利用南十字星座测量经纬度的方法 一.球面三角形测量经纬度 下面资料下载网址是链接:pan.baidu.com/s/1tWVARhPs… 提取码:rzsd
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在地球球心O观察天球上的4个星星，这4个星星在天球上面形成的球面四边形是等边球面四边形。设球面正方形的中心是P，直线OP垂直于平面ABCD。OP和地球表面的交点是O。在地球上O点面观察天球上的四个星星，这四个星星在天球上面形成一个球面四边形ABCD，在地球上O1点面观察天球上的四个星星，这四个星星在天球上面形成一个球面四边形ABCD，在地球上O2点面观察天球上的四个星星，这四个星星在天球上面形成一个球面四边形ABCD。这四个星星在天球上面形成的球面正方形ABCD由两个球面三角形ABC,ADC组成。设直线AC和地球上的南北方向所在的直线平行，设直线BD和地球上的东西方向所在的直线平行，如下图2所示
在上图3中，根据尤拉球面三角形的定理，可知，
在球面三角形ABC中，设球面三角形的三个角分别是A1,B,C1,三条边分别为BC=a1,AC=b,AB=c1，∠BOC=a1,∠AOB=c1,∠AOC=b,
cosb-cosa1cosc1
cosB=
sina1sinc1
cosb-cosa1cosc1
B=arc cos( ) (1)
sina1sinc1
在上图4中，根据尤拉球面三角形的定理，可知, 在球面三角形ADC中，设球面三角形的三个角分别是A2,D,C2,三条边分别为CD=a2,AC=d,AD=c2, ∠AOD=c2,∠DOC=a2,∠AOC=d,
cosd-cosa2*cosc2
cosD= sina2*sinc2
cosd-cosa2*cosc2
D=arc cos( ) (2) sina2*sinc2
在上图5中，根据尤拉球面三角形的定理，可知, 在球面三角形ABD中，设球面三角形的三个角分别是A,B1,D1,三条边分别为BD=a,AD=b1,AB=d1, ∠BOD=a,∠AOD=b1,∠AOB=d1,
cosa-cosb1*cosd1
cosA= sinb1*sind1
cosa-cosb1*cosd1
A=arc cos( ) (3) sinb1*sind1
在上图6中，根据尤拉球面三角形的定理，可知， 在球面三角形BCD中，设球面三角形的三个角分别是B2,C,D2,三条边分别为DC=b2,BD=c,BC=d2，∠DOC=b2,∠BOD=c,∠BOC=d2,
cosc-cosb2*cosd2
cosC= sinb2*sind2
cosc-cosb2*cosd2
C=arc cos( ) (4) sinb2*sind2
在上图7中，在球面四边形ABCD中, ∠AOB=c1,∠BOC=a1,∠DOC=a2,∠AOD=c2, ∠AOB=d1,∠BOC=d2,∠DOC=b2,∠AOD=b1, ∠AOC=b,∠AOC=d,∠BOD=a,∠BOD=c, 上面的角度都可以在地面上通过六分仪测量得到, 球面四边形的4各边分别是AB,BC,CD,DA,4个角分别是A,B,C,D,
AB =c1=d1, BC =a1=d2, CD =a2=b2, DA =c2=b1 因为,
cosb-cosa1*cosc1
B=arc cos( ) (1) sina1*sinc1
cosd-cosa2*cosc2
D=arc cos( ) (2) sina2*sinc2
cosa-cosb1*cosd1
A=arc cos( ) (3) sinb1*sind1
cosc-cosb2*cosd2
C=arc cos( ) (4) sinb2*sind2 所以,
cosb-cosa1*cosc1
k1=arc cos( )
sina1*sinc1
cosd-cosa2*cosc2
k2=arc cos( )
sina2*sinc2
cosa-cosb1*cosd1
k3=arc cos( )
sinb1*sind1
cosc-cosb2*cosd2
k4=arc cos( )
sinb2*sind2
如上图8所示，球面四边形ABCD由球面三角形ABC,ADC组成,
因为球面四边形每条边都相等，所以,
∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD, ∠A=∠B=∠C=∠D=k,
因为,
cosb-cosa1cosc1
k1=arc cos( )
sina1sinc1
cosd-cosa2*cosc2
k2=arc cos( )
sina2*sinc2
cosa-cosb1*cosd1
k3=arc cos( )
sinb1*sind1
cosc-cosb2*cosd2
k4=arc cos( )
sinb2*sind2
所以,
cosb-cosa1*cosc1
k=arc cos( )
sina1sinc1
cosd-cosa2cosc2
=arc cos( )
sina2sinc2
cosa-cosb1cosd1
=arc cos( )
sinb1*sind1
cosc-cosb2*cosd2
=arc cos( )
sinb2*sind2
因为OP垂直于平面ABCD,P是正方形ABCD的中心，P,O,O在一条直线上,
所以，∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD,
. 如图9所示,
在地球上从O点开始沿南北方向AC向C点方向移动，到达M1点, 得到，直线M1O∥直线AC, 设 ∠O`OM1=m1,地球的半径是r, 得到, ∠AM1B=∠AM1D=s1,∠CM1B=∠CM1D=s2,
根据球面三角形BCD的性质可知,
s1-s2 m1
=
k4 2πr
2πr(s1-s2)
m1=
k4
设O`点的经度是j1,纬度是w1, 设M1点的经度是j2,纬度是w2, ji=j2, w2=w1+m1,
2πr(s1-s2)
w2=w1+
k4
如图10所示,
在地球上从O点开始沿南北方向AC向A点方向移动，到达M2点, 得到，直线M2O∥直线AC, 设 ∠O`OM2=m2,地球的半径是r, 得到∠AM2B=∠AM2D=s3,∠CM2B=∠CM2D=s4,
根据球面三角形ABD的性质可知,
s3-s4 m2 = k3 2πr
2πr(s1-s2)
m2=
k3.
设O`点的经度是j1,纬度是w1, 设M2点的经度是j3,纬度是w3, ji=j2, w3=w1+m2,
2πr(s3-s4)
w3=w1+
k3
如图11所示, 在地球上从O点开始沿东西方向BD向D点移动，到达N1点, 得到，直线N1O∥直线BD, 设set ∠O`ON1=n1,地球的半径是r, 得到, ∠AN1B=∠AN1D=h1,∠CN1B=∠CN1D=h2, 根据球面三角形ADC的性质可知
h1-h2 n1 = k2 2πr
2πr(h1-h2)
n1=
k2.
设O`点的经度是j1,纬度是w1, 设N1点的经度是j4,纬度是w4, j4=j1+n1, 2πr(h1-h2) j4=j1+ k2. w4=w1,
如图12所示, 在地球上从O点开始沿东西方向BD向B点移动，到达N2点, 得到，直线N2O∥直线BD, 设 ∠O`ON2=n2,地球的半径是r, 得到, ∠AN2B=∠AN2D=h3,∠CN1B=∠CN1D=h4, 根据球面三角形ABC的性质可知,
h3-h4 n2 = k1 2πr
2πr(h3-h4)
n2=
k1.
设O`点的经度是j1,纬度是w1, 设N2点的经度是j5,纬度是w5, j5=j1+n2,
2πr(h3-h4)
j5=j1+
k1.
w5=w1, 例如在南半球南回归线附近观察南十字座的4颗星, 南十字座的四颗星如下图13所示,
当AC朝向南北方向，CD朝向东西方向时在地球上的O`点观察4颗星星, 也就是说当南十字座指向南天极时在地面观察这4颗星星, 这4颗星星在天球上面组成了一个球面四边形ABCD，如下图14所示,
在地面O`点观察这4颗星星，O是地球的球心, 在上图14中，在球面四边形ABCD中, ∠AOB=c1,∠BOC=a1,∠DOC=a2,∠AOD=c2, ∠AOB=d1,∠BOC=d2,∠DOC=b2,∠AOD=b1, ∠AOC=b,∠AOC=d,∠BOD=a,∠BOD=c, 上面的角度都可以在地面上通过六分仪测量得到, 球面四边形的4各边分别是AB,BC,CD,DA,4个角分别是A,B,C,D
AB =c1=d1, BC =a1=d2, CD =a2=b2, DA =c2=b1
cosb-cosa1*cosc1
B=arc cos( ) (1) sina1*sinc1
cosd-cosa2*cosc2
D=arc cos( ) (2) sina2*sinc2
cosa-cosb1*cosd1
A=arc cos( ) (3) sinb1*sind1
cosc-cosb2*cosd2
C=arc cos( ) (4) sinb2*sind2
所以,
cosb-cosa1*cosc1
k1=arc cos( )
sina1*sinc1
cosd-cosa2*cosc2
k2=arc cos( )
sina2*sinc2
cosa-cosb1*cosd1
k3=arc cos( )
sinb1*sind1
cosc-cosb2*cosd2
k4=arc cos( )
sinb2*sind2
如上图15所示，在地球上G点观察星星，设O点的经纬度已知，经度是j1,纬度是w1，O，G两点在相同时间同时观察4颗星星, 设G点的经纬度未知，经度是j6,纬度是w6，
∠AGB=s1,∠CGB=s2,
∠AGD=s3,∠CGD=s4,
∠AGB=h1,∠CGB=h2,
∠AGD=h3,∠CGD=h4,
根据上面的证明，我们有,
2πr(h1-h2) 2πr(h3-h4)
+
k2 k1
j6=j1+
2
πr(h1-h2) πr(h3-h4) j6=j1+ + k2 k1
2πr(s1-s2) 2πr(s3-s4) - k4 k3 w6=w1+ 2
πr(s1-s2) πr(s3-s4) w6=w1+ - k4 k3 或者,
2πr[(h1-h2)+(h3-h4)]
j6=j1+
k2+k1
2
4πr[(h1-h2)+(h3-h4)]
j6=j1+ k2+k1
2πr[(s1-s2)+(s3-s4)]
w6=w1+
k4+k3
2
4πr[(s1-s2)+(s3-s4)]
w6=w1+ k4+k3
通过上面的公式我们就利用O`点的经纬度，星星和观察者之间的夹角就计算得到未知点的经纬度. 推导过程可见《三角学专门教程下册》C.И诺屋塞洛夫著1986年版, 由于星星距离地球很远，所以O1,O2,O3可以看成一点O, 如图16所示，在O1点观察三个星星形成的球面三角形A1B1C1，以O为球心，设球面三角形A1B1C1的三条边分别为a1,b1,c1,三个角分别为A1,B1,C1,
注：尤拉球面三角形定理如下：
对于任何的球面三角形，有三面角与之对应。该三面角的顶点在球面的中心，而棱是连接球面中心至三角形顶点的半径，反之，对于任意的，顶点在球面中心的三面角，有球面三角形与之对应，它是三面角在球面上所截成的, 如图5所示，互相对应的球面三角形和三面角的元素之间有下面的关系：
三角形的角A,B和C的大小是三面角的二面角的大小，而三角形的边a,b,c的大小是三面角的面角的大小。球面三角形（三面角）的元素间的关系可以解释为三面角（球面三角形）元素间的关系. 如上图5所示：互相对应的球面三角形ABC和三面角ABC有下面的关系, 球面三角形ABC的三个角A,B,C的大小是三面角ABC中二面角的大小, 球面三角形ABC的三个角A,B,C的大小是三面角ABC中二面角的大小, 就是说, 角A等于平面BOC和平面ABC的夹角，角B等于平面AOC和平面ABC的夹角，角C等于平面AOB和平面ABC的夹角，球面三角形ABC的三个边a,b,c的大小是三面角ABC中面角的大小, ∠BOC=a,∠AOC=b,∠AOB=c, 同时，根据球面三角形边的余弦公式，我们有,
cosa-cosbcosc
cosA=
. sinbsinc
cosb-cosa*cosc
cosB= . sina*sinc
cosc-cosa*cosd
cosC= . sina*sinb
二.星座测量经纬度的方法 下面介绍一种利用地球上已知经纬度地点，在未知经纬度地点测量和星座的夹角，来计算改点经纬度的方法, 如下图1所示，地球上的·A点,C点经纬度已知，A,B,C三点在地球球面上, A点纬度是a1，经度是a2，它的经纬度已知, B点纬度是b1，经度是b2，它的经纬度未知, C点纬度是c1，经度是c2，它的经纬度未知, 在同一时间，在A,B两点同时观察星星, AB=L1,BC=L2,AC=L3,
如图2所示，以地球球心纬坐标轴原点，以0°经线作为X轴，以东经90°经线作为Y轴，地球的南北极连线作为Z轴，作坐标系, A,C是地球表面上的两个点，它们在平面XOY上的投影分别是A,C, A点在正交坐标系下的坐标是(x1,y1,z1), B点在正交坐标系下的坐标是(x2,y2,z2), C点在正交坐标系下的坐标是(x3,y3,z3), 设地球的半径是r, 作AA1⊥OX,AA2⊥OY, 所以在直角三角形OA1A中, ∠A1OA就是A点的经度值a2, 即∠A1OA=a2, 所以, A1O=r*cosa2, A2O=A1A=rsina2, 所以,
x1=rcosa2 (1)
y1=rsina2 (2)
所以在直角三角形OAA中, ∠AOA就是A点的纬度值a1, 即∠AOA=a1, 所以, AA=rsina1, 所以,
z1=rsina1 (3)
这样就通过A点的经纬度计算出A点的坐标(x1,y1,z1), 作CC1⊥OX,CC2⊥OY, 所以在直角三角形OC1C中, ∠C1OC就是C点的经度值c2, 即∠C1OC =c2, 所以, C1O=r*cosc2, C2O=C1C=rsinc2, 所以,
x3=rcosc2 (4)
y3=rsinc2 (5)
所以在直角三角形OCC中, ∠COC就是C点的纬度值c1, 即∠COC`=c1, 所以, CC``=rsinc1, 所以
z3=rsinc1 (6)
这样就通过C点的经纬度计算出C点的坐标(x3,y3,z3), 如下图3所示，在正交坐标系中，
设OC,OA,AC均为空间向量，记作, OC, OA, AC 由向量的减法性质可知
AC = OA - OC 设set
AC =x4i+y4j+z4k
所以, x4i+y4j+z4k=(x1i+y1j+z1k)-(x3i+y3j+z3k)
x4i+y4j+z4k=(x1-x4)i+(y1-y3)j+(z1-z3)k
所以,
x4=x1-x3, y4=y1-y3, z4=z1-z3,
因为AC是向量, 所以,
2 2 2
｜AC｜= x4 +y4 +z4
2 2 2
｜AC｜= (x1-x3) +(y1-y3) +(z1-z3)
2 2 2
L3= (x1-x3) +(y1-y3) +(z1-z3) (7)
把(1),(2),(3),(4),(5),(6)代入(7)，得
2 2 2
L3= [(rcosa2)-(rcosc2)] -[(rsina2)-(rsinc2)] -[(rsina1)-(rsinc1)]
2 2 2
L3=r* (cosa2-cosc2) -(sina2-sinc2) -(sina1-sinc1) (8)
如下图4所示，在球面上的两点A,C，可以看成一个圆上的两点A,C,
这个圆的半径就是球体的半径r即地球的半径r, O是圆的圆心，A,C是圆上的两点, 在三角形AOC中，作OP⊥AC, 设∠AOC=g, 在直角三角形OPA中，∠AOP=g/2, AP=AC/2=L3/2, sin(g/2)=AP/OA, sin(g/2)=L3/2r, sin(g/2)=L3/2r,
2 2 2
sin(g/2)= (cosa2-cosc2) -(sina2-sinc2) -(sina1-sinc1) /2
2 2 2
g/2=arc sin[ (cosa2-cosc2) -(sina2-sinc2) -(sina1-sinc1) /2]
2 2 2
g=2*arc sin[ (cosa2-cosc2) -(sina2-sinc2) -(sina1-sinc1) /2] (8)
因为圆的周长是2πr, 圆弧AC的弧长是,
AC =gr (9)
下面介绍利用地球上已知经纬度点，通过观测星星高度角，来计算未知经纬度点的方法,
如上图5所示, 在地球上两点A经纬度已知，B点,C点经纬度未知，设C点也在地球表面，三角形ACB是直角三角形，∠ACB=90°, 在地球上一点B和A点的距离AB=L1,在地球上一点C和A点的距离AC=L2,在地球上一点B和C点的距离BC=L3, 在A点分别观测北斗星中的3颗星，得到它们的高度角为α1，β1，γ1, 高度角就是在该点垂直于地面的直线和星星到该点的连线的夹角, 在B点分别观测北斗星中的3颗星，得到它们的高度角为α2，β2，γ2, 假设在C点分别观测北斗星中的3颗星，得到它们的高度角为α3，β3，γ3, 上面的α3，β3，γ3是未知量，需要计算才能得到, 由于北斗星7颗星都是恒星，且距地球比较遥远，大概都在2000光年左右，所以可以近似的将北斗星看成在一个平面上，并可设这个平面和地球上3点连线组成的平面ABC平行, 设北斗星中3颗星分别是D,E,F, 做AA垂直于地球表面，做BB垂直于地球表面,做CC垂直于地球表面, 由于北斗星距离地球非常遥远，所以可以近似的认为, A点是A点在平面DEF上面的投影，B点是B点在平面DEF上面的投影，C点是C点在平面DEF上面的投影，则有, 平面ABC平行于平面ABC,AA≈BB≈CC=H, 作AA⊥DA,作EE``⊥AB,作FF⊥AB,作DD1⊥AB,作EE1⊥AB,作FF1⊥AB,则有, ∠AAD=α1，∠AAE=β1，∠AAF=γ1，
∠BBD=α2，∠BBE=β2，∠BBF=γ2， ∠CCD=α3，∠CCE=β3，∠CCF=γ3，
在直角三角形AAD中, AD=AA*tgα1=H*tgα1, AD=AA/cosα1=H/cosα1,
在直角三角形AAE中, AE=AA*tgβ1=H*tgβ1, AE=AA/cosβ1=H/cosβ1,
在直角三角形AAF中, AF=AA*tgγ1=H*tgγ1, AF=AA/cosγ1=H/cosγ1,
在直角三角形BBD中, BD=BB*tgα2=H*tgα2, BD=BB/cosα2=H/cosα2,
在直角三角形BBE中, BE=BB*tgβ2=H*tgβ2, BE=BB/cosβ2=H/cosβ2,
在直角三角形BBF中, BF=BB*tgγ2=H*tgγ2, BF=BB/cosγ2=H/cosγ2,
在直角三角形CCD中, CD=CC*tgα3=H*tgα3, CD=CC/cosα3=H/cosα3,
在直角三角形CCE中, CE=CC*tgβ3=H*tgβ3, CE=CC/cosβ3=H/cosβ3,
在直角三角形CCF中, CF=CC*tgγ3=H*tgγ3, CF=CC/cosγ3=H/cosγ3,
在直角三角形AD1D中, 2 2 2 (AD) =(A`D1) +(DD1)
2 2 2
(H*tgα1) =(A`D1) +(DD1)
2 2 2
(Htgα2) -(BD1) =(DD1) 代入上式，得, 2 2 2 2 (H*tgα1) -(AD1) =(Htgα2) -(B`D1)
2 2 2 2
(Htgα1) -(Htgα2) =(AD1) -(BD1)
2 2
(Htgα1) -(Htgα2) =(AD1+BD1)(AD1-BD1) (10)
在直角三角形AE1E中, 2 2 2 (AE) =(A`E1) +(EE1)
2 2 2
(H*tgβ1) =(A`E1) +(EE1)
2 2 2
(H*tgβ1) -(A`E1) =(EE1)
在直角三角形BE1E中, 2 2 2 (BE) =(B`E1) +(EE1)
2 2 2
(H*tgβ2) =(B`E1) +(EE1)
2 2 2
(Htgβ2) -(BE1) =(EE1) 代入上式，得 2 2 2 2 (H*tgβ1) -(AE1) =(Htgβ2) -(B`E1)
2 2 2 2
(Htgβ1) -(Htgβ2) =(AE1) -(BE1)
2 2
(Htgβ1) -(Htgβ2) =(AE1+BE1)(AE1-BE1) (11)
在直角三角形AF1F中, 2 2 2 (BF) =(B`F1) +(FF1)
2 2 2
(H*tgγ1) =(A`F1) +(FF1)
2 2 2
(H*tgγ1) -(A`F1) =(FF1)
在直角三角形BF1F中, 2 2 2 (BF) =(B`F1) +(FF1)
2 2 2
(H*tgγ2) =(B`F1) +(FF1)
2 2 2
(Htgγ2) -(BF1) =(FF1) 代入上式，得, 2 2 2 2 (H*tgγ1) -(AF1) =(Htgγ2) -(B`F1)
2 2 2 2
(Htgγ1) -(Htgγ2) =(AF1) -(BF1)
2 2
(Htgγ1) -(Htgγ2) =(AF1+BF1)*(AF1-BF1) (12)
因为A,D1,E1,F1,B在一条直线上, 所以,
AD1+BD1=AB,AE1+BE1=AB,AF1+BF1=AB,
如上图6所示，作DD2⊥AB,作EE2⊥AB,作FF2⊥AB, 则有 , 在直角三角形AD2D中,
2 2 2
(AD) =(AD2) +(DD2)
2 2 2
(H/cosα1) =(AD2) +(DD2)
2 2 2
(H/cosα1) -(AD2) =(DD2)
在直角三角形BD2D中,
2 2 2
(BD) =(BD2) +(DD2)
2 2 2
(H/cosα2) =(BD2) +(DD2)
2 2 2
(H/cosα2) -(BD2) =(DD2)
代入上式，得,
2 2 2 2
(H/cosα1) -(AD2) =(H/cosα2) -(BD2)
2 2 2 2
(H/cosα1) -(H/cosα2) =(AD2) -(BD2)
2 2
(H/cosα1) -(H/cosα2) =(AD2+BD2)(AD2-BD2) (13)
在直角三角形AE2E中,
2 2 2
(AE) =(AE2) +(EE2)
2 2 2
(H/cosβ1) =(AE2) +(EE2)
2 2 2
(H/cosβ1) -(AE2) =(EE2)
在直角三角形BE2E中,
2 2 2
(BE) =(BE2) +(EE2)
2 2 2
(H/cosβ2) =(BE2) +(EE2)
2 2 2
(H/cosβ2) -(BE2) =(EE2) 代入上式，得, 2 2 2 2 (H/cosβ1) -(AE2) =(H/cosβ2) -(BE2)
2 2 2 2
(H/cosβ1) -(H/cosβ2) =(AE2) -(BE2)
2 2
(H/cosβ1) -(H/cosβ2) =(AE2+BE2) (AE2-BE2) (14)
在直角三角形AF2F中,
2 2 2
(AF) =(AF2) +(FF2)
2 2 2
(H/cosγ1) =(AF2) +(FF2)
2 2 2
(H/cosγ1) -(AF2) =(FF2)
在直角三角形BF2F中,
2 2 2
(BF) =(BF2) +(FF2)
2 2 2
(H/cosγ2) =(BF2) +(FF2)
2 2 2
(H/cosγ2) -(BF2) =(FF2) 代入上式，得, 2 2 2 2 (H/cosγ1) -(AF2) =(H/cosγ2) -(BF2)
2 2 2 2
(H/cosγ1) -(H/cosγ2) =(AF2) -(BF2)
2 2
(H/cosγ1) -(H/cosγ2) =(AF2+BF2) (AF2-BF2) (15)
因为A,D2,E2,F2,B在一条直线上, 所以,
AD2+BD2=AB, AE2+BE2=AB, AF2+BF2=AB
因为平面ABC平行于平面ABC，AA垂直于ABC,BB垂直于ABC,CC垂直于ABC,所以, AB=AB,BC=BC,AC=AC,平面EE1E2垂直于平面AABB, 因为, AD1+BD1=AB,AE1+BE1=AB,AF1+BF1=AB,AD2+BD2=AB, AE2+BE2=AB, AF2+BF2=AB, 所以, AD1+BD1=AD2+BD2, AE1+BE1=AE2+BE2, AF1+BF1=AF2+BF2, AD1-BD1=AD2-BD2, AE1-BE1=AE2-BE2, AF1-BF1=AF2-BF2, 因为, 2 2 (H*tgα1) -(H*tgα2) =(AD1+BD1)(AD1-B`D1) (10)
2 2
(H/cosα1) -(H/cosα2) =(AD2+BD2)(AD2-BD2) (13)
所以,
AD1=H*tgα1, BD1=Htgα2, AD2=H/cosα1, BD2=H/cosα2,
AB=Htgα1+Htgα2, AB=H/cosα1+H/cosα2, (30)
Htgα1+Htgα2 =H/cosα1+H/cosα2,
因为,
2 2
(Htgβ1) -(H*tgβ2) =(AE1+BE1)(AE1-BE1) (11)
2 2
(H/cosβ1) -(H/cosβ2) =(AE2+BE2) (AE2-BE2) (14)
所以,
AE1=H*tgβ1, BE1=Htgβ2, AE2=H/cosβ1, BE2=H/cosβ2,
AB=Htgβ1+Htgβ2, AB=H/cosβ1+H/cosβ2, (31)
Htgβ1+Htgβ2=H/cosβ1+H/cosβ2,
因为,
2 2
(Htgγ1) -(Htgγ2) =(AF1+BF1)(AF1-BF1) (12)
2 2
(H/cosγ1) -(H/cosγ2) =(AF2+BF2) (AF2-BF2) (15)
所以,
AF1=H*tgγ1, BF1=Htgγ2, AF2=H/cosγ1, BF2=H/cosγ2,
AB=Htgγ1+Htgγ2, AB=H/cosγ1+H/cosγ2, (32)
Htgγ1+H*tgγ2=H/cosγ1+H/cosγ2,
如上图7所示，作DD3⊥AC,作EE3⊥AC,作FF3⊥AC,则有, 在直角三角形AD3D中, 2 2 2 (AD) =(A`D3) +(DD3)
2 2 2
(H*tgα1) =(AD3) +(DD3) 2 2 2 (H*tgα1) -(AD3) =(DD3)
在直角三角形CD3D中, 2 2 2 (CD) =(C`D3) +(DD3)
2 2 2
(H*tgα3) =(C`D3) +(DD3)
2 2 2
(Htgα3) -(CD3) =(DD3) 代入上式，得, 2 2 2 (H*tgα1) -(AD3) =(Htgα3) -(C`D3)
2 2 2
(Htgα1) -(Htgα3) =(AD3) -(CD3)
2 2
(Htgα1) -(Htgα3) =(AD3+CD3)(AD3-CD3) (16)
在直角三角形AE3E中, 2 2 2 (AE) =(A`E3) +(EE3)
2 2 2
(H*tgβ1) =(A`E3) +(EE3)
2 2 2
(H*tgβ1) -(AE3) =(EE3) 在直角三角形CE3E中,
2 2 2
(CE) =(CE3) +(EE3)
2 2 2
(H*tgβ3) =(C`E3) +(EE3)
2 2 2
(H*tgβ3) -(C`E3) =(EE3)
代入上式，得
2 2 2 2
(H*tgβ1) -(AE3) =(H*tgβ3) -(CE3)
2 2 2 2
(Htgβ1) -(Htgβ3) =(AE3) -(CE3)
2 2
(Htgβ1) -(Htgβ3) =(AE3+CE3)(AE3-CE3) (17)
在直角三角形AF3F中, 2 2 2 (AF) =(A`F3) +(FF3)
2 2 2
(H*tgγ1) =(A`F3) +(FF3)
2 2 2
(H*tgγ1) -(AF3) =(FF3) 在直角三角形CF3F中,
2 2 2
(CF) =(CF3) +(FF3)
2 2 2
(H*tgγ3) =(C`F3) +(FF3)
2 2 2
(Htgγ3) -(CF3) =(FF3) 代入上式，得, 2 2 2 2 (H*tgγ1) -(AF3) =(Htgγ3) -(C`F3)
2 2 2 2
(Htgγ1) -(Htgγ3) =(AF3) -(CF3)
2 2
(Htgγ1) -(Htgγ3) =(AF3+CF3)*(AF1-CF3) (18)
因为A,D3,E3,F3,C在一条直线上, 所以,
AD3+CD3=AC,AE3+CE3=AC,AF3+CF3=AC,
如上图8所示，作DD4⊥AC,作EE4⊥AC,作FF4⊥AC, 则有, 在直角三角形AD4D中,
2 2 2
(AD) =(AD4) +(DD4)
2 2 2
(H/cosα1) =(AD4) +(DD4)
2 2 2
(H/cosα1) -(AD4) =(DD4)
在直角三角形CD4D中,
2 2 2
(CD) =(CD4) +(DD4)
2 2 2
(H/cosα3) =(CD4) +(DD4)
2 2 2
(H/cosα3) -(CD4) =(DD4) 代入上式，得 2 2 2 2 (H/cosα1) -(AD4) =(H/cosα3) -(CD4) 2 2 2 2 (H/cosα1) -(H/cosα3) =(AD4) -(CD4) 2 2 (H/cosα1) -(H/cosα3) =(AD4+BD4)(AD4-BD4) (19) 在直角三角形AE4E中, 2 2 2 (AE) =(AE4) +(EE4) 2 2 2 (H/cosβ1) =(AE4) +(EE4) 2 2 2 (H/cosβ1) -(AE4) =(EE4) 在直角三角形CE4E中, 2 2 2 (CE) =(CE4) +(EE4)
2 2 2
(H/cosβ3) =(CE4) +(EE4)
2 2 2
(H/cosβ3) -(CE4) =(EE4) 代入上式，得 2 2 2 2 (H/cosβ1) -(AE4) =(H/cosβ3) -(CE4)
2 2 2 2
(H/cosβ1) -(H/cosβ3) =(AE4) -(CE4)
2 2
(H/cosβ1) -(H/cosβ3) =(AE4+CE4) (AE4-CE4) (20)
在直角三角形AF4F中,
2 2 2
(AF) =(AF4) +(FF4)
2 2 2
(H/cosγ1) =(AF4) +(FF4)
2 2 2
(H/cosγ1) -(AF4) =(FF4)
在直角三角形CF4F中,
2 2 2
(CF) =(CF4) +(FF4)
2 2 2
(H/cosγ3) =(CF4) +(FF4)
2 2 2
(H/cosγ3) -(CF4) =(FF4) 代入上式，得, 2 2 2 2 (H/cosγ1) -(AF4) =(H/cosγ3) -(CF4)
2 2 2 2
(H/cosγ1) -(H/cosγ3) =(AF4) -(CF4)
2 2
(H/cosγ1) -(H/cosγ3) =(AF4+CF4) (AF4-CF4) (21)
因为A,D4,E4,F4,C在一条直线上, 所以,
AD4+CD4=AC, AE4+CE4=AC, AF4+CF4=AC,
因为平面ABC平行于平面ABC，AA垂直于ABC,BB垂直于ABC,CC垂直于ABC,所以, AB=AB,BC=BC,AC=AC,平面EE1E2垂直于平面AABB, 因为, AD1+BD1=AB,AE1+BE1=AB,AF1+BF1=AB,AD2+BD2=AB, AE2+BE2=AB, AF2+BF2=AB, 所以, AD1+BD1=AD2+BD2, AE1+BE1=AE2+BE2, AF1+BF1=AF2+BF2, AD1-BD1=AD2-BD2, AE1-BE1=AE2-BE2, AF1-BF1=AF2-BF2, 因为, 2 2 (H*tgα1) -(H*tgα3) =(AD3+CD3)(AD3-C`D3) (16)
2 2
(H/cosα1) -(H/cosα3) =(AD4+BD4)(AD4-BD4) (19)
所以, AD3=H*tgα1, CD3=Htgα3, AD4=H/cosα1, BD4=H/cosα3,
AC=Htgα1+Htgα3, AC=H/cosα1+H/cosα3, (33)
Htgα1+Htgα3=H/cosα1+H/cosα3
因为,
2 2
(Htgβ1) -(H*tgβ3) =(AE3+CE3)(AE3-CE3) (17)
2 2
(H/cosβ1) -(H/cosβ3) =(AE4+CE4) (AE4-CE4) (20)
所以,
AE3=H*tgβ1, CE3=Htgβ3, AE4=H/cosβ1, CE4=H/cosβ3,
AC=Htgβ1+Htgβ3, AC=H/cosβ1+H/cosβ3, (34)
Htgβ1+Htgβ3=H/cosβ1+H/cosβ3,
因为,
2 2
(Htgγ1) -(Htgγ3) =(AF3+CF3)(AF1-CF3) (18)
2 2
(H/cosγ1) -(H/cosγ3) =(AF4+CF4) (AF4-CF4) (21)
所以, AF3=H*tgγ1, CF3=Htgγ3, AF4=H/cosγ1, CF4=H/cosγ3,
AC=Htgγ1+Htgγ3, AC=H/cosγ1+H/cosγ3, (35)
Htgγ1+H*tgγ3=H/cosγ1+H/cosγ3,
如上图9所示，作DD5⊥BC,作EE5⊥BC,作FF5⊥BC,则有, 在直角三角形BD5D中, 2 2 2 (BD) =(B`D5) +(DD5)
2 2 2
(H*tgα2) =(B`D5) +(DD5)
2 2 2
(H*tgα2) -(BD5) =(DD5) 在直角三角形CD5D中,
2 2 2
(CD) =(CD5) +(DD5)
2 2 2
(H*tgα3) =(C`D5) +(DD5)
2 2 2
(Htgα3) -(CD5) =(DD5) 代入上式，得 2 2 2 2 (H*tgα2) -(BD5) =(Htgα3) -(C`D5)
2 2 2 2
(Htgα2) -(Htgα3) =(BD5) -(CD5)
2 2
(Htgα2) -(Htgα3) =(BD5+CD5)(BD5-CD5) (22)
在直角三角形BE5E中, 2 2 2 (BE) =(B`E5) +(EE5)
2 2 2
(H*tgβ2) =(B`E5) +(EE5)
2 2 2
(H*tgβ2) -(BE5) =(EE5) 在直角三角形CE5E中,
2 2 2
(CE) =(CE5) +(EE5)
2 2 2
(H*tgβ3) =(C`E5) +(EE5)
2 2 2
(Htgβ3) -(CE5) =(EE5) 代入上式，得 2 2 2 2 (H*tgβ2) -(BE5) =(Htgβ3) -(C`E5)
2 2 2 2
(Htgβ2) -(Htgβ3) =(BE5) -(CE5)
2 2
(Htgβ2) -(Htgβ3) =(BE5+CE5)(BE5-CE5) (23)
在直角三角形BF5F中, 2 2 2 (BF) =(B`F5) +(FF5)
2 2 2
(H*tgγ2) =(B`F5) +(FF5)
2 2 2
(Htgγ2) -(BF5) =(FF5) 在直角三角形CF5F中,
2 2 2
(CF) =(CF5) +(FF5)
2 2 2
(Htgγ3) =(C`F5) +(FF5)
2 2 2
(Htgγ3) -(CF5) =(FF5) 代入上式，得 2 2 2 2 (H*tgγ2) -(BF5) =(Htgγ3) -(C`F5)
2 2 2 2
(Htgγ2) -(Htgγ3) =(BF5) -(CF5)
2 2
(Htgγ2) -(Htgγ3) =(BF5+CF5)*(BF5-CF5) (24)
因为B,D5,E5,F5,C在一条直线上, 所以,
BD5+CD5=BC,BE5+CE5=BC,BF5+CF5=BC,
作DD6⊥BC,作EE6⊥BC,作FF6⊥BC, 则有, 在直角三角形BD6D中, 2 2 2 (BD) =(BD6) +(DD6)
2 2 2
(H/cosα2) =(BD6) +(DD6) 2 2 2 (H/cosα2) -(BD6) =(DD6) 在直角三角形CD6D中, 2 2 2 (CD) =(CD6) +(DD6)
2 2 2
(H/cosα3) =(CD6) +(DD6)
2 2 2
(H/cosα3) -(CD6) =(DD6) 代入上式，得 2 2 2 2 (H/cosα2) -(BD6) =(H/cosα3) -(CD6)
2 2 2 2
(H/cosα2) -(H/cosα3) =(BD6) -(CD6)
2 2
(H/cosα2) -(H/cosα3) =(AD6+BD6)(AD6-BD6) (25) 在直角三角形BE6E中, 2 2 2 (BE) =(BE6) +(EE6)
2 2 2
(H/cosβ2) =(BE6) +(EE6)
2 2 2
(H/cosβ2) -(BE6) =(EE6) 在直角三角形CE6E中, 2 2 2 (CE) =(CE6) +(CE6)
2 2 2
(H/cosβ3) =(CE6) +(EE6)
2 2 2
(H/cosβ3) -(CE6) =(EE6) 代入上式，得 2 2 2 2 (H/cosβ2) -(BE6) =(H/cosβ3) -(CE6)
2 2 2 2 (H/cosβ2) -(H/cosβ3) =(BE6) -(CE6) 2 2 (H/cosβ2) -(H/cosβ3) =(BE6+CE6) (BE6-CE6) (26) 在直角三角形BF6F中, 2 2 2 (BF) =(BF6) +(FF6)
2 2 2
(H/cosγ2) =(BF6) +(FF6)
2 2 2
(H/cosγ2) -(BF6) =(FF6) 在直角三角形CF6F中, 2 2 2 (CF) =(CF6) +(FF6)
2 2 2
(H/cosγ3) =(CF6) +(FF6)
2 2 2
(H/cosγ3) -(CF6) =(FF6) 代入上式，得 2 2 2 2 (H/cosγ2) -(BF6) =(H/cosγ3) -(CF6)
2 2 2 2
(H/cosγ2) -(H/cosγ3) =(BF6) -(CF6)
2 2
(H/cosγ2) -(H/cosγ3) =(BF6+CF6) (BF6-CF6) (27)
因为B,D6,E6,F6,C在一条直线上, 所以,
BD6+CD6=BC, BE6+CE6=BC, BF6+CF6=BC,
因为平面ABC平行于平面ABC，AA垂直于ABC,BB垂直于ABC,CC垂直于ABC,所以, AB=AB,BC=BC,AC=AC, 平面EE1E2垂直于平面AABB, 因为, AD1+BD1=AB,AE1+BE1=AB,AF1+BF1=AB,AD2+BD2=AB, AE2+BE2=AB, AF2+BF2=AB, 所以, AD1+BD1=AD2+BD2, AE1+BE1=AE2+BE2, AF1+BF1=AF2+BF2, AD1-BD1=AD2-BD2, AE1-BE1=AE2-BE2, AF1-BF1=AF2-BF2, 因为, 2 2 (H*tgα2) -(H*tgα3) =(BD5+CD5)(BD5-C`D5) (22)
2 2
(H/cosα2) -(H/cosα3) =(AD6+BD6)(AD6-BD6) (25)
所以, BD5=H*tgα2, CD5=Htgα3, AD6=H/cosα2, BD6=H/cosα3,
BC=Htgα2+Htgα3, BC=H/cosα2+H/cosα3, (36)
Htgα2+Htgα3=H/cosα2+H/cosα3,
因为,
2 2
(Htgβ2) -(H*tgβ3) =(BE5+CE5)(BE5-CE5) (23)
2 2
(H/cosβ2) -(H/cosβ3) =(BE6+CE6) (BE6-CE6) (26)
所以, BE5=H*tgβ2, CE5=Htgβ3, BE6=H/cosβ2, CE6=H/cosβ3,
BC=Htgβ2+Htgβ3, BC=H/cosβ2+H/cosβ3, (37)
Htgβ2+Htgβ3=H/cosβ2+H/cosβ3,
因为,
2 2
(Htgγ2) -(Htgγ3) =(BF5+CF5)(BF5-CF5) (24)
2 2
(H/cosγ2) -(H/cosγ3) =(BF6+CF6) (BF6-CF6) (27)
所以,
BF5=H*tgγ2, CF5=Htgγ3, BF6=H/cosγ2, CF6=H/cosγ3,
BC=Htgγ2+Htgγ3, BC=H/cosγ2+H/cosγ3, (38)
Htgγ2+H*tgγ3=H/cosγ2+H/cosγ3,
因为平面ABC平行于平面ABC，AA垂直于ABC,BB垂直于ABC,CC垂直于ABC,所以, AB=AB,BC=BC,AC=AC, 因为三角形ABC是直角三角形，角ACB是直角, 2 2 2 AB =AC +BC 因为三角形ABC是直角三角形，角ACB是直角,
2 2 2
AB =AC +BC
设 AB=x,AC=y,BC=z, AB=AB=x,AC=AC=y,BC=BC=z,
2 2 2
x =y +z
因为,
AB=Htgα1+Htgα2, AB=H/cosα1+H/cosα2, (30)
x=Htgα1+Htgα2, x=H/cosα1+H/cosα2,
AB=Htgβ1+Htgβ2, AB=H/cosβ1+H/cosβ2, (31)
x=Htgβ1+Htgβ2, x=H/cosβ1+H/cosβ2,
AB=Htgγ1+Htgγ2, AB=H/cosγ1+H/cosγ2, (32)
x=Htgγ1+Htgγ2, x=H/cosγ1+H/cosγ2,
AC=Htgα1+Htgα3, AC=H/cosα1+H/cosα3, (33)
y=Htgα1+Htgα3, y=H/cosα1+H/cosα3,
AC=Htgβ1+Htgβ3, AC=H/cosβ1+H/cosβ3, (34)
y=Htgβ1+Htgβ3, y=H/cosβ1+H/cosβ3,
AC=Htgγ1+Htgγ3, AC=H/cosγ1+H/cosγ3, (35)
y=Htgγ1+Htgγ3, y=H/cosγ1+H/cosγ3,
BC=Htgα2+Htgα3, BC=H/cosα2+H/cosα3, (36)
z=Htgα2+Htgα3, z=H/cosα2+H/cosα3,
BC=Htgβ2+Htgβ3, BC=H/cosβ2+H/cosβ3, (37)
z=Htgβ2+Htgβ3, z=H/cosβ2+H/cosβ3,
BC=Htgγ2+Htgγ3, BC=H/cosγ2+H/cosγ3, (38)
z=Htgγ2+Htgγ3, z=H/cosγ2+H/cosγ3,
因为, x=Htgα1+Htgα2, y=Htgα1+Htgα3, z=Htgα2+Htgα3,
所以,
2 2 2
(Htgα1+Htgα2) = (Htgα1+Htgα3) +(Htgα2+Htgα3)
2 2 2
(tgα1+tgα2) = (tgα1+tgα3) +(tgα2+tgα3)
2 2 2 2 2 2
tgα1 +2tgα1tgα2+tgα2 = tgα1 +2tgα1 *tgα3+ tgα3 +tgα2 +2tgα2 tgα3+tgα3
2
tgα1tgα2 =tgα1 *tgα3+ tgα3 +tgα2 tgα3
2
tgα3 +(tgα1 +tgα2)tgα3-tgα1tgα2 =0
根据一元二次方程的求根公式可知, 一元二次方程的求根公式是
2
-b± b -4ac
2a
所以,
2
-(tgα1 +tgα2) ± (tgα1 +tgα2) +4tgα1*tgα2
tgα3=
2
因为, x=H/cosα1+H/cosα2, y=H/cosα1+H/cosα3, z=H/cosα2+H/cosα3,
2 2 2
(H/cosα1+H/cosα2) =(H/cosα1+H/cosα3) +(H/cosα2+H/cosα3)
2 2 2
(1/cosα1+1/cosα2) =(1/cosα1+1/cosα3) +(1/cosα2+1/cosα3)
2 2
(1/cosα1) +2(1/cosα1) (1/cosα2)+ (1/cosα2)
2 2 2 2
=(1/cosα1) +2(1/cosα1)(1/cosα3)+(1/cosα3) +(1/cosα2) +2(1/cosα2) (1/cosα3)+ (1/cosα3)
2
(1/cosα1) (1/cosα2) =(1/cosα1) (1/cosα3)+(1/cosα3) +(1/cosα2) (1/cosα3)
2
(1/cosα3) +[(1/cosα1)+ (1/cosα2)] (1/cosα3)-(1/cosα1) (1/cosα2)=0
根据一元二次方程的求根公式可知,
2
- [(1/cosα1)+ (1/cosα2)] ± [(1/cosα1)+ (1/cosα2)] +4(1/cosα1) (1/cosα2)
1/cosα3=
2
2
cosα3=
2
- [(1/cosα1)+ (1/cosα2)] ± [(1/cosα1)+ (1/cosα2)] +4(1/cosα1) (1/cosα2)
同理可证：
2
- (tgβ1 +tgβ2) ± (tgβ1 +tgβ2) +4tgβ1*tgβ2
tgβ3= 2
2
cosβ3=
2
-[(1/cosβ1)+ (1/cosβ2)] ± [(1/cosβ1)+ (1/cosβ2)] +4(1/cosβ1) (1/cosβ2)
2
- (tgγ1 +tgγ2) ± (tgγ1 +tgγ2) +4tgγ1*tgγ2
tgγ3=
2
2
cosγ3=
2
-[(1/cosγ1)+ (1/cosγ2)] ± [(1/cosγ1)+ (1/cosγ2)] +4(1/cosγ1)(1/cosγ2)
因为A点经纬度已知，星星的角度已知，B点经纬度未知，与星星的高度角已知, C点经纬度未知，和星星的高度角，可有上面的公式求得, ABC三点在同一时间观察星星，它们都在地球表面, 设地球的半径是r, 因为, x=Htgα1+Htgα2, x=H/cosα1+H/cosα2, x=Htgβ1+Htgβ2, x=H/cosβ1+H/cosβ2, x=Htgγ1+Htgγ2, x=H/cosγ1+H/cosγ2, 所以, x≈rtgα1+rtgα2, x≈r/cosα1+r/cosα2, x≈rtgβ1+rtgβ2, x≈r/cosβ1+r/cosβ2,, x≈rtgγ1+rtgγ2, x≈r/cosγ1+r/cosγ2, 因为, y=Htgα1+Htgα3, y=H/cosα1+H/cosα3, y=Htgβ1+Htgβ3, y=H/cosβ1+H/cosβ3, y=Htgγ1+Htgγ3, y=H/cosγ1+H/cosγ3, 所以, y≈rtgα1+rtgα3,
2
-(tgα1 +tgα2) ± (tgα1 +tgα2) +4tgα1*tgα2 ]
y≈rtgα1+r[ 2 y≈r/cosα1+r/cosα3,
2
-[(1/cosα1)+ (1/cosα2)] ± [(1/cosα1)+ (1/cosα2)] +4(1/cosα1)(1/cosα2)
y≈r/cosα1+r*[ ] 2 y≈rtgβ1+rtgβ3,
2
-(tgβ1 +tgβ2) ± (tgβ1 +tgβ2) +4tgβ1*tgβ2 ]
y≈rtgβ1+r[ 2 y≈r/cosβ1+r/cosβ3,
2
-[(1/cosβ1)+ (1/cosβ2)] ± [(1/cosβ1)+ (1/cosβ2)] +4(1/cosβ1)(1/cosβ2)
y≈r/cosβ1+r*[ ] 2 y≈rtgγ1+rtgγ3,
2
-(tgγ1 +tgγ2) ± (tgγ1 +tgγ2) +4tgγ1*tgγ2
y≈rtgγ1+r[ ] 2 y≈r/cosγ1+r/cosγ3,
2
-[(1/cosγ1)+ (1/cosγ2)] ± [(1/cosγ1)+ (1/cosγ2)] +4(1/cosγ1)(1/cosγ2)
y≈r/cosγ1+r*[ ] 2 上面的公式通过测量A,B两点和星星的高度角，就会得到AC两点的距离,
因为, z=Htgα2+Htgα3, z=H/cosα2+H/cosα3, z=Htgβ2+Htgβ3, z=H/cosβ2+H/cosβ3, z=Htgγ2+Htgγ3, z=H/cosγ2+H/cosγ3, 所以, z≈rtgα2+rtgα3,
2
-(tgα1 +tgα2)± (tgα1 +tgα2) +4tgα1*tgα2
z≈rtgα2+r[ ] 2
z≈r/cosα2+r/cosα3,
2
-[(1/cosα1)+ (1/cosα2)] ± [(1/cosα1)+ (1/cosα2)] +4(1/cosα1)(1/cosα2)
z≈r/cosα2+r*[ ] 2 z≈rtgβ2+rtgβ3,
2
-(tgβ1 +tgβ2)± (tgβ1 +tgβ2) +4tgβ1*tgβ2
z≈rtgβ2+r[ ] 2 z≈r/cosβ2+r/cosβ3,
2
-[(1/cosβ1)+ (1/cosβ2)] ± [(1/cosβ1)+ (1/cosβ2)] +4(1/cosβ1)(1/cosβ2)
z≈r/cosβ2+r*[ ] 2 z≈rtgγ2+rtgγ3,
2
-(tgγ1 +tgγ2)± (tgγ1 +tgγ2) +4tgγ1*tgγ2
z≈rtgγ2+r[ ] 2 z≈r/cosγ2+r/cosγ3,
2
-[(1/cosγ1)+ (1/cosγ2)] ± [(1/cosγ1)+ (1/cosγ2)] +4(1/cosγ1)(1/cosγ2)
z≈r/cosγ2+r*[ ] 2 上面的公式通过测量A,B两点和星星的高度角，就会得到BC两点的距离, 在得到x,y,z的值，就想当得到直角三角形ACB三个边的值,
如上图11所示，在球面上三点A,B,C是直角三角形时，A点经纬度已知，三角形三边边长已知，B点的纬度等于A点的纬度加上一个直角边对应的圆心角度, B点的经度等于A点的经度加上另一个直角边对应的圆心角度,
如上图12所示，设圆心角∠AOC=a,它对应的边长是AC, 圆的半径就是地球的半径r, 作OP⊥AC, 在直角三角形APO中, sin(a/2)=AP/r, sin(a/2)=AC/2r, a/2=arc sin(AC/2r), a=2arc sin(AC/2r), 因为, AC=y,
2
-(tgα1 +tgα2)± (tgα1 +tgα2) +4tgα1tgα2
y≈rtgα1+r*[ ]
2
a=2arc sin(AC/2r),
2
-(tgα1 +tgα2)± (tgα1 +tgα2) +4tgα1*tgα2
a≈2arc sin[tgα1/2+ ]
4
同理可证, 因为,
2
-[(1/cosα1)+ (1/cosα2)] ± [(1/cosα1)+ (1/cosα2)] +4(1/cosα1)(1/cosα2)
y≈r/cosα1+r*[ ]
2
所以,
2
-[(1/cosα1)+ (1/cosα2)]± [(1/cosα1)+ (1/cosα2)] +4(1/cosα1)(1/cosα2)
a≈2arc sin[1/2cosα1+ ]
4
因为,
2
-(tgβ1 +tgβ2)± (tgβ1 +tgβ2) +4tgβ1*tgβ2
y≈rtgβ1+r[ ] 2 所以,
2
-(tgβ1 +tgβ2)± (tgβ1 +tgβ2) +4tgβ1*tgβ2
a≈2arc sin[tgβ1/2+ ]
4
因为,
2
-[(1/cosβ1)+ (1/cosβ2)]± [(1/cosβ1)+ (1/cosβ2)] +4(1/cosβ1)(1/cosβ2)
y≈r/cosβ1+r*[ ]
4
所以,
2
-[(1/cosβ1)+ (1/cosβ2)]± [(1/cosβ1)+ (1/cosβ2)] +4(1/cosβ1)(1/cosβ2)
a≈2arc sin[1/2cosβ1+ ]
4
因为,
2
-(tgγ1 +tgγ2)± (tgγ1 +tgγ2) +4tgγ1tgγ2
y≈rtgγ1+r*[ ]
2
所以,
2
-(tgγ1 +tgγ2)± (tgγ1 +tgγ2) +4tgγ1*tgγ2
a≈2arc sin[tgγ1/2+ ] 2 因为,
2
-[(1/cosγ1)+ (1/cosγ2)]± [(1/cosγ1)+ (1/cosγ2)] +4(1/cosγ1)(1/cosγ2)
y≈r/cosγ1+r*[ ] 4 所以,
2
-[(1/cosγ1)+ (1/cosγ2)]± [(1/cosγ1)+ (1/cosγ2)] +4(1/cosγ1)(1/cosγ2)
a≈2arc sin[1/2cosγ1+ ] 4
如上图13所示，设圆心角∠BOC=b,它对应的边长是BC, 圆的半径就是地球的半径r, 作OQ⊥BC, 在直角三角形BPO中, sin(b/2)=BQ/r, sin(b/2)=BC/2r, b/2=arc sin(BC/2r), b=2arc sin(BC/2r), 因为, BC=z, 因为,
2
-(tgα1 +tgα2)± (tgα1 +tgα2) +4tgα1*tgα2
z≈rtgα2+r[ ] 2 所以,
2
-(tgα1 +tgα2)± (tgα1 +tgα2) +4tgα1*tgα2
b=2arc sin[ tgα2/2+ ] 4 因为,
2
-[(1/cosγ1)+ (1/cosγ2)]± [(1/cosα1)+ (1/cosα2)] +4(1/cosα1)(1/cosα2)
z≈r/cosα2+r*[ ] 4 所以,
2
-[(1/cosα1)+ (1/cosα2)]± [(1/cosα1)+ (1/cosα2)] +4(1/cosα1)(1/cosα2)
b≈2arc sin[1/2cosα2+ ] 4 因为,
2
-(tgβ1 +tgβ2)± (tgβ1 +tgβ2) +4tgβ1*tgβ2
z≈rtgβ2+r[ ] 2 所以,
2
-(tgβ1 +tgβ2)± (tgβ1 +tgβ2) +4tgβ1*tgβ2
b≈2arc sin[tgβ2/2+ ] 4 因为,
2
-[(1/cosβ1)+ (1/cosβ2)]± [(1/cosβ1)+ (1/cosβ2)] +4(1/cosβ1)(1/cosβ2)
z≈r/cosβ2+r*[ ] 2 所以,
2
-[(1/cosβ1)+ (1/cosβ2)]± [(1/cosβ1)+ (1/cosβ2)] +4(1/cosβ1)(1/cosβ2)
b≈2arc sin[1/2cosβ2+ ] 4 因为,
2
-(tgγ1 +tgγ2)± (tgγ1 +tgγ2) +4tgγ1*tgγ2
z≈rtgγ2+r[ ]
2
所以,
2
-(tgγ1 +tgγ2)± (tgγ1 +tgγ2) +4tgγ1tgγ2
b=2arc sin[tgγ2/2+ ]
4
因为,
2
-[(1/cosγ1)+ (1/cosγ2)]± [(1/cosγ1)+ (1/cosγ2)] +4(1/cosγ1)(1/cosγ2)
z≈r/cosγ2+r[ ]
2
所以,
2
-[(1/cosγ1)+ (1/cosγ2)]± [(1/cosγ1)+ (1/cosγ2)] +4(1/cosγ1)(1/cosγ2)
b≈2arc sin[1/2cosγ2+ ]
4
假设测量得到A点的经纬度是(w,s)，通过计算得到，B点的经度是w+a, B点的纬度是s+b, 也可以将上面的3个星星，换成3个电视信号源, 把信号源放在地球表面A,B,C，在高空中飞机上的A,B两点用3台电视机接收信号, 测量3台电视接收3个信号的最佳角度，就是高度角α1，α2，α3，β1，β2，β3，和上面一样假设一个C点，使得三角形ACB是直角三角形，∠ACB=90°, 同时平面ACB∥平面ACB,C点和信号源的高度角为γ1,γ2,γ3, 利用上面的公式通过A点的经纬度就可以计算出B点的经纬度,
三.弧度计算三角函数公式
推导过程可参见А.Г.УРОШ库洛什著高等代数教程1953年版,
推导过程可见《三角学专门教程上册》C.И诺屋塞洛夫著1956年版,
推导过程可见C.H.诺珪塞洛夫著代数与初等函数，1954年版
用弧度计算三角函数值，利用下面的公式计算三角函数值，
1 n-1 3 3 n-3 5 5 n-5
sin nα=C sinαcos α-C sin αcos α+C sin α*cos α-... n n n
n 2 2 n-2 4 4 n-4 6 6 n-6
cos nα=cos α-C sin αcos α+C sin αcos α-C sin α*cos α-...
n n n
1 n-1 3 3 n-3 5 5 n-5
C sinαcos α-C sin αcos α+C sin αcos α-...
n n n
tg nα=
n 2 2 n-2 4 4 n-4 6 6 n-6
cos α-C sin αcos α+C sin αcos α-C sin αcos α-...
n n n
n 2 2 n-2 4 4 n-4 6 6 n-6
cos α-C sin αcos α+C sin αcos α-C sin αcos α-...
n n n
ctg nα=
1 n-1 3 3 n-3 5 5 n-5
C sinαcos α-C sin αcos α+C sin αcos α-...
n n n
例如计算sin57°, 因为because,
π
sin 3°=sin =sin18°cos15°-cos18°sin15°=
60
√5-1 √6+√2 10+2√5 √6-√2
= ( - ( )
4 4 4 4
1
= [(√5-1)(√6+√2)- 10+2√5 (√6+√2) 16 ≈0.05234
同样，Again,
1
cos 3°= [ 10+2√5 (√6+√2) +(√5-1)(√6-√2)]
16
≈0.99863
tg 3°≈0.05234/0.99863≈0.524118,
ctg 3°≈0.99863/0.05234≈19.0796, 因为because, 57/3=19,
所以so, n=19,
1 18 3 3 16 5 5 14
sin57°=sin 193=C sin3cos 3-C sin 3cos 3+C sin 3cos 3-...
19 19 19
因为becuase
π
sin 3°=sin =sin18°cos15°-cos18°sin15°=
60
√5-1 √6+√2 10+2√5 √6-√2
= ( - ( )
4 4 4 4
1
= [(√5-1)(√6+√2)- 10+2√5 (√6+√2)
16
≈0.05234
同样，Again,
1
cos 3°= [ 10+2√5 (√6+√2) +(√5-1)(√6-√2)]
16
≈0.99863
tg 3°≈0.05234/0.99863≈0.524118,
ctg 3°≈0.99863/0.05234≈19.0796,
因为because, 57/3=19,
所以so, n=19,
1 18 3 3 16 5 5 14
sin57°=sin 193=C sin3°cos 3°-C sin 3°cos 3°+C sin 3°cos 3°-... 19 19 19
19 2 2 17 4 4 4 15 6 6
cos 57°=cos 193=cos 3°- C sin 3°cos 3°+C sin 3°cos 3°-C sin 3°cos 3°-... 19 19 19
1 18 3 3 16 5 5 14
C sin3°cos 3°-C sin 3°cos 3°+C sin 3°cos 3°-...
19 19 19
tg 57°=
19 2 2 17 4 4 4 15 6 6
cos 3°- C sin 3°cos 3°+C sin 3°cos 3°-C sin 3°cos 3°-...
19 19 19
19 2 2 17 4 4 4 15 6 6
cos 3°- C sin 3°cos 3°+C sin 3°cos 3°-C sin 3°cos 3°-...
19 19 19
ctg 57°=
1 18 3 3 16 5 5 14
C sin3°cos 3°-C sin 3°cos 3°+C sin 3°cos 3°-...
19 19 19
排列组合计算公式
m n
C =C
n m
m m m-1
C =C +C
n+1 n n
m
P n(n-1)(n-2)...(n-m+1) n!
m n
C = = =
n+1 m
P m! m!(n-m)!
m
四.计算三角函数的公式 1.计算sinx 如果B>3, 那么，sinAB°≈sinA0°+sin(B°-3°), 如果B≤3, 那么，sinAB°≈sinA0°-sin(3°-B°), 例如, sin61°≈sin60°+sin(1°-3°)≈sin60°-sin2°, sin65°≈sin60°+sin(5°-3°)≈sin60°+sin2°, sin57°≈sin50°+sin(7°-3°)≈sin50°+sin4°, 如果B>3, 那么，cosAB°≈cosA0°-sin(90°-B°+3°), 如果B≤3, 那么，cosAB°≈cosA0°-sin(90°+B°-3°), 例如, cos38°≈cos30°-cos(90°-8°+3°)≈cos30°-cos85°, cos75°≈cos70°-cos(90°-5°+3°)≈cos70°-cos88°, cos22°≈cos20°-cos(90+2°-3°)≈cos20°-cos89°, 详细内容可见《中学数学用表》， 下面用电路通过测量得到的角度值，计算三角函数, 假设测量线圈转动90度产生的电压和90度的弧度值相等，为DC1.570796V, 假设测量线圈转动100度产生的电压和100度的弧度值相等，为DC1.745329V, 归纳为，假设测量线圈测量的电压值和转动的角度值的弧度值相等, 计算sinx的电路
2.用电压比较器计算sinx的电路。
计算三角函数的公式，详细内容可见中学数学用表
下面这些公式可以从正弦三角函数表，余弦三角函数表，通过数学归纳法推测出来
如果B>3, 那么，sinAB°≈sinA0°+sin(B°-3°), 如果B≤3, 那么，sinAB°≈sinA0°-sin(3°-B°), 例如, sin61°≈sin60°+sin(1°-3°)≈sin60°-sin2°, sin65°≈sin60°+sin(5°-3°)≈sin60°+sin2°, sin57°≈sin50°+sin(7°-3°)≈sin50°+sin4°, 如果B>3, 那么，cosAB°≈cosA0°-sin(90°-B°+3°), 如果B≤3, 那么，cosAB°≈cosA0°-sin(90°+B°-3°), 例如, cos38°≈cos30°-cos(90°-8°+3°)≈cos30°-cos85°, cos75°≈cos70°-cos(90°-5°+3°)≈cos70°-cos88°, cos22°≈cos20°-cos(90+2°-3°)≈cos20°-cos89°, sinAB可以近似等于是sinA0和sin(B-3)的和， cosAB可以近似等于是cosA0和cos(90-B+3)的和， 这一点可以从正弦表，余正弦表上面看出来，详细内容可查《中学数学用表》， 下面用电路通过测量得到的角度值，计算三角函数，假设测量线圈转动10度产生的电压和10度的弧度值相等，为DC0.174533V，假设测量线圈转动20度产生的电压和20度的弧度值相等，为DC0.349066V，其它弧度值和上面类似，假设测量线圈转动90度产生的电压和90度的弧度值相等，为DC1.570796V，假设测量线圈转动100度产生的电压和100度的弧度值相等，为DC1.745329V，归纳为，假设测量线圈测量的电压值和转动的角度值的弧度值相等，下面电路中的50°，57°，60°，70°等角度值，在电路中都是弧度值，，即用电压值表示弧度值，因为测量线圈中测量得到的就是电压值。
上面电路的原理如下 例如，计算sin57°,首先计算50°,然后计算sin4°，最后再将sin50°和sin4°相加就得到sin57°的值，下面举例说明计算57°的正弦值的电路结构，例如计算sin57°，首先用电压比较器电路和57相互比较，得到50，然后用57减去50，得到7，再用大小判别电路判别7是不是比3大，如果比3大，那么就用sin50加上7和3的差sin4，即namely，sin57°≈sin50°+sin(7°-3°)≈sin50°+sin4°，如果比3小，例如61，就用sin60减去1和3的差sin2，即namely，sin61°≈sin60°+sin(1°-3°)≈sin60°-sin2°，下面的电路是计算sin50°值，上面各选择电路和基准电压为40°的电路相同,介绍略，基准电压40的选择电路， 例如40°<57°，第一个电压比较器输出57°，它的两个输入端，一个是基准电压40°，一个是待测参数57°，因为40<57，所以电压比较器输出较大的电压输出57，第二个电压比较器输出57，它的两个输入端，一个是基准电压40，一个是刚才输出的电压57，因为40<57，所以电压比较器输出较大的电压输出57，第三个电压比较器输出0，它的两个输入端，一个是上面那路第二个电压比较器输出的57°，一个是现在这路第二个电压比较器输出的电压57°，因为两个输入端的电压相等，所以电压比较器输出0，第一个开关电路器输出0，因为第三个电压比较器输出0，是低电平，开关管截止，所以开关电路输出0，第二个开关电路器输出0，因为第三个电压比较器输出0，是低电平，开关管截止，所以开关电路输出0，
基准电压50的选择电路， . 例如50°<57°
第一个电压比较器输出57°，它的两个输入端，一个是基准电压50，一个是待测参数57，因为50<57，所以电压比较器输出较大的电压输出57，第二个电压比较器输出57°，第二个电压比较器输出57°，它的两个输入端，一个是基准电压50，一个是刚才输出的电压57，因为50<57，所以电压比较器输出较大的电压输出57，第三个电压比较器输出0，它的两个输入端，一个是上面那路第二个电压比较器输出的57°，一个是现在这路第二个电压比较器输出的电压57°，因为两个输入端的电压相等，所以电压比较器输出0，第一个开关电路器输出0，因为第三个电压比较器输出0，是低电平，开关管截止，所以开关电路输出0，第二个开关电路器输出0，因为第三个电压比较器输出0，是低电平，开关管截止，所以开关电路输出0，基准电压60°的选择电路，
例如57°<60°
第一个电压比较器输出60°，它的两个输入端，一个是基准电压60，一个是待测参数57，因为60>57，所以电压比较器输出较大的电压输出60，第二个电压比较器输出0，它的两个输入端，一个是基准电压60，一个是刚才输出的电压60，因为两个输入端的电压相等，所以电压比较器输出0，第三个电压比较器输出60，它的两个输入端，一个是上面那路第二个电压比较器输出的0，一个是现在这路第二个电压比较器输出的电压60，因为60>0，所以电压比较器输出较大的电压输出60，第一个开关电路器输出50，因为第三个电压比较器输出60，是高电平，开关管导通，所以开关电路输出基准电压50，第二个开关电路器输出50°的正弦值0.7660，因为第三个电压比较器输出50，是高电平，开关管导通，所以开关电路输出50°的正弦值0.7660， 基准电压70°的选择电路，
例如57°<70°
第一个电压比较器输出70°，它的两个输入端，一个是基准电压70，一个是待测参数57，，因为70>57，所以电压比较器输出较大的电压输出70，第二个电压比较器输出0，它的两个输入端，一个是基准电压70，一个是刚才输出的电压70，因为两个输入端的电压相等，所以电压比较器输出0，第三个电压比较器出0，它的两个输入端，一个是上面那路第二个电压比较器输出的0，一个是现在这路第二个电压比较器输出的电压0，因为两个输入端的电压相等，所以电压比较器输出0，第一个开关电路器输出0，因为第三个电压比较器输出0，是低电平，开关管截止，所以开关电路输出0，第二个开关电路器输出0，因为第三个电压比较器输出0，是低电平，开关管截止，所以开关电路输出0，下面各选择电路和基准电压为70°的电路相同，
上面电路的原理如下
下面的电路是选择判断电路，判断是否需要给待测三角函数的尾数7减去3 ， 首先用57°减去50°，得到7°，再用判别电路判别7°是不是比3°大，如果大于3°，那么就用7°-3°，得4°，再用电路计算sin4°的值，最后再用加法电路将sin50°加上sin7°，即namely，sin57°≈sin50°+sin(7°-3°)≈sin50°+sin4°，
例如sin61°， 如果小于3°，那么就用3°-1°，得2°，再用电路计算sin2°的值，最后再用减法电路将sin60减去sin2°，即namely，sin61°≈sin60°-sin(1°-3°)≈sin60°-sin2°，
例如，计算sin57°， 首先，在减法器A中用57°减去50°得到7°，然后，在减法器B中用7°减去3°得到4°，在电压比较器A中，用0°和4°相互比较，输出它们中的较大者4°，然后，在开关电路A中, 因为4是高电平，所以开关管导通，电路输出7°，然后，在开关电路C中,，开关电路C的输入端接上面的高电平1和sin50计算电路输出的sin50，因为4是高电平，所以开关管导通，电路输出sin50°，然后，在反相器A中，将4°V变成0V，然后，在开关电路B中,，因为0是低电平，所以开关管截止，电路没有输出，然后，在开关电路D中,，因为0是低电平，所以开关管截止，电路没有输出，然后，在减法器C中用7°减去3°得到4°，然后，在减法器C中用7°减去3°得到4°，经过sin4计算电路得到sin4的值，加法器A的输入端接上面的sin50和sin4，然后，在加法器A中用sin50°加上sin4°得到sin57°，即namely，sin57°≈sin50°+sin(7°-3°)≈sin50°+sin4°，
例如，计算sin61°，
首先，在减法器A中用61°减去60°得到1°，然后，在减法器B中用1°减去3°得到-2°，在电压比较器A中，用0°和-2°相互比较，输出它们中的较大者0°，然后，在开关电路A中, 因为0是低电平，所以开关管截止，电路没有输出，然后，在开关电路B中,，因为0是低电平，所以开关管截止，电路没有输出，然后，在反相器A中，将0V变成1V，然后，在开关电路B中,，因为1是高电平，所以开关管导通，电路输出1°，然后，在减法器C中用3°减去1°得到2°，最后将2°接到sin2°计算电路中，经过sin2计算电路得到sin2的值，然后，在开关电路D中,，开关电路D的输入端接上面的高电平1和sin2计算电路输出的sin2，因为1是高电平，所以开关管导通，电路输出sin2°，然后，在减法器D中用sin60°减去2°得到sin61°，即namely，sin61°≈sin60°+sin(1°-3°)≈sin60°-sin2°，
上面的电路是计算sin4°值，上面各选择电路和基准电压为4°的电路相同， 基准电压3°的选择电路， 例如3°<4°， 第四个电压比较器输出4°，它的两个输入端，一个是基准电压3，一个是待测参数4，因为3°<4°，所以电压比较器输出较大的电压输出4°，第五个电压比较器输出4，它的两个输入端，一个是基准电压3，一个是刚才输出的电压4， 因为3<4，所以电压比较器输出较大的电压输出4，第六个电压比较器输出0，它的两个输入端，一个是上面那路第五个电压比较器输出的4°，一个是现在这路第五个电压比较器输出的电压4°，
因为两个输入端的电压相等，所以电压比较器输出0，第三个开关电路器输出0，因为第六个电压比较器输出0，是低电平，开关管截止，所以开关电路输出0， 基准电压4°的选择电路，
例如4°=4°，第四个电压比较器输出0，它的两个输入端，一个是基准电压4，一个是待测参数4，因为4=4，所以电压比较器输出电压0，第五个电压比较器输出4，它的两个输入端，一个是基准电压4，一个是刚才输出的电压4，因为4=4，所以电压比较器输出电压0，第六个电压比较器输出0，它的两个输入端，一个是上面那路第五个电压比较器输出的4，一个是现在这路第五个电压比较器输出的电压4，因为两个输入端的电压相等，所以电压比较器输出0，第三个开关电路器输出0，因为第六个电压比较器输出0，是低电平，开关管截止，所以开关电路输出0，基准电压5°的选择电路，例如4°<5°，第四个电压比较器输出5°，它的两个输入端，一个是基准电压5，一个是待测参数4，因为5>4，所以电压比较器输出较大的电压输出5，第五个电压比较器输出0，它的两个输入端，一个是基准电压5，一个是刚才输出的电压5，因为两个输入端的电压相等，所以电压比较器输出0，第六个电压比较器输出4，它的两个输入端，一个是上面那路第六个电压比较器输出的4，一个是现在这路第六个电压比较器输出的电压0，因为4>0，所以电压比较器输出较大的电压输出4，第三个开关电路器输出sin4°，因为第六个电压比较器输出4，是高电平，开关管导通，所以开关电路输出判断电路测量出来的函数值sin4，下面各选择电路和基准电压为6°的电路相同，
用电压比较器计算cosx, 计算三角函数的公式，详细内容可见中学数学用表
下面这些公式可以从正弦三角函数表，余弦三角函数表，通过数学归纳法推测出来
如果B>3, 那么，sinAB°≈sinA0°+sin(B°-3°), 如果B≤3, 那么，sinAB°≈sinA0°-sin(3°-B°), 例如, sin61°≈sin60°+sin(1°-3°)≈sin60°-sin2°, sin65°≈sin60°+sin(5°-3°)≈sin60°+sin2°, sin57°≈sin50°+sin(7°-3°)≈sin50°+sin4°, 如果B>3, 那么，cosAB°≈cosA0°-sin(90°-B°+3°), 如果B≤3, 那么，cosAB°≈cosA0°-sin(90°+B°-3°), 例如, cos38°≈cos30°-cos(90°-8°+3°)≈cos30°-cos85°, cos75°≈cos70°-cos(90°-5°+3°)≈cos70°-cos88°, cos22°≈cos20°-cos(90+2°-3°)≈cos20°-cos89°, sinAB可以近似等于是sinA0和sin(B-3)的和， cosAB可以近似等于是cosA0和cos(90-B+3)的和， 这一点可以从正弦表，余正弦表上面看出来，详细内容可查《中学数学用表》， 下面用电路通过测量得到的角度值，计算三角函数，假设测量线圈转动10度产生的电压和10度的弧度值相等，为DC0.174533V，假设测量线圈转动20度产生的电压和20度的弧度值相等，为DC0.349066V，其它弧度值和上面类似，假设测量线圈转动90度产生的电压和90度的弧度值相等，为DC1.570796V，假设测量线圈转动100度产生的电压和100度的弧度值相等，为DC1.745329V，归纳为，假设测量线圈测量的电压值和转动的角度值的弧度值相等，下面电路中的50°，57°，60°，70°等角度值，在电路中都是弧度值，，即用电压值表示弧度值，因为测量线圈中测量得到的就是电压值。 测量线圈转动38°产生DC0.663225V的感应电压，38°是角度值化成弧度值就是0.663225, 10°化为弧度值就是0.174533V, 用电压DC0.174533V就代表10°的角度,
用电压比较器计算tanx的电路
下面用电路通过测量得到的角度值，计算三角函数
假设测量线圈转动10度产生的电压和10度的弧度值相等，为DC0.174533V, 假设测量线圈转动20度产生的电压和20度的弧度值相等，为DC0.349066V, 其它弧度值和上面类似, 假设测量线圈转动90度产生的电压和90度的弧度值相等，为DC1.570796V, 假设测量线圈转动100度产生的电压和100度的弧度值相等，为DC1.745329V, 归纳为，假设测量线圈测量的电压值和转动的角度值的弧度值相等,
下面电路中的50°，57°，60°，70°等角度值，在电路中都是弧度值，即用电压值表示弧度值，因为测量线圈中测量得到的就是电压值,
下面这些公式可以从正切三角函数表，余切三角函数表，通过数学归纳法推测出来,
如果0°≤AB°<40°
那么，tgAB°≈tgA0°+1.3tgB°
如果40°≤AB°C<73° 那么，tgAB°≈tgA0°+1.2*tg(2*B°) 如果73°≤AB°C<79°
那么，tgAB°C≈tg73°+1.1*(B-3)*tg12°+tg6°*C/10
如果79°≤AB°C<83° 那么，tgAB°C≈tg79°+(AB-78)tg33°+tg10°C/10 如果83°≤AB<86° 那么，tgAB°C≈tg83°+1.1(AB-83)tg57°+tg17°C/10 如果86°≤AB<87° 那么，tgAB°C≈tg86+tg36C/10 如果87°≤AB<88° 那么，tgAB°C≈tg87+tg55C/10 如果88°≤AB<89° 那么，tgAB°C≈tg88°+1.3tg74°C/10 如果AB=89° 那么，tgAB°C≈57.29
如果AB=89°10 那么，tgAB°C≈68.75
如果AB=89°20 那么，tgAB°C≈85.94
如果AB=89°30 那么，tgAB°C≈114.6
如果AB=89°40 那么，tgAB°C≈171.9
如果AB=89°50 那么，tgAB°C≈343.8
例如,
tg24°≈tg20°+1.3tg4°≈0.3640+1.30.0699≈0.45487
tg34°≈tg30°+1.3tg4°≈0.5744+1.30.0699≈0.66527
tg48°≈tg40°+1.2tg(28°)≈tg40°+1.2tg16°≈0.8391+1.20.2867≈1.18314
tg56°≈tg50°+1.2tg(26°)≈tg50°+1.2tg12°≈1.19818+1.20.2126≈1.4533
tg63°≈tg60°+1.2tg(23°)≈tg60°+1.2tg6°≈1.732+1.20.1051≈1.85812
tg76°10≈tg73°+1.1*(6-3)*tg12°+tg6*C/10≈tg73°+1.13tg12°+tg6°≈3.271+1.130.2126+0.1051≈4.07768
tg76°20≈tg73°+1.1*(6-3)*tg12°+tg6*C/10≈tg73°+1.13tg12°+2tg6°≈3.271+1.130.2126+0.10512≈4.18278
tg77°10≈tg73°+1.1*(7-3)*tg12°+tg6°*C/10≈tg73°+1.14tg12°+tg6°≈3.271+1.140.2126+0.10512≈4.41664
tg78°30≈tg73°+1.1*(8-3)*tg12°+tg6°*C/10≈tg73°+1.15tg12°+3tg6°≈3.271+1.150.2126+0.10513≈4.7556
tg82°10≈tg79°+(82-79)*tg33°+tg10°≈tg79°+3*tg33°+tg10°≈5.145+3*0.6494+0.1763≈7.2695 tg82°40≈tg79°+(82-79)tg33°+4tg10°≈tg79°+3tg33°+4tg10°≈5.145+30.6494+40.1763≈7.7984
tg84°50≈tg83°+1.1*(84-83)*tg57°+5*tg17°≈tg83°+1.1*tg57°+5*tg17°≈8.144+1.1*1.5399+5*0.3057≈11.36639 tg85°30≈tg83°+1.1(85-83)tg57°+3tg17°≈tg83°+1.12tg57°+3tg17°≈8.144+1.121.5399+30.3057≈12.4488
tg86°40≈tg86°+4*tg36°≈14.30+4*0.7265≈17.206 tg87°20≈tg87°+2tg55≈19.08+21.4281≈21.9362
tg88°40≈tg88°+1.3*4*tg74≈28.64+1.3*4*3.487≈46.7724 tg89°20≈85.94
tg89°30≈114.6 三角函数表可以查《中学数学用表》 角度值和弧度值的换算可以查《中学数学用表》, tgAB可以近似等于是tgA0和tgB的和, 由于tgAB的图像不是直线，是曲线，, tgAB在tg40°,tg73°,tg79°,tg83°,tg87°,tg88°,tg89°存在拐点，这一点可以从正切表上面看出来，详细内容可查《中学数学用表》, tgAB在两个拐点之间的曲线可以近似看成一条直线，可以用tgAB°C=tbA0+1.3*tgB+tgC`来表示,
cotx计算电路
下面用电路通过测量得到的角度值，计算三角函数
假设测量线圈转动10度产生的电压和10度的弧度值相等，为DC0.174533V, 假设测量线圈转动20度产生的电压和20度的弧度值相等，为DC0.349066V, 其它弧度值和上面类似, 假设测量线圈转动90度产生的电压和90度的弧度值相等，为DC1.570796V, 假设测量线圈转动100度产生的电压和100度的弧度值相等，为DC1.745329V, 归纳为，假设测量线圈测量的电压值和转动的角度值的弧度值相等,
下面电路中的50°，57°，60°，70°等角度值，在电路中都是弧度值，即用电压值表示弧度值，因为测量线圈中测量得到的就是电压值,
下面这些公式可以从正切三角函数表，余切三角函数表，通过数学归纳法推测出来,
例如,
如果50°≤AB°<90°
那么，ctgAB°≈ctgA0°-1.3ctg(90°-B°)
如果17°≤AB°<50°
那么，ctgAB°≈ctgA0°-1.4ctg(90°-2B°)
如果11°≤AB°C<17° 那么，ctgAB°C≈ctg11°-1.6(B-1)ctg78°-ctg84°C/10 如果7°≤AB°C<11°
那么，ctgAB°C≈ctg7°-1.5*(AB-7)*ctg57°-ctg80°*C/10
如果4°≤AB<7°
那么，ctgAB°C≈ctg4°-1.5*(AB-7)*ctg33°-ctg63°*C/10
如果3°≤AB<4°
那么，ctgAB°C≈ctg3°-ctg48°*C/10
如果2°≤AB<3°
那么，ctgAB°C≈ctg2°-ctg28°*C/10
如果1°≤AB<2°
那么，ctgAB°C≈ctg1°-1.5*ctg14°*C/10
如果AB=1°
那么，ctgAB°C≈57.29 如果AB=0°10
那么，ctgAB°C≈68.75 如果AB=0°20
那么，ctgAB°C≈85.94 如果AB=0°30
那么，ctgAB°C≈114.6 如果AB=0°40
那么，ctgAB°C≈171.9 如果AB=0°50
那么，ctgAB°C≈343.8 例如, ctg66°≈ctg60°-1.3*tg(90°-6°)≈0.5774-1.3*0.1051≈0.440237 ctg55°≈ctg50°-1.3*tg(90°-5°)≈0.8391-1.3*0.0875≈0.72535 ctg43°≈ctg40°-1.4*ctg(90°-2*3°)≈ctg40°-1.4*ctg84°≈1.1918-1.4*0.1051≈1.04466 ctg36°≈ctg30°-1.4*ctg(90°-2*6°)≈ctg30°-1.4*ctg78°≈1.7321-0.2126*1.4≈1.43446 ctg13°30≈ctg11°-1.6*(3-1)ctg78°-ctg84C/10≈ctg11°-1.6*2*ctg78°-3*ctg84°≈5.145-1.6*2*0.2126-3*0.1051≈4.14815 ctg12°40≈ctg11°-1.6*(2-1)ctg78°-ctg84C/10≈ctg11°-1.6*ctg78°-4*ctg84°≈5.145-1.6*0.2126-4*0.1051≈4.38444 ctg8°30≈ctg7°-1.5*(8-7)ctg57°-ctg80C/10≈ctg7°-1.5*ctg57°-3*ctg80°≈8.144-1.5*0.6494-3*0.1763≈6.6641 ctg9°20≈ctg7°-1.5*(9-7)ctg57°-ctg80C/10≈ctg7°-1.5*2*ctg57°-2*ctg80°≈8.144-1.5*2*0.6494-2*0.1763≈5.8396 ctg5°40≈ctg4°-1.5*(5-4)ctg33°-ctg63C/10≈ctg4°-1.5*ctg33°-4*ctg63°≈14.30-1.5*1.5399-4*0.5095≈9.95215 ctg4°30≈ctg4°-1.5*(4-4)ctg33°-ctg63C/10≈ctg4°-0*ctg33°-3*ctg63°≈14.30-0*1.5399-3*0.5095≈12.7715 ctg3°40≈ctg3°-ctg48C/10≈ctg3°-4*ctg48°≈19.08-4*0.9004≈15.4784 ctg2°40≈ctg2°-ctg28C/10≈ctg2°-4*ctg28°≈28.64-4*1.881≈21.116 ctg1°40≈ctg1°-1.5ctg14*C/10≈ctg1°-1.5*4*ctg14°≈57.29-1.5*4*4.011≈33.224 ctg20≈85.94
ctg30`≈114.6
三角函数表可以查《中学数学用表》, 角度值和弧度值的换算可以查《中学数学用表》, tgAB可以近似等于是tgA0和tgB的和, 由于tgAB的图像不是直线，是曲线，, tgAB在tg40°,tg73°,tg79°,tg83°,tg87°,tg88°,tg89°存在拐点，这一点可以从正切表上面看出来，详细内容可查《中学数学用表》, tgAB在两个拐点之间的曲线可以近似看成一条直线，可以用tgAB°C=tbA0+1.3*tgB+tgC来表示,
lgx计算电路 如果1.0≤A.BC<1.5， 那么，lgA.BC≈lg1.0+0.040*(B-0)+0.0041C， . 如果1.5≤A.BC<2.0， 那么，lgA.BC≈lg1.5+0.024(B-5)+0.0024C， 如果2.0≤A.BC<2.5， 那么，lgA.BC≈lg2.0+0.020(B-0)+0.0020C， 如果2.5≤A.BC<3.0， 那么，lgA.BC≈lg2.5+0.016(B-5)+0.0016C， 如果3.0≤A.BC<4.0， 那么，lgA.BC≈lg3.0+0.014(B-0)+0.0013C， 如果4.0≤A.BC<5.0， 那么，lgA.BC≈lg4.0+0.010(B-0)+0.0010C， 如果5.0≤A.BC<6.0， 那么，lgA.BC≈lg5.0+0.008(B-0)+0.0008C， 如果6.0≤A.BC<7.0， 那么，lgA.BC≈lg6.0+0.007(B-0)+0.0007C， 如果7.0≤A.BC<8.0， 那么，lgA.BC≈lg7.0+0.006(B-0)+0.0006C， 如果8.0≤A.BC<9.0， 那么，lgA.BC≈lg8.0+0.005(B-0)+0.0005C， 如果9.0≤A.BC<10.0， 那么，lgA.BC≈lg8.0+0.004(B-0)+0.0004C， 下面这些公式可以从常用对数表，通过数学归纳法推测出来， 如果1.0≤A.BC<1.5 那么，lgA.BC≈lg1.0+0.040(B-0)+0.0041C， 如果1.5≤A.BC<2.0 那么，lgA.BC≈lg1.5+0.024(B-5)+0.0024C， 如果2.0≤A.BC<2.5 那么，lgA.BC≈lg2.0+0.020(B-0)+0.0020C 如果2.5≤A.BC<3.0 那么，lgA.BC≈lg2.5+0.016(B-5)+0.0016C 如果3.0≤A.BC<4.0 那么，lgA.BC≈lg3.0+0.014(B-0)+0.0013C 如果4.0≤A.BC<5.0 那么，lgA.BC≈lg4.0+0.010(B-0)+0.0010C 如果5.0≤A.BC<6.0 那么，lgA.BC≈lg5.0+0.008(B-0)+0.0008C 如果6.0≤A.BC<7.0 那么，lgA.BC≈lg6.0+0.007(B-0)+0.0007C 如果7.0≤A.BC<8.0 那么，lgA.BC≈lg7.0+0.006(B-0)+0.0006C 如果8.0≤A.BC<9.0 那么，lgA.BC≈lg8.0+0.005(B-0)+0.0005C 如果9.0≤A.BC<10.0 那么，lgA.BC≈lg8.0+0.004(B-0)+0.0004*C
例如， lg1.26≈lg1.0+0.039*(2-0)+60.0041≈0+0.0392+60.0041≈0.1026， lg1.73≈lg1.5+0.024(7-5)+30.0024≈0.1761+0.0242+60.0024≈0.2385， lg2.25≈lg2.0+0.020(2-0)+50.0020≈0.3010+0.0202+50.0020≈0.351， lg2.78≈lg2.5+0.016(2-5)+80.0016≈0.3979+0.0162+80.0016≈0.4427， lg3.55≈lg3.0+0.014(5-0)+50.0013≈0.4771+0.0145+50.0013≈0.5536， lg4.96≈lg4.0+0.010(9-0)+60.0010≈0.6021+0.0109+60.0010≈0.6981， lg5.92≈lg5.0+0.008(9-0)+20.0008≈0.699+0.0089+20.0008≈0.7726， lg6.94≈lg6.0+0.007(9-0)+40.0007≈0.7782+0.0079+40.0007≈0.844， lg7.53≈lg7.0+0.006(5-0)+40.0006≈0.8451+0.0065+40.0006≈0.8775， lg8.53≈lg8.0+0.005(5-0)+30.0005≈0.9031+0.0055+30.0005≈0.9296， lg9.56≈lg9.0+0.004(5-0)+30.0004≈0.9542+0.0045+60.0004≈0.9766， 其它大于10的对数可以通过下面的公式计算得到， lgABC=lg(A.BC100)=lgA.BC+lg100=lgA.BC+2， lgAB.C=lg(A.BC10)=lgA.BC+lg10=lgA.BC+1， lg12.6=lg(12.610)=lg1.26+lg10≈0.1026+1=1.1026，
计算lnx的电路 推导过程依据《中学数学用表》 如果1.0≤A.BC<1.3 那么，lnA.BC≈ln1.2-0.089*(2-B)+0.009C 如果1.3≤A.BC<1.7 那么，lnA.BC≈ln1.6-0.069(6-B)+0.0071C 如果1.7≤A.BC<2.1 那么，lnA.BC≈ln2.0-0.055(10-B)+0.0057C 如果2.1≤A.BC<2.5 那么，lnA.BC≈ln2.4-0.045(4-B)+0.0049C 如果2.5≤A.BC<2.8 那么，lnA.BC≈ln2.7-0.040(7-B)+0.0041C 如果2.8≤A.BC<3.1 那么，lnA.BC≈ln3.0-0.034(10-B)+0.0035C 如果3.1≤A.BC<4.0 那么，lnA.BC≈ln3.9-0.027(9-B)+0.0027C 如果4.0≤A.BC<4.5 那么，lnA.BC≈ln4.4-0.023(4-B)+0.0023C 如果4.5≤A.BC<5.2 那么，lnA.BC≈ln5.1-0.019(11-B)+0.0019C 如果5.2≤A.BC<6.0 那么，lnA.BC≈ln5.9-0.018(9-B)+0.0018C 如果6.0≤A.BC<6.8 那么，lnA.BC≈ln6.7-0.016(7-B)+0.0016C 如果6.8≤A.BC<7.7 那么，lnA.BC≈ln7.6-0.014(16-B)+0.0014C 如果7.7≤A.BC<8.6 那么，lnA.BC≈ln8.5-0.012(15-B)+0.0012C 如果8.6≤A.BC<9.6 那么，lnA.BC≈ln9.5-0.011(15-B)+0.0011C 如果9.6≤A.BC<10.0 那么，lnA.BC≈ln9.9-0.010(15-B)+0.0010C ln10.0≈2.3026 下面这些公式可以从自然对数表，通过数学归纳法推测出来 例如, ln1.13≈ln1.2-0.089(2-1)+30.009≈0.1823-0.089+0.027≈0.1203 ln1.19≈ln1.2-0.089(2-1)+90.009≈0.1823-0.089+0.081≈0.1743 ln1.07≈ln1.2-0.089(2-0)+70.009≈0.1823-0.0892+0.063≈0.0673 ln1.32≈ln1.6-0.069*(6-3)+20.0065≈0.4700-0.0693+20.0071≈0.2772 ln1.45≈ln1.6-0.069(6-4)+50.0065≈0.4700-0.0692+50.0071≈0.3675 ln1.84≈ln2.0-0.055(10-8)+40.0057≈0.6931-0.0552+40.0057≈0.6059 ln1.92≈ln2.0-0.055(10-9)+20.0057≈0.6931-0.055+20.0057≈0.6495 ln2.26≈ln2.4-0.045*(4-2)+60.0049≈0.8755-0.0452+60.0049≈0.8149 ln2.67≈ln2.7-0.040(7-6)+70.0041≈0.9933-0.040+70.0041≈0.982 ln2.78≈ln2.7-0.040*(7-7)+80.0041≈0.9933+80.0041≈1.6201 ln2.84≈ln3.0-0.034*(10-8)+40.0035≈1.0986-0.0342+40.0035≈1.0446 ln3.59≈ln3.9-0.027(9-5)+90.0027≈1.3610-0.0274+90.0027≈1.2557 ln4.24≈ln4.4-0.023(4-2)+40.0023≈1.4816-0.0232+40.0023≈1.4448 ln4.73≈ln5.0-0.020(10-7)+30.0020≈1.4816-0.0232+40.0023≈1.4448 ln4.94≈ln5.1-0.019(11-9)+40.0019≈1.6292-0.0192+40.0019≈1.5988 ln5.67≈ln5.9-0.018(9-6)+70.0018≈1.7750-0.0183+70.0018≈1.7336 ln6.57≈ln6.7-0.016(7-5)+70.0016≈1.9021-0.0162+70.0016≈1.8813 ln7.28≈ln7.6-0.014(16-12)+80.0014≈2.0281-0.0144+80.0014≈1.9833 ln8.19≈ln8.5-0.012(15-11)+90.0012≈2.1401-0.0124+90.0012≈2.1029 ln9.14≈ln9.5-0.011(15-11)+40.0011≈2.2513-0.0114+40.0011≈2.2117 ln9.72≈ln9.9-0.010(9-7)+20.0010≈2.2925-0.0102+20.0010≈2.2745 其它大于10的对数可以通过下面的公式计算得到 lnABC=ln(A.BC100)=lnA.BC+ln100=lnA.BC+4.60517 lnAB.C=ln(A.BC10)=lnA.BC+ln10=lnA.BC+2.302585 ln11.3=ln(1.1310)=ln1.13+ln10≈0.1203+2.302583=2.422883 可参见高等教育出版社菲赫金哥尔茨著1953年版《微积分教程》第二卷第二分册 398.对数的计算 由上面的推导可知
ln n
log n= a ln a
例如： 当a=10时，
1
M= =0.4329
ln 10
log 5=1.609434*0.4329=0.696723 10
ln 5
log 5= =1.609437/2.302585≈0.3989
10 ln 10
当a=6时，
1
M= =0.55811
ln 6
log 5=1.609434*0.55811=0.898051 6
ln 5
log 5= =1.609437/1.7917≈0.89827
6 ln 6
当a=3时，
1
M= =0.910241
ln 3
log 5=1.609434*0.910241=1.46497 3
ln 5
log 5= =1.609437/1.09861≈1.46497
3 ln 3
由上面的推导可知：任何一个对数都可以化为这个对数的幂的自然对数除以这个对数的底的自然对数, 任何一个数的自然对数可以查自然对数表,
因为,
ln n
log n=
10 ln 10
所以,
log n=0.4329*ln
10
用电压比较器计算logsinx的电路
推导过程依据《中学数学用表》
推导过程可参见《对数表新编》冯度编开明书店出版1935年版
S与T之值及其对数表,
1.若α为自0°-2°之角则
log sinα=log α+S, log tanα=log α+T,
log cotα=-colog tan α,
log α=log sinα-S log α=log tanα-T
log α=colog tan α-T 注意：如果log cotα=n,则colog cotα=(10-n) - 10 例如log cotx=1.67604, colog cotx=8.32396 - 10 =-1.32396 例，log tanx=1.55407, colog tanx=8.44593 - 10=-1.44593 2.若α为自88°-90°之角则 log cosα=log (90°-α)+S
log cotα=log (90°-α)+T log tanα=-colog cot α log (90°-α)=log cosα-S
log (90°-α) =log cotα-T log (90°-α) =colog tan α-T
α=90°-(90°-α)
由下表取得S与T之值应各附记-10于其后
从下面的表中查到的S,T值，应该在后面写上-10这个记号
α`` S log sinα
0
4.68557
2409 8.06740
4.68556
3417 8.21920
4.68555
3823 8.26795
4.68555
4190 8.30776
4.68554
4840 8.37038
4.68553
5414 8.41904
4.68552
5932 8.45872
4.68551
6408 8.49233
4.68550
6633 8.50721
4.68550
6851 8.52125
4.68549
7267 8.54684
α T log tanα 0 4.68557 200 6.98660 4.68558 1726 7.92263 4.68559 2432 8.07156 4.68560 2976 8.15924 4.68561 3434 8.22142 4.68562 3838 8.26973 4.68563 4204 8.30930 4.68564 4540 8.34270 4.68565 4699 8.35766 4.68565 4853 8.37167 4.68566 5146 8.39713 4.68567 5424 8.41999 4.68568 5689 8.44072 4.68569 5941 8.45955 4.68570 6184 8.47697 4.68571 6417 8.49305 4.68572 6642 8.50802 4.68573 6859 8.52200 4.68574 7070 8.53516 4.68575 7173 8.54145 4.68575 7274 8.54753 正弦对数表1 22.求自0°-2°或自88°-90°之三角函数对数， 欲较第二表更为精密时，当用本表求之，表中S与T之定义如下：S=log sinα-log α, T=log tanα-log α,取S与T之值时，应各附记-10于其后，举例如下： 例1，求log sin°58`17,log cos88°2641.2`` 0°5817=3497
log3497 =3.54370
相加 + S =4.68555 - 10
log sin00°5817``=8.22925 - 10=-1.77075 log sin00°5817=log3497+4.68555-10≈3.54370+4.68555 - 10≈8.22925 - 10 ≈-1.77075 90°-88°26`41.2=1°3318.8`` =5598.8`` log5598.8=3.74809 相加 + S =4.68552 - 10 log cos88°2641.2=8.43361 - 10=-1.56639 log cos88°26`41.2=log5598.8+4.68553-10≈3.74809+4.68553 - 10 ≈8.43362 - 10 ≈-1.56639
给后面标记-10的意思就是给前面的数减去10
例2，求log tan0°5247.5``,log tan89°5437.362 0°52`47.5=3167.5 log3167.5 =3.50072 相加 + T =4.68561 - 10 log tan00°52`47.5=8.18663 - 10=-1.81337
log tan00°5247.5``=log3167.5+4.68561-10≈3.50072+4.68561 - 10≈8.18663 - 10 ≈-1.81337 90°-89°5437.362=0°5`22.638
=322.638 log322.638=2.50871 相加 + T =4.68558 - 10 log cot89°54`37.362=7.19429 - 10=-2.80571
log cot89°5437.362``=log322.638+4.68558-10≈2.50871+4.68558 - 10≈7.19429 - 10 ≈-2.80571 log tan89°5437.362=-log cot89°54`37.362=2.80571
例3，log sinx=6.72306 - 10,求x
6.72306-10
相减 - S=4.68557-10
2.03749 =lg109.015
109.015 =0°1`48.015
例4，log cotx=1.67604,求x
colog cotx=8.32396 - 10=-1.67604
相减 - T=4.68564 – 10
3.63832 =lg4348.3
5757.6 =1°35`57.6
90°-1°3557.6``=88°242.4 ∴x=88°22`2.4
20.此表列三角函数之对数，第21页以每秒计，凡在0-3之角，由上而下检之，左边()行即为秒数。自89°57`-90°，则由下而上检之，秒数列于右边()行，第22页至第27页，以每10秒计，由上而下为3-2,(),(``)列于左边，由下而上，为88°-89°57,(),(``)列于右边，第28页至第70页以每分计，由上而下，为2°-45°，()在左边，由下而上，为45°-88°,()列在右边，其cd及d行为相邻两定值部分之差数，其PP行为计分之小数之比例分，第21页至第27页检得之对数。因定位部分系负数，应各附记-10于其后，自第28页至第70页之对数，除在第三直行外，其在第一，四直行者应各附记-10于其后, 例1, 第47页, log sin 21°37=9.56631 - 10=-0.56631,
第70页, log tan 45°59=10.01491 - 10=-0.01491, 例2, 第67页, log cos x=9.87468 - 10=-0.87468,x=41°28,
第39页, log cot x=9.39353 - 10=-0.39353,x=76°6, 例3求log tan70°468, 因8-8/60=0.13``,检第45页，logtan70°46之定值部分为45731，其为47之定值部分之差为41, 检PP行，41之0.1比例分为4.1；0.03之比例分为1.23；则41之0.13比例分约为5, 故所求之定值部分为4571+5=45736, 故log tan 70°468=0.45736, 例4，求log cos 47°35`4,
因4=4`/60=0.07`,检第68页，log cos 47°35`之定值部分为82899，其与36`之定值部分之差为14, 检PP行，14之0.07比例分为0.98, 故所求之定值部分为82899-1=82898, 故log cos 47°35`4=9.82898 – 10, 注意：凡角增大时，则log sin及log tan亦增大，而log cos及log cot则减小,
计算logsinx的公式：
logsinα计算公式，当0°<α<2°时，
如果if 0°≤α<2°，根据《对数表新编》中的S,T公式，判断正弦对数值，log sinα=log α+S，log tanα=log α+T，上式中，α=MN°WST``，α``=3600*MN+60*WS+T，log α``/1000=lgA.BC， 如果0≤α``<7267，那么，log sinα=log α``/1000+3+4.68553=lg A.BC+3+4.68553，计算log sinα时，首先计算logα``/1000,再加上3，最后加上4.68553，这样得到的数后面附加-10，给这个数减去10，就是log sinα的值，例如: log sin0°5817=log3497+4.68555≈3.54370+4.68555 - 10≈8.22925 - 10 ≈-1.77075， log sin0°58`17=log3492+4.68553≈3.5408+4.68553 - 10≈8.22633 - 10 ≈-1.77376，
0.0169531000020.6=169.5320.6=3492.318，
00°58`17≈0.016953， 计算logα/1000的公式如下：
如果1.0≤A.BC<1.5，
那么，lgA.BC≈lg1.0+0.040(B-0)+0.0041C，
. 如果1.5≤A.BC<2.0，
那么，lgA.BC≈lg1.5+0.024(B-5)+0.0024C，
如果2.0≤A.BC<2.5，
那么，lgA.BC≈lg2.0+0.020(B-0)+0.0020C，
如果2.5≤A.BC<3.0，
那么，lgA.BC≈lg2.5+0.016(B-5)+0.0016C，
如果3.0≤A.BC<4.0，
那么，lgA.BC≈lg3.0+0.014(B-0)+0.0013C，
如果4.0≤A.BC<5.0，
那么，lgA.BC≈lg4.0+0.010(B-0)+0.0010C，
如果5.0≤A.BC<6.0，
那么，lgA.BC≈lg5.0+0.008(B-0)+0.0008C，
如果6.0≤A.BC<7.0，
那么，lgA.BC≈lg6.0+0.007(B-0)+0.0007C，
如果7.0≤A.BC<8.0，
那么，lgA.BC≈lg7.0+0.006(B-0)+0.0006C，
如果8.0≤A.BC<9.0，
那么，lgA.BC≈lg8.0+0.005(B-0)+0.0005C，
如果9.0≤A.BC<10.0，
那么，lgA.BC≈lg8.0+0.004(B-0)+0.0004C，
下面这些公式可以从常用对数表，通过数学归纳法推测出来，
如果1.0≤A.BC<1.5
那么，lgA.BC≈lg1.0+0.040(B-0)+0.0041C，
如果1.5≤A.BC<2.0
那么，lgA.BC≈lg1.5+0.024(B-5)+0.0024C，
如果2.0≤A.BC<2.5
那么，lgA.BC≈lg2.0+0.020(B-0)+0.0020C
如果2.5≤A.BC<3.0
那么，lgA.BC≈lg2.5+0.016(B-5)+0.0016C
如果3.0≤A.BC<4.0
那么，lgA.BC≈lg3.0+0.014(B-0)+0.0013C
如果4.0≤A.BC<5.0
那么，lgA.BC≈lg4.0+0.010(B-0)+0.0010C
如果5.0≤A.BC<6.0
那么，lgA.BC≈lg5.0+0.008(B-0)+0.0008C
如果6.0≤A.BC<7.0
那么，lgA.BC≈lg6.0+0.007(B-0)+0.0007C
如果7.0≤A.BC<8.0
那么，lgA.BC≈lg7.0+0.006(B-0)+0.0006C
如果8.0≤A.BC<9.0
那么，lgA.BC≈lg8.0+0.005(B-0)+0.0005C
如果9.0≤A.BC<10.0
那么，lgA.BC≈lg8.0+0.004(B-0)+0.0004*C
