偏序集(Partially Ordered Set, POS)

首先，半格是基于偏序集的概念。偏序集是一个集合，集合中的某些元素之间进行比较，这些比较关系不一定完全，即并不是集合中的任意两个元素都是可比较的

在偏序集中，如果元素a和b满足 a <= b (这里的 <= 表示"小于等于"的关系)，则说a小于或等于b

半格(Semilattice)

半格是一种特殊的偏序集，它满足以下条件: 对于集合中的任意两个元素，都存在一个“最大下界”或“最小上界”

如果偏序集中的任意两个元素都有一个最大的下界，即对于任何两个元素x和y，都存在一个元素z，使得z是x和y的最大下界(记作x Λ y = z), 那么这个偏序集被称为交半格

如果偏序集中的任意两个元素都有一个最小的上界，即对于任何两个元素x和y，都存在一个元素z，使得z是x和y的最小上界，那么这个偏序集被称为并半格

如果我们有一个偏序集，包含集合{a, b, c}、{a, b}、{c, d} 等，其中的相遇运算(Λ)定义为两个集合的交集

如果{a, b, c} 和 {a, c} 相遇，结果是{a, c}，即{a, b, c} Λ {a, c} = {a, c}。这里{a, c} 是 {a, b, c}和{a, c} 的最大下界

半格可以用图形表示，其中元素用节点表示，如果两个元素之间可以比较大小，则用有向边连接，箭头指向较小的元素

在示例中，{}(空集)是Top元素，它大于所有其他元素，而{a,b,c}是Bottom元素，是最小的元素

方向(D): 指定数据流分析中数据流的方向，可以是向前（从入口到出口），也可以向后(从出口到入口)

值(V): 定义了分析中使用的值的类型。这些值通常表示程度的状态，如活变量集合、可用表达式集合等

转换函数(F): 这个函数定义了如何从一个程序点传递到下一个程序点。它描述了程序中每个基本块对数据流的影响

初始值(I): 指定分析开始前每个程序点的初始值

相遇运算(Λ): 这个运算定义了当两个分支的数据流相遇时如何合并它们的值

在数据流分析中，半格理论可以用来描述数据数据流中信息的变化和融合。例如，在进行活跃性分析时，使用交半格可以跟踪不同数据流中变量活跃性的最小公共集合

方向(D): 向前(入口到出口)

值(V): 活变量集合，即在每个程序点哪些变量是活的

转换函数(F): 对于基本块B,转换函数F(B)会从B的入口值移除被赋值的变量，并添加在B中定义的新变量

初始值(I): 对于程序的入口点，初始值变量集合通常是空集

相遇运算(Λ): 取两个活变量集合的并集，因为当两个分支相遇时，活变量可以是任一分支的变量

对于删除公共子表达式的全局分析，通常采用向后(Backward)分析，因为它从程序的最后一条语句开始，向前遍历，这有助于识别并删除在之前的计算中出现过的公共子表达式

在删除公共子表达式的上下文中，V 是一个表达式到其计算结果映射，也就是说，它记录了每个表达式的值以及在程序中的那些点是已知的

对于基本块(B), F(B)会修改V，它将识别基本块内的公共子表达式，并从映射中移除那些不再需要计算的表达式

通常是空的或者包含程序入口点的已知表达式值

Λ 是一个运算，它结合两个基本块的数据流信息

在删除公共子表达式的上下文中，当两个分支相遇时，Λ 运算会取两个分支的并集，但也会考虑表达式的定义和使用

研究者们使用“半格”（Semilattice）来帮助进行这个运算，确保在合并时保持值的单调性

D（方向）：向后（Backward）

V（值）：表达式到其计算结果的映射

F（转换函数）：识别并删除基本块内的公共子表达式

I（初始值）：通常是空的或者包含程序入口点的已知表达式值

Λ（相遇运算）：使用半格来合并不同分支的数据流信息，并保持单调性