九日集训（第六天）贪心

零、昨日复盘

九日集训（第五天）排序

今天是九日集训的第六天，我们来学习贪心的概念，视频版请戳我。

一、概念定义

所谓贪心，总是做出在当前看来是最好的选择。也就是说，不从整体最优上进行考虑，算法得到的是在某种意义上的局部最优解。

比如，对于一个全是正整数的数组，我要找到其中两个数，使得它们的乘积最大，毫无疑问，一定是取最大和次大的两个数进行相乘，得到的结果最大。这个就是贪心思想。

那么接下来，让我们做几道例题，来真正了解一下贪心。

二、题目分析

1、最大乘积差

(1) 先对数组进行排序；
(2) 利用贪心，直接取最大的两个数下标作为 w 和 x，最小的两个数下标作为 y 和 z。

2、三角形的最大周长

(1) 利用三角形两边之和大于第三边的性质，假设小的两条边为 a 和 b，大的那条为 c，那么必须满足如下等式才能满足它是一个三角形： a + b > c

这个问题要求最大的三角形周长，那么势必是最大的那条边 c 越大越好，所以我们可以枚举将所有的边按照递增排序，然后逆序枚举最大的那条边 c，去剩下的边里找小的两条边，最好的情况肯定是比 c 小的最大和次大边最优，如果这两条边都不能满足上述不等式，剩下的边也就肯定也不满足了，所以只需要一个循环即可解决问题。

3、数组拆分 I

(1) 对数组进行排序；
(2) 选择偶数项进行相加，就是最大总和。

4、救生艇

(1) 按照重量从小到大排序；
(2) 如果只剩一个人，那么直接加上一只船，并且跳出循环；
(3) 如果最重的那个人和最轻的那个人加起来不能坐一条船，那么最重的那个人势必只能 "一意孤行" 了，因为其他人更加不可能和他同行。转变成的子问题。
(4) 如果最重的那个人可以和最轻的人一起坐一条船，那就顺带捎上，转变成的子问题。

5、摆动排序 II

(1) 这题要求没有返回值的原地排序，所以我们可以先将数组拷贝一份出来；
(2) 然后对拷贝的数组进行排序操作；
(3) 然后，不断进行插孔，先插奇数位置；
(4) 再插偶数位置；

6、分发饼干

(1) 分别对胃口值和饼干都进行递增排序；
(2) 然后将两个游标都指向胃口值和饼干的末尾；
(3) 如果某一个饼干和胃口值满足s[j] >= g[i]的条件，则两个游标都往前移动一格，并且答案加一；
(4) 否则，胃口值的游标往前移动一格，寻找更加容易满足条件的解，直到饼干或者胃口值枚举完毕；

7、最少操作使数组递增

(1) 如果 当前的数 比 前一个数 大，则没有任何消耗，并且重置 前一个数 为 当前数加一，进行下一轮判断；
(2) 否则，需要把 当前的数 变成 前一个数加一；

8、有效三角形的个数

(1) 首先，将所有数组元素按照递增排序；
(2) 利用三个游标 i、j、k，递增枚举三条边；
(3) 如果遇到 nums[i] + nums[j] <= nums[k] 则直接跳出第三层循环，因为边是递增的，后面的 k 都会满足这个条件，从而无法构成三角形；
(4) 在 i 固定的情况下，满足条件的边数就是 (j, k) 二元组的对数（从循环的跳出条件来看 k 的取值是 j+1，j+2，j+3， ...，k-1，所以总的个数就是（k-1）-（j+1） + 1 = k-j-1 ）；
(5) 继续自增 j，如果发现 j 和 k 相等，则自增 k；总体来说，就是枚举 i 和 j， k 是跟着 j 一起走的，所以时间复杂度为 O(n*n)。

九日集训（第六天）贪心

三、课后习题

课后所有习题，在上文都能找到答案，所以务必将下面的题全部刷完。第六天了，有什么感觉吗？最后四天，相信已经不用激励，你已经养成了习惯，自驱动吧！坚持！加油！你可以的！

561. 数组拆分

给定长度为 2n 的整数数组 nums ，你的任务是将这些数分成 n 对, 例如 (a1, b1), (a2, b2), ..., (an, bn) ，使得从 1 到 n 的 min(ai, bi) 总和最大。

返回该 最大总和 。

示例 1：

输入： nums = [1,4,3,2] 输出： 4 解释： 所有可能的分法（忽略元素顺序）为：

(1, 4), (2, 3) -> min(1, 4) + min(2, 3) = 1 + 2 = 3

(1, 3), (2, 4) -> min(1, 3) + min(2, 4) = 1 + 2 = 3

(1, 2), (3, 4) -> min(1, 2) + min(3, 4) = 1 + 3 = 4 所以最大总和为 4

示例 2：

输入： nums = [6,2,6,5,1,2] 输出： 9 解释： 最优的分法为 (2, 1), (2, 5), (6, 6). min(2, 1) + min(2, 5) + min(6, 6) = 1 + 2 + 6 = 9

提示：

1 <= n <= 10^4
nums.length == 2 * n
-10^4 <= nums[i] <= 10^4

代码

class Solution {
public:
    int arrayPairSum(vector<int>& nums) {
        sort(nums.begin(), nums.end());
        int n = nums.size();
        int ans = 0; // 初始化累加和 ans 为 0
        for (int i = 0; i < n; i += 2) {
            ans += nums[i];
        }
        return ans;
    }
};

这段代码的逻辑是通过先对数组 nums 进行排序，然后遍历排序后的数组，每次跳过一个元素（即以步长为2进行循环），将当前元素加到累加和 ans 中。这样做的目的是利用了一个性质：在已排序的数组中，每对相邻的元素构成的对 (ai, bi) 中的较小值总是在偶数索引（因为数组是从0开始索引的，所以这里的“偶数”是指实际的索引+1之后的偶数）。通过这种方法，可以保证加和的是每对中较小的那个，从而达到题目要求的“使得从 1 到 n 的 min(ai, bi) 总和最大”。

简而言之，这个策略是基于“排序后的相邻成对挑选”的策略，保证了能够获得最大的 min(ai, bi) 总和。