逆序对的定义：序列中 i<j且 ai>aj 的有序对。

首先看一下样例：

A:5 4 2 6 3 1

那么数组A存在的逆序对分别是：

5 4
5 2 
5 3
5 1
4 2
4 3
4 1
2 1
6 3
6 1
3 1

ans=11

我们通过打表可以发现，我们去固定一个左指针，右指针去遍历整个数组，寻找满足条件的逆序对的另一半，这也是最朴素的做法：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long 

int ans; 
signed main()
{
	cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
	int n;cin>>n;
	vector<int>a(n);
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		cin>>a[i];
	}
    
    for(int i=0;i<n-1;i++)
    {
    	for(int j=i+1;j<n;j++)
    	{
    		if(a[i]>a[j])ans++;
		}
	}
	cout<<ans<<endl;
return 0;	
} 

n的最大范围是5e10，朴素做法两层循环$O（n^2）$，一定会超时：

那么排序呢？排成降序，那么a[i]一定大于a[j]，这样就不用一个一个去对比大小了，提高效率：

但是实际上排完序之后答案就不对了：

验证：

排完序之后的数组是：

A：6 5 4 3 2 1

那么数组A中存在的逆序对分别为：

6 5
6 4
6 3
6 2
6 1
5 4
5 3
5 2
5 1
4 3
4 2
4 1
3 2
3 1
2 1

ans=15

---

正解

一.归并排序

对于逆序对，我们这里采用归并排序分治思想：

比如，对于如下序列B，有多少对逆序对呢？

B：5 6 7 1 3 8

我们首先把它分为两个区间： 因为 5大于1，又因为左区间是升序区间，所以5之后的所有数都大于1

 左指针：i
 左区间：5 6 7
 右区间：1 3 8
 右指针：j
 
 ans=3

因为5大于3，所以5之后的所有数都大于3

 左指针：i
 左区间：5 6 7
 右区间：1 3 8
 右指针：  j
 
 ans=6

5小于8，移动i指针，发现左区间的所有数都小于8

 左指针：    i
 左区间：5 6 7
 右区间：1 3 8
 右指针：    j
 
 ans=6

那么数组B的逆序对个数就是6。

这种方法每个区间只需要遍历 n/2，总共需要遍历n ，分区间可以用二分去分，那么总共时间复杂度就是$O(nlog(n))$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define M 500005
int a[M], temp[M], n;
long long ans = 0;

void msort(int l, int r)
{       
  //递归结束条件
	if (l == r)return;
	int mid = l + r >> 1;
	msort(l, mid);      //左区间排序
	msort(mid + 1, r);  //右区间排序

	int i = l, j = mid+1, k = l;

	while (i <= mid && j <= r)  
	{
        //谁小谁给temp
		if (a[i] <= a[j])temp[k++] = a[i++];
		else
		{
			temp[k++] = a[j++];
			ans+=mid - i + 1;   //求逆序对的个数
		}
	}


	//谁还剩，剩下的全部放到temp里面
	while (i <= mid)temp[k++] = a[i++];
	while (j <= r)temp[k++] = a[j++];
        
        //放回原数组
	for (int i = l; i <= r; i++)a[i] = temp[i];
}
signed  main()
{
	cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> a[i];
	msort(1, n);
	cout << ans << endl;
	return 0;
}

树状数组