[NOIP1996 提高组] 砝码称重

题目描述

设有 $1\mathrm{g}$、$2\mathrm{g}$、$3\mathrm{g}$、$5\mathrm{g}$、$10\mathrm{g}$、$20\mathrm{g}$ 的砝码各若干枚（其总重 $\le 1000$），可以表示成多少种重量？

输入格式

输入方式：$a_1 , a_2 ,a_3 , a_4 , a_5 ,a_6$

（表示 $1\mathrm{g}$ 砝码有 $a_1$ 个，$2\mathrm{g}$ 砝码有 $a_2$ 个，$\dots$，$20\mathrm{g}$ 砝码有 $a_6$ 个）

输出格式

输出方式：Total=N

（$N$ 表示用这些砝码能称出的不同重量的个数，但不包括一个砝码也不用的情况）

样例 #1

样例输入 #1

1 1 0 0 0 0

样例输出 #1

Total=3

提示

【题目来源】

NOIP 1996 提高组第四题

思路

首先定义一个位集dp，大小为 $N$，其中 $N=1000+7$，并将其所有位重置为0。位集dp用于存储能够称出的重量，如果某个重量能被称出，那么对应的位就被设置为1。

然后从输入中读取砝码的数量，存储在数组a中。

接下来，将dp[0]设置为1，表示0克的重量可以被称出（即不使用任何砝码）。

之后，进行三层循环。外层循环遍历所有的砝码种类，中层循环遍历每种砝码的数量，内层循环遍历从1000克到0克的所有重量。在内层循环中，如果某个重量k可以被称出（即dp[k]为1），那么重量k+W[i]也可以被称出，其中W[i]是砝码的重量。因此，将dp[k+W[i]]设置为1。

最后，将dp[0]设置为0，表示不包括一个砝码也不用的情况，然后输出能够称出的重量的数量，即dp中值为1的位的数量。

注意

因为是01背包问题，一枚砝码只能使用一次，所以k要从1000到0遍历，否则会重复使用同一枚砝码。

AC代码

#include <algorithm>
#include <bitset>
#include <iostream>
#define AUTHOR "HEX9CF"
using namespace std;
using ll = long long;

const int N = 1e3 + 7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const ll MOD = 1e9 + 7;

const int W[6] = {1, 2, 3, 5, 10, 20};

int a[6];
bitset<N> dp;

int main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);

	dp.reset();

	for (int i = 0; i < 6; i++) {
		cin >> a[i];
	}

	dp[0] = 1;
	for (int i = 0; i < 6; i++) {
		for (int j = 1; j <= a[i]; j++) {
			for (int k = 1000; k >= 0; k--) {
				dp[k + W[i]] = dp[k];
			}
		}
	}

	// for (int i = 1; i <= 1000; i++) {
	// 	if (dp[i]) {
	// 		cout << i << "\n";
	// 	}
	// }
	dp[0] = 0;
	cout << "Total=" << dp.count() << "\n";
	return 0;
}