【题目】
按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。
n 皇后问题 研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。
给你一个整数 n ，返回所有不同的 **n 皇后问题 的解决方案。
每一种解法包含一个不同的 n 皇后问题 的棋子放置方案，该方案中 'Q' 和 '.' 分别代表了皇后和空位。
示例 1：
输入： n = 4
输出： [[".Q..","...Q","Q...","..Q."],["..Q.","Q...","...Q",".Q.."]]
解释： 如上图所示，4 皇后问题存在两个不同的解法。
示例 2：
输入： n = 1
输出： [["Q"]]
提示：
1 <= n <= 9
【题目解析】
解题方法
解决N皇后问题的核心方法是使用深度优先搜索(DFS)与回溯算法。算法的基本思想是逐行放置皇后，并在每一步都检查放置后是否满足约束条件。
- 行列与对角线的检查：为了确保皇后不相互攻击，我们需要检查当前位置的列和两个对角线上是否已经放置了皇后。通过维护三个集合，分别记录每列以及两种对角线上皇后的位置，我们可以有效地进行这一检查。
- 递归与回溯：从棋盘的第一行开始，尝试在每一列放置皇后。对于每一行，通过递归调用尝试所有的列，一旦发现当前列可以放置皇后（即不违反约束条件），则递归地在下一行中放置皇后。如果在某行找不到任何一个合法的列来放置皇后，则回溯到上一行，尝试下一个可能的列。
class Solution:
def solveNQueens(self, n: int):
def DFS(queens, xy_diff, xy_sum):
p = len(queens) # 当前行
if p == n:
result.append(queens)
return
for q in range(n): # 尝试每一列
if q not in queens and p - q not in xy_diff and p + q not in xy_sum: # 检查列和对角线是否有冲突
DFS(queens + [q], xy_diff + [p - q], xy_sum + [p + q]) # 递归搜索下一行
result = []
DFS([], [], [])
return [["." * i + "Q" + "." * (n - i - 1) for i in sol] for sol in result]
执行效率
【总结】
适用问题类型
深度优先搜索(DFS)与回溯算法是解决约束满足问题(CSP)的强大工具，尤其适用于需要在给定条件下寻找所有可能解的情况。N皇后问题正是这类问题的一个经典例子，它要求在棋盘上放置皇后，同时满足一系列的攻击规则约束。
解决算法：深度优先搜索与回溯
-
算法描述：通过逐行探索棋盘的每一列，尝试放置皇后。利用DFS递归地在每一行放置皇后，并用回溯法撤销错误的决策，直到找到所有满足条件的棋盘配置。
-
算法特点：
- 高效性：通过立即检查每次放置是否违反约束条件，避免了无效的搜索，提高了算法效率。
- 系统性：系统地探索了解空间的每一个角落，保证了找到所有可能的解。
- 灵活性：算法容易适应问题规模的变化，对其他类似的CSP问题也有很好的适用性。
时间复杂度与空间复杂度
- 时间复杂度：最坏情况下为
O(n!)。尽管实际运行时间由于回溯的剪枝作用会有所减少，但在理论上，需要遍历每一种放置皇后的可能性。 - 空间复杂度：
O(n)。主要空间开销来源于递归调用栈的深度，以及存储每行皇后位置的数据结构。
实践意义
N皇后问题不仅是计算机科学中的一个经典问题，也是深度优先搜索和回溯算法的典型应用场景。它提供了一种有效的方式来解决一类特定的算法问题——如何在复杂的约束条件下寻找所有可能的解决方案。
- 教育与研究：N皇后问题经常被用作算法教学和研究中探讨DFS和回溯算法的案例，帮助学习者理解这些算法的工作原理及其在解决实际问题中的应用。
- 算法设计与优化：深入理解并实践这些算法能够提升解决复杂问题的能力，尤其是在涉及到约束满足和搜索优化的场景中。
- 跨学科应用：类似的搜索和回溯策略在多个领域都有广泛应用，包括人工智能、运筹学、自动规划以及游戏设计等，展现了计算机科学与其他学科交叉融合的潜力。
通过探索N皇后问题及其解法，我们不仅能够加深对特定算法技术的理解，还能够拓宽这些技术在更广阔领域内应用的视野。
