埃及数最短分解

题意

给定一个真分数$\frac{a}{b}$ 其中 a < b ，求该真分数的最短埃及数分解。

解法

考虑贪心做法 ，试着找一个距离$\frac{a}{b}$最近的埃及数，即不大于$\frac{a}{b}$的最大埃及数k，减去 k , 对剩下的 $\frac{a}{b} - t$ 进行同理的分解，即可得到最短的埃及数分解。

如何求出满足限制的最大埃及数 ?

• 给出结论: $k = \lfloor \frac{a}{b} \rfloor$

• 证明：

  考虑：将 b 表示成 $a * k + c$ , 其中 $c < k$

  $b = a * k + c$ 对两边都除以 a

  则有 $\frac{b}{a} = k + \frac{c}{a}$ , 其中 $\frac{c}{b} < 1$

  若上式的$a \not= 0 , b \not= 0$ , 那么考虑将上式取倒数

  $\frac{a}{b} = \frac{1}{k + \frac{c}{a}}$

  因为 $\frac{c}{b} > 1$ , 那么可得

  $$\frac{a}{b} = \frac{1}{k + \frac{c}{a}} > \frac{1}{k + 1}$$

  $\frac{1}{k + 1}$ 一定是该数的最大埃及数！

  由原式 $b = a * k + c$ 可得 k = $\lfloor \frac{b}{a} \rfloor$

为了将过程表述完整下面给出完整步骤:

1. 求出根据公式求出k + 1
2. 将 $\frac{a}{b} - \frac{1}{k + 1}$ ， 求出新的分子分母通分，重复1、2步。
3. 当 a = 1 时 即可不再重复以上操作，输出最后的结果即可

参考代码：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>

void solved(){

	std::string num;
	std::cin >> num;

	int a = 0 , i , b = 0;

	for (i = 0; num[i] != '/'; i ++ )
		a = a * 10 + (num[i] - '0');

	i ++;			// 移到数字位

	for (;i < int(num.size()); i ++ )
		b = b * 10 + (num[i] - '0');


	std::cout << a << '/' << b << " = " ;

	while(a > 1){
		int k = b / a + 1;
			
		std::cout << 1 << "/" << k << " + ";

		a = a * k - b;
		b = b * k;

		int r = std::__gcd(a , b);
		if(r > 1){						// 约分 , 两个数不互质
			a /= r;
			b /= r;
		}
	}

	std::cout << a << "/" << b << '\n';
}


int main(){

	std::ios::sync_with_stdio(0);
	std::cin.tie(0);
	std::cout.tie(0);

	solved();

	return 0;
}