环形链表II——数学方法的进一步理解

对于代码随想录中的这个解法（数学方法），给出我的理解与数学推导:

题目描述：

已知：

1.假设从头结点到环形入口节点的节点数为x，环形入口节点到fast指针与slow指针相遇节点的节点数为y，从相遇节点再到环形入口节点节点数为z。 也就是：头结点到环形节点入口的距离为$x$，环形节点入口到fast与slow相遇节点（先假设他们一定相遇，之后进行进一步说明）的距离为$y$，fast与slow相遇节点到环形入口节点的距离为$z$。

2.fast每次移动两个节点，slow每次移动一个节点。也就是：fast的速度为$2v$，slow的速度为$v$。

3.fast和slow同时从头结点出发。

求证：

1.fast和slow一定会相遇。（如果是环形链表）

2.fast和slow第一次相遇的时候，slow只经过一次环形入口节点（也就是没有走完1圈），fast经过过2-3次环形入口节点（也就是刚走完1圈、在第2圈或者第3圈）。

如图所示：

证明过程：

不妨把这个链表的环形部分理解成一个跑道？把讨论的起点变成从头结点变成环形入口节点。这样就能把这个看起来很复杂的问题简化成一个小学六年级的相遇/追及问题。

当slow到达环形入口的时候，时间过去了$\frac{x}{v}$，此时fast已经走了$2v \times \frac{x}{v} = 2x$，也就是在到达环形节点入口之后还走了$x$。现在我们需要探讨的是$y+z$与$\Large x$的大小关系。分为三类：$x < y+z$、$x = y+z$、$x > y+z$。

情况1：$x < y+z$

当slow到达环形入口时，fast往前走了$x$，在此情况下fast还没有走完一圈，如图所示：

此时问题变成了一个追及问题：slow的速度为$\Large v$，fast的速度为$2v$，初始时刻（重新定义后），fast的位置是距离环形入口节点：$x$，加上一圈的距离之后slow领先fast的距离就是：$y+z-x$，请问fast在何时何地追上slow？ 易知：经过$t = \frac{y+z-x}{2v-v} = \frac{y+z-x}{v}$之后fast追上slow，slow走了：$y+z-x$（小于一圈的长度：$y+z$），所以第一次相遇的时候slow只经过了一次环形入口节点，fast经过了两次环形入口节点。也就是相遇的时候slow一圈还没走完，fast已经走完了一整圈在走第2圈。

情况2：$x = y+z$

同理可知，当slow到达环形入口时，fast往前走了$x=y+z$，此时fast刚好走过一圈来到了环形入口节点与slow相遇。所以第一次相遇的时候slow只经过了一次环形入口节点，fast经过了两次环形入口节点。也就是相遇的时候slow一圈还没开始走，fast已经走完了一整圈在走第2圈。初始情况如图所示：

情况3：$x > y+z$

同理可知，当slow到达环形入口时，fast往前走了$x>y+z$，此时fast已经走完了一圈多，（因为fast走完一圈来到环形入口节点的时候slow还没到达环形入口，所以没有相遇过）。此时fast的位置在环形入口节点往前：$x-y-z$，加上一圈的距离之后slow领先fast：$y+z-(x-y-z) = 2y+2z-x$。初始情况如图所示：

易知：经过$t = \frac{2y+2z-x}{2v-v} = \frac{2y+2z-x}{v}$，fast和slow相遇，slow已经走了$\left(\frac{2y+2z-x}{v}\right) \times v = 2y + 2z -x$（大于还是小于一圈的距离：$y+z$呢？）

使用作差法，$(2y+ 2z -x ) - (y+z) = y+z-x < 0$，可以知道$2y+2z-x < y+z$,也就是第一次相遇的时候slow并没有走完一圈。所以第一次相遇的时候slow只经过了一次环形入口节点，fast经过了三次环形入口节点。也就是相遇的时候slow一圈还没走完，fast已经走完了两整圈在走第3圈。

综上:

对于求证1，因为我们已经把这道题转换成了三种情况下的追及问题，不管哪种情况下fast和slow都会相遇，所以得证（原谅不够抽象，没有从形式上实现数学证明一般的严谨）

对于求证2，综合三种情况，我们可以知道：fast和slow第一次相遇的时候，slow只经过一次环形入口节点（也就是没有走完1圈）（三种情况都是），fast经过过2-3次环形入口节点（也就是第2圈或者第3圈）。（第一种情况在走第2圈，第二种情况刚走完1圈，第三种情况在走第3圈）

为什么要证明这些呢？

首先是为代码中的「判断是否存在环」部分提供进一步的支撑，减少看完题解之后不知所以然的内心的不安：

// 判断是否存在环
        while (fast != NULL && fast->next != NULL) {
            fast = fast->next->next;
            slow = slow->next;
            if (fast == slow) { // 如果快慢指针相遇
                isExistCycle = true; // 说明存在环
                break; // 别忘了跳出循环
            }
        }

第二是对于代码随想录给出的解答中的这部分给出了进一步的说明： 为什么slow走过的节点数不需要加$n(y+z)$呢？，fast走过的节点数中的n的取值到底是多少呢？根据上面的证明可以知道n=1或者2以及这两种情况对应的大小关系。

至于之后的代码逻辑——放置两个指针于头结点以及相遇的地方，来定位环形入口的位置，只能说太妙，但是根据上面三种情况也很容易推理证明出来，由于笔者懒惰本篇文章就不再赘述。

else { // 如果存在环
            ListNode *pointer1 = head;
            ListNode *pointer2 = fast; // 此逻辑很复杂，之后会写题解
            while (pointer1 != pointer2) {
                pointer1 = pointer1->next;
                pointer2 = pointer2->next;
            } // pointer1和pointer2相遇，跳出循环
            return pointer1; // 相遇的结点即环的入口
        }