)(1+3+9)(1+5)=15×13×6=1170$

证明

无

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MOD=1e9+7;
unordered_map<int,int>h;
 long long res;
int solve(int n)
{
    for(int i=2;i*i<=n;i++)
    {
      while(n%i==0)  //i能整除n，说明i是n的约数
      {
          h[i]++;    //统计一下约数的个数，即指数个数
          n/=i;      //把i除尽
      }
    }
    if(n>1)h[n]++;  //最后一个约数
    
    res=1;
    for(auto it=h.begin();it!=h.end();it++)
    {
        //套用求约数个数的公式
        res=res*(it->second+1)%MOD;
    }
   return res;
}
int main()
{
    int n;cin>>n;
    while(n--)
    {
        int x;cin>>x;
        solve(x);
    }
     cout<<res<<endl;
    return 0;
}