复试-数学

行列式的概念

n阶行列式=n行n列的数表经过一定规则计算得到的一个标量

矩阵的秩

非0子式的最高阶数

矩阵的秩的集合意义

列向量张成的向量空间的维数

特征向量的几何意义

1. 矩阵变换之后方向不变的向量=特征向量
2. 特征向量相对于原向量放大的倍数=特征值

Ax=0解的情况

1. R(A)=R(增广)必有解
2. <n无穷多解
3. =n唯一解

矩阵特征值和特征向量的计算

1. 解 $|A-\lambda E|=0$ 得到特征值
2. 带入各个特征值，计算 $(A-\lambda E)x=0$ 得到特征向量

矩阵求逆

1. 将$[A | E]$ -> $[ E | A^{-1} ]$
2. 利用公式 $AA^*=E$

伴随矩阵

代数余子式，横着求，竖着放

参数估计和假设检验

1. 参数估计就是通过样本估计出分布的参数。
   矩估计：样本均值=一阶原点距=期望，然后用对应公式直接求解
2. 假设检验：检验样本是否符合假设，定义原假设和备选假设，然后定义统计量，看统计量是否在拒绝域
3. 两类错误：弃真存伪

独立和不相关

1. 独立定义：$P(AB)=P(A)P(B)$
2. 不相关定义：$E(XY)=E(X)E(Y)$
3. 独立一定不相关：$E(XY)=XYP(XY)=XYP(X)P(Y)=E(X)E(Y)$
4. 不相关不一定独立
5. 二维正态下，不相关=独立

大数定律

样本均值依概率收敛于期望

中心极限定律

当样本数量趋于无穷时，样本均值服从正态分布

偏序

1. 自反性
2. 反对称性：如果对称，只能是自反
3. 传递性

傅立叶变换，拉普拉斯变换

傅立叶变换

拉普拉斯变换

傅立叶变换

1. 将波从时域转到频域，把波形分解成不同正余弦波。
2. 相当于是本来从正面看叠加后的波形，现在从侧面看分解后的波形，侧面图能分析出振幅，频率和初始相位
3. 分解之后，可以用于滤波，然后再进行逆变换

拉普拉斯变换

1. 和傅立叶变换作用一样
2. 但是可以先对原函数进行不同系数的衰减，再傅立叶变换（带衰减系数的傅立叶变换）

最小二乘法

曲线拟合数据，然后令 $loss=\sum(\hat{y}-y_i)^2$ 最小, 直接求导就行

极大似然估计

已知样本，估计参数

1. $L(\theta)=P(X_1)P(X_2)...P(X_n)$
2. $lnL(\theta)$
3. 对$\theta$求导
4. 令导数=0

贝叶斯

$P(A_i|B)=\frac{P(B|A_i)P(A_i)}{\sum{P(B|A_j)P(A_j)}}$

常见离散型随机分布和连续性随机分布

离散型随机分布：0-1分布，二项分布，柏松分布，几何分布 连续型随机分布：均匀分布，指数分布，正态分布

离散数学的蕴含

几何的包含于，只要命题p就命题q，这不就是包含于吗

主成分分析

用于降维，然后尽量保留信息，基本思想就是向低纬度投影，然后保证方差尽量大（不然你投影后重叠了不就等于损失数据了） 求出协方差矩阵的特征值和特征向量（主成分）

蒙特卡洛

计算面积=用一个矩形将其包裹，然后随机撒点，算点落在对应面积中的概率

梯度

对函数求偏导，梯度的反方向是下降

泰勒展开

用多项式拟合曲线