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导数计算电路

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推导过程参见《微积概要》国立中山大学学院院长何衍睿，李铭槃，苗文绥，合编，

1935年版，商务印书馆出版,

3.简单函数之引数

1.x 之引数

（其一）首设m为正整数，则依二项式定理得,

m m m m-1 2 m-2 m m

(x+h) -x x +mhx + m(m-1)h x /2+...+h -x

h h

即

m m

(x+h) -x m-1 m-2 m-1

=mx +m(m-1)hx /2+...+h

m m m-1 m m-1

当h趋近于零，[(x+h) -x ]/h之极限为mx , 故x 之引数为mx .

(其二)次设m为正分数p/q,就中p,q为正整数，令

p/q p/q

(x+h) =X,x =A,

则,

p/q p/q

(x+h) -x X-a X -A 1

= = *

h h h q-1 q-2 q-1

X +AX +......+A

当h趋近于零，

p/q p/q p p

X -A (x+h) -x p-1

= 之极限为px (因p为正整数).

h h

又X之极限为A，故

q-1 q-2 q-1 p(q-1)/q

X +AX +......+A之极限为qA =qx

由是,

p/q p/q p-1

(x+h) -x px p p-1

= = x

h p-p/q q

m m-1

而x 之引数仍为mx .

(其三)更设m为负有理数，令m=-μ，则μ为正有理数。而,

m m -μ -μ μ μ

(x+h) -x (x+h) -x 1/(x+h) -1/x

= =

h h h

即,

m m μ μ

(x+h) -x (x+h) -x 1

= =

h h μ μ

x (x+h)

当h趋近于零，

m m

(x+h) -x μ-1

之极限为μx (因μ为正有理数),

μ μ

而(x+h) 之极限为x ，故

m m μ-1

(x+h) -x -μx -μ-1

之极限为 = -μx

h 2μ

m-1 m m-1

是亦mx 也。综上所述，如m为有理数，则x 之引数为mx ,

如x为无理数，则当x>0时，x 为x之函数，

其引数与前所得者无异，将于第5节第5目求之。

2.a 之引数, 兹求,

x+h x x h

a -a a * a -1

h h

于h趋近于零时极限。a 之极限为1（见第一章第2节第9目）。

令a =1+a,并以log表e底之对数，则hloga=log(1+a),而h=log(1+a)/loga, 故

x a -1 x a

a * =a loga

h log(1+a)

当h趋近于零，则a亦趋近于零，而

log(1+a)

之极限为1遂知a 之引数为,

x a

a loga=

log e

x x

特端——a=e,e 之引数为e .

3.log x之引数

log (x+h)-log x

a a 1 x+h 1 h

= log = log (1+ )

h h a x h a x

令h/x=a,即h=ax,则有

log (x+h)-log x

a a 1 1 1 1/a

= log (1+a)= log (1+a)

h x a a x a

1/a

当h趋近于零，a亦趋近于零，而(1+a) 之极限为e, 故

1 1/a

log (1+a) 之极限为

x a

1 1

log e=

x a xlog e

此乃log x之引数也。特端——a=e,log x之引数为1/x,

4.cosx之引数

cos(x+h)-cosx 2sin(h/2)sin(x+h/2)

h h

以h/2替代sin(h/2)，则上式右边化为-sin(x+h/2)，而其极限为-sinx，故cosx之引数为-sinx

5.sinx之引数

sin(x+h)-sinx 2sin(h/2)cos(x+h/2)

h h

以h/2替代sin(h/2)，则上式右边化为cosx, 即是sinx之引数也。

6.tanx之引数

tan(x+h)-tanx 1 sin(x+h) sinx

=- [ - ]

h h cos(x+h) cosx

1 sin(x+h)cosx-sinxcos(x+h)

= *

h cosxcos(x+h)

sinh 1

= *

h cosxcos(x+h)

因sinh/h之极限为1，而cos(x+h)之极限为cosx，故tanx之引数为1/cos x

7.反函数之引数,

定理——设y=f(x)与x=φ(y)互为反函数，如第一章第1节第2目所定者，

又设x ,y 为x与y之对应值，当x=x 时，如函数f(x)有异于零之引数f`(x )，

0 0 0 0

如函数f(x)有异于零之引数f`(x )，盖因,

y =f(x ),x =φ`(y )，

0 0 0 0

故与x 以增量h,y 即有增量k与之对应。

0 0

合于y +k=f(x +h),及x +h=φ（y +k），

0 0 0 0

遂得

φ(y +k)+φ(y ) h

0 0

k f(x +h)-f(x )

0 0

当h趋近于零时，上式右边之极限为1/f`(x),

而k亦同时趋近于零，以y为x之连续函数故也。由是h趋近于零时，

φ(y +k)+φ(y )

0 0

=之极限φ(y )等于1/f(x) , 无论x为间隔(a,b)内之任何值，

若f(x)恒有不为零之引数f(x), 则, φ(y)=1/f`(x),

如以y 表f(x),x 表φ(y), 即可将上式书为x =1/y 或y =1/x

x y y x x y

下列数目用本定理以求反三角函数(Inverse Trigenomotrio Function)之引数。

8.arccosx之引数

由y=arccosx之关系，即有x=cosy，故x` =-siny, 而,

y=1/x =-1/siny

今因,

siny=ε 1-cos y

就中ε代表±1，其号与siny之号相同，遂得

y`=

1-x

此乃arccosx之引数也。上列所得之结果，可明之如次，

任与x一值x ，则y之对应值为2kπ±z,就中k为整数，

而z为等于arccosx 之任一值，故y之引数=±z之引数，此引数视siny之号而定。

若设y在区间[2kπ,(2k+1）π]内，且令x在间隔(-1，+1)内。则任与一值x，即得一值y与之对应，并以一值为限。反言之任与一值y，亦得一值x与之对应，并以一值为限。在此条件y与x互为反函数。

9.arcsinx之引数

2 2

y =1/x =1/cosy=ε/ 1-sin y =ε/ 1-x

x y

就中ε代表±1，其号与cosy之号相同。此结果可做前目解释之。又arcsinx之引数与arccosx之引数有相同之绝对值，此刻直接证明，盖令u=arccosx,v=arcsinx, 则x=cosu,x=sinv,

而, cosu=sinv, 即有cosu=cos(π/2-v), 故,

u=2kπ±(π/2-v)=a±v(a表常数)，可见u =±v

x x

10.arctanx之引数

由y=arctanx,得x=tany,而

2 2 2

y =1/x =cos y=1/(1+tan y)=1/(1+x )

x y

故arctanx之引数为1/(1+x ),

已与x一值x ，则y之值为kπ+z,就中k为整数。而z表arctanx 之任一值，

0 0

此各值kπ+z不通过常数之差，故y之引数相同。

4.函数之函数之引数

设u为v之函数，其关系以u=f(x)表之，又设y为u之函数，其关系则以y=φ(u)表之，任与一值x,即得一值u与之对应，而此值u亦有对应之值y，故任与一值x，可得一值y与之对应，即y与x之函数，该函数名为函数之函数(Funtion Function).

2.引数之求法

设u对于x有引数u ,而y对于u有引数y ，则y对于x有引数y =y *u`

x u x u x

盖令x=x 时，u=u ,y=y ,

0 0 0

而x=x +∧x时，u=u +∧u,y=y +∧y,如∧u≠0，即有

0 0 0

∧y ∧y ∧u

= (1)

∧x ∧u ∧x

兹就x=x 时u 之值(u ) 异于零与否，分究如次。

0 x x 0

（其一）设(u` ) ≠0,则当│∧x│小于一正数a时，∧u异于零，故可应用(1)式得

x 0

y =y *u` (2)

x u x

(其二)设(u` ) =0, 今与x以一列趋近于零之数值，即得为零或不为零之对应增量∧u，

x 0

如∧u异于零，则可应用(1)式而有(2)式之结果。如∧u等于零，则∧y随之为零，而∧y/∧x以零为极限。故无论在何情形，公式y =y *u` 恒能成立

x u x

3.例

(1)设set y=cos3x,试求y`

令 u=3x,则y=cosu, 而y =y u` =-sinu*3=-3sinu=-3sin3x

x u x

sinx

(2)设y=a ，试求y`

x u sinx

令sinx=u,则y=a ，而y =y u` =a 8logacosx=a logacosx

x u x

4.推广

做第2目之推理可得结果如下：

设 u=f(x),v=φ(u),w=ψ(v),y=g(w)，且u对于x之引数为u` ,

v对于u之引数为v ,w对于v之引数为w ,

u v

w对于v之引数为w ,y对于w之引数为y ,

v w

则y对于x之引数为y *w *v *u

w v u x

例——设

y= arc sin(x/3)

1/4

试求y` . 令u=x/3,v=arcsinu,y=v

则,

y =y *v *u =

x v u x

1 -3/4 ε 1

= v * *

4 2 3

1-u

1 -3/4 ε

= (arcsinu) *

4 2

9-x

1 ε

4 2 3/4

9-x [arcsin(x/3)]

(ε=±1,其号与cosv之号相同)

5.u 之引数

设u,v为x之函数，其引数为u,v,今求y=u 对于x之引数。

v v*logu

由y=u ,得log y=v*logu,即y=e

z z

如令z=v*logu,则y=e ，而y之引数y=e *z(z`表z对于x之引数).

vlogu

但 z=vlogu+v*u/u, 故· y=e (vlogu_v*u/u) 即

v v-1

y=u v logu+vu u` m m-1

特端——如u=x,v=m(m表常数), 则x 之数为mx (参阅第3节第1目)。

由此可见y=u 之引数为下列两引数之和：

(其一)数u为常数所得之引数(参阅第3节第2目).

(其二)设v为常数所得之引数(参阅本目之特端)

计算积分的sinxcosx型积分公式

由上面推论得到

cosx=sinx+c

sin` x=cosx

sinx

设t=cos x, 根据公式：

v v-1

y=u v logu+vu u`

所以,

sinx sinx sinx-1

(cos x)`=cos xcosxlog(cosx)+sinxcos x(-sinx)

(sin t)=cos t*t

sinx sinx sinx-1

=cos(cos t)[cos xcosx*log(cosx)+sinxcos x(-sinx)]

≈cosx

(sin t)`≈cosx

sinx sinx sinx-1

cosx≈cos(cos t)[cos xcosx*log(cosx)+sinxcos x(-sinx)]

sinx sinx sinx sinx-1

cosx≈cos[cos (cos x)][cos xcosx*log(cosx)+sinxcos x(-sinx)]

根据莱布尼兹公式

n I

(n) (n) (n-i) (i) (n) (n-1) n(n-1) (n-i)

y =(uv) = u v =u v+nu v`+ u v``+...

1*2

i=0 n

n(n-1)...(n-i+1) (n-i) (i) (n)

...+ u v +...+uv

1*2...i

所以,

n I n I

(n) (n) (n-i) (i)

y =(uv) = u v =

i=0 n i=0 n

n I

sinx (n-i) sinx sinx-1 (i)

≈ [cos(cos t)] [cos xcosxlog(cosx)+sinxcos x(-sinx) ]

i=0 n

n 1

x sinx sinx sinx-1

a = [cos(cos t)]``[cos xcosxlog(cosx)+sinxcos x(-sinx)]

i=0 3

由上面推论得到

sinx=-cosx+c

cos` x=-sinx

cosx

设t=sin x, 根据公式：

v v-1

y=u v logu+vu u`

所以,

cosx cosx sinx-1

(sin x)`=sin x*(-sinx)*log(sinx)+cosxsin xcosx

(cos t)=(-sin t)*t

sinx sinx sinx-1

=[-sin(sin t)][sin (sin x)*(-sinx)*log(sinx)+cosxsin xcosx]

≈-sinx

(cos t)`≈-sinx

cosx cosx cosx-1

sinx≈[-sin(sin t)][sin (sin x)*(-sinx)*log(sinx)+cosxsin xcosx]

cosx cosx cosx cosx-1

sinx≈[-sin[sin (sin x)]][sin (sin x)*(-sinx)*log(sinx)+cosxsin xcosx]

根据莱布尼兹公式

n I

(n) (n) (n-i) (i) (n) (n-1) n(n-1) (n-2)

y =(uv) = u v =u v+nu v`+ u v``+...

1*2

i=0 n

n(n-1)...(n-i+1) (n-i) (i) (n)

...+ u v +...+uv

1*2...i

所以,

n I

(n) (n) (n-i) (i)

y =(uv) = u v

i=0 n

n I

cosx (n-i) cosx cosx-1 (i)

≈ [-sin(sin x)] [sin (sin x)*(-sinx)*log(sinx)+cosxsin xcosx]

i=0 n

n 1

x cosx cosx cosx-1

a = [-sin(sin x)]``[sin (sin x)*(-sinx)*log(sinx)+cosxsin xcosx]

i=0 3

7.第n引数

2.例

例——设f(x)=x

m-1 m-2

f`(x)=mx ,f``(x)=m(m-1)x

m-3

f```(x)=m(m-1)(m-2)x

(Ⅳ) m-3

f (x)=m(m-1)(m-2)(m-3)x

………..

故,

(n) m-5

f (x)=m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)x

如m为正整数，则第m+1之引数与其后各引数为零。

例二——设f(x)=cosx, 则,

f`(x)=-sinx=cos(x+π/2),

f``(x)=-cos(x+2π/2),

……..

故,

(n) m-5

f (x)=cos(x+nπ/2)

同理，sinx之第n引数为sin(x+nπ/2),

例三——设有m次多项式,

m-1 m-1

f(x)=A x +A x +...+A x+A

0 1 m-1 m

今与x以增量h，试就h之方指数之递增以展出f(x+h)，因,

m-1 m-2

f(x+h)=A (x+h) +A (x+h) +...+A (x+h)+A

0 1 m-1 m

广言之，h 之系数为

m-p n-p-1 (p)

A *m(m-1)...(m-p+1)x A *m(m-1)...(m-p+1)x f (x)

0 1

+ +…=

p! p! p!

遂得所求之展式如下：

2 p (p) m (m)

f(x+h)=f(x)+hf(x)+h f``(x)/2!+...+h f (x)/p!+...+h f (x)/m!

3.Leibniz公式

设y=uv,u与v表x之函数，求y之第一引数，得

dy du dv

=v +u

dx dx dx

再求y之第二第三引数。得,

2 2 2

d y d u dv dv d u

=v +2 * +u

2 2 2

dx dx dx dx dx

3 3 2 2 3

d y d u d u dv du d v d v

=v +3 * +3 +u

3 3 2 2 3

dx dx dx dx dx dx dx

故设n=2,n=3至n=n时，则有

n n n-1 n-2 2

d y d u d u dv n(n-1) d u d v

(1) =v +n * +

n n n-1 2 2

dx dx dx dx 2 dx dx

n-p+1 p-1

n(n-1)...(n-p+2) d u d v

+…+

n-p+1 p-1

(p-1)! dx dx

n-p p n

n(n-1)...(n-p+1) d u d v d v

+ +…+u

n-p p n

p! dx dx dx

今证y之第n+1引数可以n+1是(1)式之n而得之，由(1)式得,

n+1 n+1 n

d y d u d u dv

(2) =v +(n+1) *

n+1 n+1 n

dx dx dx dx

n-p+1 p

n(n-1)...(n-p+2) d u d v

+…+

n-p+1 p

(p-1)! dx dx

n-p p-1 n+1

n(n-1)...(n-p+1) d u d v d v

+ +…+u

n-p p-1 n+1

p! dx dx dx

令,

p (n+1)n...(n+1-p+1)

C =

n-1 p!

p-1 n(n-1)...(n-p+2)

C =

n-1 p!

p n(n-1)...(n-p+1)

C =

n-1 p!

则,

p P-1 P

C = C =C

n-1 n n

而(2)式公项

n-p+1 p

d u d u

n-p+1 p

dx dx

之系数为C , 即(2)式可写为

n+1

n+1 n+1 n

d y d u n d u dv

=v +C *

n+1 n+1 n+1 n

dx dx dx dx

n p n-p p-1 n+1

p d u d v p d u d v d v

+…+C +…+C +…+u

1 n-p+1 p n+1 n-P p-1 n+1

dx dx dx dx dx

故无论除n为何正整数，（1）式恒能成立，且(1)式之右边除首尾两项有一因数u或v外，

其余各项,

n-p p

d u d u

n-p p

dx dx

之系数与(a+b) 展式之系数相同。(1)式名为Leibniz公式

例1,

x x x

y=a , (a )`=a lga,

cosx

sin x v cosx

求函数y=a 的导数, 设y=a ,v=sin x, 因为,

x x x

(a )`=a lga =a /log e

cosx cosx cosx-1

(sin x)`=sin x*(-sinx)*log(sinx)+cosxsin xcosx

所以,

v cosx cosx-1

y =y v` =a lga[sin x*(-sinx)*log(sinx)+cosxsin xcosx]

x v x

cosx

sin x cosx cosx

=a lga*[sin x*(-sinx)*log(sinx)+cosxsin xcosx]

≈a lga

所以,

cosx

sin x cosx cosx-1

a ≈a lga*[sin x*(-sinx)*log(sinx)+cosxsin xcosx]

根据莱布尼兹公式

n I

(n) (n) (n-i) (i) (n) (n-1) n(n-1) (n-2)

y =(uv) = u v =u v+nu v`+ u v``+...

1*2

i=0 n

n(n-1)...(n-i+1) (n-i) (i) (n)

...+ u v +...+uv

1*2...i

所以,

n I

(n) (n) (n-i) (i)

y =(uv) = u v

i=0 n

n I cosx

sin x (n-i) cosx cosx-1 (i)

≈ [a lga] [sin x(-sinx)*log(sinx)+cosxsin xcosx]

i=0 n

n 1 cosx

x sin x cosx cosx-1

a = [-[a lga]`[sin x(-sinx)*log(sinx)+cosxsin xcosx]

i=0

例2,

m m m-1

y=x , (x )`=mx ,

sinm

cos m

求函数y=x 的导数

v cosx

设y=x ,v=sin m

v v-1

(x )`=vx ,

sinx sinx sinx-1

(cos x)`=cos xcosxlog(cosx)+sinxcos x(-sinx)

所以,

v sinm sinm-1

y =y v` =vx [cos mcosm*log(cosm)+sinmcos m(-sinm)]

x v x

sinm

sinm cos m sinx sinx-1

=[cos mx ][cos mcosm*log(cosm)+sinmcos m(-sinm)]

sinm

sinm cos m-1

≈cos m*x

m-1

≈mx

所以,

sinm

m sinm cos m sinx sinx-1

x ≈ [cos mx ][cos mcosm*log(cosm)+sinmcos m(-sinm)]

根据莱布尼兹公式

n I

(n) (n) (n-i) (i)

y =(uv) = u v

i=0 n

n I sinm

sinm cos m (n-i) sinx sinx-1 (i)

≈ [cos mx ] [cos mcosm*log(cosm)+sinmcos m(-sinm)]

i=0 n

n 1 sinm

sinm cos m sinx sinx-1

a≈ [-[cos mx ]``[cos mcosm*log(cosm)+sinmcos m(-sinm)]

i=0 3

可参见高等教育出版社菲赫金哥尔茨著1953年版《微积分教程》第二卷第二分册

莱伯尼兹公式

1.莱伯尼兹公式

我们在前一段开始时曾指出求导数的几个简单法则Ⅰ及Ⅱ可以直接移用到任意阶导数的情形。但处理关于乘积的导数的法则Ⅲ却较为费事。法则ⅠⅡⅢ可见求导数的几个简单法则

假定u,v是x的函数，且各自有值到n阶为止的各阶导数；我们将证明这时它们的乘积y=uv亦有n阶导数，并将求出它的表达式。应用法则Ⅲ逐次微分这乘积；我们就求出：

y=uv+uv,y``=u``v+2uv+uv``,y```=u```v+3u``v+3u`v``+uv```,...

很容易看出导出一切这些公式的规律：它们的右边使我们想起二项式的各次幂

2 3

u+v,(u+v) ,(u+v) ....的展开式，

只把u,v的各次幂换成对应阶的导数罢了。

(0) (0)

若在所得的公式内把u,v写成u ,v ,其间的相似性就更为完全。

推广这一规律到任意的n的情形，即得普遍的公式。

(n) (n) n i (n-i) (i)

y =(uv) =∑c u v =

i=0 n

(n) (n-1) n(n-1) (n-2) n(n-1)...(n-i+1) (n-i) (i) (n)

=u v+nu v`+ u v`` +…+ u v +uv

12 12...i

注：记号∑表示同一类型的诸项的总和。当这些项都依赖着一个标数，而这个标数是在确定界限内变动着时，这些界限就就必须（在下面及在上面）指示出来。例如

∑ a =a +a ...+a

i=0 i 0 1 n

n 1 1 1 1

∑ =1+ + +…+ 等等

k=0 k 2 3 m

要证明它的正确性，可再运用数学归纳法。假设对于某一n值上式是对的。若函数u,v的(n+1)阶导数也存在，则可以依x将上式再微分一次：我们就得：

(n+1) n i (n-i) (i)

y =∑c [u v ]`=

i=0 n

n i (n-i+1) (i) n i (n-i) (i+1)

=∑ c u v +∑ c u v

i=0 n i=0 n

今将合并在最后两个总和内含函数u,v的同阶导数的各个乘积（很容易看出，在每一个乘积内，导数的阶的总和始终是等于n+1).

(n-i+1) (0) 0

乘积u v 仅包含在第一个总和内（在i=0时);在这总和内，它的系数是C =1

(0) (n-i+1) n

完全与此相同，u v 仅包含在第二个总和内（有序号i=n的项），它的系数是C =1

(n+1-k) (k)

包含在这两个总和内的其他的一切乘积，它们的形式是u v , ,并且1≤k≤n。

每一个这种乘积，在第一个总和内能遇到（有序号i=k的项），在第二个总和内亦能遇到（有

k k-1

序号i=k-1的项）。对应的系数和是C +C

n n

k k-1 k

大家都已经知道，C +C =C

n n n+1

这样，最后求出

(n+1) 0 (n-0+1) (0) n k (n-k+1) (k) n-1 k (n-k) (k+1) n (n-n) (n+1)

y =C u v + ∑ C u v + ∑ C u v +C u v

n k=1 n k=0 n n

(n+1) 0 (n-0+1) (0) n k (n-k+1) (k) n k-1 (n-k+1) (k) n (n-n) (n+1)

y =C u v + ∑ C u v + ∑ C u v +C u v

n k=1 n k=0 n n

(n+1) (n+1) (0) n k [(n+1)-k] (k) (0) (n+1)

y = u v + ∑ C u v + u v

k=1 n+1

n+1 k [(n+1)-k] (k) (0) (n+1)

=∑ C u v + u v

k=1 n+1

因为

0 n+1

C =C =1

n+1 n+1

(n+1)

我们已经得到y 的表达式，它完全类似于表达式（1）（仅n换成n+1）, 这样就证明了公式（1）对于一切自然数值n的正确性。已建立的公式（1），称为莱伯尼兹公式。在推求n阶导数的普遍式时，它经常是有用处的。需指出对于许多因子的连乘积y=uv...t的n阶导数，也可以建立这样的公式；

它与多项式的幂（u+v+...+t）的展开式相类似。

118）例题

2 (50)

1）用莱伯尼兹公式（1）求(x *cos αx) 的导数。令

v=x ,u=cos αx

那时

(k) k π

u =α *cos(αx+k )

Ⅳ Ⅴ

v`=2x, v``=2, v```=v =v ...=0

这样，在公式（1）内除去首三项外，其余各项都等于零，于是我们就得到

(50) 2 50 π 50 49 π

(uv) =x *α cos(αx+50 )+ 2xα cos(αx+49 )+

2 1 2

50*49 48 π

2α cos(αx+48 )

1*2 2

48 2 2

=α [(2450-α x )cos αx-100 αx*sin αx]

2)回到任意导数的普遍公式7），现在我们就能够由莱伯尼兹公式直接得出函数

y=e *sin bx的n阶导数的普遍式:

(n) ax n n(n-1) n-2 2 n(n-1)(n-2) n-2 2

y =e [sin bx(a - a b +… )+ cos bx(na b- a b +…)]

12 12*3

3)求函数y=arc sin x 的(n+1)阶导数的表达式。

首先，我们有

1 1 1

y`= = *

1-x 1+x 1-x

于是依莱伯尼兹公式

(n+1) 1 1 (n)

y =( * )

1+x 1-x

1 (n) 1 1 (n-1) 1

=( ) +n( ) ( )

1+x 1-x 1+x 1-x

n(n-1) 1 (n-2) 1

+ ( ) ( )``

1*2 1+x 1-x

n(n-1)(n-2) 1 (n-3) 1

+ ( ) ( )``` +…

1*2 1+x 1-x

今若应用在任意导数的普遍公式内的2)所得的公式去求

1 1

及的各阶导数，就得结果

1+x 1-x

(n+1) 1 (2n-1)!! (2n-3)!!1!!

y = { -n

n 2 n n-1

2 1+x (1+x) (1+x) (1-x)

n(n-1) (2n-5)!!3!!

+ * +…}

n-2 2

1*2 (1+x) (1-x)

4)求函数y=arc tg x 在x=0时的各阶导数的数值。

因为

1 2

y= 故，y*(1+x )=1

1+x

在这等式两端取n阶导数（应用莱伯尼兹公式）：

2 (n+1) (n) (n-1)

(1+x )y +2nx*y +n(n-1)*y =0

在此处令x=0，若以添加下标0来表示在x=0时的导数值，则得

(n+1) (n-1)

y =-n(n-1)*y

0 0

在x=0时，导数

y``= =0

2 2

(1+x )

即y`` =0

由已求出的关系式易见恒有

(2m)

y =0

至于奇阶导数，就有递推公式：

(2m+1) (2m-1)

y =-(2m-1)2my

0 0

注意y` =1

2 2

y``` =-(1+x )x

由数学归纳法可得, 由此就得

(2m+1) m

y =(-1) (2m)!

这一结果也可以从任意阶导数的普遍公式116.8）中得到

4a)求函数y=arc ctg x 在x=0时的各阶导数的数值。

因为

1 2

y=- 故，-y*(1+x )=1

1+x

在这等式两端取n阶导数（应用莱伯尼兹公式）：

2 (n+1) (n) (n-1)

(1+x )y +2nx*y +n(n-1)*y =0

在此处令x=0，若以添加下标0来表示在x=0时的导数值，则得

(n+1) (n-1)

y =-n(n-1)*y

0 0

在x=0时，导数

y``= =0

2 2

(1-x )

即y`` =0

由已求出的关系式易见恒有

(2m)

y =0

至于奇阶导数，就有递推公式：

(2m+1) (2m-1)

y =-(2m-1)2my

0 0

注意y` =1

2 2

y``` =-(1+x )x

由数学归纳法可得, 由此就得

(2m+1) m

y =(-1) (2m)!

这一结果也可以从任意阶导数的普遍公式116.8a）中得到

5)对函数y=arc sin x也一样。

提示：应用莱伯尼兹公式于关系式：

y=arc sin x

y`=

1-x

y` 1-x =1

2 2

y`(1-x ) = 1-x

2 2

[y(1-x )] = 1-x

2 -2x

(1-x )y``-2xy`=

1-x

(1-x )y``-xy`=0

(1-x )y``-2xy=-x*y

2 (n) (n-1)

(1-x )y -xy =0

答案：

(2m)

y =0,

(2m-1) m-1 2 2 2 m-1 2

或y = (-1) * 1 *3 ...(2m-1) =(-1) [(2m-1)!!]

(2m-1) 2 2 2 2

y =1 *3 ...(2m-1) = [(2m-1)!!]

要从3)的普遍式内得出这一结果，却没有这样简单。

5a)对函数y=arc cos x也一样。

提示：应用莱伯尼兹公式于关系式：

y=arc cos x

y`=-

1-x

y` 1-x =-1

2 2

y`(1-x ) =- 1-x

2 2

[y(1-x )] =- 1-x

2 -2x

(1-x )y``-2xy`=-

1-x

(1-x )y``-3xy`=0

(1-x )y``-2xy=x*y

2 (n) (n-1)

(1-x )y -3xy =0

答案：

(2m)

y =0,

(2m-1) m-1 2 2 2 m-1 2

或y = (-1) * 1 *3 ...(2m-1) =(-1) [(2m-3)!!]

(2m-1) 2 2 2 2

y =3 *5 ...(2m-3) = [(2m-3)!!]

要从3)的普遍式内得出这一结果，却没有这样简单。

6)勒尚达多项式。

最后我们考察以勒尚达（A.M.Legendre）命名的重要多项式，它由下列等式

n 2 n

d (x -1)

X (x)=C (n=1,2,3,...)

n n n

来定义, 其中常系数C 的值可看情形根据怎样能够方便的原则而给定。

首先要证明：(n次)多项式X (x)有n个不同的实根，这些根都在-1与+1之间。

为了方便起见，暂设

C =1

2 n n

不难看出，多项式(x -1) =(x-1) (x+1) 和它的n-1个相继各阶导数在x=±1时变为零。

于是根据洛尔定理，它的一阶导数也将有根在-1与+1之间；这样一直到n-1阶导数，它除了有根-1与+1外，还有n-1个根介于其间。再对这导数应用一次洛尔定理，便得到所要证的结论。仍令系数C =1，我们来确定多项式X (x)在x=±1时的数值。

n n

2 n n n

把幂(x -1) 看成(x+1) 乘(x-1) 的积，依莱布尼兹公式可以写成;

n n n n-1 n n n

n d (x-1) 1 d(x+1) d (x-1) d (x+1) n

X (x)=(x+1) * +C * * +...+ * (x-1)

n n n-1 n

dx dx dx dx

因为从第二项起的各项都含因式x-1，它们在x=1时都等于0，所以显然有：

X (1)=2 *n!

类似地可得：

n n

X (-1)=(-1) *2 *n!

若在定义勒尚达多项式X (x)的一般公式中设

c =

n n

2 *n!

则得到特别常见的多项式，今后我们将把这多项式记为 P (x)

其特征是在点x=1和x=-1处取值P (1)=1, P (-1)=(-1) ,

n n

用莱伯尼兹公式很易进一步证明勒尚达多项式X (x)满足下列关系式：

(x -1)X`` +2x*X` -n(n+1)X =0

n n n

它在这类的多项式的理论中担任着重要角色。实际上，令

2 n 2 n-1

y=(x -1) ，就有 y`=2nx*(x -1) ,

于是

(x -1)y`=2nxy

今在最后的等式的两端各取(n+1)阶导数；依莱伯尼兹公式，

2 (n+2) (n+1) n(n+1) (n) (n+1) (n)

(x -1)y +(n+1)2xy + 2y =2nx*y +(n+1)2ny

由此

2 (n+2) (n+1) (n)

(x -1)y +2x*y - n(n+1) y =0

再以c 乘之，就得到所要证明的关系式。

7)求函数y=arc sin x 在x=0时的各阶导数的数值。

因为

1 2

y= 故，y* (1-x ) =1

1-x

设 2

y`* (1-x ) =t

在这等式两端取n阶导数（应用莱伯尼兹公式）：

2 (n) (n)

[y`* (1-x ) ] =t

2 (n+1) 2 (n) 2 (n-1)

(1-x )y +n( (1-x ))` * y +n(n-1)( 1-x )`` *y =0

因为

2 (1-x )` x

(1-x )`= =-

2 2

2 1-x 1-x

2 x

(1-x )``=(- )`

1-x

2 2

2 1-x -x 1-x

1-x

=- 1-x

(n)

2 (n+1) xny 2 (n-1)

1-x y - - n(n-1) 1-x y =0

1-x

在此处令x=0，若以添加下标0来表示在x=0时的导数值，则得

(n+1) 2 (n-1) (n-1)

y = n(n-1) 1-x y = n(n-1) y

0 0 0

在x=0时，导数

-3

1 2 2 2

y``=- (1-x ) (1-x )`

-3

2 2

=x*(1-x )

即y`` =0

由已求出的关系式易见恒有

(2m)

y =0

至于奇阶导数，就有递推公式：

(2m+1) (2m-1)

y =(2m-1)2my

0 0

注意y` =1

由此就得

(2m+1) m+1

y =(-1) (2m)!

这一结果也可以从任意阶导数的普遍公式116.8）中得到

7a)求函数y=arc cos x 在x=0时的各阶导数的数值。

因为

1 2

y=- 故，-y* (1-x ) =1

1-x

设 2

-y`* (1-x ) =t

在这等式两端取n阶导数（应用莱伯尼兹公式）：

2 (n) (n)

[-y`* (1-x ) ] =t

2 (n+1) 2 (n) 2 (n-1)

-(1-x )y -n( (1-x ))` * y -n(n-1)( 1-x )`` *y =0

因为

2 (1-x )` x

(1-x )`= =-

2 2

2 1-x 1-x

2 x

(1-x )``=(- )`

1-x

2 2

2 1-x -x 1-x

1-x

=- 1-x

(n)

2 (n+1) xny 2 (n-1)

- 1-x y + + n(n-1) 1-x y =0

1-x

在此处令x=0，若以添加下标0来表示在x=0时的导数值，则得

(n+1) 2 (n-1) (n-1)

y = n(n-1) 1-x y = n(n-1) y

0 0 0

在x=0时，导数

-3

1 2 2 2

y``= (1-x ) (1-x )`

-3

2 2

=x*(1-x )

即y`` =0

由已求出的关系式易见恒有

(2m)

y =0

至于奇阶导数，就有递推公式：

(2m+1) (2m-1)

y =(2m-1)2my

0 0

注意y` =1

由此就得

(2m+1) m+1

y =(-1) (2m)!

这一结果也可以从任意阶导数的普遍公式116.8）中得到

119.高阶微分

今转而讨论高阶微分，它们也是归纳来定义的。函数y=f(x)的(一阶)微分在某一点处的微分称为函数在这一点处的二阶微分，记作：

d y=d(dy)

二阶微分的微分称为三阶微分：

3 2

d y=d(d y)

一般地说，函y=f(x)的(n-1)阶微分的微分称为函数y=f(x)的n阶微分：

n n-1

d y=d(d y)

若应用函数记号，则各阶微分可以表示为::

2 3 n

d f(x ),d f(x ),...,d f(x ),...

0 0 0

在这里我们还可以指出这些微分是在x的特别值x=x 处取值的。

在求高阶微分时很重要的一件事，是要记住dx是不依赖于x的任意的数，关于x而微分时必须把它看成常数因子。在这种情形，将有(始终假定对应的导数是存在的)：

2 2

d y=d(dy)=d(y*dx)=dy*dx=(y*dx)*dx=y*dx

2 2 2 2 2 3

d y=d(d y)=d(y*dx )=dy*dx =(y*dx)*dx =y*dx

2 3

注意：dx ,dx ...等等恒理解为微分的幂，

2 3 2 3

(dx) ,(dx) ,...,幂的微分分别记成：d(x ),d(x ),..., 等等。很容易猜出普遍规律是：

n (n) n

d y=y *dx (2)

这可以用数学归纳法来证明。由它就推得

(n) d y

y =

于是从今以后，这记号就可以看成分数了。利用等式(2)，现在很容易改造莱伯尼兹公式使适用于微分。

只要在它的两边各乘以dx ，就可得出

n i

n n-i I 0 0

d (uv) = d ud v(d u=u,d v=v)

i=0 n

莱伯尼兹当初所建立的公式，原来就是关于微分的。

第十部分导函数

推导过程可参见1992年版《高等数学》，盛祥耀主编，高等教育出版社出版

五导函数

例3.求函数f(x)=sinx在任意一点x ∈(-∞,+∞)处的导数，

解.第一步求△y:

△y=f(x +△x)-f(x )=sin(x +△x)-sinx

0 0 0

第二步求

sin(x +△x)-sinx

△y 0 0

△x △x

2cos(x +△x/2)*sin△x/2

△x

第三步取极限：

2cos(x +△x/2)*sin△x/2

△y 0

lim = lim

△x→0 △x △x→0 △x

cos(x +△x/2)*sin△x/2

= lim

△x→0 △x

=cosx

即, (sinx)`│ =cosx (1)

x-x 0

有了上式再求具体某一点如x =π/4处导数就很容易了，只要将x =π/4

0 0

(sinx)`│ = cosπ/4=√2/2

x =π/4

(1)式表明，给定了x 就对应有函数f(x)=sinx的导数值，

这样形成一个新的函数，叫做函数f(x)=sinx的导数，它的表达式就是,

(sinx)`=cosx,

一般地，函数f(x)的导函数记作f`(x)。它的计算公式是：

f(x+△x)-f(x)

f`(x)=lim

△x→0 △x

注意计算极限过程中x是不变的。其极限值就是导函数，它随着x变化而变化，

由此可知x 处导数就是导函数在x 处的函数值。

0 0

有上面推论得到

cosx=sinx+c

例3a.求函数

k sinx sinx

f(x)=sinx[ ( ± *i)]

π x x

在任意一点x ∈(-∞,+∞)处的导数，

当0<x<π/2时,k=1,

当π/2<x<π时,k=2

当π<x<3π/2时,k=3

……….

当nπ/2<x<(n+1)π/2时,k=n+1

当0>x>-π/2时,k=-1

当-π/2>x>-π时,k=-2

当-π>x>-3π/2时,k=-3

………..

当-nπ/2>x>-(n+1)π/2时,k=-n-1

解.第一步求△y:

△y=f(x +△x)-f(x )=sin(x +△x)-sinx

0 0 0

第二步求

k sin(x+△x) sin(x+△x) k sinx sinx

sin[ ( ± *i]-sin[ ( ± *i)]

△y π x+△x x+△x π x x

△x △x

2cos(x +△x/2)*sin△x/2

△x

因为

sinx

lim =1

x→0 x

第三步取极限：

2cos(x +△x/2)*sin△x/2

△y 0

lim = lim

△x→0 △x △x→0 △x

cos(x +△x/2)*sin△x/2

= lim

△x→0 △x

=cosx

即,

k sinx sinx

{sinx[ ( ± *i)]` =cosx (1)

π x x x-x 0

有了上式再求具体某一点如x =π/4处导数就很容易了，只要将x =π/4

0 0

k sinx sinx

{sinx[ ( ± *i)]` =cosx

π x x x =π/4 0

(1)式表明，给定了x 就对应有函数f(x)=sinx的导数值，

这样形成一个新的函数，叫做函数f(x)=sinx的导数，它的表达式就是,

k sinx sinx

{sinx[ ( ± *i)]}`=cosx

π x x

一般地，函数f(x)的导函数记作f`(x)。它的计算公式是：

f(x+△x)-f(x)

f`(x)=lim

△x→0 △x

注意计算极限过程中x是不变的。其极限值就是导函数，它随着x变化而变化，

由此可知x 处导数就是导函数在x 处的函数值。

0 0

有上面推论得到

k sinx sinx

cosx=sinx[ ( ± *i)]

π x x

例3b.求函数

k tgx tgx

f(x)=sinx[ ( ± *i)]

π x x

在任意一点x ∈(-∞,+∞)处的导数，

当0<x<π/2时,k=1,

当π/2<x<π时,k=2

当π<x<3π/2时,k=3

……….

当nπ/2<x<(n+1)π/2时,k=n+1

当0>x>-π/2时,k=-1

当-π/2>x>-π时,k=-2

当-π>x>-3π/2时,k=-3

………..

当-nπ/2>x>-(n+1)π/2时,k=-n-1

解.第一步求△y:

△y=f(x +△x)-f(x )=sin(x +△x)-sinx

0 0 0

第二步求

k tg(x+△x) tg(x+△x) k tgx tgx

sin[ ( ± *i]-sin[ ( ± *i)]

△y π x+△x x+△x π x x

△x △x

2cos(x +△x/2)*sin△x/2

△x

因为

tgx

lim =1

x→0 x

第三步取极限：

2cos(x +△x/2)*sin△x/2

△y 0

lim = lim

△x→0 △x △x→0 △x

cos(x +△x/2)*sin△x/2

= lim

△x→0 △x

=cosx

即,

k tgx tgx

{sinx[ ( ± *i)]` =cosx (1)

π x x x-x 0

有了上式再求具体某一点如x =π/4处导数就很容易了，只要将x =π/4

0 0

k tgx tgx

{sinx[ ( ± *i)]` =cosx

π x x x =π/4 0

(1)式表明，给定了x 就对应有函数f(x)=sinx的导数值，

这样形成一个新的函数，叫做函数f(x)=sinx的导数，它的表达式就是,

k tgx tgx

{sinx[ ( ± *i)]}`=cosx

π x x

一般地，函数f(x)的导函数记作f`(x)。它的计算公式是：

f(x+△x)-f(x)

f`(x)=lim

△x→0 △x

注意计算极限过程中x是不变的。其极限值就是导函数，它随着x变化而变化，

由此可知x 处导数就是导函数在x 处的函数值。

0 0

有上面推论得到

k tgx tgx

cosx=sinx[ ( ± *i)]

π x x

推导过程可参见《微积分学导论》，1958年版，曹一华，江体乾编译

例4.求f(x)=lnx,x∈(0,+∞)的导函数。

解:

△y f(x+△x)-f(x)

f`(x)= lim = lim

△x→0 △x △x→0 △x

ln(x+△x)-lnx

= lim

△x→0 △x

ln(1+△x/x)

= lim

△x→0 △x

△x/x

= lim

△x→0 △x

=1/x

即, (lnx)`=1/x,

由上面推论得到

1/x=lnx+c

例4a.求

k sinx sinx

f(x)=lnx[ ( ± *i)]

π x x

,x∈(-∞,+∞)的导函数。

当0<x<π/2时,k=1,

当π/2<x<π时,k=2

当π<x<3π/2时,k=3

……….

当nπ/2<x<(n+1)π/2时,k=n+1

当0>x>-π/2时,k=-1

当-π/2>x>-π时,k=-2

当-π>x>-3π/2时,k=-3

………..

解:

△y f(x+△x)-f(x)

f`(x)= lim = lim

△x→0 △x △x→0 △x

k sinx sinx k sinx sinx

lnx[ ( ± *i)]-ln[ ( ± *i)]

π x x π x x

= lim

△x→0 △x

因为

sinx

lim =1

△x→0 x

所以

ln(x+△x)-lnx

f`(x) = lim

△x→0 △x

ln(1+△x/x)

= lim

△x→0 △x

△x/x

= lim

△x→0 △x

=1/x

即,

k sinx sinx

{lnx[ ( ± *i)]}`=1/x

π x x

由上面推论得到

k sinx sinx

1/x=lnx[ ( ± *i)]

π x x

例4b.求

k tgx tgx

f(x)=lnx[ ( ± *i)]

π x x

,x∈(-∞,+∞)的导函数。

当0<x<π/2时,k=1,

当π/2<x<π时,k=2

当π<x<3π/2时,k=3

……….

当nπ/2<x<(n+1)π/2时,k=n+1

当0>x>-π/2时,k=-1

当-π/2>x>-π时,k=-2

当-π>x>-3π/2时,k=-3

………..

解:

△y f(x+△x)-f(x)

f`(x)= lim = lim

△x→0 △x △x→0 △x

k tgx tgx k tgx tgx

lnx[ ( ± *i)]-ln[ ( ± *i)]

π x x π x x

= lim

△x→0 △x

因为

tgx

lim =1

△x→0 x

所以

ln(x+△x)-lnx

f`(x) = lim

△x→0 △x

ln(1+△x/x)

= lim

△x→0 △x

△x/x

= lim

△x→0 △x

=1/x

即,

k tgx tgx

{lnx[ ( ± *i)]}`=1/x

π x x

由上面推论得到

k tgx tgx

1/x=lnx[ ( ± *i)]

π x x

结合例3，例4，用数学归纳法可得, 函数的积分等于用sinx/x替换原来积分中的x

如果

f`(x)=f(x)

则存在,

k sinx sinx

f`(x)=f[ ( ± *i)]

π x x

当0<x<π/2时,k=1,

当π/2<x<π时,k=2

当π<x<3π/2时,k=3

……….

当nπ/2<x<(n+1)π/2时,k=n+1

当0>x>-π/2时,k=-1

当-π/2>x>-π时,k=-2

当-π>x>-3π/2时,k=-3

………..

我们称这种积分为sinx/x型积分

例如：

1/x=lnx

k sinx sinx

1/x=lnx[ ( ± *i)]

π x x

cosx=sinx

k sinx sinx

cosx=sin[ ( ± *i)]

π x x

函数的积分等于用tgx/x替换原来积分中的x,

如果

f`(x)=f(x)

则存在,

k tgx tgx

f`(x)=f[ ( ± *i)]

π x x

当0<x<π/2时,k=1,

当π/2<x<π时,k=2

当π<x<3π/2时,k=3

……….

当nπ/2<x<(n+1)π/2时,k=n+1

当0>x>-π/2时,k=-1

当-π/2>x>-π时,k=-2

当-π>x>-3π/2时,k=-3

………..

我们称这种积分为tgx/x型积分

例如：

1/x=lnx

k tgx tgx

1/x=lnx[ ( ± *i)]

π x x

cosx=sinx

k tgx tgx

cosx=sin[ ( ± *i)]

π x x

推导过程可参见《微积分学导论》，1958年版，曹一华，江体乾编译

3-19.指数函数的导数

x x x

设y=a ,则y=a lna,即(a )=a lna

x x

特别的，如果y=e ,则y`=e ，即

x x

(e )`=e

证明，因函数y=a 与x=log y互为反函数，故由此

y =1/x

x y

但按3.25式知x` =log e/y,所以

y a

1 1 x 1

y` = =y =a

log e log e log e

a a a

又因为,

=lna

log e

所以y` =a lna,

或

d x x

(a )=a lna

于此，我们就证明了3.27式,

x x x x

现在，如果设a=e,则y=e ,且y` =e lne=e ,

这样，我们便获得3.28式,

例1.设y=a ,试求y`

3x 3x

设把3x看作u,我们就有y=a *lna*(3x)=3a *lna

sinx

例2.设y=2 ,试求y`

设把sinx看作u，就有

sinx sinx

y=2 *ln2*(sinx)=2 cosx*ln2

-x

例3.试求曲线y=e 上点x=0与x=1处切线的斜率

-x

我们有y`=e (-2x)=-2xe ,

且

tgα =0

x=0

而

-1

tgα =-2e =-2/e≈-0.74

x=1

3-20.任意幂函数的导数

设y=x ,此处k是任意数，则

即

k k-1

(x )`=kx 3.29

证明.我们将等式y=x 两边取对数，则有

ln y=k lnx

从而得,

klnx

y=e

故此式可当作原来假设的函数y=x

klnx

由此，如果把y=e 当作是原来假设的函数，

我们便得到,

klnx klnx k

y =e (k lnx)=e

x x

k klnx

以x 代换e ，我们则得

k k k-1

y` =x kx

x x

或者

d k k-1

(x )=kx 3.29

这就是所要证明的

例1.设y=√x,试求y`,

因为,

1/2

y=x

1/2 1/2-1 -1/2

从而y=(x )=x /2=x /2=1/2√x

例2.设y= x, 试求y`

我们有,

1/3 1/3-1 -2/3 2

y=( x )=(x )`=x /3=x /3=1/3 x

3-17.对数函数的导数

设y=log x,则y`=log e/x,即

a a

（log x)`=log e/x

a a

特别是，如果y=lnx，则y=1/x，即 (ln x)=1/x

证明。我们有y=f(x)=log x,

1)给x以增量，则增添后的y值将为

y+△y=log (x+△x)

2)减去y=log x,便得

△y=log (x+△x)-log x

a a

=log [(x+△x)/x]=log (1+△x/x)

a a

3)以△x除△y，则得

△y 1

= log (1+△x/x)

△x △x a

如在此式右边除以并乘以x，并且注意到将对数前面的因子搬到指数上去，我们就得到

△y 1 x

= log (1+△x/x)

△x x △x a

1 x/△x

= log (1+△x/x)

x a

取极限，得

△y 1 x/△x

y`= lim = lim log (1+△x/x)

△x→0 △x △x→0 x a

现在我们先来计算

1 x/△x

lim log (1+△x/x)

△x→0 x a

为此，设x/△x=α，于是，x/△x=1/α，当△x→0时，△x/x也趋于零，而α于无穷小相反，将趋于无穷大，并且得

1 x/△x α

lim log (1+△x/x) = lim (1+1/α) =e

△x→0 x a α→∞

将所得到的值代入原式，则有

1 x/△x α

y` = lim log (1+△x/x) = lim (1+1/α) =e

△x→0 x a α→∞

于是,

y`= log e

x a

或

d 1

(log x)= log e

x a x a

特别是，如果y=lnx,则y`=lne/x=1/x,或d lnx/dx=1/x,这就是所要证明的。

例1，设y=ln(3x+2），试求y`

假设3x+2=u，我们便有

1 3

y`= *3=

3x+2 3x+2

例2，设y=ln sinx,试求y`

假设sinx=u，就有

y`= *cosx=ctgx

sinx

3 2

例3，设y=ln (8x -5)/(3x +4),试求y`

为了简化导数的运算，预先把对数拆开，故有

3 2

y=ln(8x -5)-ln(3x +4)

于是

3 3 2 2

y=(8x -5)/(8x -5)-(3x +4)`/(3x +4)

2 3 2

=24x /(8x -5)-6x/(3x +4)

例4.试求曲线y=xlnx在点x=1与点x=1/2处的切线斜率。

我们有y`=lnx+x/x=lnx+1

于是,

tgα =ln1+1=1

x=1

而

tgα =ln1/2+1=1-ln2=1-0.6931=0.3069

x=1/2

3-18.反函数的导数

定理。如果给定的函数y=f(x)有反函数x=φ(y), 并且如果函数y=f(x)有不等于零的导数，

则反函数有导数x =φ(y)与x =1/y

y y x

证明.根据函数y=f(x)有导数的条件，则如我们所知，函数的导数即是代表函数的曲线的斜率，

因而函数的图形具有切线，即y` =tgα,

此处α是切线与Ox轴正向间所成的夹角，由于反函数x=φ(y)与给定函数具有一图形（图3-20），

不同者仅仅是现在把Oy轴所表变量看作是自变量，而x看作是函数罢了，所以tgβ, 此处β是同一切线与Oy轴的夹角，将等于导数x =φ ,则x` =tgβ

y y y

但由图可见, β=π/2-α, 所以, x =tgβ=1/tgα=1/y

y x

或者, dx/dy=1/(dy/dx), 这就是所要证明的

3-16.复合函数的导数

定理复合函数的导数等于此函数对中间变量的导数与中间变量对自变量的导数之积，

即设y=F(u),此处u=φ(x),则

y =F (u)*u (或者y =y *u )

x u x x u x

证明1)给x以增量，则增添后的u值为u+△u=φ(x+△x),

于是增添后的y值为y+△y=F(u+△u)

2)减去原来的值y=F(u),我们有△y=F(u+△u)-F(u),

3)以△x除以△y则得

△y F(u+△u)-F(u)

△x △x

在此式右边除以并乘以△u，且假设当△x充分小时△u不等于零。则得

△y F(u+△u)-F(u) △u

= *

△x △x △x

4)取极限，则有4)

△y F(u+△u)-F(u) △u

y` = lim = lim *

x △x→0 △x △x→0 △x △x

F(u+△u)-F(u) △u

= lim *lim

△x→0 △x △x→0 △x

当△x→0时，按连续性定义△u→0(不是等于零)，故我们得

F(u+△u)-F(u) △u

y` = lim *lim

x △x→0 △x △x→0 △x

=F (u)*u

u x

于是,

y =F (u)*u`

x u x

或

d dF du

F(u) = * 3.24

dx du dx

这就是所要证明的。

复合函数的力学意义可解释如下：

令y=F(u),此处u=φ(x)，

我们知道3-7变量y对变量x的导数u` ，是变量u对变量x的相对变化率。

同样，y对u的导数y` ，是变量y对变量u的相对变化率。

所以y对x的导数即为变量y对x比较时的相对变化率，按已证明的定理，变量y与x相对时的相对变化率等于y对u的相对变化率乘以u对x的相对变化率。

举个简单通俗的例子，可以这样说：如果飞机比汽车快a倍，

即a是飞机与汽车相比较时的相对速率，而汽车比步行快b倍，

即b是汽车与步行相比较时的相对速率，那么，飞机的速率c与步行相比较时的相对速率，

显而易见，将等于ab,即c=ab

例1.设y=tg(ax+b)，试求y`

假设ax+b=u, 则有复合函数y=tgu, 此处u=ax+b,

2 2 2

y =y *u =(tgu) (ax+b)` =a/cos u=a/cos (ax+b) =asec (ax+b)

x u x u x

例2.设y=sin (x ),试求y`

2 2

假设x =u,则有复合函数y=sinu, 式中u=x ,且y =y

x u

2 2

u =(sin u) (x )`=cosu*2x=2xcos(x )

x u x

例3.设y=sin x,试求y`

假设sinx=u, 则有复合函数y=u , 此处u=sinx,及

y =y u =(u ) (sinx)` =2ucosx=2sinx*cos=sin2x

x u x u x

例4.设y=ctg8x,试求y`

按照积累起来的经验，在心里把它默化为复合函数(此处u=8x），我们则有

2 2 2

y` =-8/sin 8x=-8/sin 8x=-8csc 8x

3-21.反三角函数的导数

1.设y=arcsinx,则y`=1/ 1-x

(arcsinx)`=1/ 1-x 3.30

证明：函数y=arcsinx是多值函数，但如果我们只限于在-π/2到π/2之间取其值，即

-π/2 ≤arcsinx≤ π/2

则在此条件下，y=arcsinx将变为单值函数了。且这种函数叫做arcsinx的主值，并写作y=arcsinx, 其几何意义则为在函数y=arcsinx的图形上（图3-21）只限于取点M1与M2间的一部分曲线。因为函数y=arcsinx与x=siny互为反函数，所以有y =1/x

x y

故 y` =1/cosy

但,

2 2

cosy= 1-sin y = 1-x

于是得

y` =1/ 1-x

或者

d(arc sinx)=1/ 1-x

这就是所要证明的, 上式中根号前的符号，我们所以选取正号，是因为按条件y满足不等式：

-π/2 ≤y≤ π/2

而这就是说，cosy是正的量

例1.设y=xarcsinx,试求y`

我们有

y`=arcsinx+x/ 1-x

例2.设y=arcsin√x,试求y`

设把√x看作u，则有

1 1 1

y= (√x)= =

2 2

1-(√x) 2 1-x√x 2 x-x

2.设y=arccos,则

-1

y`=

1-x

即

-1

(arccosx)`= 3.31

1-x

证明，函数y=arccosx为多值函数。如果我们只限于取arccosx在0与π之间的值，即

0≤arccosx≤π

则在此条件下，我们便获得单值函数，

而这个单值函数就叫做函数y=arccosx的主值，并记为

y=arccosx (图3-22)

在几何上来看，就是我们只限于取点M1与M2之间的一部分曲线，

因为函数y=arccosx与x=cosy互为反函数，所以

y` =1/x

x y

然而又因为

x` =-siny

故y =-1/siny

但

2 2

siny= 1-cos y = 1-x

于是，得

-1

y` =

x 2

1-x

或者

于是，得

d -1

(arccosx)=

dx 2

1-x

这就是所要证明的。上式中根号前的符号所以选取为正号，是因为y满足不等式:0≤y≤π，

而这就是说,siny是正的能量。

3.设y=arctgx,则

y=(arctgx)=1/(1+x )

证明.函数y=arctgx是多值函数，为了使它变为单值函数，

我们只限于取arctgx在-π/2到π/2之间的值，即-π/2≤arctgx≤π/2

在此条件下，我们便获取单值函数，而这个函数就叫做arctgx的主值，并且记为

y=arctgx (图3-23)

在几何上，就是我们只限于取y=-π/2到π/2之间的一部分图形。

因为函数y=arctgx与x=tgy互为反函数，所以

y =1/x

x y

然而又因为x` =1/cos y

故

y` =cos y

但

2 2

cos y=1/(1+tg y)=1/(1+x )

于是，得

y`=1/(1+x )

或者

d(arc tgx)/dx=1/(1+x )

这就是所要证明的

例1.设y=arctg(3x+x)，试求y`

2 2

y`=3/[1+(3x+2) ]=3/9x +12x+5

例2.设y=ln(arctgx)，试求y`

设把arctgx看作u，则得

y=(arctgx)/arctgx=1/(1+x )arctgx

例3.设f(x)=arctg4x，试求f`(0)

我们有

f`(x)=4/(1+16x )

于是,

f`(0)=4/(1+16*0)=4

第十一部分导数计算电路

计算sinx导数的电路

因为because

△y sin(x +△x)-sinx

(sinx)`= lim = lim =cosx=t

△x→0 △x △x→0 △x

用直流电源电压表示x,t,s的数值，用乘法器，除法器，减法器，表示上面等式，用电压表测量等式两端电压相等时，s的输出是正整数时，这时t的输出电压值就是极限值4.

sin(x+△x)-sinx -t*△x

设g(x)= =s*△x

△x

下面的电路实现的上面公式的功能,用加法器，乘法器，加法器除法器按上面的公式进行计算。等号表示两端电压相等。

调节s,t,x,△x的电压输出，使乘法器A，除法器A输出的电压相等，调节电位器使x,△x,s,t输出的电压值不断变化，用电压表测量s是正整数时，t的输出值就是函数sinx在△x→0时的极限。

2.计算lnx导数的电路

下面的电路实现的上面公式的功能,用加法器，乘法器，加法器除法器按上面的公式进行计算。等号表示两端电压相等。

△y ln(x+△x)-lnx

(lnx)`= lim = lim =1/x=t

△x→0 △x △x→0 △x

ln(x+△x)-lnx-t*△x

设g(x)= =s*△x

△x

计算sinx的导数的过程和求下面极限的过程相似

2x -2-t(x-1)

=s*△x

△x

2x -2

lim =4

△x→0 x-1

因为,

2 2

2x -2 2(x -2x+1)

│f(x)-A│= -4 = =2│x-1│,(x≠1)

x-1 x-1

计算arcsinx导数的电路

推导过程参见《微积概要》国立中山大学学院院长何衍睿，李铭槃，苗文绥，合编，

1935年版，商务印书馆出版

注：函数导数等于1除以其反函数的导数

2 2

y =1/x =1/cosy=ε/ 1-sin y=ε/ 1-x

x y

就中ε代表±1，其号与cosy之号相同。

arc sin(x+△x)-arc sin x 2 2

(arcsinx)`= lim =ε/ 1-x =±1/ 1-x

△x→0 △x

arc sin(x+△x)-arc sin x-t*△x

设g(x)= =s*△x

△x

4.计算tg(ax+b)导数的电路

下面的电路实现的上面公式的功能,用加法器，乘法器，加法器除法器按上面的公式进行计算。等号表示两端电压相等。

y =[tg(ax+b)]=F (u)*u`

x u x

tg[(ax+b+△(ax+b)]-tg(ax+b)

F`(u)= lim

△x→0 △(ax+b)

tg[(ax+b+△(ax+b)]-tg(ax+b)-t*(ax+b)

设g(x)= =s*△(ax+b)

△(ax+b)

5. 计算2t -3t+5导数的电路

下面的电路实现的上面公式的功能,用加法器，乘法器，加法器除法器按上面的公式进行计算。等号表示两端电压相等。

v=S=(2t -3t+5)=4t-3

2 2

2(t+△t) -3(t+△t)+5-(2t -3t+5)-m*△t

=n*△t

△t

第十二部分导数公式表

x x x

(a )`=a lga =a /log e

(log x)`=log e/x=1/(xlog a)

a a

(lg x)`=1/x

(arc cosx)`=-ε/ 1-x ε=±1,其号与siny之号同

(arc sinx)`=ε/ 1-x ε=±1,其号与cosy之号同

(arc tanx)`=1/ (1+x )

(u+v+w)=u+v+w (u,v,w,表x之函数而有引数u,v,w`者

(uvw)=u/u+v/v+w/w

(u/v)=[(vu-uv`)/v ]

v v v-1

u =u vlog u+vu u

x=φ(y) [x=φ(y)表y=f(x)之反函数，而y有引数f`(x)=0]

x=φ(y) =1/f`(x)

[备考]——三角函数cotx=cosx/sinx,secx=1/cosx,cscx=1/sinx,versx=1-cosx,covsx=1-sinx等或为两函数之商，或为两函数之和，

(c)`=0,

a a-1

(x )`=ax

x x

(a )`=a lna

x x

(e )`=e

(log x)`=1/xlna

(lnx)`=1/x

(sinx)`=cosx

(cos)`=-sinx

(tgx)`=sec x

(ctgx)`=-csc x

(secx)`=secxtgx,

(cscx)`=-cscxctgx,

(arcsinx)`= 2

1-x

-1

(arccosx)`= 2

1-x

(arctgx)`= 2

1+x

-1

(arcctgx)`= 2

1+x

当分母不为0时，极限的求法

推导过程可参见1946年版《大学教本微积分学》，周梦鏖译，龙门联合书局出版

x -4

lim =4

x→2 x-2

lim (x+2)=4

x→2

推导过程可参见1992年版《高等数学》，盛祥耀主编，高等教育出版社出版

当分母为0时，极限的求法，如下所示

例2: 证明

2x -2

lim =4

x→1 x-1

这不算证明，现在用定义证明，这里

2x -2

f(x)= =4 , A=4,x =1,

x-1 0

因为,

2 2

2x -2 2(x -2x+1)

│f(x)-A│= -4 = =2│x-1│,(x≠1)

x-1 x-1

所以对于任意给定的ε>0，要使│f(x)-A│<ε，就应取│x-x │=│x-1│<ε/2,

因此应取δ=ε/2,当：0<│x-x │=│x-1│<δ=ε/2, 时，就恒有

│f(x)-A│=2│x-1│<2*ε/2=ε, 由此可知

2x -2

lim =4

x→1 x-1

综上所述：当x-1<δ时，f(x)-4<ε, 所以f(x)在x→1的时，极限是4