[蓝桥杯 2023 省 A] 平方差

题目描述

给定 $L,R$，问 $L \leq x \leq R$ 中有多少个数 $x$ 满足存在整数 $y,z$ 使得 $x=y^2-z^2$。

输入格式

输入一行包含两个整数 $L,R$，用一个空格分隔。

输出格式

输出一行包含一个整数满足题目给定条件的 $x$ 的数量。

样例 #1

样例输入 #1

1 5

样例输出 #1

4

提示

【样例说明】

• $1=1^2-0^2$
• $3=2^2-1^2$
• $4=2^2-0^2$
• $5=3^2-2^2$

【评测用例规模与约定】

对于 $40 \%$ 的评测用例，$L,R \leq 5000$；

对于所有评测用例，$1 \leq L \leq R \leq 10^9$。

第十四届蓝桥杯大赛软件赛省赛 C/C++ 大学 A 组 C

思路

由平方差公式可知，$x=y^2-z^2$ 可以拆分为$x=(y+z)(y-z)$。易知 $(y+z)$ 和 $(y-z)$ 具有相同的奇偶性。当两者为奇数时，可以是1和x；当两者为偶数时，可以是2和x/2。则$x$可以是奇数或者4的倍数。因此，程序通过计算区间内奇数的个数和4的倍数的个数，然后将两者相加，得到满足条件的$x$的个数。

首先定义两个辅助函数$a$和$b$，函数$a$用于求1到x的奇数个数，函数$b$用于求1到x的4的倍数个数。

然后读取输入的两个数$l$和$r$。然后计算满足题目条件的$x$的数量，即计算$(a(r) - a(l - 1)) + (b(r) - b(l - 1))$，其中$a$和$b$是前面定义的两个函数。最后输出计算结果。

AC代码

#include <algorithm>
#include <iostream>
#define AUTHOR "HEX9CF"
using namespace std;
using ll = long long;

const int N = 1e6 + 7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const ll MOD = 1e9 + 7;

// 求1到x的奇数个数
int a(int x) { return (x + 1) >> 1; }

// 求1到x的4的倍数个数
int b(int x) { return x / 4; }

int main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);

	int l, r;
	cin >> l >> r;
	cout << (a(r) - a(l - 1)) + (b(r) - b(l - 1)) << "\n";
	return 0;
}