一维前缀和

1 模板

S[i] = a[1] + a[2] + ... a[i]
a[l] + ... + a[r] = S[r] - S[l - 1]

2 例题

(www.acwing.com/problem/con…) 输入一个长度为 $n$ 的整数序列。

接下来再输入 $m$ 个询问，每个询问输入一对 $l, r$。

对于每个询问，输出原序列中从第 $l$ 个数到第 $r$ 个数的和。

输入格式

第一行包含两个整数 $n$ 和 $m$。

第二行包含 $n$ 个整数，表示整数数列。

接下来 $m$ 行，每行包含两个整数 $l$ 和 $r$，表示一个询问的区间范围。

输出格式

共 $m$ 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

$1 \le l \le r \le n$,
$1 \le n,m \le 100000$,
$-1000 \le 数列中元素的值 \le 1000$

输入样例：

5 3
2 1 3 6 4
1 2
1 3
2 4

输出样例：

3
6
10

题解

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,m;
int a[100010];

int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		a[i]+=a[i-1];
	}
	while(m--){
		int l,r;
		cin>>l>>r;
		ll sum=0;
		sum=a[r]-a[l-1];
		cout<<sum<<endl;
	}	
	return 0;
}

二维前缀和

1 模板

S[i, j] = 第i行j列格子左上部分所有元素的和
以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为：
S[x2, y2] - S[x1 - 1, y2] - S[x2, y1 - 1] + S[x1 - 1, y1 - 1]

2 例题

(www.acwing.com/problem/con…) 输入一个 $n$ 行 $m$ 列的整数矩阵，再输入 $q$ 个询问，每个询问包含四个整数 $x_1, y_1, x_2, y_2$，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

输入格式

第一行包含三个整数 $n，m，q$。

接下来 $n$ 行，每行包含 $m$ 个整数，表示整数矩阵。

接下来 $q$ 行，每行包含四个整数 $x_1, y_1, x_2, y_2$，表示一组询问。

输出格式

共 $q$ 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

$1 \le n,m \le 1000$,
$1 \le q \le 200000$,
$1 \le x_1 \le x_2 \le n$,
$1 \le y_1 \le y_2 \le m$,
$-1000 \le 矩阵内元素的值 \le 1000$

输入样例：

3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4

输出样例：

17
27
21

题解

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,m,q;
ll a[1010][1010];

int main(){
	cin>>n>>m>>q;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++){
			cin>>a[i][j];
			a[i][j]+=a[i-1][j]+a[i][j-1]-a[i-1][j-1];
		}
	} 
	while(q--){
		int x1,y1,x2,y2;
		cin>>x1>>y1>>x2>>y2;
		ll res=a[x2][y2]-a[x1-1][y2]-a[x2][y1-1]+a[x1-1][y1-1];
		cout<<res<<endl;
	}
	return 0;
}

一维差分

1 模板

给区间[l, r]中的每个数加上c：B[l] += c, B[r + 1] -= c

2 例题

(www.acwing.com/problem/con…) 输入一个长度为 $n$ 的整数序列。

接下来输入 $m$ 个操作，每个操作包含三个整数 $l, r, c$，表示将序列中 $[l, r]$ 之间的每个数加上 $c$。

请你输出进行完所有操作后的序列。

输入格式

第一行包含两个整数 $n$ 和 $m$。

第二行包含 $n$ 个整数，表示整数序列。

接下来 $m$ 行，每行包含三个整数 $l，r，c$，表示一个操作。

输出格式

共一行，包含 $n$ 个整数，表示最终序列。

数据范围

$1 \le n,m \le 100000$,
$1 \le l \le r \le n$,
$-1000 \le c \le 1000$,
$-1000 \le 整数序列中元素的值 \le 1000$

输入样例：

6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1

输出样例：

3 4 5 3 4 2

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,m;
int a[100010],b[100010];

int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
	while(m--){
		int l,r,c;
		cin>>l>>r>>c;
		b[l]+=c;
		b[r+1]-=c;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		b[i]+=b[i-1];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		a[i]=a[i]+b[i];
		cout<<a[i]<<" ";
	}
	
	return 0;
}

二维差分

1 模板

给以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵中的所有元素加上c：
S[x1, y1] += c, S[x2 + 1, y1] -= c, S[x1, y2 + 1] -= c, S[x2 + 1, y2 + 1] += c

2 例题

(www.acwing.com/problem/con…)

输入一个 $n$ 行 $m$ 列的整数矩阵，再输入 $q$ 个操作，每个操作包含五个整数 $x_1, y_1, x_2, y_2, c$，其中 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ 表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 $c$。

请你将进行完所有操作后的矩阵输出。

输入格式

第一行包含整数 $n,m,q$。

接下来 $n$ 行，每行包含 $m$ 个整数，表示整数矩阵。

接下来 $q$ 行，每行包含 $5$ 个整数 $x_1, y_1, x_2, y_2, c$，表示一个操作。

输出格式

共 $n$ 行，每行 $m$ 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。

数据范围

$1 \le n,m \le 1000$,
$1 \le q \le 100000$,
$1 \le x_1 \le x_2 \le n$,
$1 \le y_1 \le y_2 \le m$,
$-1000 \le c \le 1000$,
$-1000 \le 矩阵内元素的值 \le 1000$

输入样例：

3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1

输出样例：

2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2

题解

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,m,q;
int a[1010][1010];
int b[1010][1010];

int main(){
	cin>>n>>m>>q;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++){
			cin>>a[i][j];
		}
	}
	while(q--){
		int x1,y1,x2,y2,c;
		cin>>x1>>y1>>x2>>y2>>c;
		b[x1][y1]+=c;b[x2+1][y1]-=c;b[x1][y2+1]-=c;b[x2+1][y2+1]+=c;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++){
			b[i][j]+=b[i-1][j]+b[i][j-1]-b[i-1][j-1];
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++){
			a[i][j]+=b[i][j];
			cout<<a[i][j]<<" ";
		}
		cout<<endl;
	}
	
	return 0;
}