[蓝桥杯 2016 省 AB] 四平方和

题目描述

四平方和定理，又称为拉格朗日定理：

每个正整数都可以表示为至多 $4$ 个正整数的平方和。

如果把 $0$ 包括进去，就正好可以表示为 $4$ 个数的平方和。

比如：

$5=0^2+0^2+1^2+2^2$。

$7=1^2+1^2+1^2+2^2$。

对于一个给定的正整数，可能存在多种平方和的表示法。

要求你对 $4$ 个数排序使得 $0 \le a \le b \le c \le d$。

并对所有的可能表示法按 $a,b,c,d$ 为联合主键升序排列，最后输出第一个表示法。

输入格式

程序输入为一个正整数 $N(N<5\times10^6)$。

输出格式

要求输出 $4$ 个非负整数，按从小到大排序，中间用空格分开。

样例 #1

样例输入 #1

5

样例输出 #1

0 0 1 2

样例 #2

样例输入 #2

12

样例输出 #2

0 2 2 2

样例 #3

样例输入 #3

773535

样例输出 #3

1 1 267 838

提示

时限 3 秒, 256M。蓝桥杯 2016 年第七届省赛

蓝桥杯 2016 年省赛 A 组 H 题（B 组 H 题）。

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思路

首先，定义一个全局变量 $n$，用来存储输入的正整数。

在 main 函数中，首先通过 scanf 函数读取输入的正整数 $n$。

由于 $i$、$j$ 和 $k$ 的值都不超过 $\sqrt{n}$，对于 $0$ 到 $\sqrt{n}$ 的每个整数 $i$，$j$ 和 $k$，计算 $i^2$，$j^2$ 和 $k^2$，然后计算 $l^2 = n - i^2 - j^2 - k^2$。

如果 $l^2$ 是一个完全平方数（即，存在一个整数 $t$，使得 $t^2 = l^2$），则找到了一个解，通过 printf 函数输出 $i$、$j$、$k$ 和 $t$。

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AC代码

#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <iostream>
#define mp make_pair
#define AUTHOR "HEX9CF"
using namespace std;
using ll = long long;

const int N = 1e6 + 7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const ll MOD = 1e9 + 7;

ll n;

int main() {
	scanf("%d", &n);
	for (ll i = 0; i <= sqrt(n); i++) {
		ll i2 = i * i;
		for (ll j = 0; j <= sqrt(n); j++) {
			ll j2 = j * j;
			for (ll k = 0; k <= sqrt(n); k++) {
				ll k2 = k * k;
				ll l2 = n - i2 - j2 - k2;
				ll t = sqrt(l2);
				if (l2 == t * t) {
					printf("%d %d %d %d\n", i, j, k, t);
					return 0;
				}
			}
		}
	}
	return 0;
}