38.结式、未知量的消去法、判别式,
例：求出三次多项式f(x)=x +ax +bx+c的判别式。由(23),
3 s s
1 2
D= s s s 2 2 3
s s s
2 3 4
由上节我们知道, s =σ =-a 1 1
2 2
s =σ -σ =a -2b 2 1 2
2 2 3
s =σ -σ σ +3σ =-a +3ab-3c
3 1 2 3
应用牛顿公式，由σ =0，我们求出,
4
4 2 2 4 2 2
s =σ -4σ σ +4σ σ +2σ =a -4a b-4ac+2b
4 1 1 2 1 2 2
故,
3 2 2 2 2 3 3
D=3s s +2s s s -s -s s -3s =a b -4b -4a c+18abc-27c (24)
2 4 1 2 3 2 1 4 3
所以,
2 2 3 3
D=a 0 -40 -4a c+18a0c-27c
3
D=-4a c-27c
因为, a=0,b=p,c=q,
所以,
3
D=-4a c-27c
一个域P上面的n未知量x ,x ,x ,...,x 的多项式
1 2 3 n
f(x ,x ,...,x )是指系数在数域P中的有限个形为x x ...x 各项
1 2 n 1 2 n
之和，其中所有的k ≥0
n
4.说明，计算一元三次立方根的卡尔丹公式如下：
3 2
y +ay +by+c=0 (1)
设y=x+h,得
3 2
(x+h) +a(x+h) +b(x+h)+c=0
3 2 2 3
x +(3h+a)x +(3h +2ah+b)x+h +bh+c=0
上面方程可转化为,
3
x +px+q=0 (3)
其中, y=x-a/3, (2)
h=-a/3,
2 2
p=3h +b+2ah=b-a /3,
3 3
q=h +bh+c=-a /27-ab/3+c,
方根来表出：
3 3
2 3 2 3
-q q p q q p
x = + + + - - +
1 2 4 27 2 4 27
3 3
2 3 2 3
-q q p 2 q q p
x =ε + + +ε - - +
2 2 4 27 2 4 27
3 3
2 3 2 3
2 -q q p q q p
x =ε + + +ε - - +
3 2 4 27 2 4 27
其中,
3
ε =1,
因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是
ε =1, ε =-1/2+i√3/2, ε =-1/2+i√3/2,
0 1 2
推导过程可参见7.复数的方根,
第七部分 不带虚数根的卡丹公式
4.说明，计算一元三次立方根的卡尔丹公式如下：
3 2
y +ay +by+c=0 (1)
设y=x+h,得
3 2
(x+h) +a(x+h) +b(x+h)+c=0
3 2 2 3
x +(3h+a)x +(3h +2ah+b)x+h +bh+c=0
上面方程可转化为,
3
x +px+q=0 (3)
其中, y=x-a/3, (2)
h=-a/3,
2 2
p=3h +b+2ah=b-a /3,
3 3
q=h +bh+c=-a /27-ab/3+c,
方根来表出：
3 3
2 3 2 3
-q q p q q p
x = + + + - - +
1 2 4 27 2 4 27
3 3
2 3 2 3
-q q p 2 q q p
x =ε + + +ε - - +
2 2 4 27 2 4 27
3 3
2 3 2 3
2 -q q p q q p
x =ε + + +ε - - +
3 2 4 27 2 4 27
其中,
3
ε =1,
因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是
ε =1, ε =-1/2+i√3/2, ε =-1/2+i√3/2,
0 1 2
推导过程可参见7.复数的方根,
例如，解方程
3
x -10x+8=0
根据卡丹公式，它的解为
3 3
-8 64 -1000 -8 64 -1000
x = + + + - - +
0 2 4 27 2 4 27
3 3
x = -4 + 16-37.03703704 + -4 - 16-37.03703704 0
3 3
x = -4 + -21.03703704 + -4 - -21.03703704 0
3 3
x = -4 +4.589914987i + -4 -4.586614987i
0
这样就得到了一个虚数解，实际它的解为4。
例如，解方程
2
x -5x+4=0
如果我们将虚数看成是π和方程各项系数和的乘积，就可以得到没有虚数的近似解.
3 3
2 2 2 2 2 2
π* [（-5） +2 +1 ] π* [（-5） +2 +1 ]
-2 + +2
3 3
2
x =
0 4
=(2.2680756+2.50258)/4=1.1926639。
上面方程的解为1，1.1926639近似于1，可视为方程的近似解。
例如，解方程：
3
x -25x+36=0
根据卡丹公式，它的解为
3 3
2 2 2 2 2 2
π* [（-25） +36 +1 ] π* [（-25） +36 +1 ]
-36/2 + +36/2
3 3
18 18
x = 0 6
18
3
137.7293687 137.7293687
-18 + +18
2.62074 2.62074
2
x = 0 6
18
x =(3.2571+4.1321)/1.618=7.38922/1.618=4.5625
0
上面方程的解为4，4.5625近似于4，可视为方程的近似解.
当方程式的系数变大时，用下面的公式去解方程。
例如，解方程
3
x -78x+96=0
根据卡丹公式，它的解为
3 3
2 2 2 2 2 2
π* [（-78） +96 +1 ] π* [（-78） +96 +1 ]
-96/2 + +96/2
3 3
48 48
x =
0
3
3 3
2 2 2 2 2 2
π* [（-78） +96 +1 ] π* [（-78） +96 +1 ]
-96/2 + +96/2
3 3
48 48
3 3
388.6062673 388.6062673
-48 + +48
3.63424 3.63424
2
x = 0 1.13945
x =(3.89143+5.37086)/1.13945=8.12873 0 当方程式的系数变大时，用下面的公式去解方程. 例如，解方程 3 x -135x+589=0 根据卡丹公式，它的解为
3 3
2 2 2 2 2 2
π* [（-135） +589 +1 ] π* [（-135） +589 +1 ]
-586/2 + +586/2
3 3
293 293
x =
0
3
3 3
2 2 2 2 2 2
π* [（-135） +589 +1 ] π* [（-135） +589 +1 ]
+586/2- -586/2
3 3
293 293
3 3
1898.382613 1898.382613
-586/2 + +586/2
6.64185219 6.64185219
x =
0 12
3 3
1898.382613 1898.382613
+586/2 - -586/2
6.64185219 6.64185219
3 3
285.8212677 -293 + 285.8212677+293
x =
0 12
3 3
285.8212677 +293 - 285.8212677-293
8.376869794 + 1.929074789
x = 0 12
8.376869794 - 1.929074789
10.30594458
x = 0 12
6.447795005
10.30594458
x = 0 1.168021764
x =8.826415841
0
由数学归纳法可知， 当用卡丹公式计算一元三次方程的根时，出现虚数解时，可以使用下面公式求解, 当方程的根在1到2之间时，
3 3
2 2 2 2 2 2
π* [p +q +1 ] π* [p +q +1 ]
-q/2 + +q/2
3 3
q/2 q/2
x = 0 q 此时，虚数i等于方程的根，即
2 2 2
qπ* [p +q +1 ]
i=
3
q/2
当方程的根在2到4之间时，
3 3
2 2 2 2 2 2
π* [p +q +1 ] π* [p +q +1 ]
-q/2 + +q/2
3 3
q/2 q/2
x =
0 6
q/2
此时，虚数i等于方程的根，即
3
2 2 2
6 π* [p +q +1 ]
i= -q/2 +q/2
3
q/2
当方程的根在4到8之间时，
3 3
2 2 2 2 2 2
π* [p +q +1 ] π* [p +q +1 ]
-q/2 + +q/2
3 3
q/2 q/2
x =
0 3 3
2 2 2 2 2 2
π* [p +q +1 ] π* [p +q +1 ]
-q/2 - +q/2
3 3
q/2 q/2
此时，虚数i等于方程的根，即
3 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2
π* [p +q +1 ] π* [p +q +1 ] π* [p +q +1 ]
i=[ -q/2 +q/2 ] -q/2 3 3 3 q/2 q/2 q/2
当方程的根在8到10]之间时，
3 3
2 2 2 2 2 2
π* [p +q +1 ] π* [p +q +1 ]
-q/2 + +q/2
3 3
q/2 q/2
x =
0 12 3 3
2 2 2 2 2 2
π* [p +q +1 ] π* [p +q +1 ]
+q/2 - -q/2
3 3
q/2 q/2
此时，虚数i等于方程的根，即
12
3 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2
π* [p +q +1 ] π* [p +q +1 ] π* [p +q +1 ]
i=[ -q/2 +q/2 ] -q/2
3 3 3
q/2 q/2 q/2
所以,虚数i在方程的根式里面可以用π乘以方程系数来表示。
根据古巴比伦数学家计算的结果可知：
25
π= =3.125
8
把这个数值代入上面的公式中进行三次方程求根的计算会更准确。
根据古巴埃及数学家计算的结果可知：
16 2
π=( ) =3.1605
9
把这个数值代入上面的公式中进行三次方程求根的计算会更准确,
小圆在大圆里面滚动113圈，点了355个点，恰好形成了一个圆。所以,
355
π= =2.6691
113
如下图所示：
第九部分 通过梯形计算积分
根据定积分的定义可知
函数f(x)在区间[A,B]上面的定积分值等于，函数f(x)在A.B]上面的图像和x轴围城的面积。由图1可知，这个面积近似等于由x值和y值围城的很多梯形组成的面积， 这个梯形的高是x -x ,其中i为自然数，表示x的不同取值。 i i-1
这个梯形的上底边是y ,这个梯形的下底边是y ,其中i为自然数，表示y的不同取值。
i-1 i
根据梯形的面积公式可知
S =(x -x )(y +y )/2
i i i-1 i i-1
所有梯形的面积和等于
n
S=∑ S
i=1 i
这个梯形面积和也约等于函数f(x)在[A,B]区间上面的定积分值，即
b
Φ(t)= ∫ f(x)=S
a
b n
Φ(t)= ∫ f(x)= ∑ S a i=1 i
n
Φ(t)= ∑ S i=1 i
n
Φ(t)= ∑ (x -x )(y +y )/2 i=1 i i-1 i i-1 又因为, y=f(x), -1 所以，x=f (y) 所以， n -1 -1 Φ(t)= ∑ [f (y )-f (y ）](y +y )/2 i=1 i i-1 i i-1
可以假设，y =y +a,其中a=△y
i i-1
设y =m, 所以，
i-1
y +y =y +y +a
i i-1 i-1 i-1
y +y =2m+a
i i-1
所以，
n -1 -1
Φ(t)= ∑ [f (y )-f (y ）](y +y )/2
i=1 i i-1 i i-1
n -1 -1
Φ(t)=[(2m+a)/2] ∑ [f (y )-f (y ）]
i=1 i i-1
上面的等式表示，函数y=f(x)的积分值Φ(t)等于y在等距离变化时，矩形的面积,
2
例如，函数y=x 的图像如下图2所示
当y=1时x=1, 当y=2时x=1.414, 此时梯形的面积为
Φ(t )=(1.414-1)(2+1)/2=0.625
1
当y=2时x=1.414, 当y=3时x=1.732, 此时梯形的面积为
Φ(t )=(1.732-1.414)(3+2)/2=0.795
2
当y=3时x=1.732, 当y=4时x=2, 此时梯形的面积为
Φ(t )=(2-1.732)(4+3)/2=0.938
3
当y=4时x=2, 当y=5时x=2.236, 此时梯形的面积为
Φ(t )=(2.236-2)(5+4)/2=1.062
4
当y=5时x=2.236, 当y=6时x=2.44948. 此时梯形的面积为
Φ(t )=(2.44948-2.236)(6+5)/2=1.17414
5
当y=6时x=2.44948, 当y=7时x=2.6457, 此时梯形的面积为
Φ(t )=(2.6457-2.44948)(7+6)/2=1.27543
6
当y=7时x=2.6457. 当y=8时x=2.8284, 此时梯形的面积为
Φ(t )=(2.8284-2.6457)(8+7)/2=1.37025
7
当y=8时x=2.8284, 当y=9时x=3, 此时梯形的面积为
Φ(t )=(3-2.8284)(9+8)/2=1.4586
8
当y=9时x=3, 当y=10时x=3.1622, 此时梯形的面积为
Φ(t )=(3.1622-3)(10+9)/2=1.5409
9
所以,
Φ(t )-Φ(t )=0.795-0.625=0.17
2 1
Φ(t )-Φ(t )=0.938-0.795=0.143 3 2
Φ(t )-Φ(t )=1.062-0.938=0.124
4 3
Φ(t )-Φ(t )=1.174-1.062=0.112 5 4
Φ(t )-Φ(t )=1.27543-1.174=0.10143 6 5
Φ(t )-Φ(t )=1.37025-1.27543=0.09482
7 6
Φ(t )-Φ(t )=1.4586-1.37025=0.08835
8 7
Φ(t )-Φ(t )=1.5409-1.4586=0.0823
9 8
所以,
△Φ(t )=0.17-0.143=0.027
1
△Φ(t )=0.143-0.124=0.019 2
△Φ(t )=0.124-0.112=0.012 3
△Φ(t )=0.112-0.10143=0.01057 4
△Φ(t )=0.10143-0.09482=0.00661
5
△Φ(t )=0.09482-0.08835=0.00647 6
△Φ(t )=0.08835-0.0823=0.00605 7 从上面的数据可以看出，当t等距变化时，y=f(x)的积分函数Φ(x)的变化是等值的。 由上面的数值做出w=Φ(t)的图像，如下图3所示
3
从上面的图像可以很容易的看出，w=t /3,
2 3
这样就得到了y=f(x)=x 的积分函数w=Φ(t)=t /3, 也可以预估出下一个积分值是1.63。
我们还可以将上面的数据拨到算盘上面
△Φ(t )=0.17-0.143=0.027， 1
△Φ(t )=0.143-0.124=0.019 ，
2
△Φ(t )=0.124-0.112=0.012
3
△Φ(t )=0.112-0.10143=0.01057 4
△Φ(t )=0.10143-0.09482=0.00661 5
△Φ(t )=0.09482-0.08835=0.00647 6 △Φ(t )=0.08835-0.0823=0.00605 7
从上面的盘式可以很容易的预估出下一个积分值是1.63。
这样我们就得到一个通过原函数的图像和x轴围成的梯形的面积计算积分函数值的方法，就是通过梯形面积值的变化趋势，预估积分值。
例如，当一个椭圆形线圈同上高电压高电流时，就会产生引力。当引力场的强度达到一定程度就会使空间扭曲，在扭曲的空间中前进就会比在正常的空间中前进的速度快。例如，在扭曲的空间中前进1米，就相当于在正常的空间中前进了1光年，这样，通过在扭曲的空间中运动，就会达到在正常空间中超光速的目的。
同时，这个引力相对于时间的积分就是电磁场的强度。我们通过上面预估积分值的方法，计算电磁场的强度。
两个可看作质点的物体之间的万有引力，可以用以下公式计算：
Mm
F=G
2
r
即万有引力等于引力常数乘以两物体质量的乘积除以它们距离的平方。
-11 2 2
其中G代表引力常量，其值约为6.6710 Nm /kg , 为英国科学家卡文迪许通过扭秤实验测得。所以，可设函数
Mm
f(r)=F=G
2
r
上式中M=10000KG,m=1000KG. r代表两个物体之间的距离，f(r)代表两个物体之间的引力。
当F=1时，r=2.5826, 当F=2时，r=1.8261, 此时梯形的面积为, Φ(t )=(-2.5826+1.8261)(2+1)/2=-1.9824 1 当F=2时，r=1.8261, 当F=3时，r=1.491, 此时梯形的面积为 Φ(t )=(-1.8261+1.491)(3+2)/2=-0.83753 2 当F=3时，r=1.491, 当F=4时，r=1.2193, 此时梯形的面积为 Φ(t )=(-1.491+1.2193)(4+3)/2=-0.6988 3 可以预估出 Φ(t )=-0.41 4 函数Φ(t)的图像为
同时，我们计算得出
Mm
Φ(t)= ∫f(r)= ∫G
2
r
1
=-GMm
r
这个就是我们得到的产生引力的电磁波方程，调节电压按照这个波形产生电磁波就会产生强引力场。
公式推导：
若将行星的轨道近似的看成圆形，从开普勒第二定律可得行星运动的角速度是一定的，即：
2π
w= (T为周期）
T
如果行星的质量是m，离太阳的距离是r，周期是T，那么由运动方程可得，行星受到的力的作用大小为： 2
2 mr(4π )
mrw =
2
T
另外由开普勒第三定律可知
3
r
=常数k 2 T 那么沿太阳方向的力为 2 2 mr(4π ) mk(4π )
=
2 2
T r
由作用力和反作用力的关系可知，太阳也受到以上相同大小的力。
设太阳的质量为M，从太阳的角度看，太阳受到沿行星方向的力为
2
M(k``)(4π )
2
r
因为是相同大小的力，这两个式子比较可知，k`包含了太阳的质量M,k``包含了行星的质量m。由此可知，这两个力与两个体质量的乘积成正比，与两个天体距离的平方成反比。如果引入新的常数G(称为万有引力常数),那么可以表示为：
Mm
万有引力=F=G
2
r
当在某星球表面作圆周运动时，可将万有引力看作重力，既有
GMm
mg=
2
r
此时有，
2
GM=gr
为黄金代换公式，且有
2 2
GMm mv 2 mr4π
= =mrw = =mg
2 2
r r T
所以，可设函数
2
mr4π
f(T)=F=
2
r
上式中T代表物体的运动周期, r代表两个物体之间的距离，f(T)代表两个物体之间的引力。
上面的图像是假设r是常数时，函数f(T)的图像。当r是变化的数时，dT就是函数的偏导数，函数f(r,T)的图像如下图所示
可以预估出, 函数f(r,T)的积分函数Φ(m,n)的图像为
这个就是我们得到的产生引力的电磁波方程，调节电压按照这个波形产生电磁波就会产生强引力场。多元函数的积分，可以通过下面的公式计算, 设有两个自变量的多元函数 f(x,y)=g(x)w(y) 它的积分为 Φ(m,n)= ∫f(x,y) Φ(m,n)= g(x) ∫w(y)+ w(y) ∫g(x) 这个定理，可以由上面的梯形面积估算理论推导出来。
还可以采用另外一种方法计算梯形的面积。根据定积分的定义可知
函数f(x)在区间[A,B]上面的定积分值等于，函数f(x)在A.B]上面的图像和x轴围城的面积。由图1可知，这个面积近似等于由x值和y值围城的很多梯形组成的面积.
这个梯形的高是x -x ,其中i为自然数，表示x的不同取值。
i i-1
这个梯形的上底边是y ,这个梯形的下底边是y ,其中i为自然数，表示y的不同取值。
i-1 i
这个梯形的面积可以等于一个长方形的面积和一个三角形的面积的和。由图1可知，E,F是函数y=f(x)上面的两点，EC,FD分别垂直于X轴。梯形EFDC就是函数y=f(x)和X轴围成的面积。EG垂直于梯形底面FD, 梯形EFDC的面积等于矩形EGDC的面积和三角形FEG的面积和。
矩形EGDC的面积等于S ，
1
S =CD*DG
1
=y (x -x )
i i i-1
根据下面计算三角形面积的公式, 如图2，在三角形ABC中，三角形的边长分别是a,b,c
三角形ABC的面积等于S
S= p(p-a)(p-b)p-c)
a+b+c
上式中，p= 2
三角形EGF的面积等于S 2
S = p(p-a)(p-b)p-c)
2
a=x -x ,b=y -y
i i-1 i i-1
2 2
c= (x +x ) +(y +y )
i i-1 i i-1
2 2
x -x +y -y + (x +x ) +(y +y )
i i-1 i i-1 i i-1 i i-1
p= 2
2 2
S = p(p-x +x )(p-y +y )[p- (x +x ) +(y +y ) ]
2 i i-1 i i-1 i i-1 i i-1
还可以采用另外一种方法计算梯形的面积。 根据定积分的定义可知:
函数f(x)在区间[A,B]上面的定积分值等于，函数f(x)在A.B]上面的图像和x轴围城的面积。
由图1可知，这个面积近似等于由x值和y值围城的很多梯形组成的面积。
这个梯形的面积可以等于一个长方形的面积和一个三角形的面积的和。
由图1可知，EF是函数y=f(x)上面的切线，H是切点，梯形EFDC就是函数y=f(x)和X轴围成的面积。EG垂直于梯形底面FD, 梯形EFDC的面积等于矩形EGDC的面积和三角形FEG的面积和。矩形EGDC的面积等于S 。
1
S =CDDG
1
三角形FEG的面积等于S
2
S =HGEF/2
2
由于EF是曲线y=f(x)上面的切线，切点是H，可以设GH垂直于EF， GH就是点G到直线EF之间的距离，
在直角三角形EHG中，设角HEG等于α，tgα=y/x=f(x)/x，
设直线EF的直线方程是
y=kx+c，
由于EF是曲线y=f(x)上面的切线，切点是H，H点的坐标是(a,b),得
如图2所示直线w=kt+c和x轴的夹角是α，
tgα=y=f(a)，
HP垂直于Y轴，点Q是直线w=kt+c和X轴的交点,Q的坐标是(c,0)。
所以在直角三角形HPQ中，
PQ=HP/tgα=b/tgα，
PQ=a-c，
a-c=b/tgα，
c=a-b/tgα，
因为，
ka+c
tgα=
a-c
tgα(a-c)-c
k=
a
所以,
[tgα(a-c)-c]t
w= +a-b/tgα
a
如图3所示，根据杨辉三角形定理 点G的坐标是(a,b),d是点G到直线w=kt+c的距离. 在直角三角形FHG中，F点的坐标是(e,ke+f). FG=│ke+c-f│ 大直角三角形FHG和内部的小直角三角形是相似三角形。
2
小直角三角形的边长分别是1，k, 1+k
所以,
│ke+c-f│
d=d/1=
2
1+k
根据上面的推导可知 c=a-b/tgα,
tgα(a-c)-c
k=
a
所以,
e[tgα(a-c)-c]
│ +a-b/tgα-f│
a
d=d/1= 2 [tgα(a-c)-c] 1+ 2 a
三角形FEG的面积等于S 2
S =HG*EF/2
2
S =d*EF/2
2
e[tgα(a-c)-c]
│ +a-b/tgα-f│
a
S =(EF/2)* 2 2 [tgα(a-c)-c] 1+ 2 a 梯形EFDC的面积等于矩形EGDC的面积和三角形FEG的面积和 S=S +S 1 2
e[tgα(a-c)-c]
│ +a-b/tgα-f│
a
S=CDDG +(EF/2) 2 [tgα(a-c)-c] 1+ 2 a
第十部分 广益书局初学算法大成
下面的资料可参见《初学算法大成》，清代广益书局出版，
在算盘上面用还原口诀求开方。
平方积三百二十四步。法曰置积三百二十四步为实。约初商十步于实左下法。亦置十步于实右，名曰方法。与上商相呼。一一除实一百步。余实二百二十四步，就以方法十步倍之，得二十步，名曰廉法。又曰次商八步于左，初商十步之次，共得十八步。亦置八步于实右廉法，二十步之次，名曰耦法。共得十八步，与左位次商八步相呼。二八除实一百六十步，又左八步，对右八步相呼。八八除实六十四步恰尽。得方面十八步。若还原自乘是也，右法以明方廉四之名也。
注：上面的描述可以用下面的计算过程表示：
算盘左栏 算盘实栏 算盘右栏
√324≈10 10 324 10
324-1010=224
102=20
8 224-160=64 10
64-88=0 10+8=18
上面的描述可以总结为下面的公式
2 2 2
(a+b) =a +2ab+b
其中,
2 2
a=10,b=8,(a+b) =18 =324
假如今有圆基盘共子三百六十一个。问每面子若干，答曰每面十九个。
问每面子若干，答曰每面十九个。
法曰置基子为实。约初商十步于实左。下法亦置十步，于实右，左右相呼。一一除实一百个，余实二百六十一个。就以下法十个倍之得二十个。次商四于左，初商十个之次，置九个于右。倍方二十之次，共得二十九，皆与左次商九相呼。二九除实一百八十个，又左九对右九，相呼九九除八十一个，恰尽。
注：上面的描述可以用下面的计算过程表示：
算盘左栏 算盘实栏 算盘右栏
√361≈10 10 361 10
361-1010=261
102=20
9 261-180=81 10
91-99=0 10+9=19
上面的描述可以总结为下面的公式
2 2 2
(a+b) =a +2ab+b
其中,
2 2
a=10,b=9,(a+b) =19 =361
今有方田积三千一百三十六步，问平一面若干。
法曰，置田积为实。约实定初商，五十步，于左。下法亦置五十步于右，左右相呼，五五除实二千五百步，余积六百三十六步。就以下法五十步倍之，得一百步。次商六步，于左，初商五十之下，亦置六步，于右。倍方一百，隔位之下共得一百零六步。皆与次商六步相呼，一六除实六百步。又左六，对右六，相呼六六除实三十六步恰尽。
注：上面的描述可以用下面的计算过程表示：
算盘左栏 算盘实栏 算盘右栏
50 3136 50
3136-500500=636
502=100 502+6=100+6=106
636/100=6
1600=600
636-600=36
36-6*6=36-36=0
上面的描述可以总结为下面的公式
2 2 2
(a+b) =a +2ab+b
其中,
2 2
a=50,b=6,(a+b) =56 =3136
今有方砖一千四百六十一块，欲为平方。
问一面方若干。答曰，面平三十八块，七十七块之十七。
法曰，砖置积为实。初商三十块，于左下法。亦置三十于右，为方法。左右相呼三三除实九百，余积五百六十一块。就以方法三十倍作六十为廉法。次商八于左初商三十之下亦置八于右，廉法六十之下为耦法共六十八。皆与上商八，相呼，六八除实四百八十，又呼八八除实六十四，余实十七。不尽却将所商三十八倍之，再添一块共得一方数，七十七命十七。何谓之命以原总数内除十七，加上七十七。使商得面方三十九块。因此不及而为之命余仿此。
注：上面的描述可以用下面的计算过程表示：
算盘左栏 算盘实栏 算盘右栏
√1461≈30 30 1461 30
1461-3030=561
302=60 8
561/60=9,商数9太大，应选商数为8
608=480
88=64
516-480-64=17
38*2+1=76+1=77 8+1=9
30+9=39
17
39
77
上面的描述可以总结为下面的公式
当[a/10+b]>[2(a+b)+1]时
.
2 2
2 c-a -(b-1) -2a(b-1) 2
(a+b) [ ]= c
[(a+b)-1]*2+1
其中, a=30,b=9,c=1461
今有平方积五万四千七百五十六步，问平方一面若干。答曰二百三十六步。
归除开平方法曰，置积五万四千七百五十六步为实。于盘中见实约商二百，于实左。亦置二百于右下，左右相呼，二二除实四万步。于实一万四千七百五十六步，以右下二百步，倍之得四百步为法，归除之，四一二十二，封四进一十，得商六十步，就置三十步于方四百之下，相呼，三三除实九百步，余实一千八百五十六步，就以右下三十步倍之得六十步，共四百六十步，为法归除之。呼四一二十二，逢八进二十，得商四步。亦置四步于右六之下，相呼四六除二百四十步，又呼四四除实，十六步，恰尽。以左上所商得二百三十四步为平方一面之数也。
注：上面的描述可以用下面的计算过程表示：
算盘左栏 算盘实栏 算盘右栏
√54756≈200 200 54756 200
2002=400 54756-200200=14756
302=60 14756/400=3 200+30=230
400+60=460 4003+3030=12900
14756-12900=1856 230+4=234
1856/460=4
20033+202=1840
1856-1840=16
16-44=0
上面的描述可以总结为下面的公式
2 2 2 2
(a+b+c) =a +2ab+2ac+2bc+b +c
.其中, a=200,b=30,c=4。
今有平方积四百九十步，亦为平方，问每面若干。答曰，二十二步，四十五分步之六。
归除开平方法曰：置积四百九十为实， 于盘中见实四百，商二十步，于实左。亦置二十步于右下，左右相呼二二，除实四百步，余实九十步，就以右位二十步倍之，得四十步，为法归除之呼，逢八进二步，就置二步于右，四十之下相呼，二二除实四步，余实六步不尽，以直方命之，法曰，以所商二十二步倍之，又添一步，共得四十五步，为分母命之曰，四十五分步之六。解曰，若以积四百九十步，加入四十五步，减去分之六步，乃得五百二十九步，使商得二十二步，所谓不及顾谓之命也。
注：上面的描述可以用下面的计算过程表示：
算盘左栏 算盘实栏 算盘右栏
√490≈20 20 490 20
490-2020=90 20+2=22
202=40 90-4022=2
222+1=45
6 2+22=6
22
45
上面的描述可以总结为下面的公式
2
2 a/10+b 2
(a+b) [ ]= c
2(a+b)+1
其中, a=20,b=2。
当[a/10+b]>[2(a+b)+1]时
2 2
2 c-a -(b-1) -2a(b-1) 2
(a+b) [ ]= c
[(a+b)-1]*2+1
归除平方带纵歌
平方带纵法最奇，四因积步不须疑，纵多自乘加固积，又用开方法除之。
甫以纵多拼间积，所平方为长数施，若问润步知多少，将长减却纵多基。
开立方法歌
自乘再乘除实积，三因初商方方另列，次乘遍乘名为廉，方法乘廉除次积。次商自再乘名藕，依数除积方了毕，初次三因又为方，三商遍乘放此的。一千商十定无疑，三万纵为三十除，九千九万不离十，十万方为一百推。
法曰，置积为实别置一算，名曰下法于实数之下，自末位至首常起二位为实，千至九十余万俱定十，百万后俱定百。实上商置第一位得若干下法亦，置次商三十，自乘再乘的若干，除实乞余实若干，却以三乘下法，初商若干，得若干，为方法列法。次商置第一位于初商之次得若干，下法亦置次商若干，于初商之次，共得若干，就以次商若干，遍乘得若干，为廉法，再以方法乘廉得若干，除实乞余实，亦上以次商若干，自乘再乘得若干为耦法，余实尽得立方面歌，若有不尽数，仍再前商之或有不尽数，以法命之，何谓之命若余实若干，不尽者，却以所商得立方数若干，自乘得若干，又以三因之得若干，另以所商得立方数若干，用三因之得若干，再添一个共得若干，使商得多一立方数也，因此不及而为之命，立圆法亦有不尽者亦仿此，若要还原以立方而自乘再乘见积，若还原立方原有不尽数者。以立方面自乘再乘并入不尽数见积。
今有物三千三百七十五尺，问立方若干。答曰立方面十五尺。法曰，置物三千三百七十五为实，约初商得十，于左，下法亦置十于右，自乘得一百，再乘得一千，除实乞余实二千三百七十五尺，却以三乘下法十得，三十为方法列位。次商五尺于左，初商之次下，法亦置次商五于初商十之次，共十五，就以五遍乘之得，七十五，为廉法，再以方法三十乘廉法七十五，得二千二百五十，除实乞余实一百二十五，却以次商五，自乘再乘得一百二十五，为耦法，除实恰尽。
右。
次商，五尺，并初商共十五尺，又用次商乘之得七十五尺，为廉法，以廉法除实。下法初商十，自乘得一百，再乘得一千，除实乞。就以三因初商一得三十，为方法。实尾五尺。
中。
七十次除本身五十余二，三十次除本身二百余一，再以商五尺自乘得再乘一百十五尺，为耦法，除实得尽。实首三十，右法呼先除本身一千，又以有法廉相乘得二千二百五十，除本身二尽更于旅次二三位除。次商五尺。
左。
初商十。
注：上面的描述可以用下面的计算过程表示：
算盘左栏 算盘实栏 算盘右栏
√3375≈10 10 3375 5
101010=1000 3375-1000=2375 10+5=15
310=30 3075=2250 155=75
2375-2250=125 555=125
125-125=0
上面的描述可以总结为下面的公式
3 3 2 2 3 3 3
(a+b) =a +3a b+3ab +b =a +3ab(a+b)+b
.其中,
3 3
a=10,b=5,(a+b) =15 =3375
今有积一百九十五万三千一百二十五尺。问立方面若干。答曰，立方面一百二十五尺。
法曰，置积尺数为实。红初商一百自乘再乘得一百万。除实讫余实九十五万三千一百二十五尺，却以三乘下法一百得三百，为方法列位。次商二十于初商一百之次。下法亦置二十于初商一百之次，共一百二十。就以二十乘之得二千四百，为廉法，再以方法三百乘廉，七十二万除实讫余实二十三万三千一百二十五尺，却以次商二十自乘，再乘得八千，为耦法，除实讫余实二十二万五千一百二十五尺。另以三乘下法一百二十，得三百六十，又以方法列位。再商五于左，初次商一百二十之下，共一百二十五。就以五乘之得六百二十五，又为廉法，再以方法三百六十乘廉法六百二十五，得二十二万五千，除实讫，再以再商五，自乘得乘得一百二十五，又为耦法除实尽合问。
注：上面的描述可以用下面的计算过程表示：
算盘左栏 算盘实栏 算盘右栏
√1953125≈100 100 1953125 20
100100100=1000000 1953125-1000000=953125 100+20=120
3100=300 3002400=720000 12020=2400
953125-720000=233125 202020=8000
3120=360 233125-8000=225125 5
120+5=125
360625=225000 1255=625
225125-225000=125 55*5=125
125-125=0
上面的描述可以总结为下面的公式
3 3 3 3 2 2 2 2 2
(a+b+c) =a +b +c +6abc+3a b+3a c+3ab +3b c+3a c+3bc.
3 3 3
=a +b +c +3ab(a+b)+3(a+b)(a+b+c)c
其中,
3 3
a=10,b=2,c=5,(a+b+c) =125 =1953125
引理：
3 3 3
(a+b+c) =(a+b) +c +3c(a+b)(a+b+c)
3 3 3
(a+b+c+d) =(a+b) +(c+d) +3(a+b)(c+d)(a+b+c+d)
3 3 3
(a+b+c+d+e) =(a+b+c) +(d+e) +3(a+b+c)(d+e)(a+b+c+d+e)
引理：
3 3 3 3 3
(a+b+c+d) =a +b +c +d +4abc+4acd+4bcd+4abd+
2 2 2 2 2 2 2
3ab +3ac +3ad +3bc +3bd +3cd +3c d+
2 2 2 2 2 2
+3a b+3a c+3a d+3b c+3b d+3c d+3cd
3 3 3 3 3
(a+b+c+d) =a +b +c +d +4abc+4acd+4bcd+4abd+
+3ab(a+b)+3ac(a+c)+3ad(a+d)+3bc(b+c)+3bd(b+d)+3cd(c+d)
引理：
3 3 3 3 3 3
(a+b+c+d+e) =a +b +c +d +e +4abc+4abd+4abe+4acd+4ace+4bcd+4bce+4cbe+4cde
+2ab(a+b)+2ac(a+c)+2ad(a+d)+2ae(a+e)+2bc(b+c)+2bd(b+d)+2be(b+e)+2cd(c+d)+2ce(c+e)
3 3 3 3 3 3
(a+b+c+d+e) =a +b +c +d +e +4abe
+2ab(a+b+2b+2d)+2ac(a+c+2d+2e)+2ad(a+d)+2ae(a+e)+2bc(b+c+2d+2e)+2bd(b+d)+2be(b+e)+2cd(c+d)+2ce(c+e+2b+2d)
今有积四千一百五十尺，问立方面若干。答曰，立方面十六尺，八百十七至五十四。
法曰，置积为实。初商十自乘再乘得一千尺，除实讫余实三千一百五十，却以三乘下法十，得三十为方法列位。次商六尺于上，初商十之次，共十六，就以六乘之得九十六，为廉法，再以方法三十，乘廉法九十六，得二千八百八十。除实讫余实，二百，却以次商六，自乘再乘二百十六，为耦法，除实讫余实五十四尺，不尽。却以所商立方十六尺，自乘得二百五十六尺，又以三因得七百六十八，另以十六以三因之得四十八，再添一个，并入，共得一立方数积八百一十七之五十四。何谓命以原总数，除去五十四加上八百十七，使商得面方十七，因此不及而为之命。
注：上面的描述可以用下面的计算过程表示：
算盘左栏 算盘实栏 算盘右栏
√4150≈10 10 4150 10
101010=1000 4150-1000=3150 10+6=16
310=30 3096=2880 166=96
3150-2880=270
200+16=216 270-216=54 5
1616=256
3256=768 1255=625
163=48
768+48=816
54
16
816
上面的描述可以总结为下面的公式
2 2
3 c-a -b -3a(a+b)b 3
(a+b) [ ]= c
2
3(a+b) +3(a+b)
其中, a=10,b=6,c=4150。
假如，今有银一万两，问方若干。答曰，八寸九分三里，有奇难尽。
法曰，置银一万两，为实，以银率每寸一十四两为法，除之得，七百十四寸二分八里。又为实，以开立方法除之。初商八寸，于左，亦置八寸于右，为下法，自乘得六十四寸，再乘得五百十二寸，除实讫余实二百零二寸二分八里。却以三寸乘下法八寸，得二十四寸，为方法。次商九分于初商八寸之次，亦置九分于右。初商八寸之次，共八寸九分，就以九分遍乘得八寸零一，为廉法。再以方法二十四寸，乘廉法得一百九十二寸二分四里，除实讫余实十寸零四里。却以初商九分自乘得七寸二分九里，除实讫余实不尽，二分七里五毫。
注：上面的描述可以用下面的计算过程表示：
算盘左栏 算盘实栏 算盘右栏
√714.28≈8 8 714.28 8
888=512 714.28-512=202.28 8+0.9=8.9
98/3=24 248.01=192.24 8.90.9=8.01
202.28-192.24=10.04 80.9=7.2
0.981=7.29 0.90.9100=81
10.04-7.29=2.75
2.75/100=0.0275
8.9+0.0275=8.9275
上面的描述可以总结为下面的公式
3 3 3 3 2 2 2 2 2
(a+b+c) =a +b +c +6abc+3a b+3a c+3ab +3b c+3a c+3bc.
3 2 3
=a +10ab (a+b)+100b +100c
其中,
3 3
a=8,b=0.9,c=0.0275,(a+b+c) =8.9275 =714.28
今有田积三千三百七十五尺，问面方若干。答曰面方十五尺。
法曰，置积三千三百七十五尺为实，以开立方法除之。古法用三为廉率。约实定位，纵实末位尺，十尺定尺，百尺千尺定十尺。初商十于左。下法亦置初商十，自乘得一百，再乘一千，除实讫余实二千三百七十五尺，却以下法初商十自乘得一百，用三因为方法。又以初商十因之得三千。次商五尺于左，初商之次，下法亦置次商五尺自乘得三十五尺，为耦法。又以次商五尺乘廉三十得一百五十为廉法。并方法三百，廉法一百五十，耦法二十五，共四百七十五尺，皆与次商五尺相呼，四五除二，五七除五十五，五五除二十五，恰尽，得方面一十五尺合问。
注：上面的描述可以用下面的计算过程表示：
算盘左栏 算盘实栏 算盘右栏
√3375≈10 10 3375 5
101010=1000 3375-1000=2375 10+5=15
31010=300 55=25
310=30 305=150
300+150+25=475
4755=2375
2375-2375=0
上面的描述可以总结为下面的公式
3 3 2 2 3 3 2 2
(a+b) =a +3a b+3ab +b =a +(3a +3ab+b )b
其中,
3 3
a=10,b=5,(a+b) =15 =3375
41.三次与四次方程，
说明，计算一元三次立方根的卡尔丹公式如下：
3 2
y +ay +by+c=0 (1)
设y=x+h,得
3 2
(x+h) +a(x+h) +b(x+h)+c=0
3 2 2 3
x +(3h+a)x +(3h +2ah+b)x+h +bh+c=0
上面方程可转化为,
3
x +px+q=0 (3)
其中, y=x-a/3, (2)
h=-a/3,
2 2
p=3h +b+2ah=b-a /3,
3 3
q=h +bh+c=-a /27-ab/3+c, 只要求得方程(3)的根，那么我们根据(2)就可以得到方程(1)的根,
设x=a+b,得
3
(a+b) +p(a+b)+q=0
3
(a+b) +p(a+b)=-q
因为,
3 3 2 2 3 3 3
(a+b) =a +3a b+3ab +b =a +3ab(a+b)+b
所以，
3 3
a +3ab(a+b)+b +p(a+b)=-q
我们可以通过上面的描述，猜解出a,b的值,
设p=0,得
2
b-a /3=0
2
b=a /3
那么，我们就得到方程化简为
3
x +q=0
3
x =-q
设x=a+b,得
3
(a+b) =-q
因为
3 3 2 2 3 3 3
(a+b) =a +3a b+3ab +b =a +3ab(a+b)+b
所以，
3 3
a +3ab(a+b)+b =-q
我们可以通过上面的描述，猜解出a,b的值
也可设x=a+b+c,得
3
(a+b+c) =-q
因为,
3 3 3 3 2 2 2 2 2 2
(a+b+c) =a +b +c +6abc+3a b+3a c+3ab +3b c+3a c+3bc
3 3 3
=a +b +c +3ab(a+b)+3(a+b)(a+b+c)c
所以，
3 3 3
a +b +c +3ab(a+b)+3(a+b)(a+b+c)c=-q
例如:
解方程；
3
x -91125=0
3 3
a +3ab(a+b)+b =91125
通过猜测，得到a=4,b=5,
所以，x=45,
利用上面的方法，也可以解高次方程
5
x -t=0
2
设y=x
3
y -t=0
设y=(a+b),
2 2 2
(a+b) =a +2ab+b
2 2 2
a +2ab+b =x
我们可以通过上面的描述，猜解出a,b的值.
例如:
解方程；
5
x -2985984=0
3 3
a +3ab(a+b)+b =2985984
通过猜测，得到
a=1,b=4,c=4,
所以，
y=144.
2 2
a +2ab+b =144
通过猜测，得到
a=1,b=2,
所以，x=12,
通过上面的方法可以解高次方程。
例如，当物体在高温等离子体中运动时，速度就会超过光速，推测在高温环境下，由于高温能量场的作用，物体的基元结构会变的非常松散，以致物质的速度可以超越光速。在2000年7月20日，日本NEC公司北美研究所的一个研究小组在英国《自然》【Nature,2000,406:277】发表了一篇论文宣称成功进行了超光速光脉冲实验。“实验把激光射过一个长6厘米密封着铯原子气的玻璃管，对铯原子气的状态进行调整后，在测量光从一端到另一端时，出现一奇妙现象。通常光通过这个6厘米的玻璃管需要 0.2纳秒，即一百亿分之二秒，但观测结果显示，比这个时间提前62纳秒时光脉冲的波峰部分就出现在玻璃管的另一端。这就是说，本来在一百亿分之二秒的时间里应运动6厘米的光，在铯原子环境里跑了20米。”
【这段转载自BBS 水木清华站 (Sat Jul 22 20:40:28 2000)，本段描述为了作为该事件的一个记叙】
上面的实验证明，在高温环境中，物体的速度可以超越光速。这是因为高温环境改变了物体的内量场，使物体的基元结构变得松散了，所以可以导致物体的速度超越光速。在密闭的混凝土空间中，进行原子弹爆炸，产生上亿摄氏度的温度，在这个高温的銫等离子体空间空运动，就会达到超光速。当飞行器在宇宙空间中，在飞行器的四周引爆核弹，飞行器周围空间的基元结构发生改变，这时，飞行器向前移动，就会达到超光速运动的目的。也可以在飞行器的尾部发动机处，引爆原子弹，就会产生高温等离子体，这些高温等离子体使飞行器尾部的空间的基元结构发生改变，这样这些高温等离子体就会推动飞行器达到超光速运动。
我们测量这个空间中铯原子等离子空间的温度变化就会得到一个七次方程。
即,
7
x =t
4
可以设y=x 上面的方程可以化简为 3 y =t 也可设y=a+b+c,得 3 (a+b+c) =t
3 3 3 3 2 2 2 2 2 2
(a+b+c) =a +b +c +6abc+3a b+3a c+3ab +3b c+3a c+3bc
3 3 3
=a +b +c +3ab(a+b)+3(a+b)(a+b+c)c
所以，
3 3 3
a +b +c +3ab(a+b)+3(a+b)(a+b+c)c=t
我们可以通过上面的描述，猜解出a,b的值
2
设z=y
上面的方程可以化简为
2
z =y
也可设z=a+b,得
3
(a+b) =y
因为,
2 2 2
(a+b) =a +2ab+b
2 2 2
a +2ab+b =y
我们可以通过上面的描述，猜解出a,b的值 同时，利用上面的方法还可以解决其它问题。 通过古人的发现，人们通过调节自身的意念，即脑电波，可以达到提高自身精神力的目的，这就是日常人们通过气动锻炼身体的过程。因为，人的脑电波可以和宇宙中的各种电磁波，地球的磁场产生感应，人们可以通过精神意念调节脑电波的频率，这样就会使人们感应宇宙磁场，地磁场的信号加强，就达到增强脑电波，心电波的目的。通过，脑电波，心电波感受宇宙电磁波，地磁场的过程，就会达到加强自身脑电波，心电波的功率的目的。人们的脑电波的波形可以用高次方程描述，宇宙的电磁波也可以通过高次方程描述，解这两个方程，控制自身的脑电波变化，使两个方程的解相等，就会达到用脑电波感应宇宙电磁波的目的。同时，地球上不同地方的地磁场的强度是不同的，通过高次方程可以描述地磁场，用上面的方法解这个地磁场高次方程，调节心电波就会是心电波方程的解和不同地方的地磁场强度的解相等，这样就会达到通过地磁场增强自身心电波的目的。 我们可以制作一个脑电波放大器，使脑电波的功率增强，这样就会感应出更大的宇宙电磁波。调节脑电波，可以控制吸收宇宙电磁波能量，这就要调节脑电波高次方程的解和宇宙电磁波高次方程的解相等。
