[蓝桥杯 2020 省 AB3] 画中漂流

题目描述

在梦境中，你踏上了一只木䇝，在江上漂流。

根据对当地的了解，你知道在你下游 $D$ 米处有一个峡谷，如果你向下游前进大于等于 $D$ 米则必死无疑。

现在你打响了急救电话， $T$ 秒后救援队会到达并将你救上岸。水流速度是 $1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ，你现在有 $M$ 点体力。每消耗一点体力，你可以划一秒桨使船向上游前进 $1 \mathrm{~m}$ ，否则会向下游前进 $1 \mathrm{~m}$ (水流)。 $M$ 点体力需在救援队赶来前花光。因为江面太宽了，凭借你自己的力量不可能上岸。

请问，有多少种划桨的方案可以让你得救。

两个划桨方案不同是指：存在某一秒钟，一个方案划桨，另一个方案不划。

输入格式

输入一行包含三个整数 $D$ ， $T$ ， $M$ 。

输出格式

输出一个整数，表示可以让你得救的总方案数，答案可能很大，请输出方案数除以 $1000000007$ （即 $10^9+7$ ）的余数。

样例 #1

样例输入 #1

1 6 3

样例输出 #1

提示

对于 $50 \%$ 的评测用例， $1 \leq T \leq 350$ 。

对于所有评测用例， $1 \leq T \leq 3000,1 \leq D \leq T，1 \leq M \leq 1500$ 。

蓝桥杯 2020 第三轮省赛 AB 组 I 题。

思路

首先定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示过了 i 秒，划了 j 下的方案数。初始化 dp[0][0] 为 1，表示在开始时（没有过去任何秒数，也没有划过任何次数）只有一种方案，即不做任何操作。

h 是 i 和 m 中的最小值，表示在 i 秒内最多可以划 h 次。这是因为在任何给定的时间 i，划桨的次数 j 不能超过时间 i（因为每次划桨都需要一秒钟）和体力值 m（因为每次划桨都需要消耗一点体力）。对于每一秒（从 0 到 t），都会有两种可能的操作：划桨或者不划桨。

对于划桨的情况，如果在 i 秒时划了 j 次，那么在 i+1 秒时就会划 j+1 次，因此 dp[i+1][j+1] 应该增加 dp[i][j]；
对于不划桨的情况，只有当剩余距离大于 0（d - i + 2 * j > 0）时才能不划桨，这里的剩余距离是指距离峡谷的距离减去已经过去的秒数加上划桨的距离（因为每次划桨都会逆流而上，距离峡谷会远一些）。此时在 i+1 秒时划的次数仍然是 j，因此 dp[i+1][j] 应该增加 dp[i][j]。

最后，输出 dp[t][m]，即过了 t 秒，划了 m 下的方案数，这就是可以得救的总方案数。

注意

为了防止结果过大而溢出，每次计算 dp[i+1][j+1] 和 dp[i+1][j] 时都取模 MOD（ $10^9+7$ ）。

AC代码

#include <algorithm>
#include <iostream>
#define mp make_pair
#define AUTHOR "HEX9CF"
using namespace std;
using ll = long long;

const int N = 1e4 + 7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const ll MOD = 1e9 + 7;

int d, t, m;
// 过了i秒，划了j下
ll dp[N][N];

int main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);

	cin >> d >> t >> m;
	dp[0][0] = 1;
	for (int i = 0; i <= t; i++) {
		// i秒内最多划i下
		int h = min(m, i);
		for (int j = 0; j <= h; j++) {
			if (dp[i][j]) {
				if (j <= h) {
					// 划
					dp[i + 1][j + 1] = (dp[i + 1][j + 1] + dp[i][j]) % MOD;
				}
				if (d - i + 2 * j > 0) {
					// 如果还有剩余距离，可以不划
					dp[i + 1][j] = (dp[i + 1][j] + dp[i][j]) % MOD;
				}
			}
		}
	}
	// M 点体力需在救援队赶来前花光
	cout << dp[t][m];
	return 0;
}

【洛谷 P8725】[蓝桥杯 2020 省 AB3] 画中漂流 题解（动态规划）