SAC#1 - 组合数

题目描述

今天小明学习了组合数，现在他很想知道 \sum \rm{C}$$_{n}^{i} 是多少。其中 $\rm{C}$ 是组合数（即 \rm{C}$$_{n}^{i} 表示 $n$ 个物品无顺序选取 $i$ 个的方案数），$i$ 取从 $0$ 到 $n$ 的所有偶数。

由于答案可能很大，请输出答案对 $6662333$ 的余数。

输入格式

输入仅包含一个整数 $n$。

输出格式

输出一个整数，即为答案。

样例 #1

样例输入 #1

3

样例输出 #1

4

提示

对于 $20\%$ 的数据，$n \le 20$；

对于 $50\%$ 的数据，$n \le 10^{3}$；

对于 $100\%$ 的数据，$n \le 10^{18}$。

思路

根据二项式定理，$(1 + 1)^n$ 展开后的和是所有从 0 到 n 的组合数之和，即 $\sum \rm{C}$_{n}^{i}$，其中 i 从 0 到 n。因此，$(1 + 1)^n = 2^n$ 等于所有组合数之和。

但是，这个问题只要求偶数项的组合数之和。根据二项式定理的对称性，偶数项的组合数之和等于奇数项的组合数之和。因此，偶数项的组合数之和就是 $2^n$ 的一半，即 $2^{n-1}$。

首先，定义一个名为 qpow 的函数，使用快速幂算法，用于计算 $a^n$ 对 M 取模的结果，其中 a 和 n 是输入的参数。

在 main 函数中，首先读取输入的整数 n。然后，计算 $2^{n-1}$ 对 M 取模的结果，这是因为在组合数的性质中，$\sum \rm{C}$_{n}^{i}$在 i 取从 0 到 n 的所有偶数时，结果等于$2^{n-1}$。这是一个数学上的结论，利用了二项式定理和组合数的性质。

最后，输出计算结果。这个结果是问题所要求的 $\sum \rm{C}$_{n}^{i}$ 对 M 取模的结果。

注意

1. 由于答案可能很大，输出答案对 $6662333$ 的余数。
2. 在涉及到模运算的计算中，使用除法可能会导致结果不正确。因此，要将 ans = (qpow(2, n) /2) % M; 改为 ans = (qpow(2, n - 1)) % M; 。

AC代码

#include <algorithm>
#include <iostream>
#define AUTHOR "HEX9CF"
using namespace std;
using ll = long long;

const int N = 1e6 + 7;
const int M = 6662333;

ll qpow(ll a, ll n) {
	if (!n) {
		return 1;
	}
	if (n % 2 == 1) {
		ll t = qpow(a, n - 1) % M;
		return t * a % M;
	} else {
		ll t = qpow(a, n >> 1) % M;
		return t * t % M;
	}
}

int main() {
	ll n;
	cin >> n;

	ll ans = 0;
	ans = (qpow(2, n - 1)) % M;
	cout << ans << "\n";
	return 0;
}