《算法零基础》选择排序（概念篇）

一、引言

选择排序（Selection Sort）是一种简单直观的排序算法。它首先在未排序序列中找到最小（大）元素，存放到排序序列的起始位置，然后，再从剩余未排序元素中继续寻找最小（大）元素，然后放到已排序序列的末尾。以此类推，直到所有元素均排序完毕。

二、算法思想

第一步、在未排序序列中找到最小（大）元素，存放到排序序列的起始位置。

第二步、再从剩余未排序元素中继续寻找最小（大）元素，然后放到已排序序列的末尾。

重复第二步，直到所有元素均排序完毕。

三、动图演示

我们发现，首先从「第一个元素」到「最后一个元素」中选择出一个「最小的元素」，和「第一个元素」进行「交换」；

然后，从「第二个元素」到「最后一个元素」中选择出一个「最小的元素」，和「第二个元素」进行「交换」。

重复上述过程，从「第 i 个元素」到「最后一个元素」中选择出一个「最小的元素」，和「第 i 个元素」进行「交换」。最后，一定可以保证所有元素都是「升序」排列的。

四、算法分析

1、时间复杂度

选择排序中有两个嵌套循环。当有 n 个元素时，外循环正好运行n−1次迭代。但内部循环运行变得越来越短：

当i=0，内层循环n−1次「比较」操作。

当i=1，内层循环n−2次「比较」操作。

当i=2，内层循环n−3次「比较」操作。

……

当i=n−3，内层循环2次「比较」操作。

当i=n−2，内层循环1次「比较」操作。

「比较」操作是公差为 -1 的等差数列，求和：(首项+尾项) (项数) / 2 = (n-1+1)(n-1)/2

因此，总「比较」次数如下：(n−1)+...+2+1=n(n−1)/2，总的时间复杂度为： $O(n^2)$ 。

首项为 $a_1$ , 末项为 $a_n$ , 项数为 $n$ , 公差为 $d$ , 前项和为 $S_n$

等差数列通项公式：

$a_n=a_1+(n-1)d$

等差数列求和公式：

$S_n = \frac {(a_1+a_n)n}{2}$

$S_n = na_1 + \frac {n(n-1)}{2}d$

$S_n = \frac {[2a_1+(n-1)d]n}{2}$

2、空间复杂度

选择排序的空间复杂度为 $O(1)$ 。它只使用了固定的额外空间来存储交换操作，并不依赖于输入数组的大小。

五、算法的优点

简单易懂：选择排序是一种简单直观的排序算法，容易理解和实现。
原地排序：选择排序不需要额外的存储空间，只使用原始数组进行排序。
适用于小型数组：对于小型数组，选择排序的性能表现较好。

六、算法的缺点

时间复杂度高：在处理大规模数据时效率较低。
不稳定：选择排序在排序过程中可能会改变相同元素的相对顺序，因此它是一种不稳定的排序算法。

七、优化方案

「选择排序」在众多排序算法中效率较低，时间复杂度为 $O(n^2)$ 。

想象一下，当有n=100000个数字。即使我们的计算机速度超快，并且可以在 1 秒内计算10^8次操作，但选择排序仍需要大约一百秒才能完成。

考虑一下，每一个内层循环是从一个区间中找到一个最小值，并且更新这个最小值。是一个「动态区间最值」问题，所以这一步，我们是可以通过「线段树」来优化的。这样就能将内层循环的时间复杂度优化成 $O(log2n)$ 了，总的时间复杂度就变成了 $O(nlog2n)$ 。

当然，常见的选择排序优化是采用堆排序来进行优化的，后续我们会学到。

Day04 选择排序（概念篇）