Comparison Model(比较模型):

Comparable items:

将元素看作black boxes，他们的数据是不透明的，只能通过不断比较得出数据（相对顺序和相等性）

支持的操作：

只能进行大小比较，运算符号包括${\le},{\ge},=,{\ne}$等,
outputs are binary: True.False

Goal:

Store a set of n comparable items, support find(k) operation

Running Time:

is lower bounded by comparison times,so count comparisons

复杂度：

除了哈希表以外$O(1)$,最快的即为$log_n$，所以在考虑有没有比$log_n$更快查找元素时，引出了$Direct Access Array$

Decision Tree:

• 每一个内部节点代表二元运算
• 叶节点表示算法的结束，对该算法进行输出
• 路径代表对不同的输入执行的操作
• 一个叶节点代表每个算法的输出结果，所以叶节点的数量$\ge n+1$

Direct Access Array:

Give item unique integer key k in {0, . . . , u − 1}, store item in an array at index k

为什么变快了：

其具有线性分支因子，且可以通过键（key）直接访问数组的位置，

隐性问题：

当键的范围过大，而数据集的范围很小时，会造成空间浪费

Hashing:

• map keys to a smaller range m = Θ(n) and use smaller direct access array(对原有数组进行压缩)
• Hash function: h(k) : {0, . . . , u − 1} → {0, . . . , m − 1}
• If m << u, hash map就失去了效用根据鸽巢原理，所以$m=\theta(n)$
• Collision: 存在a,b，st.$h(a) = h(b)$
• 同一个元素被映射到了同一个位置如何解决呢？
  • open addrsting（开放寻址)
  • chaining

chaining：

Store collison in another data structure,将具有同一哈希值的键存储在同一位置上，并用链表等数据结构进行连接

Hash functions:

$h(k) = k /mod \;m$,取模运算可以将大范围的键映射到小范围内，且同时取模运算具有周期性，可以均匀地分散键的分布，降低哈希碰撞的频率。

Universal:(theoretically)

hab(k) = (((ak + b) mod p) mod m)