[蓝桥杯] 真题：冶炼金属（暴力+二分）

前言

本文章为观看以下视频的个人学习笔记：

[蓝桥杯]真题讲解：冶炼金属（暴力+二分）

本人算法小白，文章有什么不对的地方，请各位大佬轻喷🙏。

题目

暴力做法

上一篇文章我们说过，做题的时候先想暴力做法，保证能拿到部分分，因此先考虑暴力做法。

当题目中问你最优解的时候，你的暴力做法就是枚举所有的合法答案，然后在这些合法答案中选出最优解。

一种想法是枚举所有的V，然后通过这N条记录来判断其是否合法，最终在所有合法的V中选出最大和最小。

思路

通过观察提示我们发现V的取值范围是$1$ ~ $10^9$，极端来看的话就是我们要枚举$10^9$次，但运算次数最好能在$10^8$ ~ $10^9$之间，这样代码才能在一秒钟内运行完，因此V不可能取$10^9$，所以要对V的取值范围进行缩小，这样就能保证拿到一部分测试用例的分数。而在缩小之前我们还要得出总的运行次数的公式：$V*N$，这个总次数还要尽量（注意：V和N不是一定要满足这个公式，因为这里的计算超时只有极端的测试会超时，后面会说）满足不运行超时的条件的：$V*N<=10^9$。

由于不能既保证正确性又保证不超时，因此我们考虑缩小V的范围，由于有100%的测试用例的$N<=10^4$，因此V可以取$10^5$、$10^6$和$10^7$等。当V取$10^5$时很明显能保证所有测试用例不超时，但正确性也比较低，因为可以计算的V的范围相对比较小；而V取$10^6$时，虽然可能会有超时的测试样例，但那种情况很少，只有当V和N同时极大时才会出现，概率比较小，而V的范围变大了，因此正确率相对前一种提高了，也可以选择；$10^7$也是一样的道理。

因此这里的取法全看个人判断（正确率主要看主办方测试集的设计，个人建议选可能超时一点的比较好，$10^6$和$10^7$，一个字：就是勇👻）：

1. $V=10^6$
2. $V=10^7$

代码

//暴力代码
#include<bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
#define deb(x) cout << #x << " = " << x << '\n';
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int N = 1e4 + 10;

void solve()
{
	int n; cin >> n;
	vector<int>o(n), x(n);//创建数组
	for(int i = 0; i < n; i ++)
		cin >> o[i] >> x[i];

    //从小到大枚举V来获取满足条件的最小的V，如果有满足所有记录就直接输出即可，此时V是最小值
	for(int i = 1; i <= 1e6; i ++)
	{
		bool flag = true;//标记一下当前的V是否满足记录

		for(int j = 0; j < n; j ++)//遍历所有记录
		{
			if(x[j] != (o[j] / i))//判断V是否满足所有记录的X=O/V
			{
				flag = false;
				break;
			}
		}
		if(flag)//所有记录都满足，直接输出V的最小值
		{
			cout << i << " ";
			break;
		}
	}
    //从大到小枚举V来获取满足条件的最大的V，如果有满足所有记录就直接输出即可，此时V是最大值
	for(int i = 1e6; i >= 1; i --)
	{
		bool flag = true;
		for(int j = 0; j < n; j ++)
		{
			if(x[j] != (o[j] / i))
			{
				flag = false;
				break;
			}
		}
		if(flag)
		{
			cout << i << " ";
			break;
		}
	}

	
}

signed main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	int t;
	t = 1;
	//cin >> t;
	while(t--)
	solve();
}

运行结果

能否全部通过测试集只能看运气，最好不要保佑全部通过的想法，暴力只是用来拿部分分的。

题目评判地址：蓝桥杯2023年第十四届省赛真题-冶炼金属 - C语言网 (dotcpp.com)

二分答案

这里建议看视频讲解：www.bilibili.com/video/BV1wc…

下面内容的不会太详细，有一些东西看视频理解的更快。

分析

公式：$X[i]=O[i]/V$

二分的关键点在于寻找二分的check函数，这里分别对min和max进行分析。

min端点

• 对于min左侧的点，不包含min：至少存在一组数据满足：$X[i]<O[i]/v$

• 对于min右侧的点，包含min：对于所有数据一定满足：$X[i]>=O[i]/V$

  min这个点所对应的V也满足使得N条数据：$X[i]>=O[i]/V$，只不过此时全都取 = 。

max端点

• max右侧的点，不包含max，至少存在一组数据满足：$X[i]>O[i]/V$

• max左侧的点，包含max，对于所有数据都满足：$X[i]<=O[i]/v$

代码

//冶炼金属：二分
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 1e4 + 10;
int o[N], x[N];
int n;



/**
 * 判断mid相对于min点的方位
 * @param  mid 要判断的点
 * @return     如果返回false，此时mid在min的左侧；如果返回true，此时mid在min的右侧
 */
bool check_min(int mid)
{
    for(int i = 0; i < n; i ++)
    {
        if(x[i] < o[i] / mid)//如果存在X<O/V就返回false
            return false;
    }

    return true;
}

/**
 * 判断mid相对于min点的方位
 * @param  mid 要判断的点
 * @return     如果返回false，此时mid在max的右侧；如果返回true，此时mid在max的左侧
 */
bool check_max(int mid)
{
    for(int i = 0; i < n; i ++)
        if(x[i] > o[i] / mid)
            return false;

    return true;
}

void solve()
{
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < n; i ++)
        cin >> o[i] >> x[i];

    //求最小值。
    int lmin = 1, rmin = 1e9;
    
    while(lmin < rmin)
    {
        int mid = lmin + rmin >> 1;
        if(check_min(mid))
            rmin = mid;
        else
            lmin = mid + 1;
    }

    //求最大值。
    int lmax = 1, rmax = 1e9;
    while(lmax < rmax)
    {
        int mid = lmax + rmax + 1 >> 1;
        if(check_max(mid))
            lmax = mid;
        else
            rmax = mid - 1;
    }

    cout << lmin << " " << lmax << endl;
}

signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    int t = 1;
    // cin >> t;
    while(t--)
    solve();
}

运行结果

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最后，祝愿各位【蓝桥杯】都能取得理想的成绩！！！