最大子段和

题目描述

给出一个长度为 $n$ 的序列 $a$，选出其中连续且非空的一段使得这段和最大。

输入格式

第一行是一个整数，表示序列的长度 $n$。

第二行有 $n$ 个整数，第 $i$ 个整数表示序列的第 $i$ 个数字 $a_i$。

输出格式

输出一行一个整数表示答案。

样例 #1

样例输入 #1

7
2 -4 3 -1 2 -4 3

样例输出 #1

4

提示

样例 1 解释

选取 $[3, 5]$ 子段 $\{3, -1, 2\}$，其和为 $4$。

数据规模与约定

• 对于 $40\%$ 的数据，保证 $n \leq 2 \times 10^3$。
• 对于 $100\%$ 的数据，保证 $1 \leq n \leq 2 \times 10^5$，$-10^4 \leq a_i \leq 10^4$。

思路

用divide函数找出数组中给定范围（l到r）内的最大子段和。如果l等于r，即范围内只有一个元素，那么最大子段和就是这个元素本身，直接返回这个元素。

如果范围内有多个元素，那么就需要使用分治策略。首先，找出范围的中点mid，然后将原问题分解为两个子问题：找出左半部分（l到mid）的最大子段和，以及右半部分（mid+1到r）的最大子段和。这两个子问题可以通过递归调用divide函数来解决。

然后，需要考虑跨越中点的子段和。从中点向左右两侧分别开始，累加元素值，并在过程中保留最大的累加和。

最后，返回这三个值（左半部分的最大子段和，右半部分的最大子段和，跨越中点的最大子段和）中的最大值，即为给定范围内的最大子段和。

AC代码

#include <algorithm>
#include <iostream>
#define AUTHOR "HEX9CF"
using namespace std;

const int N = 1e7 + 7;

int n;
int a[N];

int divide(int l, int r) {
	if (l == r) {
		return a[l];
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	int sum1, sum2;
	int max1, max2;
	sum1 = sum2 = 0;
	max1 = max2 = -0x3f3f3f3f;
	for (int i = mid; i >= l; i--) {
		sum1 += a[i];
		max1 = max(max1, sum1);
	}
	for (int i = mid + 1; i <= r; i++) {
		sum2 += a[i];
		max2 = max(max2, sum2);
	}
	return max(max(divide(l, mid), divide(mid + 1, r)), max1 + max2);
}

int main() {
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> a[i];
	}
	cout << divide(1, n) << endl;
	return 0;
}