数据结构一周目：第五章 - 数组、矩阵、广义表

LRike
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前言

Hi, 我是Rike，欢迎来到我的频道～

本篇为大家带来的是，C语言版数据结构笔记，第五章-数组、矩阵、广义表。数组是最基本的线性结构，矩阵是数组二维化的表示（即，二维数组），而广义表是一种更加灵活的结构表示，可以用来构建树或具有递归性质的结构。三者都属于承上启下的存在。

本篇中，只对基本算法形式讲述，涉及数学层次的知识就不叙述啦🤣～～～

希望各位多多支持～

压缩存储：指为多个值相同的元素只分配一个存储空间，而对于零元素不分配空间，其目的就是节省存储空间。

一、数组

数组是用来存储具有 "一对一" 逻辑关系数据的线性存储结构。

数组和其他线性存储结构不同。顺序表、链表、栈和队列存储的都是不可再分的数据元素，而数组既可以用来存储不可再分的数据元素，也可以用来存储像顺序表、链表这样的数据结构。

无论数组的维数是多少，数组中的数据类型都必须一致。

（一）逻辑表示

1、一维数组

​​

dataType a[n];
//其中dataType为数据类型，如int型

2、二维数组

​​

dataType a[m][n];
//其中dataType为数据类型，如int型

（二）二维数组存储方式及地址计算公式

1、存储方式

数组 A [ n ] [ m ]，行优先时，n 为行m 为列（前行后列）；列优先时，m 为行n 为列（前列后行）。

（1）行优先存储

先存储在第一行中，本行存满转至下行继续存储。

即，以行序为主（先行后序）：按照列号从小到大的顺序，依次存储每一行的元素。

​​

（2）列优先存储

先存储在第一列中，本行存满转至下列继续存储。

即，以列序为主（先列后行）：按照行号从小到大的顺序，依次存储每一列的元素。

​​

2、计算公式

设有数组 A [ n ] [ m ]（n∈[1 , n]，m∈[1, m. ]），数组的每个元素长度为 L ，求 A [ i , j ]的存储地址。

（1）行优先

  • 首下标 1：LOC( i , j ) = LOC( 1 , 1 ) + ( ( i - 1 ) * n + ( j - 1 ) ) * L
  • 首下标 0：LOC( i , j ) = LOC( 0 , 0 ) + ( i * n + j ) * L

（2）列优先

  • 首下标 1：LOC( i , j ) = LOC( 1 , 1 ) + ( ( j - 1 ) * m + ( i - 1 ) ) * L
  • 首下标 0：LOC( i , j ) = LOC( 0 , 0 ) + ( j * m + i ) * L

注：

  • LOC( i , j )：a( i , j ) 的存储位置。
  • LOC( 0 , 0 )：a( 0 , 0 ) 的存储位置。
  • m（n）：数组的总行（列）数。
  • L：单个数据元素占据的存储单元，即元素长度。
  • 偏移量：相对于某个元素，距离其有几个存储单元。

​

​​

二、矩阵

（一）矩阵

Amn 为一个矩阵的逻辑表示，可用二维数组来存储。

 #define m 4
 #define n 4
 dataType A[m][n];
 //其中dataType为数据类型，常用int、float型
 //m、n可预先宏定义

（二）基本操作

1、矩阵转置

 void trsmat(int A[][maxsize],int B[][maxsize],int m,int n)
 {
     for(int i=0;i<m;++i)
         for(int j=0;j<n;++j)
             B[j][i]=A[i][j];
 }

2、矩阵加法

 void addmat(int C[][maxsize],int A[][maxsize],int B[][maxsize],int m,int n)
 {
     for(int i=0;i<m;++i)
         for(int j=0;j<n;++j)
             C[i][j]=A[i][j]+B[i][j];
 }

3、矩阵相乘

 void mutmat(int C[][maxsize],int A[][maxsize],int B[][maxsize],int m,int n,int k)
 {
     for(int i=0;i<m;++i)
         for(int j=0;j<k;++j)
         {
             C[i][j]=0;
             for(int h=0;h<n;++h)
                 C[i][j]=A[i][h]*B[h][j];
         }
 }.

（三）特殊矩阵

这里所说的特殊矩阵，主要分为以下两类：

  • 含有大量相同数据元素的矩阵，比如对称矩阵。
  • 含有大量 0 元素的矩阵，比如稀疏矩阵、上（下）三角矩阵。

1、对称矩阵

​​

​​

矩阵中的元素满⾜ ai,j = a i,j （数据元素沿着主对角线对应相等） 的矩阵称之为对称矩阵（矩阵必须是方阵）。

由于对称矩阵中的元素关于主对角线对称，因此在存储时可只存储对称矩阵中上三角或下三角中的元素，使得对称的元素共享一个存储空间。

这样，就可以将 n2个元素压缩存储到 n(n+1)/2 个元素的空间中。以行序为主序存储其下三角 ＋ 对角线的元素。

ai,j 元素下标之间的对应关系如下：

  • i > = j 时，存储下三角元素。
  • i < j 时，存储上三角元素。

​​

对称矩阵的实现过程是：将各元素所在的行标 i 和列标 j 代入公式，得到数组中的地址 k。

2、三角矩阵

（1）上三角矩阵

上三角矩阵是指下三角区所有元素均为同一常量，设有下三角矩阵 ai,j[ j ]如下图所示：

​​

元素下标之间的对应关系为：（1 <= i,j <= n）

  • 按行优先存储，并存储上三角：

    ​​

  • 按列优先存储，并存储上三角：

    ​​

上三角矩阵在内存中的压缩存储形式如下：

​​

（2）下三角矩阵

下三角矩阵是指上三角区所有元素均为同一常量，设有下三角矩阵 ai,j 如下图所示：

​​

元素下标之间对应关系为：（1 <= i,j <= n）

  • 按行优先存储，并存储下三角：

    ​​

  • 按列优先存储，并存储下三角：

    ​​

上三角矩阵在内存中的压缩存储形式如下：

​​

3、对角矩阵

对角矩阵指所有非零元素都集中在以主对角线为中心的 3 条对角线的区域，其他区域均为零的矩阵；

设有对角矩阵 ai,j如下图所示：

​​

对角矩阵采用压缩存储时，是将 3 条对角线上的元素 ai,j（1=<i，j= <n，| i - j | =<1）

在一维数组 B 中存放下标为 k = 2i + j - 3。

对角矩阵在内存中的压缩存储形式如下：

​​

（四）稀疏矩阵

假设在 m×n 得矩阵中，有 t 个元素不为零。令 δ = t / (m×n)，称 δ 为矩阵的稀疏因子。通常认为 δ <= 0.05 时称为稀疏矩阵。

即，矩阵中绝大多数都为相同元素 C（一般假设为 0）的矩阵为稀疏矩阵。

1、顺序存储 - 三元组表示法

三元组数据结构为一个长度为 n，表内每个元素都有 3 个分量的线性表，其 3 个分量分别为：值、行下标、列下标。

稀疏矩阵：

​​

对其压缩后：

​​

或这种表示形式：

​​

（1）结构体定义
 /*三元组结构体*/
 typedef struct
 {
     int val;//int可替换，元素的值
     int i,j;//行、列
 }Trimat;
 
 /*矩阵的结构表示*/
 typedef struct {
     Trimat data[number];//存储该矩阵中所有非0元素的三元组
     int n,m,num;//n和m分别记录矩阵的行数和列数，num记录矩阵中所有的非0元素的个数
 }TSMatrix;
（2）定义一个含有 maxterms 个非零元素的稀疏矩阵
 Trimat triamt[maxterms+1];//maxterms是已经定义的常量
 trimat[k].val;//表示取第k个非零元素的值
 trimat[k].i;trimat[k].j;//表示取第k个非零元素在矩阵中的行下标和列下标
（3）数组形式表示
 int trimat[maxterms+1][3];
 /*第k个非零元素操作*/
 trimat[k][0];//表示原矩阵元素按行优先顺序的第k个非零元素的值
 trimat[k][1];//表示第k个非零元素在矩阵中的位置
 /*第0行元素*/
 trimat[0][0];//表示存储非零元素 个数
 trimat[0][1];// 行数
 trimat[0][2];//    列数
 /*float型数组取元素位置，需强制转换类型*/
 (int)trimat[k][1];
 (int)trimat[k][2];

2、链式存储

（1）邻接表表示法

将矩阵中的每一行的非零元素串连成一个链表，链表结点有两个分量，分别为该结点对应的元素值及其列号。

与“图”中的邻接表是一个东西

（2）十字链表表示法

该存储方式采用的是 "链表 + 数组" 结构。

使用十字链表压缩存储稀疏矩阵时，矩阵中的各行各列都各用一个链表存储，与此同时，所有行链表的表头存储到一个数组（rhead），所有列链表的表头存储到另一个数组（chead）中。

各个链表中结点的结构：

行标（row）、列标（col）、数据域分量（val）、指向下方结点的指针 A（rhead）、指向右方结点的指针 B（chead）。

​​

其中，最左边和最上边是头结点数组，不存储数据信息，左上角的结点为整个十字链表的头结点，有 5 个分量，分别存储矩阵的行数、列数、非零元素的个数、以及指向两个头结点数组的指针。

∧：表示已无下个结点

​​

​​

三、广义表

（一）概念

  • 广义表：表元素可以是原子或者广义表的一种线性表的扩展结构，表中存储的单个元素称为 "原子"，而存储的广义表称为 "子表"。

  • 表长度：表中最上层元素的个数。
    广义表规定，空表{} 的长度为 0。

    由于广义表中可以同时存储原子和子表两种类型的数据，因此在计算广义表的长度时规定，广义表中存储的每个原子、子表只算作是一个数据元素。

  • 表深度：表中括号的最大层数，即有几个括号。

  • 表头和表尾：当广义表不是空表时，称第一个数据（原子或子表）为"表头"，剩下的数据构成的新广义表为"表尾"。

 GetHead(表名) = 头数据元素;//得到广义表中第一个原子
 GetTail(表名) = 尾数据元素;//得到除首原子外剩下的元素构成的表

强调一下，除非广义表为空表，否则广义表一定具有表头和表尾，且广义表的表尾一定是一个广义表。tail 得到的元素需在外层加一个（）。

（二）存储结构

1、常用形式

  • A = ( )：A 是一个空表，⻓度为 0，深度为 1。
  • B = (d, e)：B 的元素全是原子，d 和 e，⻓度为 2，深度为 1。
  • C = (b, (c, d))：C 有两个元素，分别是原子 b 和子表(c, d)，⻓度为 2，深度为 2。
  • D = (B, C)：D 中存两个元素 B 和 C，⻓度为 2，深度为 3，D = ((d, e),(b, (c, d))) 。
  • E = (a, E)：E 有两个元素，原子 a 和它本身，⻓度为 2，这是一个递归广义表，等同于：E = (a,(a,(a,…)))。

A=()和 A=((　))不同。前者是空表，而后者是包含一个子表为空表的广义表。

  • GetHead(D)=B；GetTail(D)=C；GetHead((B,C))=B；GetTail((B,C))=C;

2、头尾链表存储结构

  • 原子结点：标记域（tag）、数据域（atom）。
  • 广义表结点：标记域（tag）、头指针域（hp）、尾指针域（tp）。
  • 标记域：用于区分当前结点是原子（用 0 来表示）、广义表（用 1 来表示）。
  • 头指针域：指向原子或广义表结点。
  • 尾指针域：为空或指向本层中的下一个广义表结点。

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3、扩展线性表存储结构

  • 原子结点：标记域（tag）、数据域（atom）、尾指针域（tp）。
  • 广义表结点：标记域（tag）、头指针域（hp）、尾指针域（tp）。

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参考资料

个人学习记录，若有侵权，请留言联系

  • 2022 天勤计算机考研高分笔记-数据结构
  • 2022 王道计算机考研复习指导-数据结构
  • 解学武数据结构与算法教程（C 语言版）：data.biancheng.net/
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