参考笔记三，P56.1、P57.2。
【版权声明】本文中引用的所有图片，来源于# Mekeater 的博客《浮点数(小数)在计算机中如何用二进制存储？》，感谢原作者的创作与分享，图片版权归原作者所有。如需使用该图片，请遵循原博主的版权声明。
注：为了讲述得更加严谨，本篇文章将使用一些二进制的相关概念，出自博文《二进制相关概念、运算与应用》。
在解析# Float类的源码时，我对MAX_VALUE/MIN_VALUE的值很好奇，它们是怎么得出的？于是利用我所知的二进制知识，尝试运算。一开工就发现没辙，因为我压根不知道浮点数的二进制是怎样表示、又是如何存储的。于是寻得一方案（序言【版权声明】中指定的博客）。
Mekeater 的阐述专业且详细，下面通过我的个人理解，尽量简明扼要地为大家阐明这个知识点。
正文
在开始之前，大家先看一张图。
float 是单精度，就是说 float 变量由32位（4字节）二进制表示。现在大家对这张图有所疑惑，无妨，往下看。
浮点数的二进制由三部分组成，与整数完全不同。换言之，给我们一组浮点数的二进制，我们无法直接看出它的真值是多少。因此，需要使用一种特殊的二进制数表现形式——浮点数二进制的十进制表现形式。
如何运算出浮点数二进制的十进制表现形式？
所谓十进制，就是带小数点的二进制数写法，也就是使用整数二进制的表现形式去表现浮点数。Mekeater 是这样说的：
二进制转换为十进制的方法就是各个位的数字与位权乘积之和。
无论整数、还是浮点数，都遵循这一规则。
什么是“位权”？这张图给出了答案。
就是底数的指数幂。
答案很清楚了，计算浮点数小数部分的二进制的方法就是基于“位权乘积之和”进行逆运算。不过，不太方便。
从另一位博主那儿“取经”得一方法，使用上图示例。整数部分同样，是1011，将小数部分0.1875进行以下运算：
0.1875 * 2 = 0.3750 → 0
0.3750 * 2 = 0.7500 → 0
0.7500 * 2 = 1.5000 → 1
0.5000 * 2 = 1.0000 → 1
得0011，这就是小数部分的十进制表现形式。
因此，最后得出11.1875的十进制表现形式是1011.0011。
运算逻辑：
将小数部分乘以
2，取结果的整数部分，如此反复，直至结果为0，最后依次得到的整数部分就是小数部分的二进制。
PS：暂未究其原理，实用。
补充一点：
从运算逻辑可以推断，大部分有限浮点数转换成二进制，都是无限的，故进行其他计算的结果也必然得不到原浮点数。
Mekeater 将100个 float 类型的0.1相加，最终结果不是10.0。
大家便可明了，无论采用哪种运算方法、无论单双精度，由于无法表示完全，必然有所缺失或增加（四舍五入），0.1都是无限浮点数，故是10.000002。
得出了浮点数二进制的十进制表现形式，成功了一半。
浮点数(小数)在计算机中如何用二进制存储？
回到第一张图，浮点数的二进制由符号、指数、尾数三部分组成，这说明必然有一个公式，将这三部分进行运算，从而得到“真值”。
公式是这样的：
二进制中基数（又称“底数”）是2，不必考虑。浮点数内部构造的三部分正好与图中三个变量对应，下面我一一剖析。（以单精度为例）
符号部分占1位，即0/1。
指数部分（8位）与尾数部分（23位）又是如何表示浮点数的？
我们来探讨一下，看到这个公式，给你11.1875这个浮点数，你能得出哪些等式？
等式成立，但有没有问题？这里是二进制，n 是2，不是10，故等式应该改动一下：
可是要满足这些等式，m 是多少？
看到这样的等式，大家是否似曾相识？没错，位运算，也就是这样：
明白了么？
可这里有个问题，因为位运算移动的位数e是任意的，故 m 任意，则必然存在一个规范，用于限制e的值。
这个规范就是“科学计数法”，所以等式只能是这样：
PS：把这个等式拿过来是为了展示科学计数法，后续计算不用这个等式。
遵循科学计数法，e明确了，可m是多少？大家回到上文“浮点数二进制的十进制表现形式”那儿，我最后提了一句：“成功了一半”。成功在哪？
其实，尾数是经过浮点数二进制的十进制表现形式运算得出。
以11.1875为例：
这样，难道 m 是1.0110011？当然不是，还有一些步骤，Mekeater 已阐明：
因此，m 是01100110000000000000000。e 是3。
对应到浮点数的内部构造，11.1875的二进制是：（Note：浮点数没有“补码”之说）
0 00000011 01100110000000000000000
这是正确答案吗？还不是。
指数部分还有点“门道”，其采用的是“无符号二进制”。
Mekeater 阐述：
指数部分使用了“EXCESS系统表现”（也称为“偏移值编码”）。
什么是“EXCESS系统表现”？Mekeater 已讲述得很清楚，我就不赘述了。
因此，最后得出11.1875的二进制是0 10000010 01100110000000000000000。
反证：如何将0 10000010 01100110000000000000000转换成11.1875？
难道按照上文所述方法进行“逆运算”？可行，但效率低。
之前说过，浮点数内部构造的三部分正好与公式中的三个变量对应，也就是这样：
尾数目前是二进制（不要忘了“科学计数法”的那个1.），显然不能这么运算，需要先转换成十进制。
小数点前就不必多言，只能是1。所以，只需将小数点后这一串转换成十进制即可。这就很简单了，就是各个位的数字与位权乘积之和。
我偷个懒，写个 java 方法循环一下，就得出：
套进去就是：
证明成立。
最后
- 如果采用双精度，同理，只是二进制位数增加了而已。
- Mekeater 运用 c++ 代码进行了验证，我把他提供的 code copy test 了一下，同样验证无误。我用 java 也手搓了一个工具类进行了验证，就不展示出来了，大家可自行造轮子。
至于Float.MAX_VALUE/Float.MIN_VALUE是如何获得的，暂未研究。
本文完结。
