一元多次方程近似解法一.一元四次方程式解法 1.计算三角函数的公式，推导过程可见《三角学专门教程上册》C.И诺屋塞洛夫

一.一元四次方程式解法

1.计算三角函数的公式，

推导过程可见《三角学专门教程上册》C.И诺屋塞洛夫著1956年版，

计算三角函数的公式，因为，角度是α的三角函数计算公式如下，

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一元多次方程式近似解法

访问码：c057

sin2α=2sinα*cosα

2 2

cos2α=cos α-sin α

2tgα

tg2α=

1-tg α

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

2 2 2

sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα=2sinαcos α+(cos α-sin α)sinα

2 2 3

=3sinαcos α-sin α=3sinα-4sin α

1 n-1 3 3 n-3 5 5 n-5

sin nα=C sinαcos α-C sin αcos α+C sin α*cos α-...

n n n

n 2 2 n-2 4 4 n-4

cosnα=cos α-C sin αcos α+C sin αcos α-...

n n

当n=4时

3 3

sin 4α=4sin αcos α-4sin αcos α

4 2 2 4

cos 4α=cos α-6sin α*cos α+sin α

当n=5时

4 3 2 5

sin 5α=5sin αcos α-10sin αcos α+sin α

5 2 3 4

cos 5α=cos α-10sin αcos α+5sin αcos α

为了用弧α的三角函数表示弧α/n的三角函数，而作公式时，会遇到必须解高次方程这种代数方面的困难。如果在公式(B)中将nα换成α，而将α换成α/n，并用余弦表示正弦的幂，则得出按已知值cosα求未知量x=cos(α/n)的方程。

n 2 2 n-2 4 4 n-4

cosnα=cos α-C sin αcos α+C sin αcos α-...

n n

这个方程一般有n个不等的实根。事实上，所有余弦为已知值cosα=m的弧的集合，由下公式确定：α=±arc cos m+2kπ,

由此，

α arc cos m 2kπ

=± +

n n n

如果选取＋号。则得无限多个弧,

α arc cos m 2kπ

= + (2)

n n n

它们只终于单位圆上n个几何方面不同之点，因为给数k加上n的整数倍的项等于给α/n加上2π的倍数（就是说，得到终于同一点的弧）。因而

arc cos m 2kπ

cos( + )

n n

(在一般情况)有n个相异的值，同样，所有形如

α arc cos m 2kπ

=- + (3)

n n n

的弧终于n个几何方面不同的点。组(2)与组(3)中的弧两两关于横坐标轴对称，即如在(3)中任意整数k换成-k，则得与组(2)中某一个弧相反的弧。弧的符号的改变不影响余弦的值，因而x=cos(α/n)在一般情形有n个相异的实根。例如，当n=3时我们得到三次方程

3 2 2 3-2

cos α=x - C (1-x )x

3 2

cos α=x - 3(1-x )x

cosα=4x -3x

或

3 3 cosα

x - x- =0

4 4

这个方程可以用根式来解，但这里(在一般情形)是不可约的情形，它说明存在有三个实根。卡但公式给出,

2 2

cosα cos α-1 cosα cos α-1

x= + + -

8 64 8 64

所以

2 2

α cosα cos α-1 cosα cos α-1

cos = + + -

3 8 64 8 64

一元三次方程的解为：

y +px+q=0

3 3

2 3 2 3

q q p q q p

y= + + + + +

2 64 27 2 4 27

因为

cos α-1≤0

故在一般情形(当α≠2kπ时)立方根下含有虚数，而且x不能用根式表出。

在特别情形，当n=2 时, 连续应用下面的公式，

1+cosα

cos(α/2)=±

1-cosα

sin(α/2)=±

可以得出借助平方根式，用自变量α的函数，

表示自变量的三角函数公式。例如

α 1 α 1+cos(α/2)

cos =cos( * )=±

4 2 2 2

1+cosα

1± √2± 1+cosα

=± =±

2 2√2

例如，当n=4时我们得到三次方程

4 2 2 4-2 4 2 4-4

cos α=x - C (1-x )x + C (1-x )x

4 n

2 2 2

cos α=x- 6(1-x )x + (1-x )

4 2

cosα=6x -7x +x+1

4 2

6x -7x +x+1-cosα=0

根据费拉里求根公式

4 2

x -7x/6 +x/6+1/6-cosα/6=0

将上面方程转化为下面形式：

4 2

x +px +qx+r=0

上式中, p=-7/6, q=1, r=1/6-cosα/6,

解得,

p q

2t ± 2t -4( +t + )

0 0 2 2 2t

x= -a/4

其中

3 3

2 3 2 3

-q q p -q q p

t = + + + + + -p/3 (6)

0 2 4 27 2 4 27

3 3

2 3 2 3

-q q p 2 -q q p

t =ε + + +ε + + -p/3 (7)

1 2 4 27 2 4 27

3 3

2 3 2 3

2 -q q p -q q p

t =ε + + +ε + + -p/3 (8)

2 2 4 27 2 4 27

上式中,

p`=-r+p /4-p/3=-1/6+cosα/6+(49/36)(1/4)+(7/6)(1/3)=-1/6+cosα/6+49/144+7/18

3 2 2

q`=-p /27-p(-r+p )/12-q /8=-347/5832+7(1/6-cosα/6+49/36)/72-1/8

2.一元三次方程的解

推导过程可见C.H.诺珪塞洛夫著代数与初等函数，1954年版,

注意：卡但公式如下：

一元三次方程的解为：

y +px+q=0

3 3

2 3 2 3

q q p q q p

y = + + + + +

2 4 27 2 4 27

我们来研究三次方程;

3 2

x +a x +a x+a =0的解,

2 1 0

我们设x 的系数a 等于1并不损害一般性，因为如果a ≠1,那么把方程逐项除a ,

3 3

就得到与给定方程等价的形如(1)的方程。令x=y+h, 将方程(1)变成新未知数y的方程，此处h要这样选择, 使变形后的方程不再包含未知数的平方。

容易直接算出，y 的系数是3h+a , 由条件3h+a =0得

2 2

h=-

经过变形取新未知数y之后，方程（1）具有形式：

y +py+q=0 (2)

3 2

(y+h) +a (y+h) +a (y+h)+a =0

2 1 0

因为,

h=-

所以,

3 2 2 2 2 2 3

y +3hy +a y +3yh +2yh +2a hy+a h +h =0

2 2 2

3 2 2 2 3

y +3yh +2yh +2a hy+a h +h =0

2 2

可设,

y +px+q=0 (2)

引入两个新未知数u及v，设y=u+v,

方程(2)取得形式：

3 3

u +v +(u+v)(3uv+p)+q=0 (3)

未知数u与v中之一可以任意选择。利用这一点，我们这样选择u及v，使合乎条件：3uv+p=0,

或,

uv=- (4)

这时方程(3)取形式:

3 3

u +v =-q

将(4)立方起来，得：

3 3 p

u v =-

3 3

因此，u 与v 是二次方程

2 p

z +qz- =0 的根，而可以令

2 3

3 q q p

u =- + +

2 4 27

2 3

3 q q p

v =- - +

2 4 27

由此得三次方程的解的公式，叫做卡但公式：

3 3

2 3 2 3

-q q p -q q p

y = + + + - +

2 4 27 2 4 27

在卡但公式中，把第一个根式的三个值中的每一个与第二个根式的三个值中的每一个组合起来，其中只有三个是给定方程的解。事实上，u和v的值不能选择得彼此独立，因为它们必须满足条件(4)。设u是第一个根式的一个值，这时候u的所有三个可能值是：

u =u,u =εu,u =ε u

1 2 3

此处ε与ε 是1的三次虚根。v的对应值可由关系式(4)求得：

v =- ,

1 3u

2 2

p p p 2

v =- = =- ε ,

2 3

3uε 3uε 3u

p p

v =- =- ε ,

3 2

3uε 3u

三次方程的根由关系y=u+v决定，因此，所求的根是,

y =u- ,

1 3u

2 p

y =εu-ε ,

2 3u

2 p

y =ε u-ε ,

3 3u

最后的公式无意义，若u=0，即

2 3

q q p

- - + =0

2 4 27

此时,

=0 或p=0,

在这种情形下，方程取y +q=0形式，而可以直接来解：

y= -q

若在卡但公式中令p=0，也能得到同样结果。

例1.解方程

3 2

x -3x -3x+11=0

解;令x=y+h, 得

3 2 3 2

y +(3h-3)y +(3h-6h-3)y+(h -3h -3h+11)=0

令, 3h-3=0, 得, h=1,

方程取形式：

y -6y+6=0

在卡但公式中，令p=-6,q=6, 我们有：

6 3

u= -3 + 9- = -2

确定v:

p 6 3

v=- =- =- 4 ,

3u 3

3 2

由此，得

3 3

y =u+v=- 2 - 4

3 -1+i 3 3 -1-i 3

y =- 2 ( )- 4 ( )

2 2 2

1 3 3 √3 3 3

= ( 2 + 4 )+i ( 4 + 2 )

2 2

3 -1+i 3 3 -1+i 3

y =- 2 ( )- 4 ( )

3 2 2

1 3 3 √3 3 3

= ( 2 + 4 )-i ( 4 - 2 )

2 2

因而得：

3 3

x = 2 - 4 +1

1 3 3 √3 3 3

x = ( 2 + 4 )+1+i ( 4 + 2 )

2 2 2

1 3 3 √3 3 3

x = ( 2 + 4 )+1+i ( 4 - 2 )

3 2 2

我们来研究四次方程;

4 3 2

x +a x +a x +a x+a =0 (1) 的解

3 2 1

我们设x 的系数a 等于1并不损害一般性，

因为如果a ≠1,那么把方程逐项除以a ,

4 4

就得到与给定方程等价的形如(1)的方程。令x=y+h, 将方程(1)变成新未知数y的方程，此处h要这样选择, 使变形后的方程不再包含未知数的平方。

2 2

容易直接算出，y 的系数是6h +a +3a h,

2 3

由条件6h +a +3a h=0得

2 3

-3a ± 9a -24a

3 3 2

经过变形取新未知数y之后，方程（1）具有形式：

4 3

y +ty +py+q=0 (2)

4 3 3

(y+h) +a (y+h) +a (y+h) +a (y+h)+a =0

3 2 1 0

因为,

-3a ± 9a -24a

3 3 2

x=y+h=y+

所以,

4 3 2 2 3 4 2 2 3 2 2

y +(4h+a )y +6h y +4h y+h +3a hy +3a h y+a h +a y +2a hy+a h

3 3 3 3 2 2 2

+a y +a h+a

1 1 0

可设,

-3a ± 9a -24a

3 3 2

t=4h+a

3 2

p=4h +3a h +2a h+a

3 2

q=a h+a

1 0

引入两个新未知数u及v，设y=u+v,

方程(2)取得形式：

4 2

(u+v) +t(u+v) +p(u+v)+q=0

4 3 3 2 2

(u+v) +tu +tv +3tu v+3tuv +pu+pv+q=0

4 3 3

(u+v) +tu +tv +uv(3tu+3tv)+p(u+v)+q=0

3 3 3

(u+v)[(u+v) +3tuv+p]+tu +tv +q=0 (3)

未知数u与v中之一可以任意选择。利用这一点，我们这样选择u及v，使合乎条件：

(u+v) +3tuv+p=0 (4)

这时方程(3)取形式:

3 3

tu +tv +q=0 (3*)

因此，u与v是三次方程组

(u+v) +3tuv+p=0 (4)

3 3

tu +tv +q=0 (3*)

的根，解上面的方程组,由(3*)得,

3 3

u +v =-q/t

-q-tu

v= (5)

由(4)得,

3 3 2 2

u +v +3u v+3uv +3tuv+p=0

因为,

3 3

u +v =-q/t

所以,

2 2

-q/t+3u v+3uv +3tuv+p=0

3uv +3u(u+t)v-q/t+p=0

2 2

-3u(u+t)± 9u (u+t) -12u(-q/t+p)

v= (6)

由(5)和(6)得,

2 2 3 3

-3u(u+t)± 9u (u+t) -12u(-q/t+p)c -q-tu

6u t

此处作近似运算，假设, 根据下列近似公式, 1+a≈1+a/n, 此处｜a｜<1,

推导过程可见C.H.诺珪塞洛夫著初等代数专门教程，§37数的开方，1956年版,

2 2

9u (u+t) -12u(-q/t+p) ≈9u(u+t)-6u (-q/t+p)

3 3

-q-tu -q -tu/3

≈ 3

t t

所以,

-3u(u+t)±9u(u+t)-6u (-q/t+p) -q -tu/3

≈ 3

6u t

3 3

t [9(u+t)-6 (-q/t+p)] ≈6 -q -2tu

3 3 3

9u t + t [9(u+t)-6 (-q/t+p)] -6 -q +2tu≈0

3 3 3

3u t + t [3t-2 (-q/t+p)] -2 -q +tu≈0

3 3

- t [3t-2 (-q/t+p)] -2 -q

u≈

3 t +t

将(7)代入(5)中

3 3

-q-tu

v= -q/t-u

3 3

- t [3t-2 (-q/t+p)] -2 -q 3

v≈ -q/t-[ ] (8)

3 t +t

因为, y=u+v,

3 3

- t [3t-2 (-q/t+p)] -2 -q

y≈

3 t +t

3 3

- t [3t-2 (-q/t+p)] -2 -q 3

+ -q/t-[ ]

3 t +t

这就得到下面方程的近似解.

4 3

y +ty +py+q=0

因为, x=y+h,

3 3

- t [3t-2 (-q/t+p)] -2 -q

x=y+h≈

3 t +t

3 3

- t [3t-2 (-q/t+p)] -2 -q 3 -3a ± 9a -24a

+ -q/t-[ ] + 3 3 2

3 12

3 t +t

其中

-3a ± 9a -24a

3 3 2

t=4h+a

3 2

p=4h +3a h +2a h+a

3 2 1

q=a h+a +h

1 0

这就得到下面方程的近似解

4 3 2

x +a x +a x +a x+a =0 (1)

3 2 1 0

如果在公式(A)中将nα换成α，而将α换成α/n，

并用余弦表示正弦的幂，则得出按已知值cosα求未知量x=cos(α/n)的方程。

1 2 (n-1)/2 3 2 (n-3)/2 3 5 2 (n-5)/2 5

sin α=C (1-x ) *x -C (1-x ) *x +C (1-x ) *x ...

n n n

这个方程一般有n个不等的实根。

事实上，所有余弦为已知值sinα=m的弧的集合，由下公式确定：

α=±arc sin m+2kπ,

由此，

α arc sin m 2kπ

=± +

n n n

如果选取＋号。则得无限多个弧,

α arc sin m 2kπ

= + (2)

n n n

它们只终于单位圆上n个几何方面不同之点，因为给数k加上n的整数倍的项等于给α/n加上2π的倍数（就是说，得到终于同一点的弧）。因而

arc sin m 2kπ

cos( + )

n n

(在一般情况)有n个相异的值，同样，所有形如

α arc sin m 2kπ

=- + (3)

n n n

的弧终于n个几何方面不同的点。组(2)与组(3)中的弧两两关于横坐标轴对称，即如在(3)中任意整数k换成-k，则得与组(2)中某一个弧相反的弧。弧的符号的改变不影响余弦的值，因而x=sin(α/n)在一般情形有n个相异的实根。

例如，当n=3时我们得到三次方程

sinα=-4x +3x

所以,

-4x +3x-sin=0

1 2 3 2 0 3

sin α=C (1-x )*x -C (1-x ) *x

3 3

2 3

sin α=3(1-x )x -x

sinα=-4x +3x

根据卡但公式,

y +px+q=0 (2)

上面方程的解是

3 3

2 3 2 3

-q q p -q q p

y = + + + - +

2 4 27 2 4 27

因为,

-4x +3x-sinα=0

所以,

3 3 sinα

x - x+ =0

4 4

p=-

sinα

q=-

3 3

2 2

3 sin α 1 3 sin α 1

y = + - + - -

8 64 64 8 64 64

因为, cos α-1≤0

故在一般情形(当α≠2kπ时)立方根下含有虚数，而且x不能用根式表出。

在特别情形，当n=2 时, 连续应用下面的公式，

1+cosα

cos(α/2)=±

1-cosα

sin(α/2)=±

可以得出借助平方根式，用自变量α的函数，

表示自变量的三角函数公式。例如

1-cosα

α 1 α 1-cos(α/2) 1± √2± 1-cosα

sin =sin( * )=± =± 2 =±

4 2 2 2 2 2√2

例如，当n=4时我们得到三次方程,

sinα=-4x +3x

所以,

-4x +3x-sin=0

1 2 3 2 0 3

sin α=C (1-x )*x -C (1-x ) *x

4 4

5.一元四次方程费拉里求解方法

费拉里求根公式,

4 3 2

四次方程ax +bx +cx +dx +e=0的求根公式过于复杂。为了描述方便，不得不借助几个中间变量。

c +12ae-3bd

2 3 2

27ad +2c +27b e-72ace-9bcd

2 3

D= Q -P

u= Q +D 或or

u= Q -D (取模较大的数值)

v= (若u为零，则v也取值为零)

1 √3i

w=- +

2 2

2 8 k-1 4-k

m= b - ac+4a(w u+w v）

16 k-1 4-k

S=2b - ac+4a(w u+w v）

2 3

8abc-16a d-2b

上面三个公式中，k可取值1，2，3. （m,S,T）的取值最好选择│m│最大的一组，这样计算T时数值最稳定。如果三个│m│均为零，则上面三个变量按下面三个公式取值, m=0,

2 8

S=b - ac

T=0,

四个根为(下式中n=1,2,3,4),

n/2 n+1 n/2

-b+(-1) m+(-1) S+(-1) T

例：解方程,

4 2

6x -7x +x+1-cosα=0

c +12ae-3bd 49+72(1-cosα) 121-72cosα

P= = =

9 9 9

2 3 2

27ad +2c +27b e-72ace-9bcd 162-686-432(1-cosα) -956+432cosα -478+216cosα

Q= = = =

54 54 54 27

2 3 -478+216cosα 2 121-72cosα 3

D= Q -P = ( ) -( )

27 9

u= Q +D 或or

u= Q -D (取模较大的数值)

-478+216cosα -478+216cosα 2 121-72cosα 3

u= = ( ) -( )

27 27 9

v= (若u为零，则v也取值为零)

121-72cosα

-478+216cosα -478+216cosα 2 121-72cosα 3

9 + ( ) -( )

27 27 9

1 √3i

w=- +

2 2

2 8 k-1 4-k

m= b - ac+4a(w u+w v）

m= 112+24(w u+w v）取k=3

m=2 28+6(w u+w v）

16 k-1 4-k

S=2b - ac+4a(w u+w v）

S= 224+24(w u+w v）, 取k=3

2 3

8abc-16a d-2b

288

28+6(w u+w v）

四个根为(下式中n=1,2,3,4),

n/2 n+1 n/2

-b+(-1) m+(-1) S+(-1) T

2 2 288i

2i 28+6(w u+w v）+ 224+24(w u+w v）+

28+6(w u+w v）

x =

1 24

2 2 -288

-2 28+6(w u+w v）- 224+24(w u+w v）+

28+6(w u+w v）

x =

2 24

2 2 288i

-2i 28+6(w u+w v）+ 224+24(w u+w v）+

28+6(w u+w v）

x =

3 24

2 2 288i

2 28+6(w u+w v）- 224+24(w u+w v）+

28+6(w u+w v）

x =

4 24

解方程,

4 2

6x -7x +x+1-cosα=0

因为,

4 3 2

x +a x +a x +a x +a =0

3 2 1 0

上面方程的近似解是:

3 3

- t [3t-2 (-q/t+p)] -2 -q

x=y+h≈

3 t +t

3 3

- t [3t-2 (-q/t+p)] -2 -q 3 -3a ± 9a -24a

+ -q/t-[ ] + 3 3 2

3 12

3 t +t

其中

-3a ± 9a -24a

3 3 2

t=4h+a

3 2

p=4h +3a h +2a h+a

3 2 1

q=a h+a +h

1 0

这就得到下面方程的近似解

4 3 2

x +a x +a x +a x+a =0 (1)

3 2 1 0

因为,

4 2

6x -7x +x+1-cosα=0

所以,

4 2

x -7x/6 +x/6+1/6-cosα/6=0

所以，上面方程的近似解是:

-3a ± 9a -24a ± 28 ± 7

3 3 2

h= = = ≈ ±0.44095

12 12 6

±2 7

t=4h+a = ≈ ±1.7638

3 3

3 2

p=4h +3a h +2a h+a

3 2 1

±7 7 ±7 7

p = + +1≈ ±0.34296 ±1.0289+1

54 18

±7 7

q=a h+a +h= +1/6-cosα/6≈ ±0.51445+0.1666-cosα/6

1 0 36

3 3

- t [3t-2 (-q/t+p)] -2 -q

x=y+h≈

3 t +t

3 3

- t [3t-2 (-q/t+p)] -2 -q 3 -3a ± 9a -24a

+ -q/t-[ ] + 3 3 2

3 12

3 t +t

- ±1.7638 [3* ±1.7638-2 (-q/t+p)]+2 -( ±0.51445+0.1666-cosα/6)

x≈

3 ±1.7638 ±1.7638

3 3

- t [3t-2 (-q/t+p)] -2 -q 3

+ -q/t-[ ] ±0.44095

3 ±1.7638 ±1.7638

6.解系数为任何复数的四次方程

推导过程可参见А.Г.УРОШ著高等代数教程1953年版,

解系数为任何复数的四次方程,

4 3 2

y +ay +by +cy+d=0 (13)

可以化为解某一个三次辅助方程。次之方法为费勒黎的解法。预先代以y=x-a/4化方程(13)为,

4 2

x +px +qx+r=0

设y=x+h，得

4 3 2

(x+h) +a(x+h) +b(x+h) +c(x+h)+d=0

4 3 2 2 3 2 4 3

x +(a+4h)x +(6h +3ah)x +(4h +3ah +c)x+h +ah +h+d=0

因为, a+4h=0, 所以, h=-a/4, y=x-a/4,

所以,

p=6h +3ah

3 2

q=4h +3ah +c

4 3

r=h +ah +h+d

继续用参数t把这个方程的左边变为恒等式：

4 2 2 2 2 2

x +px +qx+r=(x +p/2+t) +qx+r-(p/2+t) -2x (p/2+t)

4 2 2 2 p 2 2

x +px +qx+r=(x +p/2+t) +qx+r- -t -2tx -pt

或,

2 2 2 2 p

(x +p/2+t) -[2tx -qx+(t +pt-r+ )]=0 (15)

现在选取t使得方括号里面的多项式成一个完全平方，此时它必须有一个二重根，亦即它的判别式必须等于零：

2 2 p

q -4*2t(t +pt-r+ )=0 (16)

等式(16)是系数为复数的未知量t的三次方程。我们已经知道，这个方程有三个复数根。

设t 为其中的一个，

它可由卡但公式经方程(16)的系数，亦即可经方程(14)的系数用方根来表出·。下面求解t，

因为,

2 2 p

q -4*2t(t +pt-r+ )=0 (16)

所以,

3 2 2 2

-8t -8pt +8rt-2p t+q =0

3 2 2 2

t +pt -rt+p t/4-q /8=0

解方程

3 2 2 2

t +pt -rt+p t/4-q /8=0 (16*)

上面方程（16*）可转化为

3 2

y +ay +by+c=0

上面方程可转化为

x +px+q=0

其中,

y=x-a`/3,

h=-a/3=-p/3,

2 2 2

p=3h +b+2ah=b-a` /3=-r+p /4-p/3

3 3 3 2 2

q=h +bh+c=-a /27-ab/3+c`=-p /27-p(-r+p )/12-q /8

注意：ε是1的立方根，即ε =1, 因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是

ε =1, ε =-1/2+i√3/2, ε =-1/2+i√3/2,

0 1 2

3 3

2 3 2 3

-q q p -q q p

t = + + + - + -p/3 (6)

0 2 4 27 2 4 27

3 3

2 3 2 3

-q q p 2 -q q p

t =ε + + +ε - + -p/3 (7)

1 2 4 27 2 4 27

3 3

2 3 2 3

2 -q q p -q q p

t =ε + + +ε - + -p/3 (8)

2 2 4 27 2 4 27

这样选取的t使(15)里面位于方括号中的多项式有二重根,

所以方程(15)有次之形状：

2 2 2 q

(x +p/2+a ) -2a (x- )=0

亦即，它可分解为两个二次方程：

2 p q

x - 2t x+( +t + )=0

0 2 0 2 2t

(17)

2 p q

x - 2t x-( +t + )=0

0 2 0 2 2t

因为从方程(14)到方程(17)我们都是用的恒等变换，所以方程(17)的根是方程(14)的根。同时易知方程(14)的根可经其系数应用开方来表出。由于对应公式比较复杂而且没有实用价值，我们不予写出。对于有实系数的方程(14)的各种情况，我们亦不再予以分析。

解方程:

2 p q

x - 2t x+( +t + )=0

0 2 0 2 2t

根据一元二次方程根的计算公式得,

3 p q

2t ± 2t -4( +t + )

0 0 2 0 2 2t

所以，就得到一元四次方程的根的计算公式,

4 3 2

y +ay +by +cy+d=0 (13)

预先代以y=x-a/4化方程(13)为,

4 2

x +px +qx+r=0

上式中, h=-a/4, y=x-a/4,

2 4 3 3 2

p=6h +3ah, r=h +ah +h+d, q=4h +3ah +c,

解得,

3 p q

2t ± 2t -4( +t + )

0 0 2 0 2 2t

y=x-a/4= -a/4

其中,

3 3

2 3 2 3

-q q p -q q p

t = + + + - + -p/3 (6)

0 2 4 27 2 4 27

3 3

2 3 2 3

-q q p 2 -q q p

t =ε + + +ε - + -p/3 (7)

1 2 4 27 2 4 27

3 3

2 3 2 3

2 -q q p -q q p

t =ε + + +ε - + -p/3 (8)

2 2 4 27 2 4 27

上式中,

p`=-r+p /4-p/3,

3 2 2

q`=-p /27-p(-r+p )/12-q /8

一元四次方程费拉里求根公式:

4 3 2

y +ay +by +cy+d=0 (13)

预先代以y=x-a/4化方程(13)为,

4 2

x +px +qx+r=0

上式中, h=-a/4, y=x-a/4,

2 4 3 4 3

p=6h +3ah, r=h +ah +h+d, q=4h +3ah +c,

3 p q

2t ± 2t -4( +t + )

0 0 2 0 2 2t

y=x-a/4= -a/4

其中,

3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3

h +h -rh+p h/4-q /8 (h +h -rh+p h/4-q /8) (3h +2ph-r+p /4)

t = + +

0 2 4 27

3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3

h +h -rh+p h/4-q /8 (h +h -rh+p h/4-q /8) (3h +2ph-r+p /4)

+ - +

2 4 27

二、一元三次方程卡尔丹解法

1.三次与四次方程，

推导过程可参见А.Г.УРОШ库洛什著高等代数教程1953年版，

41.三次与四次方程，

说明，计算一元三次立方根的卡尔丹公式如下：

3 2

y +ay +by+c=0 (1)

设y=x+h,得

3 2

(x+h) +a(x+h) +b(x+h)+c=0

3 2 2 3

x +(3h+a)x +(3h +2ah+b)x+h +bh+c=0

上面方程可转化为,

x +px+q=0 (3)

其中, y=x-a/3, (2)

h=-a/3,

2 2

p=3h +b+2ah=b-a /3,

3 3

q=h +bh+c=-a /27-ab/3+c,

只要求得方程(3)的根，那么我们根据(2)就可以得到方程(1)的根, 根据基本定理方程(3)有三个复数根，设x0是其中一个, 我们引入辅组未知量u来讨论多项式,

f(u)=u -x0u-p/3,

它的系数为复数，故有两个复数根α和β。而且由韦达公式，得,

α+β=x0 (4)

αβ=-p/3 (5)

以根x0的表达式(4)代(3)中，我们得出：

(α+β) +p(α+β)+q=0,

或,

3 3

α +β +(3αβ+p)(α+β)+q=0,

但由(5)得3αβ+p，故有,

3 3

α +β =-q (6)

另一方面，由(5)推得,

3 3 3

α β =-p /27 (7)

3 3

等式(6)与(7)证明了，数α 和β 是系数为复数的二次方程,

2 p

z +qz- =0 (8)

的根,

解方程(8)，我们得到：

2 3

q q p

z =- ± +

2 4 27

2 3

q q p

α= - ± +

2 4 27

2 3

q q p

β= - ± + (9)

2 4 27

注意：因α和β在等式(6)和(7)中，同时在x0的表达式(4)中，都是对称的,

3 3

故对方程的根(S)的根，以何者为α 何者为β 是没有什么分别的。这就是说α，β可以相互交换位置，得到的计算结果不变.

即,

2 3

q q p

β= - ± +

2 4 27

2 3

q q p

α= - ± + (9)

2 4 27

或,

2 3

q q p

α= - ± +

2 4 27

2 3

q q p

β= - ± + (9)

2 4 27

两者的计算结果是相同的, 我们得到次之卡尔丹公式，把方程(3)的根经其系数用平方根与立方根来表出：

3 3

2 3 2 3

q q p q q p

x0=α+β= + + + - + +

2 4 27 2 4 27

因立方根在复数域中有三个值，所以(9)式给予α三个值与β三个值。

注意：ε是1的立方根，即

ε =1,

因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是

ε =1, ε =-1/2+i√3/2, ε =-1/2+i√3/2,

0 1 2

下面内容为插叙

推导过程可参见А.Г.УРОШ库洛什著高等代数教程1953年版,

7.复数的方根,

但应用卡尔丹公式时，不可能取任一方根值α与任一立方根值β的组合：

对于已予的α值只能取三个β值中适合条件(5)的哪一个值。

设α1为α的三个值中的任一个。

由7已经证明其他二值可以1的立方根ε与ε 乘α1来得出：

α2=α1ε，α3=α1ε ，

以β1记β的三个值中由(5)式的关系对应于α的值α1的那一个值，亦即α1β1=-p/3。β的其他两个值是,

β2=β1ε，β3=β1ε ，

因由,

ε =1,

2 3

α2β2=α1ε*β1ε =α1β1ε =α1β1=-p/3,

所以α的值α2对应于β的值β3；同理值α2对应于β2. 这样一来，方程(3)所有的根可以写为次之形状：

x1=α1+β1,

x2=α2+β3=α1ε+β1ε , (10)

x3=α3+β2=α1ε +β1ε,

上面方程的根为,

方根来表出：

3 3

2 3 2 3

-q q p q q p

x = + + + - - +

1 2 4 27 2 4 27

3 3

2 3 2 3

-q q p 2 q q p

x =ε + + +ε - - +

2 2 4 27 2 4 27

3 3

2 3 2 3

2 -q q p q q p

x =ε + + +ε - - +

3 2 4 27 2 4 27

其中,

ε =1,

因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是

ε =1, ε =-1/2+i√3/2, ε =-1/2+i√3/2,

0 1 2

推导过程可参见7.复数的方根,

2.实系数三次方程

我们来看一下，关于实系数不完全三次方程,

x +px+q=0 (11)

的根，可以说些什么。在这一情形，我们发现在卡尔丹公式中平方根下面的表示式,

2 3

q p

4 27

有重要作用。再者，这一表示式与方程(11)左边的判别式反号，在以后的叙述中我们将用判别式的符号来分类。事实上，应用38的(24)式于我们现在的情形(亦即在这一式子中取a=0,b=p,c=q)，我们得到,

2 3

3 2 q p

D=-4p -27q =-108( + )

4 27

推导过程可参见А.Г.УРОШ库洛什著高等代数教程1953年版,

38.结式、未知量的消去法、判别式,

3 2

例：求出三次多项式f(x)=x +ax +bx+c的判别式。由(23)

3 s s

1 2

D= s s s

2 2 3

s s s

2 3 4

由上节我们知道,

s =σ =-a

1 1

2 2

s =σ -σ =a -2b

2 1 2

2 2 3

s =σ -σ σ +3σ =-a +3ab-3c

3 1 2 3

应用牛顿公式，由σ =0，我们求出,

4 2 2 4 2 2

s =σ -4σ σ +4σ σ +2σ =a -4a b-4ac+2b

4 1 1 2 1 2 2

故,

3 2 2 2 2 3 3

D=3s s +2s s s -s -s s -3s =a b -4b -4a c+18abc-27c (24)

2 4 1 2 3 2 1 4 3

所以,

2 2 3 3

D=a 0 -40 -4a c+18a0c-27c

D=-4a c-27c

因为, a=0,b=p,c=q,

所以,

D=-4a c-27c

上面的插叙结束，接上面

(1)设setD<0.

此时在卡尔丹公式的平方根下面是一个正实数，所以每一个立方根下面都是实数。但是实数的立方根有一个是实数值，有两个是共轭复数值。设α1是α的实数值，那么由p之为一实数，知经(5)式的关系对应于α1的β的值β1亦必为一实数。知经(5)式的关系对应于α1的β的值β1亦必为一实数。这样一来，方程(11)的根x1=α1+β1为一实数,

把7中对于1的立方根ε=ε1与ε =ε2的表示式(7)代入本节中的(10)式，

下面内容为插叙,

推导过程可参见А.Г.УРОШ库洛什著高等代数教程1953年版,

7.复数的方根,

单位根, 特别重要的情形是求数1的n次根。这个根有n个值，所有这些值，我们叫n次单位根，由等式1=cos0+isin0与公式(4)，知其为,

2kπ 2kπ

1=cos +isin ; k=0,1,...,n-1 (1)

n n

由(6)式，知如n为偶数，则在k=0与n/2时得n次单位值的实值，如n为奇数，则仅在k=0时始能得出实值。在复平面上，n次单位根排列在单位圆的圆周上而且把圆周分为n个等分；其中有一个分点是数1. 因此，n次单位根中那些不是实数的值的位置是对于对称的，亦即两两共轭, 二次单位根有两个值1与-1，四次单位根有四个值1，-1，i与-i。记住三次单位根的值，以后很有用。由(6)，这些数是,

2kπ 2kπ

cos +isin ;

n n

其中k=0,1,2,亦即，除1以外，是共轭数

2π 2π 1 √3

ε1=cos +isin =- +i

n n 2 2

} (7)

4π 4π 1 √3

ε2=cos +isin =- -i

n n 2 2

复数α的n次根的所有值，都可以从它的某一个值乘上所有的n次单位根来得出，例如设β为数α的n次根的某一个值，亦即,

β =α,

而ε为任一n次单位根，亦即

ε =1,

则,

n n n

(βε) =β ε =α

亦即βε为,

α 的一个值

乘β以n次单位根的每一个值，我们得出α的n次方根的n个不同的值，亦即这个根所有的值。

例：(1)数-8的立方根有一个值-2. 由(7)，知其它两个根为, -2ε1=1-i√3和-2ε2=1+i√3，

(2) 81 有四个值：3，-3，3i，-3i

上面的插叙结束，接上面，

把7中对于1的立方根ε=ε1与ε =ε2的表示式(7)代入本节中的(10)式，

我们求出其他两个根，

x2=α1ε+β1ε =α1(-1/2+i√3/2)+β1(-1/2-i√3/2) =-(α1+β1)/2+i√3(α1-β1)/2

x3=α1ε +β1ε=α1(-1/2-i√3/2)+β1(-1/2+i√3/2) =-(α1+β1)/2-i√3(α1-β1)/2

由α1与β1之为实数，知这两个根是共轭复数，而且虚数部分不为零，因为α1≠β1——这两个数是两个不同的数的平方根。这样一来，如果D<0,那么方程(11)有一个实数根与两个共轭复数根。

(2)设D=0.在这一情形，

α= -q/2 ，

β= -q/2 ，

设α1为α的实数值；那么由(5)知β1亦为一实数，而且α1=β1. 在(10)式中以α1代β1且应用显明的等式ε+ε =-1，我们得出：

x1=2α1,

x2=α1(ε+ε )=-α1,

x3=α1(ε +ε)=-α1,

这样一来，如果D=0，那么方程(11)所有的根都是实数，而且有两个彼此相等。这个重根的出现与其判别式等于零是完全一致的。

(3)最后，设D>0。在这一情形，卡尔丹公式中平方根号下面是一个负实数，所以在立方根号下面是互相共轭的复数。这样一来，所有α与β的值现在都是复数。设，

α0=u+iv，为α的任一个值，而β0为由(5)得出的对应于α0的β值。那么

2 2

β0=-p/(3α)=-p/3(u+iv)=-p(u-iv)/3(u +v )

2 2

数α0 与β0 是实系数二次方程(8)的复数根，故必须共轭。但已验证数，

3 3 3

α0 =(u+iv) 与(u-iv) 彼此共轭，故，

3 3

β0 =(u-iv) ，

2 2

因而实数-p/3(u +v )的立方根等于1，这就说明它自己等于1. 这就证明了β0=u-iv,所以α0+β0是一个实数。我们得出了方程(11)的所有根都是实数根，而且由判别式D之不为零，这些根里面没有重根。这样一来，如果D>0，那么方程(11)有三个不同的实数根。刚才的讨论说明在最后的这个情形，卡尔丹公式的实用价值不很大。事实上，随则在D>0时，实系数方程(11)的根全为实数，但是用卡尔丹公式来求出它们要对复数开立方，我们只能化这些数为三角式来做。所以用根式写出的方程的根失去实用价值。我们可以应用超出本书范围以外的方法来证明，方程(11)的根在所讨论的情形，一般是没有办法可经其系数利用实数的方根来表出。在这一情形所解的方程(11)成为不可约的(不要和不可约多项式相混淆!)

例。1.解方程，

3 2

y +3y -3y-14=0

设 y=x-a/3，y=x-1，代入y=x-1化这一方程为，

x -6x-9=0 (12)

此处p=-6,q=-9,故,

2 3

q p 49

+ = >0

4 27 4

亦即方程(12)有一个实数根和两个共轭复数根。由(9)

9 7 3

α= + = 8

2 2

9 7 3

β= - = 1

2 2

故α1=2，β1=1，亦即x1=3。其它两个根可从(10)求出：

3 √3

x2=- +i

2 2

3 √3

x3=- -i

2 2

故知，所予方程的根为数,

y1 =2,

5 √3

y2=- +i

2 2

5 √3

y3=- -i

2 2

2.解方程,

x -12x+16=0

此处p=-12,q=16,故,

2 3

q p

+ =0

4 27

因此:

α= -8

亦即α1=-2，所以, x1=4,x2=x3=2,

3.解方程.

x -19x+30=0

此处p=-19,q=30,故

2 3

q p 784

+ =- <0

4 27 27

这样一来，如果限于实数范围，卡尔丹公式对于这一方程不能应用，即使它的根是实数2，3，与-5,

环的定义：

定义了下列三种运算（演算）的集合叫做环，

加法运算：对于集合中的任意两元素a和b，有元素c与它们对应，c叫做a,b的和：c=a+b

乘法运算：对于任意两元素a和b，有元素d与它们对应，d叫做a,b的积, d=ab,

减法运算：对于任意两元素a和b，有元素e与它们对应，e叫做a,b的差, e=a-b,

加法与乘法运算，由下列性质刻画出来,

加法公理,

1.结合公理：对于任何三元素a,b和c；必有

(a+b )+c=a+(b+c)

2.交换公理：对于任何两元素a和b；必有,

a+b=b+a,

3.逆运算公理(对于加法):

对于任何两个元素a和b存在唯一的元素，满足条件,

a+x=b,

元素x称为元素b和a的差，记作

乘法公理

4.结合公理：对于任何三元素a，b和c；必有,

(ab)c=a(bc),

5.交换公理：对于任何两元素a和b；必有,

ab=ba,

6.分配公理：对于任何三元素a，b和c；必有,

(a+b)c=ac+bc,

注意不满足交换律的环成为不易环，反之，满足交换律的环成为可易环,

减法公理,

7.结合公理：对于任何三元素a，b和c；必有,

b+(a-c)=(b+a)-c,

6.分配公理：对于任何三元素a，b和c；必有,

bc+(a-b)c=ac,

b+(a-b)=a,

(a-b)c=ac-bc,

环的定义：

定义了下列1种运算（演算）的环叫做域，

除法运算：对于集合中的任意两元素a和b，有元素c与它们对应，c叫做a,b的商：

c=a/b,

称环P为域，如至少含有一个不为零的元素，且除开除数为零的情形外，对于其他情形，除法在它里面可以施行而且是唯一确定的，亦即对于P中任二元素a,b，当b不为零时，在P中有元素q存在，适合等式bq=a,而且是唯一的。亦即对于P中任二元素a,b，当b不为零时，在P中有元素q存在，适合等式bq=a,而且是唯一的。元素q称为元素a与b之商且记之以符号q=a/b, 注意：域中除法的唯一性，有如在环的定义里面假设有减法的唯一性，事实上不难利用在域或环的对应定义中其它一些条件来证明。

代数无关

假设多项式环L由多项式元素a ,a ,a ,...,a 构成,

1 2 3 n

a ,a ,a ,...,a 分别为n未知量多项式,

1 2 3 n

例如a =f(x ,x ,x ,...,x )为n未知量多项式

n 1 2 3 n

1 2 3 n 1 2 n

可以假设在多项式f(x ,x ,...,x )中同类项已合并且系数为0的项已经删除。

1 2 n

环L`是环L的子环,

a ,a ,a ,...,a 等n未知量多项式的中的未知量x ，x ,x ,...,x 的系数属于域P

1 2 3 n 1 2 3 n

环L上的元素属于环L, 环L上的多项式元素的系数都属于域P，域P属于可易环L中，

子环L`上的元素是由n未知量多项式a ,a ,...,a 和数域P上的元素经过加减乘等运算

1 2 n

得到的。对于子环L`中的任一元素β，a ，a , a ,...,a 在域P上的系数都是唯一的,

1 2 3 n

a ，a , a ,...,a 是环L`上不同的多项式,

1 2 3 n

a ，a , a ,...,a 的根不在域P上，根在环L`上,

1 2 3 n

那么就称环L`上的元素和数域P代数无关，

a ，a , a ,...,a 在域P上的系数都是唯一的,

1 2 3 n

a ，a , a ,...,a 是域P上不同的多项式,

1 2 3 n

a ，a , a ,...,a 的根在域P上，根不在环L`上

1 2 3 n

那么就称环L`上的元素和数域P代数相关，设P是可易环L内的一个子环，如果n次方程的自变量的系数存在于域P中，同时n≥1,环L中的元素a是这个方程的根，那么，环L中的元素a称为域P上的代数数。反之，如果元素a不是这个方程的根，那么，环L中的元素a称为域P上的超越数。