[TJOI2010] 中位数

题目描述

给定一个由 $N$ 个元素组成的整数序列，现在有两种操作：

• $\texttt{1 add }\textit{a}$：在该序列的最后添加一个整数 $a$，组成长度为 $N + 1$ 的整数序列。
• $\texttt{2 mid}$：输出当前序列的中位数。

中位数是指将一个序列按照从小到大排序后处在中间位置的数。（若序列长度为偶数，则指处在中间位置的两个数中较小的那个）

例 $1$：$[1, 2, 13, 14, 15, 16]$ 中位数为 $13$。
例 $2$：$[1, 3, 5, 7, 10, 11, 17]$ 中位数为 $7$。
例 $3$：$[1, 1, 1, 2, 3]$ 中位数为 $1$。

输入格式

第一行为初始序列长度 $N$。第二行为 $N$ 个整数，表示整数序列，数字之间用空格分隔。第三行为操作数 $M$，即要进行 $M$ 次操作。下面为 $M$ 行，每行输入格式如题意所述。

输出格式

对于每个 $\verb!mid!$ 操作输出中位数的值。

样例 #1

样例输入 #1

6
1 2 13 14 15 16
5
add 5
add 3
mid
add 20
mid

样例输出 #1

5
13

提示

数据范围及约定

• 对于 $30\%$ 的数据，$1 ≤ N ≤ 10,000$，$0 ≤ M ≤ 1,000$。
• 对于 $100\%$ 的数据，$1 ≤ N ≤ 100,000$，$0 ≤ M ≤ 10,000$。

序列中整数的绝对值不超过 $10^9$，序列中的数可能有重复。

思路

中位数是指在一个数列中，如果将这个数列按照从小到大排序，那么位于数列中间位置的数就是这个数列的中位数。对于有偶数个元素的数列，通常的定义是取中间两个数的平均值作为中位数，但在这段代码中，中位数被定义为中间两个数中的较小者。

这个数据结构使用了两个优先队列，一个是最大堆，一个是最小堆。最大堆存储的是数列中较小的一半的数，最小堆存储的是数列中较大的一半的数。这样，最大堆的堆顶就是数列中的中位数。

在插入一个新的数时，首先判断这个数是否小于最小堆的堆顶，如果是，那么就把这个数插入到最大堆中，否则就插入到最小堆中。然后，如果最小堆的大小超过了最大堆，就把最小堆的堆顶元素移动到最大堆中。如果最大堆的大小超过了最小堆的大小加一，就把最大堆的堆顶元素移动到最小堆中。这样可以保证最大堆和最小堆的大小差距不超过一，从而保证最大堆的堆顶是中位数。

在主函数中，首先读入一个整数n，然后读入n个整数并插入到数据结构中。然后读入一个整数m，接着进行m次操作。每次操作是一个字符串，如果字符串是"add"，那么就读入一个整数并插入到数据结构中，否则就输出当前的中位数。

AC代码

#include <iostream>
#include <queue>
#define AUTHOR "HEX9CF"
using namespace std;

int n, m;
int cnt = 0;
priority_queue<int> hmax;
priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> hmin;

void push(int x) {
	if (!hmin.empty() && x < hmin.top()) {
		hmax.push(x);
	} else {
		hmin.push(x);
	}
	cnt++;
	while (hmin.size() > hmax.size()) {
		hmax.push(hmin.top());
		hmin.pop();
	}
	while (hmax.size() > hmin.size() + 1) {
		hmin.push(hmax.top());
		hmax.pop();
	}
}

int main() {
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		int t;
		cin >> t;
		push(t);
	}
	cin >> m;
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		string op;
		cin >> op;
		if (op == "add") {
			int t;
			cin >> t;
			push(t);
		} else {
			cout << hmax.top() << endl;
		}
	}
	return 0;
}