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题目描述：
给你一个 n x n 的 方形 整数数组 matrix ，请你找出并返回通过 matrix 的下降路径 的 最小和 。
下降路径 可以从第一行中的任何元素开始，并从每一行中选择一个元素。在下一行选择的元素和当前行所选元素最多相隔一列（即位于正下方或者沿对角线向左或者向右的第一个元素）。具体来说，位置 (row, col) 的下一个元素应当是 (row + 1, col - 1)、(row + 1, col) 或者 (row + 1, col + 1) 。
示例 1：
输入： matrix = [[2,1,3],[6,5,4],[7,8,9]] 输出： 13 解释： 如图所示，为和最小的两条下降路径
示例 2：
输入： atrix = [[-19,57],[-40,-5]] 输出：-59 解释： 如图所示，为和最小的下降路径
提示：
n == matrix.length == matrix[i].length1 <= n <= 100-100 <= matrix[i][j] <= 100
题目解析
本题的思路使用动态规划，因为它拥有子结构，也就是重叠子问题，就是在计算 dp[i][j] 时，我们需要用到 dp[i-1][j-1]、dp[i-1][j] 和 dp[i-1][j+1]。
那么 dp[i][j] 的定义就是走到 i、j 下标时的步数。
动态转移方程怎么求呢？因为这题给定的就是只能往左下方，正下方，右下方走，假设我们要到达 i、j 处，就会有三种到达的方法，第一种是从左上方，第二种是正上方，第三种是右上方。我们只要知道从哪个方向的 dp值 最小，在加上 matrix[i][j] 也就是本身的步数。 dp[i][j] 就能够求出来。所以 dp[i][j] = matrix[i][j] + min (dp[i-1][j-1], dp[i-1][j], dp[i-1][j+1]) 这只是伪代码。
具体实现有两种方法，第一种是创建的二维数组和 matrix 一样大，然后在填充 dp 数组的时候进行判断边界条件，如写法一。
第二种就是创建一个 len + 1、len + 2 的二维数组，初始化的时候需要将数组两边的值设定为不影响结果的值，只要大于等于 100 就可以了。为了方便我设置了一个 int 的最大值。这种方法的好处就是不需要判断边界条件，因为边界条件的值对于结果无影响。
代码
写法一：
class Solution {
public int minFallingPathSum(int[][] matrix) {
int len = matrix.length;
//创建dp表
int[][] dp = matrix;
if (len == 1) {
return matrix[0][0];
}
int result = Integer.MAX_VALUE;
//因为dp表的第一行等于matrix的第一行，所以不需要再次计算了
for (int i = 1; i < len; i++) {
for (int j = 0; j < len; j++) {
int minPath = 0;
if (j - 1 < 0) {
minPath = Math.min(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j + 1]);
} else if (j + 1 == len) {
minPath = Math.min(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j]);
} else {
minPath = Math.min(Math.min(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - 1]),dp[i - 1][j + 1]);
}
dp[i][j] = minPath + matrix[i][j];
if (i == len - 1) result = Math.min(dp[i][j], result);
}
}
return result;
}
}
写法二：
class Solution {
public int minFallingPathSum(int[][] matrix) {
int len = matrix.length;
int[][] dp = new int[len + 1][len + 2];
//将左右两列初始化为最大数，不影响填充dp的计算结果
for (int i = 0; i < len + 1; i++) {
dp[i][0] = dp[i][len + 1] = Integer.MAX_VALUE;
}
int result = Integer.MAX_VALUE;
for (int i = 1; i <= len; i++) {
for (int j = 1; j <= len; j++) {
int minPath = Math.min(Math.min(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - 1]),dp[i - 1][j + 1]);
dp[i][j] = minPath + matrix[i - 1][j - 1];
if (i == len) result = Math.min(dp[i][j], result);
}
}
return result;
}
}
