【模板】割点（割顶）

题目背景

割点

题目描述

给出一个 $n$ 个点， $m$ 条边的无向图，求图的割点。

输入格式

第一行输入两个正整数 $n,m$ 。

下面 $m$ 行每行输入两个正整数 $x,y$ 表示 $x$ 到 $y$ 有一条边。

输出格式

第一行输出割点个数。

第二行按照节点编号从小到大输出节点，用空格隔开。

样例 #1

样例输入 #1

样例输出 #1

1 
5

提示

对于全部数据， $1\leq n \le 2\times 10^4$ ， $1\leq m \le 1 \times 10^5$ 。

点的编号均大于 $0$ 小于等于 $n$ 。

tarjan图不一定联通。

思路

Tarjan算法是一种基于深度优先搜索的图论算法，主要用于解决两类问题：寻找无向图中的割点（或割边）和寻找有向图中的强连通分量。这里用于寻找无向图中的割点。

在寻找割点的过程中，利用深度优先搜索的时间戳来判断一个节点是否为割点。每个节点在被首次访问时被赋予一个唯一的时间戳dfn，同时记录该节点可以追溯到的最早的节点的时间戳low。在深度优先搜索的过程中，如果当前节点u的子节点v满足low[v] >= dfn[u]，则节点u是割点。这是因为low[v] >= dfn[u]表示从v出发无法通过非父子边（即回边）到达u或u的祖先节点，如果移除u，那么v以及v的后代节点将无法到达u的祖先节点，即图的连通性被破坏，因此u是割点。

对于根节点（即深度优先搜索的起始节点），其是割点的条件稍有不同。只有当根节点有两个或以上的子节点时，才被视为割点，因为移除根节点后，至少会有两部分无法相互到达，即图的连通性被破坏。

主函数中，首先进行初始化，然后输入图的节点数n和边数m，接着输入每条边的两个节点，构建图。然后对每个节点执行Tarjan算法，找出所有割点。最后输出割点的数量和每个割点的节点编号。

tarjan函数首先为当前节点u分配一个时间戳dfn[u]，并将追溯点low[u]初始化为该时间戳。然后遍历u的所有邻接节点v。

如果邻接节点v尚未访问（即dfn[v]为0），则先递归调用tarjan函数访问v，然后在回溯时，更新u的追溯点low[u]为low[u]和low[v]中的最小值。接着检查是否满足low[v] >= dfn[u]，如果满足，则说明u是割点，需要将cut[u]标记为1。如果u是根节点，需要有两个及以上的子节点满足low[v] >= dfn[u]，u才是割点。

如果邻接节点v已经访问过，即dfn[v]不为0，那么v是u的祖先节点或者同一连通分量的其他节点。此时，需要更新u的追溯点low[u]为low[u]和dfn[v]中的最小值，这样可以保证low[u]始终为u能追溯到的最早的节点的时间戳。

AC代码

#include <algorithm>
#include <bitset>
#include <cstring>
#include <iostream>
#define AUTHOR "HEX9CF"
using namespace std;

const int N = 1e6 + 7;

struct Node {
	int to;
	int next;
} edge[N];
int head[N];
int cnt = 0;

// tarjan
int num = 0;
int dfn[N];	 // 时间戳
int low[N];	 // 追溯点
bitset<N> cut;

int n, m;

void init() {
	cut.reset();
	memset(head, -1, sizeof(head));
	memset(dfn, 0, sizeof(dfn));
	memset(low, 0, sizeof(low));
}

void add(int u, int v) {
	edge[cnt].to = v;
	edge[cnt].next = head[u];
	head[u] = cnt++;
}

// 求割点
void tarjan(int u, int fa) {
	// 初始化节点
	dfn[u] = low[u] = ++num;
	int son = 0;
	for (int i = head[u]; ~i; i = edge[i].next) {
		int v = edge[i].to;
		if (v == fa) {
			continue;
		}
		if (!dfn[v]) {
			// 访问子节点
			tarjan(v, u);
			// 回溯时更新
			low[u] = min(low[u], low[v]);
			if (low[v] >= dfn[u]) {
				son++;
				if (u != fa || son > 1) {
					// u不是根节点或有两个以上子节点满足条件
					cut[u] = 1;
				}
			}
		} else {
			// 更新追溯点
			low[u] = min(low[u], dfn[v]);
		}
	}
}

void print() {
	for (int j = 1; j <= n; j++) {
		cout << j << "-";
		for (int i = head[j]; ~i; i = edge[i].next) {
			cout << edge[i].to << " ";
		}
		cout << endl;
	}
}

int main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);

	init();

	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		int u, v;
		cin >> u >> v;
		add(u, v);
		add(v, u);
	}
	// print();

	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		if (!dfn[i]) {
			tarjan(i, i);
		}
	}

	cout << cut.count() << "\n";
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		if (cut[i]) {
			cout << i << " ";
		}
	}
	cout << "\n";
	return 0;
}

【洛谷 P3388】【模板】割点（割顶）题解（Tarjan算法+无向图+求割点+链式前向星）