[蓝桥杯 2022 省 B] 李白打酒加强版

题目描述

话说大诗人李白，一生好饮。幸好他从不开车。

一天，他提着酒壶，从家里出来，酒壶中有酒 $2$ 斗。他边走边唱：

无事街上走，提壶去打酒。
逢店加一倍，遇花喝一斗。

这一路上，他一共遇到店 $N$ 次，遇到花 $M$ 次。已知最后一次遇到的是花，他正好把酒喝光了。

请你计算李白这一路遇到店和花的顺序，有多少种不同的可能?

注意：壶里没酒（ $0$ 斗）时遇店是合法的，加倍后还是没酒；但是没酒时遇花是不合法的。

输入格式

第一行包含两个整数 $N$ 和 $M$ 。

输出格式

输出一个整数表示答案。由于答案可能很大，输出模 $1000000007$ （即 $10^9+7$ ）的结果。

样例 #1

样例输入 #1

5 10

样例输出 #1

提示

【样例说明】

如果我们用 0 代表遇到花，1 代表遇到店， $14$ 种顺序如下:

010101101000000
010110010010000
011000110010000
100010110010000
011001000110000
100011000110000
100100010110000
010110100000100
011001001000100
100011001000100
100100011000100
011010000010100
100100100010100
101000001010100

【评测用例规模与约定】

对于 $40 \%$ 的评测用例： $1 \leq N, M \leq 10$ 。

对于 $100 \%$ 的评测用例： $1 \leq N, M \leq 100$ 。

蓝桥杯 2022 省赛 B 组 I 题。

思路

首先定义一个三维数组dp，其中dp[i][j][k]表示李白遇到店i次，遇到花j次，手中还剩k斗酒的可能性数量。

然后从输入中读取店和花的数量，分别存储在变量n和m中。初始化dp[0][0][2]为1，表示李白初始状态（遇到店0次，遇到花0次，手中有2斗酒）只有一种可能。

接着进行三层循环，第一层循环遍历遇到店的次数，第二层循环遍历遇到花的次数，第三层循环遍历手中剩余酒的数量。在每一种状态下，有两种可能的动作：遇到店或遇到花。

当遇到店时，状态从dp[i][j][k]转移到dp[i+1][j][k*2]，转移的可能性数量为dp[i][j][k]，状态转移方程：

dp[i+1][j][k*2] = (dp[i+1][j][k*2] + dp[i][j][k]) \% MOD

如果遇到店，即i + j + 1 < n + m，则酒的数量翻倍，更新dp[i + 1][j][k * 2]的值，表示遇到店一次后的可能性数量。需要注意的是，这里可能出现状态重叠，即多种状态导致同一结果，因此需要将新的可能性数量加到原有的可能性数量上，并对结果取模以防止溢出。

当遇到花且手中还有酒时，状态从dp[i][j][k]转移到dp[i][j+1][k-1]，转移的可能性数量为dp[i][j][k]，状态转移方程：

dp[i][j+1][k-1] = (dp[i][j+1][k-1] + dp[i][j][k]) \% MOD

如果遇到花并且手中还有酒，即k > 0，则酒的数量减一，更新dp[i][j + 1][k - 1]的值，表示遇到花一次后的可能性数量。同样，这里也需要加到原有的可能性数量上，并取模。

最后，输出dp[n][m][0]，即遇到店n次，遇到花m次，手中没有酒的可能性数量。

AC代码

#include <algorithm>
#include <iostream>
#define mp make_pair
#define AUTHOR "HEX9CF"
using namespace std;
using ll = long long;

const int N = 2e2 + 7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const ll MOD = 1e9 + 7;

int n, m;
ll dp[N][N][N];

int main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);

	cin >> n >> m;
	dp[0][0][2] = 1;
	for (int i = 0; i <= n; i++) {
		// 已知最后一次遇到的是花，他正好把酒喝光了。
		for (int j = 0; j <= m; j++) {
			for (int k = 0; k <= m; k++) {
				if (dp[i][j][k]) {
					// 逢店加一倍
					if (i + j + 1 < n + m) {
						dp[i + 1][j][k * 2] =
							(dp[i + 1][j][k * 2] + dp[i][j][k]) % MOD;
					}
					if (k) {
						// 遇花喝一斗
						dp[i][j + 1][k - 1] =
							(dp[i][j + 1][k - 1] + dp[i][j][k]) % MOD;
					}
				}
			}
		}
	}
	cout << dp[n][m][0];
	return 0;
}

【洛谷 P8786】[蓝桥杯 2022 省 B] 李白打酒加强版 题解（动态规划）