用正割对数计算积分的方法

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用正割对数计算积分的方法 下面介绍一种利用正割对数，计算积分的方法。 相关资料下载网址： 链接:pan.baidu.com/s/1z3R9b-Um… 提取码:mh67 链接:pan.baidu.com/s/1DS1pMSAp… 提取码:gni4 115.com/s/swnuekq36… 三角函数微积分 访问码：ua44 「正割对数微积分」www.aliyundrive.com/s/dcF3cr3K3… 微云文件分享:正割对数微积分下载地址:share.weiyun.com/C9OcaBfY kdocs.cn/join/ge5wqf… 邀请你加入共享群「新建共享文件夹」一起进行文档协作

第一部分用正割对数计算积分的方法

一个函数y=f(x)的导数等于函数图像某点切线的斜率 tga=y=f(x)=u(x)=y/x， 函数f(x)的导数u(x)等于切线的斜率， tga=u(x)，tga=sina/cosa， 导数等于微分，微分积分后变成原函数，即

   f`(x)=       tga=f(x)

因为，a=arctgf(x)， 根据泰勒展开 3 5 2n+1 x x n x 2n+2 arc tg x=x- + -...+(-1) +o(x ) 3 5 2n+1 所以, 3 5 2n+1 f (x) f (x) n f (x) 2n+2 a=f(x)- + -...+(-1) +o(x ) 3 5 2n+1 方法1, 推导过程可参见《微积分学导论》，1958年版，曹一华，江体乾编译 推导过程可参见《无穷小分析基础》,苏联，И.И普里瓦诺夫，C.A加里别伦著 因为, tga=y=f(x)=u(x)=y/x, a=arctgy,所以, sina d(cosa)
f`(x)= tgada= da=- =-lncosa+C
cosa cosa
根据泰勒展开 2 5 6 2m a a a m a 2m+1 cosa=1- + - -...+(-1) +o(a )
2! 4! 6! (2m)!
所以, 2 5 6 2m a a a m a 2m+1 f(x)=-lncosa+C=-ln[1- + - -...+(-1) +o(a )]+C
2! 4! 6! (2m)!
可参见高等教育出版社菲赫金哥尔茨著1953年版《微积分教程》第一卷第一分册 6
9)写出函数ln cos x的展开式至x 的项。根据5)

                         1         2   1         3           3

ln cos x=ln[1+(cos x-1)]=(cos x-1)- (cos x-1) + (cos x-1) + o((cos x-1) ) 2 2

                         1         2   1         3     6

ln cos x=ln[1+(cos x-1)]=(cos x-1)- (cos x-1) + (cos x-1) + o(x ) 2 2 所以, 1 2 1 3 3 f(x)=-lncosa+C=(cos a-1)- (cos x-1) + (cos x-1) + o((cos x-1) ) 2 3

                         1         2   1         3     6

f(x)=-lncosa+C=(cos a-1)- (cos x-1) + (cos x-1) + o(x ) 2 3

                  2        4        6           
                a        a       a          6

f(x)=-lncosa+C= + - +o(a ) 2 12 40

方法2, 推导过程参见《高等混合算学下册》，商务印书馆1925年出版，梧兹（Woods），巴雷（Bailey）著，长沙易俊元译,

  1.    tanudu=logsec u   +C 

  2.    cotudu=logsin u   +C

lnsinθ=-lncscθ, lncosθ=-lnsecθ, lgtgθ=lgsecθ-lgcscθ, lgctgθ=lgcscθ-lgsecθ, 所以,

                             sina             d(cosa)      
   f`(x)=       tanada=               da=-             =-lncosa+C=lnseca+C                                 cosa              cosa

所以, cosa d(sina)
f(x)= cotada= da=- =lnsina+C sina csina 因为, tga=y=f`(x)=u(x)=y/x, 所以,

   f(x)=       tgada=logsec a   +C

根据泰勒展开 2 3 5 n x x x n-1 x n ln(1+x)=x- + - -...+(-1) +o(x )
2 3 4 n 所以, 1 2 1 3 3 ln sec x=ln[1+(sec x-1)]=(sec x-1)- (sec x-1) + (sec x-1) + o((sec x-1) ) 2 2

                         1         2   1         3     6

ln sec x=ln[1+(sec x-1)]=(sec x-1)- (sec x-1) + (sec x-1) + o(x ) 2 2 所以, 1 2 1 3 6 f(x)=lnseca+C=(sec a-1)- (sec x-1) + (sec x-1) +o((sec a-1) ) 2 2

                         1         2   1         3       6

f(x)=lnseca+C=(sec a-1)- (sec x-1) + (sec x-1) +o(a ) 2 2 因为, 2 5 6 2m a a a m a 2m+1 cosa=1- + - -...+(-1) +o(a )
2! 4! 6! (2m)!
lnsinθ=-lncscθ, lncosθ=-lnsecθ, 所以,

                        2        5        6               2m
                      a        a       a           m   a         2m+1

f(x)=lnseca+C-lncosa+C=-ln[1- + - -...+(-1) +o(a )+C
2! 4! 6! (2m)!
因为, 推导过程可参见《古今算学丛书，割圆密率捷法》，清光绪戊戌六月算学书局印成，, 清咸丰壬子年，湖北人戴煦识，夏鸾翔编写，1898年刘铎整理 当45°≥θ>0°时,

      2       4              6                   8     
    θ       θ      2       θ     2      16     θ      2    16     272

lnsecθ= + + +
2 2 34 2 34 56 2 34 56 78

      10                                  2n       S       
    θ      2    16    272   7936        θ             n   

  •                             +…+               
  2      3*4  5*6   7*8   9*10        2      (n+1)(n+2)...*2n

上式中， S *(2n-2)(2n-1) S (2n-2)(2n-1)
n-2 n-3 S 2n(2n+1) 2n(2n+1) 2n(2n+1)
n-1 12
S = - + …-2
n 12 34 56

例如： 2 S =2 1

245 -22=16 S =16
12 2
20

1667 33689
- +24=272 S =272
12 3*4 3
336 70

1667 33689 7089 - + -24=7936 S =7936
12 34 56 4
9792 2016 168

79361011 97921011 20161011 1681011 - + - +25=353792 S =7936
12 34 56 78 5
436480 89760 7392 330 当67.5°≥θ>45°时 lnsecθ=lnsec(2θ-90°)-lnsec(90°-θ)+ln2, 当78.75°>θ≥67.5°时 lnsecθ=lnsec[2(2θ-90°)-90°]-lnsec2(90°-θ)-lnsec(90°-θ)+2ln2, 当84.375°>θ≥78.75°时 lnsecθ=lnsec[2[2(2θ-90°)-90°]-90°]-lnsec4(90°-θ)-lnsec2(90°-θ)-lnsec(90°-θ)+3ln2, 当85.375°>θ≥84.375°时 lnsecθ=lnsec[2[2[2(2θ-90°)-90°]-90°]-90°]-lnsec6(90°-θ)-lnsec4(90°-θ)-lnsec2(90°-θ)-lnsec(90°-θ)+4ln2, 当86.375°>θ≥85.375°时, lnsecθ=lnsec[2[2[2[2(2θ-90°)-90°]-90°]-90°]-90°]-lnsec8(90°-θ)-lnsec6(90°-θ)-lnsec4(90°-θ)-lnsec2(90°-θ)-lnsec(90°-θ)+5ln2, 当87.375°>θ≥86.375°时, lnsecθ=lnsec[2[2[2[2[2(2θ-90°)-90°]-90°]-90°]-90°]-90°]-lnsec8(90°-θ)-lnsec8(90°-θ)-lnsec6(90°-θ)-lnsec4(90°-θ)-lnsec2(90°-θ)-lnsec(90°-θ)+6ln2, 当88.375°>θ≥87.375°时, lnsecθ=lnsec[2[2[2[2[2[2(2θ-90°)-90°]-90°]-90°]-90°]-90°]-90°]-lnsec12(90°-θ)-lnsec10(90°-θ)-lnsec8(90°-θ)-lnsec6(90°-θ)-lnsec4(90°-θ)-lnsec2(90°-θ)-lnsec(90°-θ)+7ln2, 所以, f(x)=ln sec a+C= 2 4 6 8
a a 2 a 2 16 a 2 16 272 + + +
2 2 34 2 34 56 2 34 56 78 所以, f(x)=lnseca+C-lncosa+C= 2 4 6 2m a a a m a 2m+1 -ln[1- + - -...+(-1) +o(a )]
2! 4! 6! (2m)!
因为, y=tga, 所以, a=arctgy,所以, f(x)=ln sec a+C= 2 4 6 8
arctg y arctg y 2 arctg y 2 16 arctg y 2 16 272 + + +
2 2 34 2 34 56 2 34 56 7*8 所以, f(x)=lnseca+C=-lncosa+C=

     2         4            6               2m
 arctg  y`   arctg  y`    arctg  y`         arctg  y`      2m+1

-ln[1- + - -...+(-1) +o(arctg y` )]+C
2! 4! 6! (2m)!
上式中

        2        3              4                     5        
       (1-N)     (1-N)     2     (1-N)    2     3      (1-N)    2     3     4

lnN=[(1-N)+ + + +
2 2 3 2 3 4 2 3 4 5 n
(1-N) 2 3 4 n-1
+..+ … ] 2 3 4 5 n
上式中，N<1 当N>1时， m
lgN=m-[(1-N/10 )+

   m   2       m   3               m  4                  m   5

(1-N/10 ) (1-N/10 ) 2 (1-N/10 ) 2 3 (1-N/10 ) 2 3 4

  •                +                      +

    2 2 3 2 3 4 2 3 4 5

        m  n

    (1-N/10 ) 2 3 4 n-1
    +..+ … ] 2 3 4 5 n

         m

上式中，N/10 <1 例如： 推导过程可参见《微积分学导论》，1958年版，曹一华，江体乾编译

            3                    3         3

例2. x 1+x dx,设1+x=t ,有x=t -1

            3                    3         3                6    3          
 x       1+x    dx=     (t    -1)t*3t    dt=3        (t    -t    )dt=

        
7       4       3        7      3       4

=3t /7-3t /4+C=3 (1+x) /7-3 (1+x) /4+C

解法2，根据上面的公式，

            3                   
    x       1+x    dx

  =ln sec a+C=
  2         4                 6                       8

arctg y arctg y 2 arctg y 2 16 arctg y 2 16 272 + + +
2 2 34 2 34 56 2 34 56 78

  3       2      3       4             3       6

arc(x 1+x ) arc(x 1+x ) 2 arc(x 1+x ) 2 16
= + + + 2 2 34 2 34 5*6

  3       2

arc(x 1+x ) 2 16 272

2 34 56 7*8

解法3，根据上面的公式，

            3                   
    x       1+x    dx

  =-ln cos a+C=

     2         4            6               2m
 arctg  y`   arctg  y`    arctg  y`         arctg  y`      2m+1

-ln[1- + - -...+(-1) +o(arctg y` )]+C
2! 4! 6! (2m)!

      3        2        3       4        3        6             3       2m
 arc(x    1+x  )    arc(x    1+x  )    arc(x    1+x  )          arc(x    1+x  )

-ln[1- + - -...+(-1)
2! 4! 6! (2m)!

     3        2m+1

+o(arc(x 1+x )) ]+C

在几何上，就是我们只限于取y=-π/2到π/2之间的一部分图形。因为函数y=arctgx与x=tgy互为反函数，所以， y =1/x x y 也就是说原函数的导数等于1除以反函数的导数, 上面等式左右两边同时积分，得

y dx= dy/x x y

y =ln│x │+C x y 也就是说原函数等于反函数绝对值的自然对数, -1
设y =f(x),反函数为x =f (y) x y -1
f(x)=ln│f (y)│+C
因为, f(x)=-lncosa+C= 2 4 6
a a a 6 = + + +o(a )
2 12 40
上式中tga=y=f(x)=y/x, f(x)=-lncosa+C= 2 4 6
a a a 6 -1
= + + +o(a ) =ln│f (y)│+C
2 12 40

              2        4       6              
            a        a       a                     
[       +        +       ]

-1 2 12 40
f (y)=e

同理可证 2 4 6
b b b
[ + + ]
-1 2 12 45
f (x)=e 上式中 -1
tgb=f (y)=x/y 第二部分通过导数斜率计算积分的方法 推导过程可参见1992年版《高等数学》，盛祥耀主编，高等教育出版社出版 一个函数y=f(x)的导数等于函数图像某点切线的斜率tga=y=f`(x)=u(x)=y/x， 函数f(x)的导数u(x)等于切线的斜率tga=u(x)，tga=sina/cosa， 根据泰勒展开 3 5 7 2m a a a m-1 a 2m sina=a- + - -...+(-1) +o(a ) (a→0)
3! 5! 7! (2m)!

        2        4        6               2m
       a        a       a           m   a          2m+1

cosa=1- + - -...+(-1) +o(a ) (a→0)
2! 4! 6! (2m)!

        3        5        7               2m+1
       a        a       a           m   a          2m+2

arc tg a=a- + - -...+(-1) +o(a ) (a→0)
3 5 7 (2m+1)!
可参见高等教育出版社菲赫金哥尔茨著1953年版《微积分教程》第一卷第一分册 3
a 4 tg a=a+ +o(a ) 3

        3        
       a           4

u(x)=a+ +o(a ) 3
或者， 推导过程可参见三角函数计算页 u(x)=tgα=2√2kα/π， 上式中，k=1.3，或， 3 2
k=0.33α +0.5α +α+1 或者， 推导过程可参见《古今算学丛书，圆率考真》，光绪戊戌六月算学书局印， 推导过程参见三角函数的求法缀术页，

                                2    2            
          4α/π(2-8√2α/π+32α  /π   )

tgα=sinα/cosα= 当60°<α≤90°时，
2 2
1-4α/π(2-8√2α/π+32α /π )

                                   2    2            
          α3√3/π(2-6√6α/π+54α   /π   )

tgα=sinα/cosα= 当30°<α≤60°时， 2 2
1-α3√3/π(2-6√6α/π+54α /π )

                                   2    2            
           α3√2/π(2-12α/π+36α   /π   )

tgα=sinα/cosα= 当0°<α≤30°时，
2 2
1-α3√2/π(2-12α/π+36α /π )
或者， 可参见高等教育出版社菲赫金哥尔茨著1953年版《微积分教程》第一卷第一分册， 推导过程参见惠更斯公式页，

                  2               2 
             8+6α   ±2     4-2(-3α    +16)

tgα=sinα/cosα= 2
2± 4-2(-3α +16) 或者， 推导过程参见《数学拾遗》，清同治十二年荷池精舍出版，丁取忠编撰， 收录于《白芙堂算学丛书》，推导过程参见数学拾遗页， 4 3 2
tgα≈7.5*(0.3α +0.2α +0.2α +0.2α+1)/2*1.01537228απ 或者 3 5 7
α α α
tgα=α+ + +
3 60 630

或者 tga=sina/cosa= 3 5 7 2m a a a m-1 a 2m a- + - -...+(-1) +o(a )
3! 5! 7! (2m)!

        2        4        6               2m
       a        a       a           m   a          2m+1

1- + - -...+(-1) +o(a )
2! 4! 6! (2m)!

        3        5        7                2m
       a        a       a           m-1   a         2m

a- + - -...+(-1) +o(a )
3! 5! 7! (2m)!
u(x)= 2 4 6 2m a a a m a 2m+1 1- + - -...+(-1) +o(a )
2! 4! 6! (2m)!
设u(x)=t,得 3
a 4 t=a+ +o(a ) 3
或者,

        3        5        7                2m
       a        a       a           m-1   a         2m

a- + - -...+(-1) +o(a )
3! 5! 7! (2m-1)!
t= 2 4 6 2m a a a m a 2m+1 1- + - -...+(-1) +o(a )
2! 4! 6! (2m)!
解上面的方程，得到t关于a的函数a=φ[t], a=φ[u(x)], a=φ[t], 3 a +3a-3t=0 根据一元三次立方根的卡尔丹公式, 3
方程x +px+q=0的解有三个分别是

    3                           3               
                                       
                 2       3                    2        3                           
      -q        q       p            q        q       p

x = + + + - - +
1 2 4 27 2 4 27

    3                           3               
                                       
                 2       3                    2        3                           
      -q        q       p     2     q        q       p

x =ε + + +ε - - +
2 2 4 27 2 4 27

    3                           3               
                                       
                 2       3                    2        3                           
   2   -q        q       p          q        q       p

x =ε + + +ε - - +
3 2 4 27 2 4 27

其中, 3 ε =1, 因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是 ε =1, ε =-1/2+i√3/2, ε =-1/2+i√3/2, 0 1 2 推导过程可参见7.复数的方根, 根据上面的卡但公式，得 3
方程a +3a-3t=0的解有三个分别是, 其中p=3,q=-3t,

    3                           3               
                                       
                 2                           2                                  
      3t       9t      27           3t       9t       27

a =φ[t]= + + + - +
0 2 4 27 2 4 27

    3                           3               
                                       
                 2                           2                                 
      3t       9t       27     2     3t      9t      27

a =φ[t]=ε + + +ε - +
1 2 4 27 2 4 27

    3                           3               
                                       
                 2                           2                                 
   2   3t      9t      27           3t       9t      27

a =φ[t]=ε + + +ε - +
2 2 4 27 2 4 27

因为函数y=f(x)的导数是斜率tga，即 tga=y/x, 因为, a=φ(t), u(x)=t, 所以, a=φ[u(x)], tga=tg{φ[u(x)]}=y/x, y=xtga=xtg{φ[u(x)]}=xtg[φ(t)] y=xtga= 3 3

                 2       3                    2        3                           
      3t        q       p            3t      q       p

x*tg{ + + + - +
2 4 27 2 4 27

或, y=x*tga=

    3                           3               
                                       
                 2                           2                                 
      3t       9t       27     2     3t      9t      27

xtg{ε + + +ε - + } 2 4 27 2 4 27
或, y=xtga=

    3                           3               
                                       
                 2                           2                                 
   2   3t      9t      27          3t        9t      27

x*tg{ε + + +ε - - + } 2 4 27 2 4 27

上式中， 3
a 4 t=a+ +o(a ) 3
这样就得到由导数的斜率tga构成的原函数y，也就是通过上面的办法通过导数u(x)计算得到原函数f(x)，这样就得到由原函数f(x)构成的导数u(x)，也就是通过上面的办法通过原函数f(x)计算得到导数u(x)，

导数计算公式： 因为， tga=tgφ[u(x)]=y/x， arctg(y/x)=φ[u(x)]=a， 因为u(x)=t, 3
a 4 u(x)=t=a+ +o(a ) 3
或，u(x)=tgα=2√2kα/π， 上式中，k=1.3， 或， 3 2
k=0.33α +0.5α +α+1 或 推导过程可参见《古今算学丛书，圆率考真》，光绪戊戌六月算学书局印， 详细推导过程可参见《古今算学丛书，切线求弧》和缀术页， 推导过程参见三角函数的求法缀术页， 2 2
4α/π(2-8√2α/π+32α /π )
tgα=sinα/cosα= 当60°<α≤90°时，
2 2
1-4α/π(2-8√2α/π+32α /π )

                                   2    2            
          α3√3/π(2-6√6α/π+54α   /π   )

tgα=sinα/cosα= 当30°<α≤60°时， 2 2
1-α3√3/π(2-6√6α/π+54α /π )

                                   2    2            
           α3√2/π(2-12α/π+36α   /π   )

tgα=sinα/cosα= 当0°<α≤30°时， 2 2
1-α3√2/π(2-12α/π+36α /π )
或，

        3        5        7                2m-1
       a        a       a           m-1   a         2m

a- + - -...+(-1) +o(a )
3! 5! 7! (2m)!
u(x)=t= 2 4 6 2m a a a m a 2m+1 1- + - -...+(-1) +o(a )
2! 4! 6! (2m)!
因为, tga=y=f(x)=u(x) 3
arctg (y/x)
y`=u(x)=t=arctg(y/x)+ 3

                 3         5          7                        2m-1
             arctg(y/x)   arctg(y/x)   arctg(y/x)         m-1  arctg(y/x)    2m

arctg(y/x)- + - -...+(-1) +o(a )
3! 5! 7! (2m-1)!
y=u(x)=t= 3 4 6 2m arctg(y/x) arctg(y/x) arctg(y/x) m arctg(y/x) 2m+1 1- + - -...+(-1) +o(a ) 2! 4! 6! (2m-1)! 这样就得到由原函数y构成的导数y,也就是通过上面的办法通过原函数y计算得到导数y`,所以,

    3        
 a       4

a+ +o(a )= 3

                 3         5          7                     2m-1
             arctg(y/x)   arctg(y/x)   arctg(y/x)         m-1  arctg(y/x)    2m

arctg(y/x)- + - -...+(-1) +o(a )
3! 5! 7! (2m-1)!

                 3         4          6                    2m
             arctg(y/x)   arctg(y/x)   arctg(y/x)         m  arctg(y/x)    2m+1

1- + - -...+(-1) +o(a )
2! 4! 6! (2m-1)!

    3        
 a       4

a+ +o(a )=t, 3

    3        
 a

a+ -t=0, 3

3 a +3a-3t=0, 解这个一元三次方程式得,

    3                           3               
                                       
                 2                           2                                  
      3t       9t      27           3t       9t       27

a =φ[t]= + + + - +
0 2 4 27 2 4 27

    3                           3               
                                       
                 2                           2                                 
      3t       9t       27     2     3t      9t      27

a =φ[t]=ε + + +ε - +
1 2 4 27 2 4 27

    3                           3               
                                       
                 2                           2                                 
   2   3t      9t      27           3t       9t      27

a =φ[t]=ε + + +ε - +
2 2 4 27 2 4 27

其中, 3 ε =1, 因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是 ε =1, ε =-1/2+i√3/2, ε =-1/2+i√3/2, 0 1 2 推导过程可参见7.复数的方根, 上式中,

                 3         5          7                     2m-1
             arctg(y/x)   arctg(y/x)   arctg(y/x)         m-1  arctg(y/x)    2m

arctg(y/x)- + - -...+(-1) +o(a )
3! 5! 7! (2m-1)!
t= 3 4 6 2m arctg(y/x) arctg(y/x) arctg(y/x) m arctg(y/x) 2m+1 1- + - -...+(-1) +o(a )
2! 4! 6! (2m-1)!
或者， 3
a 4 t=a+ +o(a ) 3
3
arctg (y/x)
t= arctg(y/x) +
3

因为, tga=y=f(x), 所以, tga=y=f(x)= 3 3

                 2                           2                                  
      3t       9t      27           3t       9t       27

tg[ + + + - +
2 4 27 2 4 27

tga=y=f(x)=

    3                           3               
                                       
                 2                           2                                 
      3t       9t       27     2     3t      9t      27

tg[ε + + +ε - +
2 4 27 2 4 27

tga=y=f(x)= 3 3

                 2                           2                                 
   2   3t      9t      27           3t       9t      27

tg[ε + + +ε - +
2 4 27 2 4 27

上式中,

                 3         5          7                     2m-1
             arctg(y/x)   arctg(y/x)   arctg(y/x)         m-1  arctg(y/x)    2m

arctg(y/x)- + - -...+(-1) +o(a )
3! 5! 7! (2m-1)!
t= 3 4 6 2m arctg(y/x) arctg(y/x) arctg(y/x) m arctg(y/x) 2m+1 1- + - -...+(-1) +o(a )
2! 4! 6! (2m-1)!
或者， 3
a 4 t=a+ +o(a ) 3

                   3        
              arctg    (y/x)

t= arctg(y/x) +
3

这样就得到由原函数y构成的导数y，也就是通过上面的办法通过原函数y计算得到导数y， 例如： 推导过程可参见《微积分学导论》，1958年版，曹一华，江体乾编译， 例1. √x
e
dx √x

  2

设x=t ,则有

        √x              t
       e               e                 t       t         √x                     
       dx=            2tdt=2       e   dt=2e    +C=2e      +C
   √x             t

解法2，用上面的公式求解 y=x*tga=

    3                           3               
                                       
                 2                           2                                  
      3t       9t      27           3t       9t       27

x*tg{ + + + - + } 2 4 27 2 4 27

上式中 3
a 4 t=a+ +o(a ) 3

                   3        
              arctg    (y/x)

t= arctg(y/x) +
3

因为, y=tga, a=arctgy, 所以, 3 √x x√x
arctg y e e t=arctgy+ = +
3 √x 3x√x y=x*tga=

3

                                     √x      x√x          
                                   e        e      2
         √x      x√x         9(       +         )                            
      3e        e                √x       3x√x         27

x*tg{ + + +
2√x 2x√x 4 27

   3

                                     √x      x√x          
                                   e        e      2
         √x      x√x         9(       +         )                            
      3e        e                √x       3x√x         27  

  •      +        -                            +         
    2√x     2x√x                    4                27

所以,

                 3         5          7                     2m-1
             arctg(y/x)   arctg(y/x)   arctg(y/x)         m-1  arctg(y/x)    2m

arctg(y/x)- + - -...+(-1) +o(a )
3! 5! 7! (2m-1)!
y`=u(x)=t= 3 4 6 2m arctg(y/x) arctg(y/x) arctg(y/x) m arctg(y/x) 2m+1 1- + - -...+(-1) +o(a )
2! 4! 6! (2m-1)!

               3  √x       5    √x        7    √x          2m-1  √x
  √x      arctg (2e   /x)  arctg (2e   /x)   arctg (2e   /x)       arctg (2e   /x)

arctg (2e /x)- + - -...+(-1)
3! 5! 7! (2m-1)!

              2  √x        4   √x        6   √x            2m  √x
          arctg (2e   /x)  arctg (2e   /x)   arctg (2e   /x)       arctg (2e   /x)

1- + - -...+(-1)
3! 5! 7! (2m)!
所以, tga=y=f(x)=

    3                           3               
                                       
                 2                           2                                  
      3t       9t      27           3t       9t       27

tg[ + + + - + ] 2 4 27 2 4 27

上式中, 3 5 7 2m-1 arctg(y/x) arctg(y/x) arctg(y/x) m-1 arctg(y/x) 2m arctg(y/x)- + - -...+(-1) +o(a )
3! 5! 7! (2m-1)!
t= 3 4 6 2m arctg(y/x) arctg(y/x) arctg(y/x) m arctg(y/x) 2m+1 1- + - -...+(-1) +o(a )
2! 4! 6! (2m-1)!

               3  √x       5    √x        7    √x          2m-1  √x
  √x      arctg (2e   /x)  arctg (2e   /x)   arctg (2e   /x)       arctg (2e   /x)

arctg (2e /x)- + - -...+(-1)
3! 5! 7! (2m-1)!

              2  √x        4   √x        6   √x            2m  √x
          arctg (2e   /x)  arctg (2e   /x)   arctg (2e   /x)       arctg (2e   /x)

1- + - -...+(-1)
3! 5! 7! (2m)!
或者 3
arctg (y/x)
t=arctg(y/x)+ 3

                   3      √x             
     √x        arctg   (2e   /x)

t=arctg(2e /x)+ 3

推导过程可参见А.Г.УРОШ库洛什著高等代数教程1953年版， 41.三次与四次方程， 说明，计算一元三次立方根的卡尔丹公式如下： 3 2
y +ay +by+c=0 (1) 设y=x+h,得 3 2
(x+h) +a(x+h) +b(x+h)+c=0 3 2 2 3
x +(3h+a)x +(3h +2ah+b)x+h +bh+c=0 上面方程可转化为, 3
x +px+q=0 (3) 其中, y=x-a/3, (2) h=-a/3, 2 2
p=3h +b+2ah=b-a /3,

3        3

q=h +bh+c=-a /27-ab/3+c, 只要求得方程(3)的根，那么我们根据(2)就可以得到方程(1)的根, 根据基本定理方程(3)有三个复数根，设x0是其中一个, 我们引入辅组未知量u来讨论多项式, 2 f(u)=u -x0u-p/3, 它的系数为复数，故有两个复数根α和β。而且由韦达公式，得, α+β=x0 (4)
αβ=-p/3 (5) 以根x0的表达式(4)代(3)中，我们得出： 3
(α+β) +p(α+β)+q=0, 或, 3 3
α +β +(3αβ+p)(α+β)+q=0, 但由(5)得3αβ+p，故有, 3 3
α +β =-q (6) 另一方面，由(5)推得, 3 3 3
α β =-p /27 (7)

                   3    3

等式(6)与(7)证明了，数α 和β 是系数为复数的二次方程, 3
2 p
z +qz- =0 (8) 27 的根, 解方程(8)，我们得到：

                2       3                                                       
  q           q       p

z =- ± +
2 4 27

3          
                                       
                2       3                                                       
     q         q       p

α= - ± +
2 4 27

3          
                                       
                2       3                                                       
    q         q       p

β= - ± + (9) 2 4 27

注意：因α和β在等式(6)和(7)中，同时在x0的表达式(4)中，都是对称的, 3 3
故对方程的根(S)的根，以何者为α 何者为β 是没有什么分别的。这就是说α，β可以相互交换位置，得到的计算结果不变. 即, 3

                2       3                                                       
     q         q       p

β= - ± +
2 4 27

3          
                                       
                2       3                                                       
    q         q       p

α= - ± + (9) 2 4 27
或,

 3          
                                       
                2       3                                                       
     q         q       p

α= - ± +
2 4 27

3          
                                       
                2       3                                                       
    q         q       p

β= - ± + (9) 2 4 27
两者的计算结果是相同的, 我们得到次之卡尔丹公式，把方程(3)的根经其系数用平方根与立方根来表出： 3 3

                 2       3                    2        3                           
      q        q       p            q        q       p

x0=α+β= + + + - + +
2 4 27 2 4 27
因立方根在复数域中有三个值，所以(9)式给予α三个值与β三个值。 注意：ε是1的立方根，即 3 ε =1, 因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是 ε =1, ε =-1/2+i√3/2, ε =-1/2+i√3/2, 0 1 2
下面内容为插叙 推导过程可参见А.Г.УРОШ库洛什著高等代数教程1953年版, 7.复数的方根,

在几何上，就是我们只限于取y=-π/2到π/2之间的一部分图形。因为函数y=arctgx与x=tgy互为反函数，所以， y =1/x x y 也就是说原函数的导数等于1除以反函数的导数, 也可以认为，反函数的导数等于1除以原函数的导数, x =1/y y x 因为,

                    3         
               arctg   (y/x)

y`=u(x)=t=arctg(y/x)+ 3

所以, 1 x =1/y = y x 3
arctg (y/x) arctg(y/x)+ 3 推导过程参见《微积概要》国立中山大学学院院长何衍睿，李铭槃，苗文绥，合编，1935年版，商务印书馆出版, 因为, m m(m-1) 2 m(m-1)...(m-n+1) n 2n+2 (1+x) =1+mx+ x +…+ x +o(x )
12 12...n

          2

所以,当x =-x ,m=-1/2时，有

1           1    2   1*3     4      1*3*….(2n-1)     2n     2n+2

=1+ x + x +…+ x +o(x )
2 2 24 24*…2n 1-x

两边积分得 3 5 2n+1
1 x 13 x 13*….(2n-1) x 2n+2 arc sin x=x+ + +…+ +o(x )
2 3 24 5 24*…2n 2n+1
在区间(-π/2,+π/2), 3 5 7 2n+1 x x x n x 2n+2 arc tg x=x- + - -...+(-1) +o(a )
3 5 7 2n+1
当x=1时，由上式可得,

π 1 1 1 n 1
=1 - + - -...+(-1) +… 4 3 5 7 2n+1

          1      2        3            n

x x x x x n+1
e =1 + + + +...+ +o(x ) 1 12 12*3 n!

     loga    x    xloga

因为a=e , a =e 所以, 2 2 n n x xloga x (loga) x (loga) n+1
a =1 + + +...+ +o(x ) 1 2! n!

                2      3      5                   2n+1

1-x π x x n-1 x 2n+2
arctan = -x+ - +...+ (-1) +o(x ) 1+x 4 3 5 2n+1
在区间(-π/2,+π/2)

1

1-x 1 1 1`
dx=1+ + +...+ 其中m为正整数│x│<1
0 1+x 2 3 m

          2        4      6              
sinx      x        x      x

log =(- + - +…) x 3! 5! 7!

          2       4      6              
 1      x       x       x        2   

  • (-       +       -        +…)

2 3! 5! 7!

          2       4      6              
 1      x       x       x        3   

  • (-       +       -        +…)

3 3! 5! 7!

               2       4      6              
 n+1  1      x       x       x        n

-...+(-1) (- + - +…) n 3! 5! 7!

                                              n+1  2n+2  (n+1)  x+θx  2               
1                  2             n  2n  (n)     (-1)    x     f    [      ]

x x (-1) x f (x) 1+n
( )dx=f(x)- f``(x)+...+ +
0 1+x 1+x n n+1 (1+x) (1+x) (n+1)! 求 1
log(1+x)

0    1+x

推导过程可参见1934年商务印书馆出版《大学丛书高等算学分析》，熊庆来著 推导过程可参见1937年版《大学丛书微积分学》，孙光元，孙权平著 3 5 2n+1
1 x 13 x 13*….(2n-1) x 2n+2 arc sin x=x+ + +…+ +o(x )
2 3 24 5 24*…2n 2n+1

        3        5        7                2n+1
       x        x        x           n    x         2n+2

arc tg x=x- + - -...+(-1) +o(a )
3 5 7 2n+1

1 2 2
=1-x+x +o(x ） 1+x

       1         3    2         n+1  1*3*….(2n-1)  n     2n+2

1+x =1+ x - x +…+(-1) x +o(x )
2 8 24…*2n

1           1         3    2         n   1*3*….(2n-1)  n     2n+2

=1- x + x +…+(-1) x +o(x )
2 8 24…*2n 1+x

可参见高等教育出版社菲赫金哥尔茨著1953年版《微积分教程》第一卷第一分册 4)今考察幂函数x , 此处m非自然数也非零。在这情形，当x→0时，或则函数本身（若m<0），或则它的导数（从某一个n>m阶开始）无限地增大。因此，在此处已不能取x =0. m 0 取x =1，即依(x-1)的幂而展开x . 0 如前所述，我们可以把x-1当做新的变量，但若我们仍旧用x来记这新的变量，则问题就成 m 为依x的幂而展开函数（1+x） 了。我们知道任意阶导数的普遍公式116,2）, 详细内容见任意阶导数的普遍公式. (k) m-k
f (x)=m(m-1)...(m-k+1)(1+x) (k)
因此f(0)=1,f (0)=m(m-1)...(m-k+1) 展开式的形式就是 m m(m-1) 2 m(m-1)...(m-n+1) n n (1+x) =1+mx+ x +…+ x +o(x )
12 12...n 特别情形，例如在n=2及m=-1,1/2,-1/2时，就有 1 2 2 =1-x+x +o(x ) 1+x

     1       1   2     2

1+x=1+ x- x +o(x ) 2 8

1 1 3 2 2 =1+ x- x +o(x ) 1+x 2 8 3 x 在这些展开式中，第一式很容易由初等方法得出；此处的余项实即 1+x 至于第二式及第三式就需要更长的计算。比较63无穷小和无穷大的分级中的主部的分出 5)若转而讨论对数函数ln x，它在x→+0时趋向于-∞，所以仿照前例，我们只能考察函数. f(x)=ln(1+x) 并且依x的幂展开它。那时任意导数的普遍公式116,3)

       k-1

(k) (-1) (k-1)!
f (x)= k (1+x)

    (k)     k-1

f(0)=0, f (0)=(-1) (k-1)! 注;记号0！我们永远理解为1 由此 2 3 n x x n-1 x n
ln(1+x) =x- + -......+ (-1) +o(x ) 2 3 n

6)今设f(x)=arc tg x, 我们在莱伯尼兹公式例题118.4)中已得到它的导数在x=0时的数值： (2m) (2m-1) m-1 f(x) (0)=0, f(x) (0)=(-1) (2m-2)! 根据戴劳公式（11），可得 (n)
f`(0) f``(0) 2 f```(0) 3 f (0) n n arc tg x=f(0)+ x+ x + x +…+ x +o(x )
1! 2! 3! n!

             1-1  (2*1-2)!   0   2    2-1  (2*2-2)!  3      n-1 (2*n-1)! n    n

arc tg x= arc tg 0 + (-1) x+ x +(-1) x +…+(-1) x + o(x )
1! 2! 3! n!

于是它的展开式可表示为 3 5 2m-1 x x m-1 x 2m
arc tg x=x- + -......+ (-1) +o(x ) 3 5 2m-1 6a)今设f(x)=arc ctg x, 我们在莱伯尼兹公式例题118.4a)中已得到它的导数在x=0时的数值： (2m) (2m-1) m-1 f(x) (0)=0, （当2m为偶数时）f(x) (0)=(-1) (2m-2)!, （当2m-1为奇数时） 根据戴劳公式（11），可得 (n)
f`(0) f``(0) 2 f```(0) 3 f (0) n n arc ctg x=f(0)+ x+ x + x +…+ x +o(x )
1! 2! 3! n!

              1  (2*1-2)!    0   2    2  (2*2-2)!   3      m-1  (2*m-1)!  n  n

arc ctg x= arcctg 0 + (-1) x+ x +(-1) x +…+(-1) x + o(x )
1! 2! 3! n!

于是它的展开式可表示为 3 5 2m-1 x x m x 2m
arcc tg x=-x+ - -......+ (-1) +o(x ) 3 5 2m-1

6b)今设f(x)=arc sin x, 我们在莱伯尼兹公式例题118.5)中已得到它的导数在x=0时的数值： (2m) (2m-1) m-1 2 2 2 m-1 2 f (0)=0, f (0)=(-1) 1 3 ...(2m-1) =(-1) [(2m-1)!!] 于是它的展开式可表示为
(n)
f`(0) f``(0) 2 f```(0) 3 f (0) n n arc sin x=f(0)+ x+ x + x +…+ x +o(x )
1! 2! 3! n!
2 2 2
1-1 (21-1)!! 0 2 2-1 (22-1)!! 3 (2n-1)!! n n arc sin x= arc sin 0 + (-1) x+ x +(-1) x +…+ x + o(x )
1! 2! 3! n!

                                                         2
             (2*1-1)!!     0   2    2!!* 2!!   3      (2*n-1)!   n    n

arc sin x= arc sin 0 - x+ x - x +…+ x + o(x )
1! 2! 2!! 3!! n!

于是它的展开式可表示为 3 5 2m-1 2!! x 4!!x m-1 (2m-2)!! x 2m
arc sin x=x- + -......+（-1） +o(x ) 3!! 5!! (2m-1)!! 注note;5!!=135,6!!=246 6c)今设f(x)=arc cos x, 我们在莱伯尼兹公式例题118.5b)中已得到它的导数在x=0时的数值： (2m-1) (2m) m 2 2 2 m 2 f (0)=0, f (0)= (-1) 3 *5 ...(2m-3) =(-1) [(2m-3)!!] 于是它的展开式可表示为
(n)
f`(0) f``(0) 2 f```(0) 3 f (0) n n arc cos x=f(0)+ x+ x + x +…+ x +o(x )
1! 2! 3! n!

                           2                          2            
               0    (2*1-1)!!  2    0  3        (2*n-1)!!   n     n

arc cos x= arc cos 0 + x+ x + x +…+ x + o(x )
1! 2! 3! n!

                           2                              2
              0      (2*1-1)!!  2   0  3  3!!3!!  4      (2*n-1)!   n     n

arc cos x= arc cos 0 + x- x + x - x +…+ x + o(x )
1! 2! 3!! 3!!4!! n!

于是它的展开式可表示为

         2           3      5                       2m
        x        3!! x    5!!x             m  (2m-1)!! x

arc cos x=1- + - -......+（-1） +o(x ) 2!! 4!! 6!! (2m)!! 注note;5!!=135,6!!=246

7)对于函数f(x)=tg x，戴劳公式的系数构成的规律是较繁复的。但要写出它的为首几项并不困难。例如，因为 2 2
1 2sin x 1+2sin x Ⅳ 2+2sin x
f`(x)= , f(x)= , f(x)=2* , f (x)=8sin x
2 2 4 5
cos x cos x cos x cos x

           Ⅳ

故f(0)=0,f`(0)=1,f``(0)=0,f```(0)=2,f (0)=0,
根据戴劳公式（120a） 3 x 4 tg x=x+ +o(x )或 3

     3       5       7                 2m-1
   2x     4x       6x        m-1  (2m) x           n

tg x=x- + - +…-(-1) + o(x ) (-π/2<x<π/2) 3 5 7 2m-1

例如 tg π/4=1 3
0.785339 tg 0.785339=0.785339+ =1.0928 3 例如 tg π/4=1 3 5 7
20.785339 40.785339 60.785339 tg 0.785339=0.785339+ - + =1.0928 3 5 7
利用已知的展开式，就已经可以不用求导数而直接写出较繁复的函数的展开式。例如，前一公式就可以从sin x及cos x的展开式而求得。举几个新的例子，在这时一切x的幂值到指定的幂包括在内为止，我们都要精确计算出来，而更高级的幂（没有写出来的）自然是包括在余项内。 7a)对于函数f(x)=ctg x，戴劳公式的系数构成的规律是较繁复的。但要写出它的为首几项并不困难。例如，因为 2 2
1 2cos x 1+2cos x Ⅳ 2+2cos x
f`(x)=- , f(x)=- , f(x)=-2 , f (x)=-8cos x
2 2 4 5
sin x sin x sin x sin x

                                Ⅳ

故f(π/2)=1,f`(π/2)=-1,f``(π/2)=0,f```(π/2)=-2,f (π/2)=0, 根据戴劳公式(120a)

    3
   x        4

ctg x=x- +o(x )或 3

     3       5       7                 2m-1
   2x     4x       6x        m-1  (2m) x           n

ctg x=x- + - +…-(-1) + o(x ) (0<x<π) 3 5 7 2m-1

例如 ctg π/4=1 3
0.785339 3 ctg 0.785339=0.785339- (0.78533-1.75) =0.93027 3 例如 ctg π/4=1 3 5 7
20.785339 40.785339 6*0.785339 ctg 0.785339=0.785339+ - + =1.0928 3 5 7

     sin x             3

8)写出函数e 的展开式至x 。根据1) sinx 1 2 1 3 3 e =1+sin x+ sin x + sin x + o(sin x ) 2 6

sinx 1 2 1 3 3 e =1+sin x+ sin x + sin x + o(x ) 2 6 3 3
注:原来应写成o(sin x)，但由于x与sin x是等价无穷小，所以写成o(x )是完全一样的。 但依2) 1 3 4 sin x=x- x + o(x ) 6 于是

sin x 1 3 1 2 1 3 3 e =1+(x- x )+ x + x + o(x ) 6 2 6
3 含x 的项互相消去，故最后得

sin x 1 2 3 e =1+x+ x + o(x ) 2 类似地

tg x 1 2 1 3 3 e =1+x+ x + x + o(x ) 2 2
6 9)写出函数ln cos x的展开式至x 的项。根据5)

                         1         2   1         3           3

ln cos x=ln[1+(cos x-1)]=(cos x-1)- (cos x-1) + (cos x-1) + o((cos x-1) ) 2 2

                         1         2   1         3     6

ln cos x=ln[1+(cos x-1)]=(cos x-1)- (cos x-1) + (cos x-1) + o(x ) 2 2 2
注：因为1-cos x与x 同阶，见无穷小及无穷大的分级中的无穷小的尺度， 3 6
故o((cos x-1) )同时就是o(x ) 在这时，由于3),

      1   2      1   4    1   6      7

cos x-1=- x + x - x + o(x ) 2 24 720 由此 1 2 1 4 1 6 1 1 4 1 6 1 1 6 6 ln cos x-1=(- x + x - x )- ( x - x )+ (- x )=o(x ) 2 24 720 2 4 24 3 8
或在化简后 1 2 1 4 1 6 6 ln cos x-1=- x - x - x + o(x ) 2 12 45 类似地

       2     1   3    3    5     5

ln (x+ 1+x =x- x - x + o(x ) 6 40
而

sin x 1 2 1 4 1 6 6 ln =- x - x - x + o(x ) x 6 180 2835 一切这些不直接利用戴劳公式而得出的展开式，当然也可以由戴劳公式求得，并且由于函数的这种展开式的唯一性，也就恰好有着同样的系数。 附注, 因为在这里所考察的函数在点x=0的邻域内都有着任何阶的导数，所以我们在公式

可参见高等教育出版社菲赫金哥尔茨著1953年版《微积分教程》第一卷第一分册 125.例题 若x =0，戴劳公式看来是最简单的： 0 注;这个公式也被冠以马克劳林公式的名字。

                                                (n)
       f`(x   )     f``(x  )        f```(x  )        f   (x  )           
           0          0    2         0    3         0     n     n

f(x)=f(x )+ x+ x + x +…+ (x-x ) +o(x ) (11)
0 1! 2! 3! n!
在取x-x 作为新的自变量之后，一般的戴劳公式总归可以化为这个特别情形的。 0 兹以例题的形式来考察某些初等函数依这公式的具体展开式。 1)设 x f(x)=e ; (k) x 则f (x)=e (k=1,2,3,...) (k)
因为在这时f(0)=1,f （0）=1，故依公式（11）

            0             0  2           0    (n)
 x  0      e  x          e  x           e   x         n

e =e + + +…+ + o(x )
1! 2! n!

                           2              (n)
 x         x              x              x         n

e =1+ + +…+ + o(x )
1! 2! n!
2)若f(x)=sin x，则

(k) π f (x)=sin(x+k* ) 2 (2m) (2m-1) π m-1 ,于是f(0)=0,f (0)=sin mπ=0, f (0)=sin (mπ- )=(-1) (m=1,2,3...) 2 因此，在公式（11）内令n=2m，就有 21-1 22-1 23-1 2m-1 1-1 x 2-1 x 3-1 x m-1 x 2m sin x= (-1) + (-1) + (-1) +…+(-1) +o(x )
(21-1)! (22-1)! (23-1)! (2m-1)!
3 2 2m-1 x x m-1 x 2m sin x =x- + -…+ (-1) +o(x )
3! 5! (2m-1)!
3)类似的，在f(x)=cos x时： (k) π f (x)=cos(x+k* ) 2 (2m) m (2m-1)
, f(0)=1,f (0)=（-1） , f (0)=0 (m=1,2,3...)

这样（若取n=2m+1), 21-1 22 23 2m 1 x 2 x 3 x m x 2m+1 cosx=1+ (-1) + (-1) + (-1) +…+(-1) +o(x )
(21)! (22)! (23)! (2m)!

            2                4                   2m
           x              x                m    x         2m+1

cos x =1- + -…+ (-1) +o(x ) (13) 2! 4! (2m)!

            m

4)今考察幂函数x , 此处m非自然数也非零。在这情形，当x→0时，或则函数本身（若m<0），或则它的导数（从某一个n>m阶开始）无限地增大。因此，在此处已不能取x =0. m 0 取x =1，即依(x-1)的幂而展开x . 0 如前所述，我们可以把x-1当做新的变量，但若我们仍旧用x来记这新的变量，则问题就成 m 为依x的幂而展开函数（1+x） 了。我们知道任意阶导数的普遍公式116,2）, 详细内容见任意阶导数的普遍公式. (k) m-k
f (x)=m(m-1)...(m-k+1)(1+x) (k)
因此f(0)=1,f (0)=m(m-1)...(m-k+1) 展开式的形式就是 m m(m-1) 2 m(m-1)...(m-n+1) n n (1+x) =1+mx+ x +…+ x +o(x )
12 12...n 特别情形，例如在n=2及m=-1,1/2,-1/2时，就有 1 2 2 =1-x+x +o(x ) 1+x

     1       1   2     2

1+x=1+ x- x +o(x ) 2 8

1 1 3 2 2 =1+ x- x +o(x ) 1+x 2 8 3 x 在这些展开式中，第一式很容易由初等方法得出；此处的余项实即 1+x 至于第二式及第三式就需要更长的计算。比较63无穷小和无穷大的分级中的主部的分出 5)若转而讨论对数函数ln x，它在x→+0时趋向于-∞，所以仿照前例，我们只能考察函数. f(x)=ln(1+x) 并且依x的幂展开它。那时任意导数的普遍公式116,3)

       k-1

(k) (-1) (k-1)!
f (x)= k (1+x)

    (k)     k-1

f(0)=0, f (0)=(-1) (k-1)! 注;记号0！我们永远理解为1 由此 2 3 n x x n-1 x n
ln(1+x) =x- + -......+ (-1) +o(x ) 2 3 n

6)今设f(x)=arc tg x, 我们在莱伯尼兹公式例题118.4)中已得到它的导数在x=0时的数值： (2m) (2m-1) m-1 f(x) (0)=0, f(x) (0)=(-1) (2m-2)! 根据戴劳公式（11），可得 (n)
f`(0) f``(0) 2 f```(0) 3 f (0) n n arc tg x=f(0)+ x+ x + x +…+ x +o(x )
1! 2! 3! n!

             1-1  (2*1-2)!   0   2    2-1  (2*2-2)!  3      n-1 (2*n-1)! n    n

arc tg x= arc tg 0 + (-1) x+ x +(-1) x +…+(-1) x + o(x )
1! 2! 3! n!

于是它的展开式可表示为 3 5 2m-1 x x m-1 x 2m
arc tg x=x- + -......+ (-1) +o(x ) 3 5 2m-1 6a)今设f(x)=arc ctg x, 我们在莱伯尼兹公式例题118.4a)中已得到它的导数在x=0时的数值： (2m) (2m-1) m-1 f(x) (0)=0, （当2m为偶数时）f(x) (0)=(-1) (2m-2)!, （当2m-1为奇数时） 根据戴劳公式（11），可得 (n)
f`(0) f``(0) 2 f```(0) 3 f (0) n n arc ctg x=f(0)+ x+ x + x +…+ x +o(x )
1! 2! 3! n!

              1  (2*1-2)!    0   2    2  (2*2-2)!   3      m-1  (2*m-1)!  n  n

arc ctg x= arcctg 0 + (-1) x+ x +(-1) x +…+(-1) x + o(x )
1! 2! 3! n!

于是它的展开式可表示为 3 5 2m-1 x x m x 2m
arcc tg x=-x+ - -......+ (-1) +o(x ) 3 5 2m-1

6b)今设f(x)=arc sin x, 我们在莱伯尼兹公式例题118.5)中已得到它的导数在x=0时的数值： (2m) (2m-1) m-1 2 2 2 m-1 2 f (0)=0, f (0)=(-1) 1 3 ...(2m-1) =(-1) [(2m-1)!!] 于是它的展开式可表示为
(n)
f`(0) f``(0) 2 f```(0) 3 f (0) n n arc sin x=f(0)+ x+ x + x +…+ x +o(x )
1! 2! 3! n!
2 2 2
1-1 (21-1)!! 0 2 2-1 (22-1)!! 3 (2n-1)!! n n arc sin x= arc sin 0 + (-1) x+ x +(-1) x +…+ x + o(x )
1! 2! 3! n!

                                                         2
             (2*1-1)!!     0   2    2!!* 2!!   3      (2*n-1)!   n    n

arc sin x= arc sin 0 - x+ x - x +…+ x + o(x )
1! 2! 2!! 3!! n!

于是它的展开式可表示为 3 5 2m-1 2!! x 4!!x m-1 (2m-2)!! x 2m
arc sin x=x- + -......+（-1） +o(x ) 3!! 5!! (2m-1)!! 注note;5!!=135,6!!=246 6c)今设f(x)=arc cos x, 我们在莱伯尼兹公式例题118.5b)中已得到它的导数在x=0时的数值： (2m-1) (2m) m 2 2 2 m 2 f (0)=0, f (0)= (-1) 3 *5 ...(2m-3) =(-1) [(2m-3)!!] 于是它的展开式可表示为
(n)
f`(0) f``(0) 2 f```(0) 3 f (0) n n arc cos x=f(0)+ x+ x + x +…+ x +o(x )
1! 2! 3! n!

                           2                          2            
               0    (2*1-1)!!  2    0  3        (2*n-1)!!   n     n

arc cos x= arc cos 0 + x+ x + x +…+ x + o(x )
1! 2! 3! n!

                           2                              2
              0      (2*1-1)!!  2   0  3  3!!3!!  4      (2*n-1)!   n     n

arc cos x= arc cos 0 + x- x + x - x +…+ x + o(x )
1! 2! 3!! 3!!4!! n!

于是它的展开式可表示为

         2           3      5                       2m
        x        3!! x    5!!x             m  (2m-1)!! x

arc cos x=1- + - -......+（-1） +o(x ) 2!! 4!! 6!! (2m)!! 注note;5!!=135,6!!=246

7)对于函数f(x)=tg x，戴劳公式的系数构成的规律是较繁复的。但要写出它的为首几项并不困难。例如，因为 2 2
1 2sin x 1+2sin x Ⅳ 2+2sin x
f`(x)= , f(x)= , f(x)=2* , f (x)=8sin x
2 2 4 5
cos x cos x cos x cos x

           Ⅳ

故f(0)=0,f`(0)=1,f``(0)=0,f```(0)=2,f (0)=0,
根据戴劳公式（120a） 3 x 4 tg x=x+ +o(x )或 3

     3       5       7                 2m-1
   2x     4x       6x        m-1  (2m) x           n

tg x=x- + - +…-(-1) + o(x ) (-π/2<x<π/2) 3 5 7 2m-1

例如 tg π/4=1 3
0.785339 tg 0.785339=0.785339+ =1.0928 3 例如 tg π/4=1 3 5 7
20.785339 40.785339 60.785339 tg 0.785339=0.785339+ - + =1.0928 3 5 7
利用已知的展开式，就已经可以不用求导数而直接写出较繁复的函数的展开式。例如，前一公式就可以从sin x及cos x的展开式而求得。举几个新的例子，在这时一切x的幂值到指定的幂包括在内为止，我们都要精确计算出来，而更高级的幂（没有写出来的）自然是包括在余项内。 7a)对于函数f(x)=ctg x，戴劳公式的系数构成的规律是较繁复的。但要写出它的为首几项并不困难。例如，因为 2 2
1 2cos x 1+2cos x Ⅳ 2+2cos x
f`(x)=- , f(x)=- , f(x)=-2 , f (x)=-8cos x
2 2 4 5
sin x sin x sin x sin x

                                Ⅳ

故f(π/2)=1,f`(π/2)=-1,f``(π/2)=0,f```(π/2)=-2,f (π/2)=0, 根据戴劳公式(120a)

    3
   x        4

ctg x=x- +o(x )或 3

     3       5       7                 2m-1
   2x     4x       6x        m-1  (2m) x           n

ctg x=x- + - +…-(-1) + o(x ) (0<x<π) 3 5 7 2m-1

例如 ctg π/4=1 3
0.785339 3 ctg 0.785339=0.785339- (0.78533-1.75) =0.93027 3 例如 ctg π/4=1 3 5 7
20.785339 40.785339 6*0.785339 ctg 0.785339=0.785339+ - + =1.0928 3 5 7

     sin x             3

8)写出函数e 的展开式至x 。根据1) sinx 1 2 1 3 3 e =1+sin x+ sin x + sin x + o(sin x ) 2 6

sinx 1 2 1 3 3 e =1+sin x+ sin x + sin x + o(x ) 2 6 3 3
注:原来应写成o(sin x)，但由于x与sin x是等价无穷小，所以写成o(x )是完全一样的。 但依2) 1 3 4 sin x=x- x + o(x ) 6 于是

sin x 1 3 1 2 1 3 3 e =1+(x- x )+ x + x + o(x ) 6 2 6
3 含x 的项互相消去，故最后得

sin x 1 2 3 e =1+x+ x + o(x ) 2 类似地

tg x 1 2 1 3 3 e =1+x+ x + x + o(x ) 2 2
6 9)写出函数ln cos x的展开式至x 的项。根据5)

                         1         2   1         3           3

ln cos x=ln[1+(cos x-1)]=(cos x-1)- (cos x-1) + (cos x-1) + o((cos x-1) ) 2 2

                         1         2   1         3     6

ln cos x=ln[1+(cos x-1)]=(cos x-1)- (cos x-1) + (cos x-1) + o(x ) 2 2 2
注：因为1-cos x与x 同阶，见无穷小及无穷大的分级中的无穷小的尺度， 3 6
故o((cos x-1) )同时就是o(x ) 在这时，由于3),

      1   2      1   4    1   6      7

cos x-1=- x + x - x + o(x ) 2 24 720 由此 1 2 1 4 1 6 1 1 4 1 6 1 1 6 6 ln cos x-1=(- x + x - x )- ( x - x )+ (- x )=o(x ) 2 24 720 2 4 24 3 8
或在化简后 1 2 1 4 1 6 6 ln cos x-1=- x - x - x + o(x ) 2 12 45 类似地

       2     1   3    3    5     5

ln (x+ 1+x =x- x - x + o(x ) 6 40
而

sin x 1 2 1 4 1 6 6 ln =- x - x - x + o(x ) x 6 180 2835 一切这些不直接利用戴劳公式而得出的展开式，当然也可以由戴劳公式求得，并且由于函数的这种展开式的唯一性，也就恰好有着同样的系数。 附注, 因为在这里所考察的函数在点x=0的邻域内都有着任何阶的导数，所以我们在公式（11）内对于n的选取不受拘束，就是可以继续展开这些函数直至x的任意次幂。

推导过程可参见《微积分学导论》，1958年版，曹一华，江体乾编译 3-21.反三角函数的导数
2 1.设y=arcsinx,则y`=1/ 1-x

                      2

(arcsinx)`=1/ 1-x 3.30

证明：函数y=arcsinx是多值函数， 但如果我们只限于在-π/2到π/2之间取其值，即
-π/2 ≤arcsinx≤ π/2 则在此条件下，y=arcsinx将变为单值函数了。且这种函数叫做arcsinx的主值，并写作y=arcsinx, 其几何意义则为在函数y=arcsinx的图形上（图3-21）只限于取点M1与M2间的一部分曲线。因为函数y=arcsinx与x=siny互为反函数，所以有y =1/x x y 故 y` =1/cosy x
但, 2 2
cosy= 1-sin y = 1-x

于是得 2
y` =1/ 1-x

或者 2
d(arc sinx)=1/ 1-x

这就是所要证明的, 上式中根号前的符号，我们所以选取正号，是因为按条件y满足不等式： -π/2 ≤y≤ π/2 而这就是说，cosy是正的量

例1.设y=xarcsinx,试求y`

我们有 2
y`=arcsinx+x/ 1-x

例2.设y=arcsin√x,试求y` 设把√x看作u，则有

     1                  1              1

y= (√x)= =
2 2 1-(√x) 2 1-x√x 2 x-x

2.设y=arccos,则 -1
y`=
2
1-x

即 -1
(arccosx)`= 3.31 2
1-x

证明，函数y=arccosx为多值函数。如果我们只限于取arccosx在0与π之间的值，即 0≤arccosx≤π 则在此条件下，我们便获得单值函数， 而这个单值函数就叫做函数y=arccosx的主值，并记为 y=arccosx (图3-22) 在几何上来看，就是我们只限于取点M1与M2之间的一部分曲线， 因为函数y=arccosx与x=cosy互为反函数，所以 y =1/x x y 然而又因为 x =-siny y 故y =-1/siny x 但 2 2
siny= 1-cos y = 1-x

于是，得 -1
y` = x 2
1-x

或者

于是，得 d -1
(arccosx)= dx 2
1-x

这就是所要证明的。上式中根号前的符号所以选取为正号，是因为y满足不等式:0≤y≤π， 而这就是说,siny是正的能量。

3.设y=arctgx,则 2
y=(arctgx)=1/(1+x ) 证明.函数y=arctgx是多值函数，为了使它变为单值函数， 我们只限于取arctgx在-π/2到π/2之间的值，即-π/2≤arctgx≤π/2 在此条件下，我们便获取单值函数，而这个函数就叫做arctgx的主值，并且记为 y=arctgx (图3-23) 在几何上，就是我们只限于取y=-π/2到π/2之间的一部分图形。 因为函数y=arctgx与x=tgy互为反函数， 所以 y =1/x x y
2
然而又因为x =1/cos y y 故 2 y =cos y x 但 2 2
cos y=1/(1+tg y)=1/(1+x ) 于是，得 2
y`=1/(1+x ) 或者 2
d(arc tgx)/dx=1/(1+x ) 这就是所要证明的

例1.设y=arctg(3x+x)，试求y 2 2 y=3/[1+(3x+2) ]=3/9x +12x+5 例2.设y=ln(arctgx)，试求y 设把arctgx看作u，则得 2 y=(arctgx)/arctgx=1/(1+x )arctgx 例3.设f(x)=arctg4x，试求f(0) 我们有 2
f(x)=4/(1+16x ) 于是, f(0)=4/(1+16*0)=4

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