能计算虫洞模型的算筹数字计算机
能计算虫洞模型的算筹数字计算机是一种可以按照商高定理，把形成虫洞的暗能量记录下来的计算机。该计算机可以根据算筹，太一算，两仪算，三才算记录的数据，形成一个图形，同时根据这个图像预估形成虫洞的暗能量。同时还可以根据素数的分布，来预估形成虫洞的暗能量。
把两个金箔放入充满氮气的水晶球中，给两个金箔上面接上数亿伏特数亿安培的高压直流电，用高频开关不断切换连个金箔带电的正负性。这样高电压就会击穿氮气，两个金箔中间就会形成方向相反的电子流，这两个电子流相互碰撞产生弱相互作用，吸引暗物质，产生激光，激光会吸引暗能量。这些暗能量就会在宇宙空周形成一个虫洞。相关资料下载网址：
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算筹计算机
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这个虫洞的模型可以用下面的公示表示
2 2 2
dσ =c dt -ds
上式中，dσ表示形成虫洞的暗能量的导数，dt表示时间的导数，ds表示虫洞横截面积的导数. 先将上面的公式通过商高定理，化简为关于ds的函数，注：商高为我国西周数学家商高。再将下面得到的实数的分布函数代入到ds的函数中，就得到虫洞横截面积的分布函数。将这个面积的分布函数值记录在算筹上，就可以得到一个函数图像，根据这个函数图像就可以预测虫洞的面积分布规律。根据我国东汉数学家徐岳的《数术记遗》，南北朝北周数学家甄鸾注解，中记录的太一，两仪，三才计算工具，记录上面的面积分布函数值，根据我国东汉数学家徐岳的《数术记遗》，南北朝北周数学家甄鸾注解，中记录的太一，两仪，三才计算工具，记录上面的面积分布函数值。就可以得到一个函数图像，根据这个函数图像就可以预测虫洞的面积分布规律。
我们只要找到素数分布的规律，根据陈景润证明的哥德巴赫猜想，可以得到某个函数值在定义域上的分布状况。再将这个分布数值用算筹表示出来，这些算筹组成的数据就可以形成一个图像，利用这个图像可以分析函数的数值取值。这样就达到利用函数图像推断函数取值的目的。陈景润定理如下：任何一个充分大的偶数都可以表示成一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和。素数的分布和偶数的分布情况可以近似的反应整个实数的分布情况。1937年时前苏联数学家维诺格拉多夫已经证明充分大的奇质数都能写成三个质数的和，也称为“哥德巴赫-维诺格拉朵夫定理”或“三素数定理”。所以用偶数和质数的分布情况就可以反映整个实数的分布情况。也就是用陈景润定理和维诺拉朵夫定理的证明可以反应整个实数的分布规律。
我们还可以根据古希腊数学家欧几里得的《几何原本》数论卷中的命题Ⅶ.6，来用几个素数构成整个实数。这样，我们通过素数的分布规律，就得到整个实数的分布规律。《几何原本》数论卷中的命题Ⅶ.6如下：如果一小数是一大数的几部分，另一小数是另一大数的相同部分，那么小数之和也是大数之和的相同部分。再根据上面推导出的计算积分的三角函数公式,斜率公式，把上面函数的积分计算出来。三角函数积分计算公式可查阅三角函数积分页，斜率积分计算公式可查阅斜率积分计算页。
再根据《相对论》奥地利物理学家W.泡利著，凌德洪，周万生译，上海科技出版社1979年出版，里面描述的空间曲率内容计算虫洞的空间曲率。上面得到的虫洞的空间曲率公式可以用实数的分布函数描述，这样就可以预估一个虫洞的形成。再根据《引力论和宇宙论-广义相对论的原理和应用》，美国S.温伯格著，邹振隆，张历宁等译，科学出版社1980年出版。把白洞、黑洞的空间曲率描述出来。同时，根据上面得到的实数分布规律，我们就推测计算虫洞的数学模型。
第一部分 素数的分布
下面的内容可见《华罗庚文集》数论卷一堆垒素数论，华罗庚著，科学出版社，2010年出版。
说明
本文并无一般的引言，各章的第一段有主要结果的叙述。对于实数z,[z]表示不大于z的最大整数，而{z}表示由z到最近整数的距离。
2πiz 2πiz
e(z)=e , e (x)=e ,
q
k表示一正整数；P是充分大的正数，而L=logP。
max(a,b,...,g)表示a,b,...,g中最大的一个，而min(a,b,...,g)表示其中最小的一个。
如习常所用：a|b表示a整除b,a | b表示a不整除b。
l l l+1
本文中常用p表示素数，p ||n表示p |n而p |/n 。
c(a,b,...,g)表示某一依存于a,b,...,g的正数；
ε是任意小正数，但不一定在每次出现时都是一样的。
f(x)=O(φ(x))或f(x)<<φ(x)表示|f(x)|≤c(a,b,...,g)φ(x)。
在陈述定理时我们不用符号<<及O，而用如以上形式的不等式。
在证明中或引理中如果到符号<<或O, 而用如以上形式的不等式，在证明中或引理中如果用到符号<<或O，则其所包有的常数仅依赖于定理叙述中所涉及的a,b,...,g。如有特别声明，符号的含义可能有局部性的改变。
第3章 素数分布及与之相关的Riemann ζ-函数的性质
3.1素数定理
命π(x)表示不超过x的素数个数，从π(x)的最初几个函数值看来，π(x)似乎很不规则，但是随着数据的增加，可以看到，对于函数π(x)，可能有一渐进表示式。Legendre(119)猜想，对于充分大的x，π(x)渐进等于
x/（logx-1.08366） (58)
此处logx表示x的自然对数。Gauss(120)又独立地建议了一个类似而并不与它相等的公式，以一千个连续整数为单位，Gauss的方法在于计算每个单位中的素数个数，
[120]C.F.Gauss,Werke 2,2.Aufl,Gottingen,444-447,1976
他建议用函数1/logx来表示在大整数x附近的素数分布的平均密度（“单位区间中素数的百分率”），因此他用
x
∫ (du/logu) (59)
2
来渐进表示π(x),为了方便起见，常常用“对数积分”
x
lix=∫ (dx/logx)
2
1-η x du
lix= lim (∫ +∫ )
η→0 0 1+η logu
来代替上面的函数，这两个函数之差为一常数li2=1.4...。如果我们仅仅考虑主阶，则这两个猜想都可以陈述为
π(x)
lim =1 (60)
x→∞ x/logx
这就是通常所称的“素数定理”。这是素数分布理论中的中心定理。近百年来，决定素数定理真伪的问题，吸引了不少数学家的注意。首先在这个方向上作出重要贡献的是Чебьппев（121),
[121]П.Л.Чебышев(P.L.Tschebyschev),Sur la fonction qui determine la totalits des nombres premiers inferieurs a une limite donnee,
Memoires presentes a LAcademie Imperiale des sciences des St. Petersbourg par divers savants 6,141-157,1848-1851; J.Math.pur.appl.ser.I,17,341-365,1852;ceUVRES,i.27-48,1899; Memoire sur les nombres premiers,Memoires presentes a LAcademie Imperials des sciences de St.Petersbourg par divers savants,7,15-33,1850-1854.
J.Math.pur.appl.ser.I,17.366-390;1852;CEuvres,1,49-70,1899.
他在1848年与1850年证明了
π(x) π(x) 6
a≤ lim ≤1≤ lim ≤ a (61)
x→∞ x/logx x→∞ x/logx 5
此处a=0.92129,亦即他证明了：如果极限存在，则极限必定为1；而且当x充分大时，这个比例界于两个正常数之间。
注释：
lim 表示上极限，
x→∞
给定无穷序列{Xn},由它的一切收敛子序列的极限值所成之几何中元素的最大值，称为该无穷序列的上极限。
lim 表示下极限，
x→∞
有界数列的最大聚点就是它的上极限，而最小聚点就是它的下极限。比如通项为(-1)的n次方乘以n/(n+1)的点列，它的上极限为1，下极限为-1.
尽管Чебышеа所得到的数值上界被以后的数学家不断地加以改进，但这些数学家所用的方法，似乎是不可能导致问题的最终解决的。
我们只要找到素数分布的规律，根据陈景润证明的哥德巴赫猜想，可以得到某个函数值在定义域上的分布状况。再将这个分布数值用算筹表示出来，这些算筹组成的数据就可以形成一个图像，利用这个图像可以分析函数的数值取值。这样就达到利用函数图像推断函数取值的目的。
陈景润定理如下：任何一个充分大的偶数都可以表示成一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和。
Чебышеа引进了两个函数：
v(x)= ∑ logp (62)
p≤x
及 1/2 1/3
v(x)= ∑ logp= ∑ A(n)=v(x)+v(x )+v(x )+000 (63)
m
p ≤x n≤x
此处
log p,若n为素数p的方幂；
A(n)={
0，其他情形
他证明了下面两个公式都等价于素数定理：
v(x)~x (64)
与
ψ(x)~x (65)
最后，我们引证Sylvester(122)的话来说明Чебышев贡献的意义以及他对这个问题的展望：
注释：上面两个函数v(x),ψ(x)都是用来描述素数定理的函数，也就是说这两个函数的取值和素数定理中极限的取值是等价的。
[122]J.JSylvester,On Tschbyschev`s theory of the totality of Prime numbers comprised within given limits,Amer.J.Math.,4,230-247,1881
"但是要确立这种可能性的存在，我们或许要等待在世界上产生这样一个人，他的智慧与洞察力象Чебышев一样，证明自己是超人一等的“。当Sylvester写下这些东西的时候，Hadamard出生了，但是我们不应该仅仅归功于个别人的才华，前人的劳动，特别是Riemann的工作，为他证明素数定理开辟了道路。
3.2Riemann的解析方法
Riemann[123]在1859年提出的新思想是解决这个问题的钥匙，他的名著的意义不仅在于素数论，而且亦影响着一般函数论的发展，他引入了处理复变函数Ricmann ζ-函数。
∞ 1
ζ(s)= ∑ ,s=σ+it (66)
n=1 s
n
的想法。Euler在1737年将ζ(s)作为实变函数来研究。他亦得到在素数分不论上的若干应用。虽然Riemann的考虑主要并不在于π(x)的渐进表示，但他的分析已经明确指出了，在这个函数与ζ(s)的性质间有着密切的联系，特别与它在s平面上的零点分布有关。但是在大多数情况下，Rieann仅仅只给出了证明的不充分的指示。为了说明他的名著的价值，我们在这里概述一下他已经证明了的与猜想的结果。
由恒等式
2
∞ (s/2)-1 -n πx Γ(s/2) 1
∫ x e dx= ,σ>0
0 s/2 s
π n
注释：Γ(s/2)=(s/2-1)!, Γ(x)表示伽马函数
1.在实数域上伽马函数定义为：
+∞ x-1 -t
Γ(x)= ∫ t e dt(x>0)
0
2.在复数域上伽马函数定义为：
+∞ z-1 -t
Γ(x)= ∫ t e dt
0
注释完.
出发，我们得到：当σ>0时
2
Γ(s/2)ζ(s) ∞ ∞ (s/2)-1 -n πx ∞ (s/2)-1
= ∑ ∫ x e dx=∫ x ψ(x)dx
s/2 n=1 0 0
π
成立，此处
2
∞ -n πx
ψ(x)= ∑ e
n=1
由于当x>0时，
1
2ψ(x)+1= { 2ψ(1/x)+1}
√x
因此
2
-s/2 1 (s/2)-1 -n πx ∞ (s/2)-1
π Γ(s/2)ζ(s)=∫ x e dx+ ∫ x ψ(x)dx
0
1 ∞ (-s/2)-(1/2) (s/2)-1
= + ∫ (x +x )ψ(x)dx (67)
s(s-1) 1
最后的积分对于全体s都收敛，故由解析延拓可知。这个公式对于全体s都成立。由于当s换为1-s时，公式(67)的右端不改变，故得函数方程
2 1
ζ(1-s)= cos πsΓ(s)ζ(s) (68)
s 2
(2π)
由(67)可见，ζ(s)除了在s=1处有一个残数为1的一次极外，它在整个平面上是正则的。又因为σ>1时，
注释：正则函数，（regularfunction)又称全纯函数、解析函数，属于高等数学中的函数，可展开为幂级数的（实变）函数，称为正则函数。上述定义还适合于复变函数。在定义域内处处可微的复变（复值）函数，称为正则函数。
因为
∞ 1
ζ(s)= ∑ ,s=σ+it
n=1 s
n
2 ∞ z -1 1 z
Γ(s)= ∏ [(1+ ) (1+ ) ]
z n n
(伽马函数的欧拉无穷乘积定义)
所以
1 -1
ζ(s)= ∏ (1- ) (69)
p s
p
此处p经过全体素数，故当σ>1时，ζ(s)没有零点。因此由(68)可知，当σ<0时，ζ(s)除了在s=-2,-4,...处有一次零点之外，它没有其他零点。我们称这些零点为ζ(s)的“无聊零点”，ζ(s)可能有的其他零点ρ ,ρ ,...,都位于带状区域0≤σ≤1之中，因为
1 2
1-s 1 1 1
(1-2 )ζ(s)=1- + - +... >0,0<s<1 (70)
s s s
2 3 4
及ζ(0)≠0,所以ζ(s)在0与1之间的实轴段上没有零点，亦即ρ ,ρ ,...都是复数。
1 2
这些就是Rieman名著上已经证明了的关于函数ζ(s)的性质。他还提出了如下的猜想：
1)ζ(s)在带状区域0≤σ≤1中有无穷多个零点；
2)若N(T)表示ζ(s)在矩形0≤σ≤1，0<t<T中的零点个数，则
1 1+log(2π)
N(T)= TlogT- T+O(logT);
2π 2π
3)若以ρ=β+iγ来一般标记ζ(s)的非无聊零点，则
-2
∑ |ρ|
收敛，而
-1
∑ |ρ|
发散；
4)整函数
-s/2
ξ(s)=π (s-1)ζ(s)Γ((s/2)+1)
可以表为
bs s/ρ
ae ∏ (1-s/ρ)e
ρ
此处∏为绝对收敛的无穷乘积，其中ρ经过ζ(s)的全体非无聊零点；
ρ
5)ζ(s)的全体非无聊零点都位于直线σ=1/2上；
6)命
A(n)
∏(x)= ∑
2≤n≤x logn
及
1
∏(x)= (∏(x+0)+∏(x+0))
2
则有公式
ρ ∞ du
∏(x)= lix- ∑ lix +∫ -log2, x>1
ρ x 2
(u -1)ulogu
ρlogx
此处li x-li e 及
z
w u+vi e dz
li e =∫ ,w=u+iv, v≠0
-∞+vi z
这就是Riemann的素数公式。
实数分布公式的推导
由恒等式 2 ∞ (s/2)-1 -n πx Γ(s/2) 1 ∫ x e dx= ,σ>0 0 s/2 s π n
1
ζ(s)=
s
n
出发，我们得到：当σ>0时
2
Γ(s/2)ζ(s) ∞ ∞ (s/2)-1 -n πx ∞ (s/2)-1
= ∑ ∫ x e dx= ∫ x ψ(x)dx
s/2 n=1 0 0
π
成立，此处
2
∞ -n πx
ψ(x)= ∑ e
n=1
由于当x>0时，
1
2ψ(x)+1= {2ψ(1/x)+1}
√x
因此
2
-s/2 1 (s/2)-1 -n πx ∞ (s/2)-1
π Γ(s/2)ζ(s)= ∫ x e dx+∫ x ψ(x)dx
0 0
1 ∞ (-s/2)-(1/2) (s/2)-1
= + ∫ (x +x )ψ(x)dx (67)
s(s-1) 1
所以, 由恒等式 2 ∞ s/2 -n πx Γ(s/2+1) 1 ∫ x e dx= ,σ>0 0 s/2+1 s+1 π n
出发，我们得到：当σ>0时
2
Γ(s/2+1)ζ(s) ∞ ∞ s/2 -n πx ∞ (s/2)+1
=n ∑ ∫ x e dx= ∫ x ψ(x)dx
s/2 n=1 0 0
π
成立，此处
2
∞ -n πx
ψ(x)= ∑ e
n=1
由于当x>0时，
1
2ψ(x)+1= {2ψ(1/x)+1}
√x
因此
2
-s/2 1 (s/2)+1 -n πx ∞ (s/2)+1
π Γ[(s/2)+1]ζ(s)= ∫ x e dx+∫ x ψ(x)dx
0 0
1 ∞ (-s/2)+(1/2) (s/2)+1
= + ∫ (x +x )ψ(x)dx
s(s+1) 1
根据黎曼的素数公式有
4)整函数
-s/2
ξ(s)=π (s-1)ζ(s)Γ((s/2)+1)
由上面的推导可知
2
-s/2 1 (s/2)-1 -n πx ∞ (s/2)-1
π Γ(s/2)ζ(s)=∫ x e dx+ ∫ x ψ(x)dx
0
1 ∞ (-s/2)-(1/2) (s/2)-1
= + ∫ (x +x )ψ(x)dx (67)
s(s-1) 1
所以
2
-s/2 1 (s/2)+1 -n πx ∞ (s/2)+1
π Γ[(s/2)+1]ζ(s)= ∫ x e dx+∫ x ψ(x)dx
0 0
1 ∞ (-s/2)+(1/2) (s/2)+1
= + ∫ (x +x )ψ(x)dx
s(s+1) 1
-s/2
ξ(s)=π (s-1)ζ(s)Γ((s/2)+1)
s-1 ∞ (-s/2)+(1/2) (s/2)+1
= +(s-1) ∫ (x +x )ψ(x)dx
2 1
上式中ζ(s)表示黎曼素数公式中的素数分布函数，
我们只要找到素数分布的规律，根据陈景润证明的哥德巴赫猜想，可以得到某个函数值在定义域上的分布状况。再将这个分布数值用算筹表示出来，这些算筹组成的数据就可以形成一个图像，利用这个图像可以分析函数的数值取值。这样就达到利用函数图像推断函数取值的目的。
陈景润定理如下：任何一个充分大的偶数都可以表示成一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和。素数的分布和偶数的分布情况可以近似的反应整个实数的分布情况。1937年时前苏联数学家维诺格拉多夫已经证明充分大的奇质数都能写成三个质数的和，也称为“哥德巴赫-维诺格拉朵夫定理”或“三素数定理”。所以用偶数和质数的分布情况就可以反映整个实数的分布情况。也就是用陈景润定理和维诺拉朵夫定理的证明可以反应整个实数的分布规律。
我们还可以根据古希腊数学家欧几里得的《几何原本》数论卷中的命题Ⅶ.6，来用几个素数构成整个实数。这样，我们通过素数的分布规律，就得到整个实数的分布规律。《几何原本》数论卷中的命题Ⅶ.6如下：如果一小数是一大数的几部分，另一小数是另一大数的相同部分，那么小数之和也是大数之和的相同部分。
再根据上面推导出的计算积分的三角函数公式,斜率公式，把上面函数的积分计算出来。三角函数积分计算公式可查阅三角函数积分页，斜率积分计算公式可查阅斜率积分计算页。
再根据《相对论》奥地利物理学家W.泡利著，凌德洪，周万生译，上海科技出版社1979年出版，里面描述的空间曲率内容计算虫洞的空间曲率。上面得到的虫洞的空间曲率公式可以用实数的分布函数描述，这样就可以预估一个虫洞的形成。再根据《引力论和宇宙论-广义相对论的原理和应用》，美国S.温伯格著，邹振隆，张历宁等译，科学出版社1980年出版。把白洞、黑洞的空间曲率描述出来。
同时，根据上面得到的实数分布规律，我们就推测计算虫洞的数学模型。可以用下面的公式描述一个重洞的能量，时间和面积的关系。
2 2 2 2
dσ =c dt -ds
上式中，dσ表示形成虫洞的暗能量的导数，dt表示时间的导数，ds表示虫洞横截面积的导数。先将上面的公式通过商高定理，化简为关于ds的函数， 注：商高为我国西周数学家商高。 再将上面得到的实数的分布函数代入到ds的函数中，就得到虫洞横截面积的分布函数。将这个面积的分布函数值记录在算筹上，就可以得到一个函数图像，根据这个函数图像就可以预测虫洞的面积分布规律。根据我国东汉数学家徐岳的《数术记遗》，南北朝北周数学家甄鸾注解，中记录的太一，两仪，三才计算工具，记录上面的面积分布函数值，就可以得到一个函数图像，根据这个函数图像就可以预测虫洞的面积分布规律。
下面的内容，可参阅古希腊数学家欧几里得所著《几何原理》数论卷。 命题Ⅶ.6 如果小数是一大数的几部分，另一小数是另一大数的相同部分，那么小数之和也是大数之和的相同部分。 f
D H E
c
A G B
. 设：数AB是数c的几部分，另一个数DE是另一个数f的几部分，其比值与前者相等。 那么我说：AB与DE之和也是d与f之和的部分。因为：无论AB是c的怎样的几部分，DE也是f的同样的几部分。所以在AB中有c的多少个一部分，那么在DE中就有f的多少个一部分。分AB为c的几个一部分，即AG和GB；分DE为f的几个一部分，即DH和HE，那么，AG和GB的倍数量等于DH和HE的倍数量。又因为DH是f的部分，等于AG是c的部分。所以：AG与DH之和与c与f之和相等于AG与c的部分。 同理：GB与HE之和是c与f之和的相同部分，等于GB是c的部分（命题Ⅶ.5)。所以：AB与DE之和是c与f之和的相等部分，等于AB是c的部分。所以：如果一小数是一大数的几部分，另一小数是另一大数的相同部分，那么小数之和也是大数之和的相同部分。 证完。 注解： 这一命题述及分数的乘法，用代数表示即为： 如果a=(m/n)b,d=(m/n)c,那么a+d=(m/n)(b+e)，也可以表示为如下方程式： (m/n)b+(m/n)e=(m/n)(b+e) 本命题调用了命题Ⅶ.9.
根据素数的分布定理推导出。
素数的分布函数ξ(s)可以用下面的公式进行计算。
-s/2
ξ(s)=π (s-1)ζ(s)Γ[(s/2)+1)]
s-1 ∞ (-s/2)+(1/2) (s/2)+1
= +(s-1) ∫ (x +x )ψ(x)dx
2 1
s
根据陈景润定理的证明过程, 下面的内容可参见《纯粹数学与应用数学专著》第7号《哥德巴赫猜想》，潘承洞，潘承彪著，科学出版社1981年出版 225页。 在引言中我们已经详细叙述了利用筛法和算术数列中素数分布的均值定理来研究命题{1,b}，即一个大偶数表为一个素数和一个素数因子个数不超过b个的数之和这一重要问题的发展历史。1966年陈景润首先宣布他证明了命题{1,2} [18],并在1973年发表了全部证明[13]。 注释[18]：《大偶数表为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和》，科学通报，17（1966），385-386。 注释[19]：On the representation of a large even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes. Sei.Sin,.16(1973),157-176,
这一结果通常称为陈景润定理。最近，他进一步发展了证明命题{1,2}的方法，改进了关于一个偶数表为二个素数之和的表法的个数D(N)(见第七章4（41））的上界估计，这是一个重要的改进，本章的目的就是要利用第七章和第八章所得到的的结果来证明陈景润的这二个重要定理。
1.命题{1，2}
首先，我们将证明命题{1,4}和{1,3}。
设N为一大偶数，集合
Α=A(N)={a:a=N-p,p≤N} (1)
以及集合
Ρ={p:p|N}, (2)
这就是第七章1例2所讨论的。
所以为了利用Selberg筛选来估计筛函数S(A;P,z),我们可取
N
X=Li N ~
log N
d
w(d)= ,μ(d)≠0，(d，N)=1
φ(d)
注释：Li x表示对数积分
∞ dx
lix=∫
0 logx
且有,
d
r =π(N;d,N)- Li N=E (N;d,N),
d φ(d) 0
μ(d)≠0,(d,N)=1,
这时第七章的条件(8)及条件（33）均成立，且(33)式中的k=1, 所以这是线性的情形。这样，我们就可以利用第七章6的定理9和定理10来估计筛函数S(A;P,z)，这时所对应的余项就是我们第八章定理1的推论1所讨论的。再设b为一正整数，集合
[b] [b]
Α =A (N)={a:a∈A,v (a)≤b}, (3)
2
[b]
其中v (a)表示a的全部因子个数（按重数计），所以Α 是集合A中所有集合因子个数不
2
超过b个的元素所组成的子集。，这样，命题{1,b}就是要证明：对充分大的偶数N必有
[b]
|A |>0 (4)
定理1，命题{1,4}成立，且有
[4] N
|A |>3.24c(N)
2
log N
其中,
1 p-1
c(N)= ∏ (1- ) ∏ (5)
p>2 2 p|N p-2
(p-1) p>2
注释：p|N表示自然数p整除于自然数N,c(N)表示关于p的函数的无穷乘积
所以，设实数的分布函数是F(s)，它约等于偶数的分布函数，可以用它来表示偶数的分布函数。
根据陈景润定理
陈景润定理如下：任何一个充分大的偶数都可以表示成一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和。
[2]
F(s)=ξ(s)+2ξ(s)[A ]
[2]
F(s)=ξ(s)[1+2[A ]]
或
[3]
F(s)=ξ(s)+3ξ(s)[A ]
[3]
F(s)=ξ(s)[1+3[A ]]
或
[4]
F(s)=ξ(s)+4ξ(s)[A ]
[4]
F(s)=ξ(s)[1+4[A ]]
因为
-s/2
ξ(s)=π (s-1)ζ(s)Γ[(s/2)+1)]
s-1 ∞ (-s/2)+(1/2) (s/2)+1
= +(s-1) ∫ (x +x )ψ(x)dx
2 1
s
231页
由此及（11），（16）式即得
[3] N
|A |≥4(1+6log3-10log2)(1+o(1))c(N)
2
log N
这就证明了我们的定理。
[3]
上式中，[A ]代表是集合A中所有集合因子个数不超过3个的元素所组成的子集。
注释:o()表示高阶无穷小，O()表示同阶无穷小。
14.Ramanujan和：
C (m)=G (m),
q 0
X
q
0
X 为模q的主特征。
q
所以
[3] N
|A |≥8(1+6log3-10log2))c(N)
2
log N
[3] N
|A |≥8(1+6log3-10log2))c(N) ∑ eN
2 N=1
log N
所以
[3]
F(s)=ξ(s)[1+3[A ]]
s-1 ∞ (-s/2)+(1/2) (s/2)+1 s
=[ +(s-1) ∫ (x +x )ψ(x)]dx{1+3[8(1+6log3-10log2) ∑ es ]} 2 1 2 s=1 s log s
227页
在这里最佳可能是取b=4，故由(7),(9)及第七章(52）即得
[4] 3 N
|A |≥(1+o(1))8log c(N)
2 2
log N
这就证明了我们的定理。
[4]
上式中，[A ]代表是集合A中所有集合因子个数不超过4个的元素所组成的子集。
注释:o()表示高阶无穷小，O()表示同阶无穷小.
14.Ramanujan和：
C (m)=G (m),
q 0
X
q
0
X 为模q的主特征。
q
所以
[4] 3N
|A |≥16log ∑ eN
2 N=1
2log N
所以
[4]
F(s)=ξ(s)[1+4[A ]]
s-1 ∞ (-s/2)+(1/2) (s/2)+1 3s
=[ +(s-1) ∫ (x +x )ψ(x)dx]{1+4[16log ∑ es ]} 2 1 2 s=1 s 2log s
下面的内容可参见《纯粹数学与应用数学专著》第7号《哥德巴赫猜想》，潘承洞，潘承彪著，科学出版社1981年出版。
227页
在这里最佳可能是取b=4，故由(7),(9)及第七章(52）即得
[4] 3 N
|A |≥(1+o(1))8log c(N)
2 2
log N
这就证明了我们的定理。
[4]
上式中，[A ]代表是集合A中所有集合因子个数不超过4个的元素所组成的子集。
注释:o()表示高阶无穷小，O()表示同阶无穷小.
231页
由此及（11），（16）式即得
[3] N
|A |≥4(1+6log3-10log2)(1+o(1))c(N)
2
log N
这就证明了我们的定理。
[3]
上式中，[A ]代表是集合A中所有集合因子个数不超过3个的元素所组成的子集。
注释:o()表示高阶无穷小，O()表示同阶无穷小。
234页
证：在引理2中取b=3,v=10,并利用（16），（17）式可得
[2] 9/10
|A |≥ ∑ (1-ρ (a)/2)-Q /2+O(N )
a∈A, 1 2
1/10
(a,P(N ))=1
N N
≥4(1+6log3-10log2)(1+o(1))c(N) -Q /2+O( ) (19) 2 3 log N log N 其中,
Q = ∑ ρ (a)= ∑ ∑1 (20)
2 a∈A,(a,N)=1 2 1/10 1/3 1/2 a∈A,a=p p p
1/10 N ≤p <N ≤p <(N/p ) 1 2 3
(a,P(N ))=1 1 2 p <p ,p |/N
(p p ,N)=1 2 3 3
1 2
[2]
上式中，[A ]代表是集合A中所有集合因子个数不超过2个的元素所组成的子集。
解法1：
根据上面的推导，详细内容见斜率积分推导页
因为
2 4 6
a a a 6
f(x)=-lncosa+C= + + +o(a )
2 12 45
推导过程可参见《微积分学导论》，1958年版，曹一华，江体乾编译
推导过程可参见《无穷小分析基础》,苏联，И.И普里瓦诺夫，C.A加里别伦著
上式中
tga=y=f(x)=u(x)=y/x,
a=arctgy`,
所以
sina d(cosa)
f(x)= ∫tgada=∫ da=-∫ =-lncosa+C
cosa cosa
2 4 6
arctg y` arctg y` arctg y` 6
f(x)=-lncosa+C= + + +o(arctg y` )
2 12 40
所以,根据上面的推导实数的分布函数F(s)可以化简为
[4]
F(s)=ξ(s)[1+4[A ]]
s-1 ∞ (-s/2)+(1/2) (s/2)+1 3s
=[ +(s-1) ∫ (x +x )ψ(x)dx]{1+4[16log ∑ es ]} 2 1 2 s=1 s 2log s
2 4 6
s-1 arctg y` arctg y` arctg y`
= +(s-1) {1+2[ + + +o(arctg y`) ] 2 2 12 40 s
3s
*{1+4[16log ∑ es ]}
2 s=1
2log s
上式中y=tga，a=arctgy，
(-s/2)+(1/2) (s/2)+1
y`=(x +x )ψ(x)
2
∞ -n πx
ψ(x)= ∑ e
n=1
所以,根据上面的推导实数的分布函数F(s)可以化简为
[3]
F(s)=ξ(s)[1+3[A ]]
s-1 ∞ (-s/2)+(1/2) (s/2)+1 s
=[ +(s-1) ∫ (x +x )ψ(x)dx]{1+3[8(1+6log3-10log2) ∑ es ]}
2 1 2 s=1
s log s
2 4 6
s-1 arctg y` arctg y` arctg y`
= +(s-1) ( + + +o(arctg y`) ]
2 2 12 40
s
s
*{1+3[8(1+6log3-10log2) ∑ es ]}
2 s=1
log s
上式中 (-s/2)+(1/2) (s/2)+1 y`=(x +x )ψ(x)
2
∞ -n πx
ψ(x)= ∑ e n=1
解法2：
推导过程可参见《古今算学丛书，割圆密率捷法》，清光绪戊戌六月算学书局印成，清咸丰壬子年，蒙古族数学家明安图，湖北人戴煦识，夏鸾翔编写，1898年刘铎整理
f(x)=ln sec a+C=
2 4 6 8
a a 2 a 2 16 a 2 16 272
+ + +
2 2 34 2 34 56 2 34 56 78
f(x)=ln sec a+C=
2 4 6 8
arctg y arctg y 2 arctg y 2 16 arctg y 2 16 272
+ + +
2 2 34 2 34 56 2 34 56 78
推导过程参见《高等混合算学下册》，商务印书馆1925年出版，梧兹（Woods），巴雷（Bailey）著，长沙易俊元译
上式中
tga=y=f(x)=u(x)=y/x,
a=arctgy`,
lnsinθ=-lncscθ, lncosθ=-lnsecθ, lgtgθ=lgsecθ-lgcscθ, lgctgθ=lgcscθ-lgsecθ,
所以
sina d(cosa)
f(x)= ∫tgada=∫ da=-∫ =-lncosa+C=lnseca+C
cosa cosa
cos d(sina)
f(x)= ∫cotda=∫ da=-∫ =-lnsina+C
sina cosa
所以,根据上面的推导实数的分布函数F(s)可以化简为
[4]
F(s)=ξ(s)[1+4[A ]]
s-1 ∞ (-s/2)+(1/2) (s/2)+1 3s
=[ +(s-1) ∫ (x +x )ψ(x)dx]{1+4[16log ∑ es ]} 2 1 2 s=1 s 2log s
s-1
={ +(s-1) [
2
s
2 4 6 8
arctg y arctg y 2 arctg y 2 16 arctg y 2 16 272
+ + + ]}
2 2 34 2 34 56 2 34 56 78
3s
{1+4[16log ∑ es ]}
2 s=1
2log s
上式中y=tga，a=arctgy，
(-s/2)+(1/2) (s/2)+1
y`=(x +x )ψ(x)
2
∞ -n πx
ψ(x)= ∑ e n=1
解法3：
根据上面的推导，详细内容见斜率积分推导页 y=x*tga= 3 3
2 2
3t 9t 27 3t 9t 27
x*tg{ + + + - +
2 4 27 2 4 27
或, y=x*tga= 3 3
2 2
3t 9t 27 2 3t 9t 27
xtg{ε + + +ε - + }
2 4 27 2 4 27
或,
y=xtga=
3 3
2 2
2 3t 9t 27 3t 9t 27
x*tg{ε + + +ε - - + } 2 4 27 2 4 27
上式中，
3
a 4
t=a+ +o(a )
3
这样就得到由导数的斜率tga构成的原函数y, 也就是通过上面的办法通过导数u(x)计算得到原函数f(x)。
上式中
y=tga， a=arctgy，
3
arctg y 4 t=arctgy+ +o(a )
3
2
∞ -n πx
ψ(x)= ∑ e
n=1
所以,根据上面的推导实数的分布函数F(s)可以化简为
[4]
F(s)=ξ(s)[1+4[A ]]
s-1 ∞ (-s/2)+(1/2) (s/2)+1 3s
=[ +(s-1) ∫ (x +x )ψ(x)dx]{1+4[16log ∑ es ]} 2 1 2 s=1 s 2log s
s-1
={ +(s-1)
2
s
3 3
2 2
3t 9t 27 3t 9t 27
stg{ + + + - + }} 2 4 27 2 4 27
3s
*{1+2[16log ∑ es ]}
1 2 s=1
2log s
上式中
y=tga， a=arctgy，
3
arctg y 4 t=arctgy+ +o(a )
3
3
arctg y` 4
t=arctgy+ +o(arctgy)
3
2
∞ -n πx
ψ(x)= ∑ e n=1
所以,根据上面的推导实数的分布函数F(s)可以化简为
[3]
F(s)=ξ(s)[1+3[A ]]
s-1 ∞ (-s/2)+(1/2) (s/2)+1 s
=[ +(s-1) ∫ (x +x )ψ(x)dx]{1+3[8(1+6log3-10log2) ∑ es ]} 2 1 2 s=1 s log s
s-1
={ +(s-1)
2
s
3 3
2 2
3t 9t 27 3t 9t 27
stg{ + + + - + }} 2 4 27 2 4 27
s
{1+3[8(1+6log3-10log2) ∑ es ]}{
2 s=1
log s
上式中y=tga，a=arctgy，
3
arctg y` 4
t=arctgy`+ +o(a ) 3
3
arctg y` 4
t=arctgy+ +o(arctgy)
3
2
∞ -n πx
ψ(x)= ∑ e n=1
用三素数定理的推导过程
下面的资料可参见《数学学报》1977年3期，数学学报编辑委员会编辑，科学出版社1977年出版
定理：设,
N
T (x,N)= ∑ Λ(n)log e(nx) (5)
1 n≤N n
注释：Λ()表示数论中的卡迈克尔(carmichael)函数.
定义：
当n为1、2、4、奇质数次幂、奇质数的次幂的两倍时为欧拉函数。当n为2，4以外的2的次幂时为它的一半。
φ(n), n=1,2,3,4,5,6,7,9,10,11
λ(n)={
φ(n)/2, n=8,16,32,64,128,256...
k k-1
欧拉函数有φ(p )=p (p-1) 由算术基本定理，正整数n可写为质数的积
a a a
1 2 w(n)
n=p p ...p
1 2 w(n)
对于所有n,λ(n)是它们最小公倍数：
a a a
1 2 w(n)
λ(n)=lcm[λ(p ),λ(p ),...,λ(p )]
1 2 w(n)
例子：
λ(8)=2,
2
7 ≡1
注释结束.
若(a,h)=1,1≤q≤N，则
-1/2 10 3/4 1/4 13/2
T (h/q.N)<<Nq log N+N q log N
1
由我们的定理就可推出（4），因而就证明了三素数定理。为此需要下面熟知的引理（见[4]定理6.2）
上式中T (h/q,N)表示实数N的最小公倍数中素数的个数
1
因为三素数定理
所以实数的分布函数可以表示为
F(s)=sξ(s)T (h/q,N)
1
-1/2 10 3/4 1/4 13/2
=sξ(s)(N*3 log N+N 3 log N)
因为,
-s/2
ξ(s)=π (s-1)ζ(s)Γ((s/2)+1)
s-1 ∞ (-s/2)+(1/2) (s/2)+1
= +(s-1) ∫ (x +x )ψ(x)dx
2 1
所以
-1/2 10 3/4 1/4 13/2 s-1 ∞ (-s/2)+(1/2) (s/2)+1
F(s)=s(N*3 log N+N 3 log N)[ +(s-1) ∫ (x +x )ψ(x)dx]
2 1
s
解法1：
因为
2 4 6
a a a 6
f(x)=-lncosa+C= + + +o(a )
2 12 45
上式中
tga=y=f(x)=u(x)=y/x,
a=arctgy`,
2 4 6
arctg y` arctg y` arctg y` 6
f(x)=-lncosa+C= + + +o(arctg y` )
2 12 40
所以,根据上面的推导实数的分布函数F(s)可以化简为
-1/2 10 3/4 1/4 13/2 s-1
F(s)=s(N*3 log N+N 3 log N)[ +(s-1)[
2
s
2 4 6
arctg y` arctg y` arctg y` 6
+ + +o(arctg y` ) ]
2 12 40
上式中 (-s/2)+(1/2) (s/2)+1 y`=(x +x )ψ(x)
2
∞ -n πx
ψ(x)= ∑ e
n=1
解法2：
f(x)=ln sec a+C=
2 4 6 8
a a 2 a 2 16 a 2 16 272
+ + +
2 2 34 2 34 56 2 34 56 78
f(x)=ln sec a+C=
2 4 6 8
arctg y arctg y 2 arctg y 2 16 arctg y 2 16 272
+ + +
2 2 34 2 34 56 2 34 56 78
上式中y=tga, a=arctgy
所以,根据上面的推导实数的分布函数F(s)可以化简为
-1/2 10 3/4 1/4 13/2 s-1
F(s)=s(N3 log N+N 3 log N)[ +(s-1)[
2
s
2 4 6 8
arctg y arctg y 2 arctg y 2 16 arctg y 2 16 272
+ + + ]
2 2 34 2 34 56 2 34 56 7*8
上式中
(-s/2)+(1/2) (s/2)+1
y`=(x +x )ψ(x)
2
∞ -n πx
ψ(x)= ∑ e n=1
解法3： 根据上面的推导，详细内容见斜率积分推导页 y=x*tga= 3 3
2 2
3t 9t 27 3t 9t 27
x*tg{ + + + - +
2 4 27 2 4 27
或, y=x*tga=
3 3
2 2
3t 9t 27 2 3t 9t 27
xtg{ε + + +ε - + }
2 4 27 2 4 27
或,
y=xtga=
3 3
2 2
2 3t 9t 27 3t 9t 27
x*tg{ε + + +ε - - + } 2 4 27 2 4 27
上式中，
3
a 4
t=a+ +o(a )
3
这样就得到由导数的斜率tga构成的原函数y, 也就是通过上面的办法通过导数u(x)计算得到原函数f(x)。
上式中
y=tga， a=arctgy，
3
arctg y 4 t=arctgy+ +o(a )
3
所以,根据上面的推导实数的分布函数F(s)可以化简为
-1/2 10 3/4 1/4 13/2 s-1
F(s)=s(N*3 log N+N 3 log N)[ +(s-1)[
2
s
3 3
2 2
3t 9t 27 3t 9t 27
s*tg{ + + + - + ]
2 4 27 2 4 27
上式中
3
arctg y 4 t=arctgy+ +o(a )
3
(-s/2)+(1/2) (s/2)+1
y`=(x +x )ψ(x)
2
∞ -n πx
ψ(x)= ∑ e
n=1
上面得到的实数的分布函数可以用来描述虫洞模型，详细过程可参见虫洞分布函数页
第二部分 虫洞的空间曲率
下面的内容可参见《相对论》奥地利物理学家W.泡利著，凌德洪，周万生译，上海科技出版社1979年出版，
16.空间曲率
空间曲率的概念最初是由黎曼71）作为高斯曲面曲率推广到n维流形而引入的（参阅17）。
注释71：E.B.Christoffel,J. reine angew. Math.,70(1869)40.也可参阅R.Lipschitz,J.reine angew.Match.,70(1869).
黎曼的有关的推导见于1861年的一篇得奖论文中（Paris),直到1876年才出版，见于黎曼论文集的第一版，370页。
他对这个问题的分析研究，直到他的巴黎奖金论文集72）出版为止，
注释72：B.B.Christoffel,J.reine angew. Math., 70(1869)46.也可参阅R.Lipechitz,J. reine angew. Math.,70(1869)71.
黎曼的有关的推导见于1861年的一篇得奖论文中（Paris)，直到1876年才出版，见于黎曼论文集的第一版，370页。
一直没有被人知道：这个文集包含了他在这一方面用消去法和变分法的全部研究工作。
但是，在这以前，Christoffel73)和Lipschitz74)通过列出一定的二次型。
i k
g dx dx (g 为x的函数)
ik ik
变换为
i 2
∑ (dx ) (62)
i
所应满足的条件，已得到相同的结果。这表明它本身就是微分二次形式等价问题的特殊情况，
注释73）：见注释72）
注释74）：R.Lipschitz,J. reine angew. Math.,70(1869) 71,71 (1870)244及288，及72（1870）1，以及82（1877）316.
上列论文中的最后一篇在黎曼的得奖论文集发表以后才发表。这个问题Christoffel也曾研究过，就是，在什么条件下，两个二次型
i k i k
g dx dx 和g dx dx ik ik 可以相互转换，这个等价的普遍性问题，以前一直没有弄清楚是一个物理学上的重要问题。 Ricel和Levi-Civita75)用纯粹形式的方法推导了曲率张量， 注释75）：参见注释56 这方法比Christoffel的相当冗长的计算方法要简便得多，并为爱因斯坦76）所继承。 注释76）：参见注释56 后来，海森堡77）和Levi-Oivita78)从矢量平行位移的概念出发得出了曲率张量的、直观的几何解释。 注释77）：参见注释58a) 注释78）：参见注释65，同前，也可参阅Weyl在Raum-Zeit-Materie(第一版及第二版）中的讨论。 在14中，一个矢量的平行位移总是沿着一个给定的曲线的，从未涉及从一点P到另一任意点P的平行位移。
实际上，仅在欧几里得几何中，这个位移才与路径的选择无关。
i
然而，假使有一个矢量ξ 沿着封闭的曲线作平行位移，
*i i
我们所得到的一个矢量ξ 是与开始时的矢量ξ 不同的。这一事实可用来作为曲率张量的定义。
k k h
令具有两个参量的曲线族x =x (u,v)为已知，并令任意矢量ξ 从点P (u,v)开始，
00
交替地沿着v等于常数和u等于常数的曲线，经
P (u+△u,v),P ((u+△u,v+△v),P (u+△u,v),
10 11 01
*h h h
再回到P (u,v),显然两矢量之差ξ -ξ =△ξ 的数量级为△u△v,
00
因为当△u或△v有一个为零时，它也是零。这里显得重要的极限
h
△ξ
lim
△u→0 △u△v
△v→0
借助于（64）式立刻可以算出，结果为
h j k
△ξ h i Әx Әx
lim =R ξ (85) （Ә表示偏微分符号）
△u△v ijk Әu Әv
式中
h h
h ӘΓ ӘΓ
h ij ik h α h α
R = - +Γ Γ -Γ Γ (86)
ijk k j kα ij jα ik
Әx Әv
注释：Γ（）表示伽马函数，即Γ（n+1）=n！
h
公式（85）的左边具有矢量性质，由此可知右边也是一个矢量（应该注意的是△ξ 是同一
h
点的两个矢量的差）。因此，量R 是一个张量的分量。这个张量就是“混合”曲率张量，
ijk
或者用发现者的人名字来叫，称为Riemann-Christoffel张量。假如我们用微分来代替微分系数的话，公式（85）的意义就更明白一些，
j
Әx j
记 du为dx ,
Әu
k
Әx k
dv为δx , ,
Әv
并引入面张量↑
注释1↑：这个术语并未见之于文献。一个面张量的秩应与张量指标的数目不同这一点，对于今天的读者来说是特别不习惯的。例如曲率张量在这里被称为“二阶秩面张量”，
而它的指标的数目却为4.
jk j k k j
dσ =dx δx -dx δx
h
（因R 对j及k而言是反对称的），公式（85）可以写成78a) ijk
h 1 h i jk
△ξ = R ξ dσ , ,(87)
2 ijk
注释78a):对于一个二维流形，这方法导致高斯曲率与在一短程三角形三角之和过度（缺陷）之间的关系。这个关系已被高斯所证明。
导出公式（86）的同一步骤可以用来求出对于沿着上述封闭回路的平行位移的协变分量的变化。借助于公式（70），得
1 i jk
△ξ = R ξ dσ , ,(88)
h 2 ijk
式中,
h
ӘΓ ӘΓ
i,hk i,hj
R = - +g(Γ Γ -Γ Γ )
hijk j k α,hj β,ik α,hk β,ij
Әx Әx
2 2 2 2
Ә g Ә g Ә g Ә g
1 hj ik hk ij
= ( + - -
2 i k h j i j
Әx Әx Әx Әx Әx Әx Әx Әx
αβ
)+g (Γ Γ -Γ Γ ) (89)
α,hj β,ik α,hk β,ij
并且，不难证明
α
△ξ =g △ξ (90)
h hα
因此，R 是与R相联的协变分量，
hijk
α
R =g R (91)
hijk hα ijk
由公式（89）可知R 满足对称条件
hijk
R =-R =-R =R
hijk hikj ihjk jihi
} (92)
R +R +R =0
hijk hjki hkij
按照11，[协变]曲率张量就可以看做二秩“面”张量2↑。
注释2↑：见注释1↑
如海森堡79）所曾证明的，关系（92）也可以从曲率张量的定义（87）式直接求得。
注释79）：见注释58a)
因为黎曼用(hijk)代替R ,这些量有时也称为四指标符号。
hijk
在欧几里得空间中华，它们都是零，因为它们在那些g 等于常数的坐标系中一定为零，
ik
那么，根据它们的张量性质，在所有的坐标系中必须是零。
i k i 2
所以R 等于零就是g d d 可变换到∑(dx` ) 的必要条件。
ik
h
由二秩“面”张量R 经过收缩可以得到二秩“线”张量R ,
ijk ik
α αβ αβ
R =R =g R =g R (93)
ik iαk αiβk iαkβ
它的对称性质可以从下式看出：
αβ αβ αβ
g R =g R =g R
αiβk βkαi αkβi
借助于公式（86），它的分量可写出如下：
α α
ӘΓ ӘΓ
iα ik β α α β
R = - +Γ Γ -Γ Γ (94)
ik k α iα kβ ik αβ
Әx Әx
进一步收缩就导致曲率不变量79a)
ik
R=g R (95)
ik
应该注意的是Herglotz80)和Wyel在他最近的论文81）里用跟这里和其他作者相反的符号来规定曲率张量。
注释80）：G.Herglotz,"Zur Einstrinschen (Gravitationstheorie",S.b.naturf.Ges.,Lpe.,math.phys/Ki.,
68(1916)199
注释81）：H.Weyl,Math.Z.,2(1918)384;Raum-Zeit-Materie(第三版，Berlin 1920),100~102页。
17.黎曼坐标及其应用
有许多地方，用黎曼所用的坐标系比较方便。
i
设有一已知的任意坐标系x ，并令所有的短程线是从一任意点P 开始画出的。
0
k
它们的方向用在P 的具有分量（dx /ds) 的切向矢量来表征。
0
在P 的某一邻域中，经过给定点P以及P 仅存在一根短程线。
0 0
若短程线的弧长PP 为s,则点P可用以下的量确切地定出：
0
k dx
y =( ) s （96）
ds 0
k
y 称为黎曼坐标。显然，坐标系y与坐标系x在P 点相切，
0
因此，在这一点，张量g (并且，由于这个原因，任意张量的分量）在两个坐标系中是
ik 。
相等的。我们用一个零上标来区别它们，例如g .
ik
坐标系x中的任一变换在坐标系y中有一仿射变换与之对应。现在我们撇开坐标系x来研究黎曼坐标系中线元所取的形式。
i
首先，在P 点，Γ 必须为零，按照公式(80), 所有从P 开始的短程线具有线性方程
0 rs 0
。 i
Γ =0 （97）
rs
换句话说，黎曼坐标系在P 点是短程的。在任意点P,除了那一条经过P 的短程线以外，
0 0
没有从P点开始的其他短程线有线性方程，这可表示为
i r s
Γ (y)y y =0 （98）
rs
i
式中Γ (y)是点的坐标为y时短程分量的数值。这个方程必须对多有的y都成立。
rs
反之，若关系（97）和（98）对于一给定坐标系成立，则这个坐标系是黎曼坐标系。
2
可以证明81a),作为这些关系的结果，线元ds 必须有以下形式：
2 。 i k k i i h j k k j
ds =g dy dy + ∑ p (y)(y dy -y dy )(y dy -y dy ) (99)
ik (hi)(jk) hijk
注释81a)参阅Weber在黎曼论文集中的注释（第二版），405页，及F,Schur,Match,Ann.,27(1886)537/
求和对每一对指标（hi)和(jk)的所有可能的n(n-1)/2个组合进行。反之，方程（97）和（98)可以从方程（99）得出，所以，线元的这种形式是y坐标系为黎曼坐标系的充分和必要条件。p (y)是坐标y的正则函数，在y作线性变换时，
hijk
它具有二秩“面”张量的性质↑；它们总是可以用这样的方法确定81b)，
注释1↑：这个术语并未见之于文献。一个面张量的秩应与张量指标的数目不同这一点，对于今天的读者来说是特别不习惯的。例如曲率张量在这里被称为“二阶秩面张量”，而它的指标的数目却为4.
注释81b);H.Vermeil,Math.Ann,79(1918)289
即它们满足对称条件（53）（参阅11）。在原点["极“]的曲率张量与那里的p 的数值有一
hijk
很简单的关系连在一起，
。 。
R =3p (100)
hijk hijk
因此，这个表示法中的R 可以直接量度这种几何学与欧几里得几何学之间的偏离。
hijk
而且，黎曼认为在一个二维流形的情况（其中线元由下式给出：
2 2 2
ds =γ du +2γ dudv+γ dv )
11 12 23
注释：γ表示洛伦兹系数, 洛伦兹系数是一个重要的物理概念，在相对论中有着重要的应用。它描述了两个不同参照系之间的时间与空间的变换关系。洛伦兹系数的定义如下：设有两个相对运动的参考系S和S，则S中的一个时间间隔t和空间距离x，与S中对应的时间间隔t和空间距离x,之间满足以下变换关系：
2
t=γ(t-vx/c )
x=γ(x-vt)
其中，v为参考系S`相对于S的相对速度，c为光速，γ为洛伦兹因子，其表达式为：
2 2
γ=1/ (1-v /c )
洛伦兹系数的引入解决了相对论中的一系列问题，例如时间的相对性、长度的相对性、同时性的相对性等。它也为狭义相对论奠定了基础。
注释完。
曲率张量的唯一独立分量R ，可按照以下公式来确定曲面的高斯曲率K:
1212
R
1212
K=-
2
γ γ -γ
11 22
这可以将公式（89）直接与高斯公式比较来证明。
例如，若u,v为曲面的黎曼坐标，则线元的形式为
2 。 2 。 。 2 2
ds =γ du +2γ dudv+γ dv +π(u,v)(udv-vdu)
11 12 22
可以将上式化简为
2 。 。 。 2
ds =[γ +π(u,v)]du +2[γ -π(u,v)]dudv+[γ +π(u,v)]dv
11 12 22
上式中，素数分布函数π()，表示小于等于n的素数的数目。
例如：π(10)=4,(2,3,5,7是素数），π(a，b)表示a,b中素数的个数的和，字符上面的(。)符号表示两个坐标系在P点相切，P点的张量，u,v坐标，洛伦兹因子等各种参数。s表示短程线的最小弧长。
那么，由于公式（100）和（101），在P 点的高斯曲率也可以写成
0
。
3π
K=- （102）
。 。 。 2
γ γ -γ
11 22 12
关于K的符号的选择是有历史原因的，因为它与包围它的三维欧几里得空间R 有关而
3
与曲面本身的度规性质无关。
从线元的形式（99）看来，似乎选择相反的符号更自然一些，这样，以球为例，曲率将是负的。借助于黎曼坐标，空间R 的曲率概念可以与曲面的曲率概念联系起来。
n
i i
事实上，黎曼最初所想到的就是这种方法令两个方向分别由矢量ξ 和η 所表征。
这两个矢量的长度是无关紧要的。因而，这两个矢量可以确定线束
i i
ξ u+η v
和面方向
ik i k k i
ξ =ξ η -ξ η
沿着线束中的每一方向，我们从P 开始给出短程线。
0
这些短程线的集形成了一个曲面，它的曲率就是我们要决定的曲率，
曲面上的线元可以将
i i i
y =ξ u+η v
。
代入公式（99）求出，它将具有公式（102）的形式，其中γ 和π取以下数值
i
。 。 i k i
γ = g ξ ξ -ξ ξ ,
11 ik i
。 。 i k k i i
γ =[ g (ξ η +ξ η )]/2=ξ η
12 ik i
。 。 i k i
γ = g η η =η η
22 ik i
hi hi
π= ∑ p ξ ξ
(hi)(jk) hijk
公式（100）和（103）直接得出曲率的表达式（略去上标0）
hi hi hi hi
∑ p ξ ξ ∑ p ξ ξ
(hi)(jk) hijk (hi)(jk) hijk
-K= =
ik hi jk
( ξ ξ )/2 ∑ (g g -g g )( ξ ξ )
ik (hi)(jk) hi jk hj ij
所以线元ds可以化简为
2 。 2 。 。 2 2
ds =γ du +2γ dudv+γ dv +π(u,v)(udv-vdu)
11 12 22
。 。 i k i i i hi hi 2
ds =( g ξ ξ -ξ ξ )du+2ξ η +η η dv+∑ p ξ ξ (udv-vdu)
11 ik i i i (hi)(jk) hijk
ik
这个结果已经不再与黎曼坐标系有任何关系。ξ 的量值显然可以约去，因而我们得出的是与每一面方向有关的不变高斯曲率。这个曲率依照黎曼的说法称为在给定的面方向（在给它以相反符号以后）的空间R 的"截面“曲率。
n
这里量R 是二秩“面”张量的分量也变得显而易见了。↑
hijk
注释1↑：这个术语并未见之于文献。一个面张量的秩应与张量指标的数目不同这一点，对于今天的读者来说是特别不习惯的。例如曲率张量在这里被称为“二阶秩面张量”，而它的指标的数目却为4.
关于黎曼所导出的公式（104），Herglotz82)证明了收缩的曲率张量和曲率不变量也可以用几何方法来解释。
注释82）：参阅注80，在Herglots之前，H.A.Lorentz早已作了曲率不变量的解释，Veral,gewone Vergad.Akad.Amat.,24(1916)1389
他的结论如下，给定了n个正交方向，可定出(n/2)个面方向，假定K(r,s)是第r个和第s个矢量所张的曲面的“截面”曲率，则曲率不变量R等于累和的两倍，
R=2 ∑ K(rs) (105)
(rs)
[对所有的指标组合(rs)求和]。这个曲率和n个方向1，2，3.。。，n的选择无关，可以描述为
i
在特定的一点上的平均曲率R 。现在，若再有一个矢量ξ 决定的另一方向0，则
n
i k
R ξ ξ
2 ik
∑ K(or)sin (o,r)= （106）
(rs) i
ξ ξ
i
决定收缩的曲率张量（这个累和计算出来也与n个方向选择无关）。
这就是R 的张量性质和R的不变性的几何证明，而这两个性质以前都是用代数方法确定的。
ik
例如，若令正交方向中的一个，譬如1，与方向o重合，则
i k
R ξ ξ
ik n
= ∑ K(1r) （107）
i r=2
ξ ξ
i
最后，从公式（105）和（107）可以得出R 的平均曲率的表达式。 n-1 i R 与方向1垂直并由矢量ξ 表征， n-1
i k i k
R ξ ξ G ξ ξ
n 1 ik ik
∑ K(rs) = R- =- （108）
r=2 2 i i
ξ ξ ξ ξ
i i
式中
G =R -g R/2 (109)
ik ik ik
在广义相对论中，这个张量是很重要的，并称为爱因斯坦张量。此外，我们提一下Vermeil83)的一个简单定理，它是以线元的表达式99）为依据的。
注释83）：H.Vermeil,"Notiz uber das mittlere Krummungsmass einer n-fach ausgedehnten Riemannschen Mannigfaltgkeir``,Nachr.Ges.Wiss,Gottingen(1917)334
在欧几里得空间R 中，半径为r的[超越]球的体积有简单值 n n V =C r n n
式中C 为一数值因子，它的大小在这里是无关重要的。
n
在任意的黎曼流形中，V是r的复杂函数。
n
我们假定这个函数可以展成r的幂级数并仅保留C r 的后面的项，那么
n
2
n R r
V =C r {1+ +...} (110)
n n 6 n+2
式中R为球心的曲率不变量，微分上式，我们就得到球的表面S 的表达式
n
2
n-1 R r
S =nC r {1+ +...} (111)
n n 6 n
这个关系式可以用来作为曲率不变量的一个新的几何定义，
V
n 6(n+2)
R= lim ( -1)
r→∞ n 2
C r r
n
S
n 6n
= lim ( -1) (112) r→∞ n-1 2 nC r r n 黎曼坐标的引入，使一般坐标变换中的不变量问题简化为线性变换中的不变量问题84a）。 注释84a）：参阅在E. Noother,"Invarianten beliebiger Differentialausdrucke"文中的一般评论：Nachr. Ges.Wiss,Gottingen(1918)37,也可参阅H.Vermeil(参阅注81b) 因而可以证明，除了一个并不重要的常数因子以外，R为唯一的不变量。 这个不变量仅含有g 以及g 的一阶和二阶导数，并仅为后者的线性函数84b). ik ik 注释84b):H.Vermeil(参阅注83)及H.Weyl,Raum-Zeit-Materie(第四版）附录。还有，对于g 有这种性质的所有的二秩“线”张量具有以下形式： c R +c R +c g (113) 1 ik 2 ik 3 ik
(c ,c ,c 是常数）84a)。 1 2 3
下面的资料可参见《引力论和宇宙论-广义相对论的原理和应用》，美国S.温伯格著，邹振隆，张历宁等译，科学出版社1980年出版。
第六章 曲率
我们现在着手把等效原理应用到引力本身来建立引力场方程。上一章已经看到，应用这个原理的最方便的作法就是寻找广义协变的、又能在弱场时变成适当形式的场方程。因而必须提出这样的问题：由度规张量和它的导数能造出什么样的张量？在本章中我们把它作为纯粹的数学问题来处理，就像当年由Gauss和Riemann所作的那样；这里所汇集的知识将在下一章里用来指导我们去探索引力场方程。
1.曲率张量的定义
我们要从度规张量和它的导数造出一个张量。如果只用到g 和它的一阶导数，
μν
那么就不能造出任何新的张量，因为在任一点我们都可以找到一个坐标系，使其中的度规张量的一阶导数为零，因而在这样的坐标系里，所要的张量一定等于仅由度规张量所能构造的
μν μνλη
张量中的一个9例如，g 或g 或ε /√g等等），
μν
又因为这是张量之间的等式，故在所有坐标系中也必然成立。下一个简单的办法就是由度规张量以及它的一阶和二阶导数来造出一个张量，为此，让我们先回忆仿射联络的变换规则：
λ ρ σ λ 2 τ
λ Әx Әx Әx λ Әx Ә x Γ = Γ + (6.1.1)
μν τ μ ν ρσ τ μ ν
Әx Әx Әx Әx Әx Әx
（这就是方程（4.5.2），将其中带撇符号互换,)
λ
正是右边的非齐次项使Γ 不能成为一个张量，让我们把这一项孤立出来。
μν
2 τ τ σ ρ σ
Ә x` Әx` λ Әx` Әx` τ
= Γ` - Γ` (6.1.2)
μ ν λ μν μ ν ρσ
Әx Әx Әx Әx Әx
κ
为了去掉左边的项，我们利用偏微商的可交换性，对x 求微商得到
3 τ τ ρ σ
Ә x λ Әx η Әx Әx τ
=Γ ( Γ - Γ )
κ μ ν μν η κλ κ λ ρσ
Әx Әx Әx Әx Әx Әx
ρ σ η ξ
τ Әx` Әx` η Әx` Әx` σ
-
Γ ( Γ
- Γ) ρσ μ η κν κ ν ηξ Әx Әx Әx Әxσ ρ η ξτ Әx
Әxη ӘxӘxρ -
Γ ( Γ
- Γ) ρσ ν η κμ κ μ ηξ Әx Әx Әx Әxλ τ τ ӘΓ` ρ σ η ӘΓ`Әx
μν ӘxӘxӘxρσ
-
- λ κ μ ν κ ηӘx Әx Әx Әx Әx Әx
合并同类项并调整一下指标，便得到 λ 3 τ τ ӘΓ
Ә xӘxμν η λ
= ( +Γ Γ ) κ μ ν λ κ μν κη
Әx Әx Әx Әx Әxτ ρ σ η ӘΓ`Әx
ӘxӘx` ρσ η λ τ λ
-
( -Γ` Γ` -Γ` Γ` μ ν κ η ρλ ησ λσ ηρӘx Әx Әx Әx`
σ ρ ρ ρτ Әx
λ Әxλ ӘxӘx -
Γ (Γ
+Γ+Γ) (6.1.3) ρσ λ μν κ κν μ ν Әx Әx Әx Әx 减去ν和κ交换后的同一方程，我们便发现所有含Γ和Γ乘积的项都消去了，剩下的是 λ λ
τ ӘΓӘΓ
Әxμν μκ η λ η λ 0= ( - +ΓΓ-ΓΓ` ) λ κ ν μν κη μκ νη
Әx Әx Әxτ τ ρ σ η ӘΓ` ӘΓ`Әx
ӘxӘx` ρσ ρη η λ τ λ -
( - +Γ` Γ` -Γ` Γ` μ ν κ η σ ρλ ησ λσ ηρӘx Әx Әx Әx
Әx它可以写成交换规则： τ μ ν κ
τ ӘxӘxӘxӘxλ R = R ρση λ ρ σ η μνκ Әx Әx Әx Әx
其中 λ λ
ӘΓӘΓ
λ μν μκ η λ η λ R = - +ΓΓ-ΓΓ
μνκ κ ν μν κη μκ νη Әx Әx
λ
方程（6.1.4）表明R 是一张量：它叫做Riemann Christoffel曲率张量。 μνκ
λ
张量R 的存在又引起了等效原理或广义协变原理是否唯一得决定了引力对任意物理系 μνκ 统的作用的问题。 比如我们问，自旋为S 的自由下落栗子的正确的运动方程是否也可写成如下的形式 n 2 2 μ ν μ ν d x λ dx dx λ dx dx κ 0= +Γ +fR S (6.1.6) 2 μν μνκ dτ dτdτ dτ dτ (f是一未知标量)以代替熟悉的形式2 2 μ ν d x λ dx dx0= +Γ (6.1.7) 2 μν
dτ dτ dτ
方程(6.1.6)和(6.1.7)两者都是广义协变的，无引力场两者都正确的化为狭义相对论性方程dU /dτ=0。我们如何判别（6.1.6）或（6.1.7）哪一个正确。回答还是一个尺度问题。假设我们的粒子的特征线尺度为d，引力场的特征空-时尺度为D。Riemann-Christoffel张量比仿射联络多了一项度规的微商，所以（6.1.6）第三项和第二项之比是正比于1/D。量纲的考虑要求这个比例大致为d/D的量级。于是，除了这一项或那一项特别大或特别小的情况以外，只要我们的粒子和引力场的特征尺度相比是非常之小。我们总认为（6.1.6）的最后一项可以略去，而（6.1.7）是正确的运动方程。当然我们的粒子不是比引力场的尺度小很多（如月球在地球的引力场作用下的运动的情况），那么，我们还是必须把等效原理或广义协变原理应用到组成粒子的无限小的组元上，虽然（6.1.6）或（6.1.7）都可能对整个粒子的运动作出很好的唯象的解释。 下面的式子可以描述虫洞的空间曲率，虫洞是一个中心空洞，周围曲率密集的结构。 下面的内容可参见《相对论》奥地利物理学家W.泡利著，凌德洪，周万生译，上海科技出版社1979年出版， 例如，若u,v为曲面的黎曼坐标，则线元的形式为 2 。 2 。 。 2 2 ds =γ du +2γ dudv+γ dv +π(u,v)(udv-vdu) 11 12 22
可以将上式化简为 2 。 。 。 2
ds =[γ +π(u,v)]du +2[γ -π(u,v)]dudv+[γ +π(u,v)]dv 11 12 22
上式中，素数分布函数π()，表示小于等于n的素数的数目。 例如：π(10)=4,(2,3,5,7是素数），π(a，b)表示a,b中素数的个数的和，字符上面的(。)符号表示两个坐标系在P点相切，P点的张量，u,v坐标，洛伦兹因子等各种参数。s表示短程线的最小弧长。 所以线元ds可以化简为 2 。 2 。 。 2 2 ds =γ du +2γ dudv+γ dv +π(u,v)(udv-vdu) 11 12 22
。 。 i k i i i hi hi 2
ds =( g ξ ξ -ξ ξ )du+2ξ η +η η dv+∑ p ξ ξ (udv-vdu)
11 ik i i i (hi)(jk) hijk
用上面的式子描述虫洞的空间曲率。此时，ds表示虫洞中心孔洞的横截面的弧长，du表示形成虫洞中心孔洞的暗能量在x轴方向的大小，dv表示形成虫洞中心孔洞的暗能量在y轴上的大小。也可以用实数的分布函数F(x)描述虫洞中心孔洞的横截面弧长ds,这样根据实数的分布规律就会预计虫洞中心孔洞的横截面积。还可以使用商高定理将上面的公式变形以下，这样会更加方便利用实数分布函数F(x)进行计算。最后再将用实数分布函数F(x)计算的数字用算筹，太一，两仪，三才等计算工具表示出来，就会形成一个函数分布图像。利用这个函数分布图像就可以预估这个虫洞横截面弧长函数的取值。
有关算筹，太一，两仪，三才等计算工具的资料可参阅我国东汉数学家徐岳的《数术记遗》，南北朝北周数学家甄鸾注解，中的描写。
还可以用下面的公式描述虫洞，
2 (r/R )
u= v +(r/R -1)e s
s
2 (r/R )
u =v +(r/R -1)e s
s
上式中，u表示形成虫洞的暗能量强度，v表示形成虫洞的时间，r表示虫洞的横截面的圆的半径，R 表示黎曼 ζ-函数, 同时，也可以用上面推导的商高数，来近似求出u,v的解，
s
注释：
黎曼 ζ-函数可以表示成下面的形式：
1 1 1 1
ζ(s)= + + +... +
s s s s
1 2 3 n
黎曼 ζ-函数在s=0时的导数可以表示成下面的形式：
dζ
ζ(s)= =-(ln(1)+ln(2)+...ln(n))
ds s=0
黎曼 ζ-函数和黎曼函数的导数的图像可以表示成下面形式：
由上图可知，黎曼函数的导数和y轴的交点等于(-ln√2π),
即
dζ
=-ln(√2π)
ds s=0
ln(1*2*3*...*n) ln(1)+ln(2)+ln(3)+...
e =e
ln(√2π)
1*2*3*...*n=e
所以, 123*...*n=√2π
可参见高等教育出版社1953年出版，苏联菲赫金哥尔茨著《微积分教程》第二卷第二分册 下面的内容可参见无穷级数页。 注释：
∞ 1
∑ =L
n=1 s
n
例如，s=2,
1
1
∞ 1 1 2
∑ =1+ + =2.25
n=1 2 2 1
n 2 1-
1
2
[依s的值而决定的这个级数的和数，代表一个著名的黎曼函数ξ(s)，这个函数在数论中起着重要作用。]
