能计算虫洞模型的算筹数字计算机2注释： 28.设A>0,符号B=O(A)或B<<A,均表示存在一个正常数c,使|B|≤c

注释： 28.设A>0,符号B=O(A)或B<<A,均表示存在一个正常数c,使|B|≤cA, 在一些问题中，常数c可能依赖于某些参数，则将它们标注在符号“O”或“<<”的右下方，或另加说明；当这些参数不重要时，则不具体指出。附注2：在应用中，我们经常需要同时估计筛函数S(A(q);P(q),z), 其中A(q),P(q)由（5）式给出。只要注意到（6），（7）式，由定理9直接就可得到所需的估计，这时，要把（68）及（69）式中的A,P换成A(q),P(q),以及把 X,P(z)= ∏ p p<z p∈P

                  ω(p)
   W(z)= ∏ (1-          ),r
          p<z      q       d        
          p∈P

分别用 ω(p) X(q)= X q

      P(z,q)= ∏ p
            p<z
            p∈P(q)
        
                  ω(p)
    W(z)= ∏ (1-          ),r
          p<z      q           d        
         p∈P(q)              q

来代替，附注1在这里亦成立。在定理9中，由函数F(u)的递减性及函数f(u)的递增性知，参数ξ相对于z取得愈大。对主项来说就愈能得到好的估计。这在下界估计中尤为明显，因为当ξ≤z时，有 2 logξ f( )=0 logz 而能得到不小于零的显然估计。但是，在一方面，ξ的选取必须使余项 v (d) 1
∑ 3 |r | 2 d
d<ξ d|P(z) 所得的估计的阶小于主项中XW(z)的阶时，才能得到有效估计，因此，ξ的选取受余项估计的结果的限制，而相对于X不能取得太大；在另一方面，在应用中所需要的却正是z相对 b
于X来说不太小*如z=X ,0<b<1)的情形，所以，估计余项是十分重要的。应用同样的筛法，较好的余项估计就能使我们取较大的ξ，因而得到较好的筛函数的上界及下界估计。对此，我们证明下面的定理，以便于以后的应用定理10：设2≤z≤X,若存在正数0<α≤1及B≥0,使余项估计 v (d) 2 1 X ∑ μ (d)3 |r |<< (90) α -B d 2 d≤X log X log X (d,P)=1
即 v (d) 2 1 X ∑ μ (d)3 |r |=O( )
α -B d 2 d≤X log X log X (d,P)=1
成立，则当条件（8），（33）k=1成立时，有 X 1 S(A;p,z)≤XW(z){F(α )+O( )}, (91) log z 1/14
(log X) 及 log X 1 S(A;p,z)≥XW(z){f(α )+O( )}, (92) log z 1/14
(log X) 证：在定理9中取 2 α -B
ξ =X log X 所以对足够大的X一定有 3/α
2≤z≤ξ 因而定理9成立（注意附注1）。由（49），（50）式容易推出

                     2            α
                 log ξ        log X         log log X  
             F(         )=F(         )+O(         ),        (93)
                  log z        log z         log X
                           
                     2            α
                 log ξ        log X         log log X  
             f(         )=F(         )+O(           ),        (94)
                  log z        log z         log X

此外由定理2(k=1)及（90)式推得 v (d) 1 XW(z) ∑ 3 |r |<< (95) 2 d 1/14 d<ξ (log X) (d,P)=1
利用（93），(94),(95)式，由（68）,(69)式就立即推得（91），（92）式成立，对有界的X，定理显然成立，证毕。

         第八章  算术数列中素数分布的均值定理

引理1：设Q≥1,γ≥2，x≥2 我们有 * β 1/2 2 2 1/3 9
∑ ∑ ∑ x <<(x Q T+x(Q T) )log x(log QT) , (26） q≤Q X ρ q |γ|≤γ
其中ρ=β+iγ是L(s,X)的非显明零点。证：由第四章定理2易得 2 (5-4σ)/3 9
N(σ，T,Q)<<(Q T) (logQT )
因而我们有 * β * β
∑ ∑ ∑ x << ∑ ∑ ∑ x q≤Q X ρ q≤Q X ρ |γ|≤γ |γ|≤γ,β≥1/2

                    1   σ             
                =-∫  x   dN(σ,T,Q)
                   1/12

                   3/2                1   σ                                 
                =x  dN(1/2,T,Q)+log x ∫  x  dN(σ,T,Q)dσ      
                                      1/2                 
1/2  2            2    5/3            9  1        x       σ

<<x Q Tlog QT+(Q T) log x(log QT) ∫ ( ) dσ 1/2 2 4/3 (Q T)
由此即得（26）式，证毕定理1（Bombieri-Bнноградов）设x≥2,对任给的正数A, 当B=A+15时，我们有 1/2 -B -A R (x log x,x)<,xlog x, (27) 及 1/2 -B -A R(x log x,x)<,xlog x, (28)

其中 R 及R分别由（19）和（7）式给出。证：熟知有 1
φ(y;d,L)= ∑ Χ (L)φ(y;X),,(L,d)=1 φ(d) X d 以及若X是模d的特征，X是对应于X的原特征，有 φ(y,X)=φ(y,X)+O(log y log d) 由以上两式即得

E(y;d,L)= ∑ Χ (L)φ(y;X*)+O(log y log d) 0 X ≠X d d 并由此利用 * ∑ Χ*(L)φ(y;X*)= ∑ ∑ Χ (L)φ(y;X) 0 1<q|d X X ≠X q d d 即得 1 *
R (D,x)= ∑ ∑ ∑ max |φ(y;X)|+O(Dlog Dlogx) d≤D φ(d) 1<q|d X y≤x q

                          1     *   
       =  ∑ (    ∑          ∑   max |φ(y;X)|+O(Dlog Dlogx)
        1<q≤D   d≤D  φ(d)  X   y≤x
                                          


                   1      *  
  ≤logD  ∑            ∑   max |φ(y;X)|+O(Dlog Dlogx)      (29)
        1<q≤D  φ(d)    X   y≤x
                           q

这样，就把问题化成了这种形式的特征和估计。 1/2 -B 3A+42
现取D=x log x,D =(log x) , 1 由Siegel-Walfisz定理（第六章引理2）知： 1 *
∑ ∑ max |φ(y;X)|<<x(logx) (30) 1<q≤D φ(d) X y≤x q
现在我们来估计下面形式的和： 1 *
I(Q)= ∑ ∑ max |φ(y;X)|
1<q≤D φ(d) X y≤x q
其中 D ≤Q<D,Q<Q≤2Q 1 φ(y;X)的零点展开式（见第五章（30），取 1/2 T=x 0 并注意到第十章引理5，6）易得：当X≠Χ 时，有 8 x 1/2 2 φ(y;X)<< ∑ +x log x,y≤x ρ (1+|γ) 1/2 |r|≤x 由此并利用引理1及D ≤Q≤D即得 1 8 1/2 2 1 * x I(Q)<<Qx log x+ ∑ ∑ ∑ 1<q≤Q φ(d) X ρ (1+|γ) 1/2 |r|≤x

 1/2    2     log  x   [log x]     1                         8

<<Qx log x+ ∑ ∑ ∑ ∑ x Q 1<q≤Q` i q≤2Q X ρ 2 q L |r|≤2
由此及（29），（30）式即得（27）式，由（27），（19）式及素数定理即得（28）式，证毕。由（9）式知，在GRH下也只不过可推出定理1当B=A+2时成立，所以这一结果是十分强的。推论1：设x≥2,对任给正数A,当B =2A+32时，我们有 1 v (d) 2 1 -A
∑ μ (d)3 max max | E (y;d,L)|<<x log x, (31) d≤D y≤x (L,d)=1
及 v (d) 2 1 -A
∑ μ (d)3 max max | E (y;d,L)|<<x log x, (32) d≤D y≤x (L,d)=1

          -B  
     1/2    1

其中D=x log x, 证：设λ=A+17,由定理1可得，（31）式左边

=    ∑        +    ∑          
    d≤D           d≤D
  v  (d)          v  (d)
    1     λ        1     λ
 3    ≥log  x   3    ≥log  x
        
                 v  (d)
 1          2      1                            λ

<< ∑ μ (d)3 max max | E (y;d,L)| +log x ∑ max max | E (y;d,L)| 2 d≤D y≤x (L,d)=1 d≤D y≤x (L,d)=1
log x v (d) 2 1 λ-B +15 -λ+1 μ (d)3 1 <<x(log x) ∑ +x(log x) d≤D d

                4
     -λ+1    d  (n)           -A

<<x(log x) ∑ +x(log x) d≤D n

-A

<<x(log x)

                     v  (d)
                2      2      4

上式最后二步用到了μ (n)3 ≤d (n)及第三章引理2，这里d(n)为除数函数。这就证明了（31）式。同样可以证明（32）式成立，证毕。

定理1及推论1中的 E ,E换成 E ,E 时亦成立。 0 0

2.一类新的均值定理本节要在集合E ,即函数E(x),g (a)满足一定条件下， x x
来证明形如（17）式的一类新的均值定理。我们假定（1）存在一正数α，0<α≤1，使 1 1-α
≤E(x)<<x （33） 2
（2）存在一个正整数r(和x无关），使 r
g (a)<<d (a) 1)(34) x
注释1）：实际上只要g (a)具有第三章引理2所刻划的除数函数d(a)的那些性质时， x 定理2就成立。此外，根据g (a)的定义，它的函数值一定只取非负整数值， x 但事实上从证明中容易看出g (a)为任一满足条件（34）式的函数时， x 以下所有的定理和推论均成立。例如可以假定 r r
g (a)<<max(d (a),log a) x 等等。在第九章应用这些定理时，仅用到0≤g (a)≤1这一特殊情形。 x 注释完其中d(a)为除数函数。定理2：设D(x),g (d)满足条件（33），（34）式，则对任给正数A， x

       2r+1

当B=3a/2+2 +13时有

R (D,x,E )= ∑ max max | ∑ g (a) E (y;a,d,L)| x d≤D y≤x (L,d)=1 a≤E(x) x (a,d)=1 1 x =∑ max max | ∑ g (a) ( ∑ A(n)- ∑ A(n))|<< （35） d≤D y≤x (L,d)=1 a≤E(x) x a ≤y φ(d) a ≤y A (a,d)=1 n n log x
a ≡L(d)
n

及 R (D,x,E )= ∑ max max | ∑ g (a) E (y;a,d,L)| x d≤D y≤x (L,d)=1 a≤E(x) x (a,d)=1 1 x =∑ max max | ∑ g (a) ( ∑ A(n)- ∑ A(n))|<< （36） d≤D y≤x (L,d)=1 a≤E(x) x a ≤y φ(d) a ≤y A (a,d)=1 n n log x
a ≡L(d)
n
1/2 -B
成立，其中D=x log x
我们将分若干引理来证明（35）式，利用素数定理由（23），（35）式立即推出（36）式。为了简单起见，以下把E 及g (a)仍记为E及g(a)，
x x
由于以[E(x)]+1/2来代替E(x)时条件(33)仍然成立，所以不妨假定函数E(x)所取的值均为半奇数。此外，显然有 E (y;a,d,L)= E ([y]+q/2;a,d,L), 所以我们亦可假定 max 中的y也只取半奇数。 y<x

第六部分陈景润定理的证明下面的内容可参见《纯粹数学与应用数学专著》第7号《哥德巴赫猜想》，潘承洞，潘承彪著，科学出版社1981年出版。潘承彪，生于1938年3月，数学家，原中国科学院院士、山东大学前校长潘承洞之第。潘承洞（1934年5月26日-1997年12月27日，男，中国著名数学家、教育家。1956年毕业于北京大学。第九章陈景润定理在引言中我们已经详细叙述了利用筛法和算术数列中素数分布的均值定理来研究命题{1,b}，即一个大偶数表为一个素数和一个素数因子个数不超过b个的数之和这一重要问题的发展历史。1966年陈景润首先宣布他证明了命题{1,2} [18],并在1973年发表了全部证明[13]。注释[18]：《大偶数表为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和》，科学通报，17（1966），385-386。注释[19]：On the representation of a large even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes. Sei.Sin,.16(1973),157-176, 这一结果通常称为陈景润定理。最近，他进一步发展了证明命题{1,2}的方法，改进了关于一个偶数表为二个素数之和的表法的个数D(N)(见第七章4（41））的上界估计，这是一个重要的改进，本章的目的就是要利用第七章和第八章所得到的的结果来证明陈景润的这二个重要定理。

1.命题{1，2} 首先，我们将证明命题{1,4}和{1,3}。设N为一大偶数，集合 Α=A(N)={a:a=N-p,p≤N} (1) 以及集合 P={p:p|N}, (2) 这就是第七章1例2所讨论的。所以为了利用Selberg筛选来估计筛函数S(A;P,z),我们可取 N X=Li N ~ logN

                  d
         w(d)=          ,μ(d)≠0，(d，N)=1
                 φ(d)

注释：Li x表示对数积分 ∞ dx
lix=∫
0 logx 且有, d
r =π(N;d,N)- Li N=E (N;d,N), d φ(d) 0 μ(d)≠0,(d,N)=1, 这时第七章的条件(8)及条件（33）均成立，且(33)式中的k=1, 所以这是线性的情形。这样，我们就可以利用第七章6的定理9和定理10来估计筛函数S(A;P,z)，这时所对应的余项就是我们第八章定理1的推论1所讨论的。再设b为一正整数，集合 [b] [b] Α =A (N)={a:a∈A,v (a)≤b}, (3) 2 [b]
其中v (a)表示a的全部因子个数（按重数计），所以Α 是集合A中所有集合因子个数不 2 超过b个的元素所组成的子集。，这样，命题{1,b}就是要证明：对充分大的偶数N必有 [b]
|A |>0 (4) 定理1，命题{1,4}成立，且有 [4] N
|A |>3.24c(N)
2 log N
其中, 1 p-1 c(N)= ∏ (1- ) ∏ (5) p>2 2 p|N p-2 (p-1) p>2
注释：p|N表示自然数p整除于自然数N,c(N)表示关于p的函数的无穷乘积证，显然，a∈A,(a,N)>1的元素个数 ≤v (N)<<logN, (6) 1

其中v (N)为N的不同素因子的个数，由此容易看出
1
[b]
|A |≥ ∑ 1+O(v (N)) a∈A 1
1/(b+1)
(a,P(N ))=1 1/(b+1) =S(A;P,N )+O(logN) (7) 注释：S(A;P,N)表示第七章中提到的筛函数， 1/(b+1)
现利用第七章定理10来估计筛函数S(A;P,N )的下界。这里可取a=1/2,B=38，再由第七章定理2(k=1)及(40)知， -r e 1 W(z)=2c(N) (1+O( )) (8) log z log z
由此及函数f(u)(见第七章5）的连续性即得 1/v N -r
S(A;P,N )≥2v(1+o(1))c(N) e f(v/2) (9) 2 log N 其中o(1)是当N→∞时趋于零，v>0, 由第七章5（47）及定理8可知 f(u)=0,(u≤2),f(u)>0,u>2, [b]
所以要从(9)得到一个|A |的正的下界估计必须取b>3. 为了证明命题{1,b}，显然正整数b取得愈小愈好，在这里最佳可能是取b=4，故由(7),(9)及第七章(52）即得 [4] 3 N
|A |≥(1+o(1))8log c(N)
2 2 log N 这就证明了我们的定理。大家知道，为了证明命题{1，4}并不需要利用第七章定理10和第八章定理1这样强的结果（见引言）。这里之所以用了这样强的定理而仅得到命题{1,4}，是 [b]
由于我们利用了关系式(7), 即是把|A |直接和一个筛函数相联系起来的缘故。 Kuhn [65]首先提出了所谓“加权筛法”，利用这种方法使得一些问题在同样的筛函数估计及同样的余项估计下，注释[65]:Kuhn,P,Zur Viggo Brun`schen Siebmethode .I,Borske Fid.Selsk.Forth,Trondhjem,14(1941),145-148 可以得到更好的结果。对于加权筛法，不少数学家进行过许多形式的研究和改进，这里我们将不作一般的讨论，而仅在下面结合具体问题对有关的加权筛法作一个简单说明。本章的结果都是运用加权筛法得到的，从中也可以看出它的本质和作用。现在我们来证明命题{1,3}。下面的引理是最简单的加权筛法。引理1，设b为正整数，v为正数，v>b≥1，我们有

[b] 1-1/v
|A |≥ ∑ (1-ρ (a))+O(N ) (10) a∈A 1
1/v
(a,P(N ))=1 其中 ρ (a)= ∑ 1 1 p |a,p|/N
1/v 1/b
N ≤p <N 1 注释：p|/N表示p不整除于N 及

         P(z)=  ∏   p
               p<z
               p|/N

证：显然ρ (a)为整数，且 1 0≤ρ (a)<v 1 我们设 (b) 1,v (a)≤b
λ (a)={ 2

             0,v   (a)>b
                2

其中v (a)为a的全部素因子的个数，则有 2
[b] (b)
|A |≥ ∑ λ (a) a∈A 利用(6)式我们容易推得 [b] (b) (b)
|A |≥ ∑ λ (a)= ∑ λ (a)+O(v(N)) a∈A a∈A，(a,N)=1 1/v 1/v
(a,P(N ))=1 (a,P(N ))=1

                                                   2      (b)       1-1/v   
                                         =    ∑ μ   (a)λ   (a)+O(N    )
                                        a∈A，(a,N)=1
                                              1/v    
                                         (a,P(N   ))=1

另一方面，我们同样有 2 (b) 1-1/v
∑ (1-ρ (a)/2)= ∑μ (a)(1-ρ (a))+O(N ) a∈A，(a,N)=1 1 a∈A，(a,N)=1 1/v 1/v
(a,P(N ))=1 (a,P(N ))=1 在 2 1/v
μ (a)=1,(a,P(N ))=1,(a,N)=1 的条件下（这时v (a)=v (a))，我们有： 2 1
(1)若v (a)≤b，则 2 (b)
λ (a)=1≥1-ρ (a)/2 1 (2)若v (a)≥b+1,则一定有
2 ρ (a)≥2 1
所以亦得 (b)
λ (a)=0≥1-ρ (a)/2 1 综合以上结果就证明了（10）式，证毕。定理2，命题{1,3}成立，且有 [3] N |A |>2.64c(N) 2 log N
证：在引理1中取b=3,v=10,我们有

     [b]                            9/10            
   |A    |≥  ∑    (1-ρ   (a)/2)+O(N   )
            a∈A       1
                1/10
           (a,P(N   ))=1

             1/10           9/10                     
    =S(A;P,N    )-O   /2+O(N    )           (11)
                    1

其中,

                                   1/10   
       Q   =   ∑        S(A   ;P,N    )               (12)
          1    1/10      1/3   p                
            N   ≤p   <N       1
                     1
               p|/N

由（9）知 1/10 N -r
S(A;P,N )≥20(1+o(1))c(N) e f(5) (13) 2 log N 再由第七章5（54）知，其中 -γ 4 dt t-1 log(s-1)
5e f(5)=2(log4+∫ ∫ ds) (14) 3 2 s

                                                             1/10

现在我们利用第七章定理9的（68）式来估计Q 中的每一项S(A ;P,N )的上界， 1 p 注意到该定理的附注2，并取 1

    2    1      1/2    -38                        
 ξ   =      N    log  N
         p
           1

利用（8）式即得 -γ log p v (d) 1/10 N e 1 1
S(A ;P,N )≤20(1+o(1))c(N) F(5-10 )+ ∑3 |r | p 2 p logN d<ξ d log N 1 1/10 p d|P(N ) 1

1/10 1/3
N ≤p <N ,p |/N,
1 1 其中e(1)随N→∞而趋于零，由于这里 1/10 1/3
N ≤p <N , 1 以上所有余项r 均两两不同，故由第八章定理1的推论1及素数定理可得 d p 1
logp N -γ 1 1
Q ≤20(1+o(1))c(N) e * ∑ F(5-10 )
1 2 1/10 1/3 p logN log N N ≤p <N 1 p |/N
1

                       v   (d)  
                 2       1    
      +   ∑   μ  (d)3      |r  |
         1/2  -38               d
     d≤N  log   N       

                           1/3               logp      
              N     -γ   N     1                 1           N

=20(1+o(1))c(N) e ∫ *F(5-10 )du+O( )
2 1/10 ulogu logN 3 log N N log N
1/10 1/3
当N ≤u<N 时，
5 log t
<5-10 ≤4
3 log N 利用第七章5（51，（52）式，经计算可得 1/3 log p
-γ N 1 1 Se ∫ *F(5-10 )du 1/10 ulogu logN N

                    4   5dt      t-1   log(s-1)                             
          =2log8+2∫           ∫             ds 
                   3   t(5-t)      2       s

由此及（11）-（15）式推得 (16) N 4 (2t-5)dt t-1 log(s-1) N
∑ (1-(ρ (a))/2)≥4(1+o(1))c(N) (log2-∫ ∫ ds)+O( )
a∈A 1 2 3 t(5-t) 2 s 3
1/10 log N log N
(a,P(N ))=1 最后我们来计算上式中的积分，显然有

       x  dt        1          
log x=∫        ≤      (x-1)(1+1/x)  
       1   t        2

          x-1       x-1
      ≤        +         ,x≥1
            2      x+1

 4  (2t-5)dt    t-1  log(s-1)   4  (t-5/2)    t-1   s-2       s-2        ds

∫ ∫ ≤∫ dt∫ ( + )
2 t(5-t) 2 s 3 t(5-t) 2 2 s s

                            4  (t-5/2)     1           2
                        =2∫        dt (      (t-3) +       -1)dt             
                            3  t(5-t)      2          t-1
                        
                       =11log2-6log3-1            (17)

由此及（11），（16）式即得 [3] N
|A |≥4(1+6log3-10log2)(1+o(1))c(N) 2 log N
这就证明了我们的定理。 Richert[103][38]利用他的加权筛法得到了更强的结果；对充分大的偶数N有 [3] 13 N |A |> c(N)
3 2 log N

注释[38]:Halberstam,H.Richert,H.E.,Sicve Methode,Academic Press,1974
注释[103]：Richert,H.E.,Selberg`s sieve with weights,Mathematika,16(1969),1-22 现在，我们对加权筛法来作一简单说明。比较（7）和（10）式， [b]
可以看出，为了用筛法来估计|A |的下界，(7)式是直接去估计最简单的筛函数
S(A;P,z)= ∑ 1 a∈A (a,P(Z))=1 而(10)式则是去估计“加权”的筛函数： S(A;P,z,ρ)= ∑ ρ(a), a∈A (a,P(Z))=1 即对每一个元素a加上一个权函数ρ(a)(原来的可看做权函数ρ(a)≡1）后，在进行筛选，所以这种筛法称为“加权筛法”。从以上所证明的定理1和定理2可以看出，巧妙的利用加权筛法使我们可以得到更好的结果。这里，重要的是选择权函数ρ(a)（定理2中是取ρ(a)=1-ρ (a)/2) 1 权函数ρ(a)的形式是多种多样的，它是由我们所考虑的问题来决定的。更为重要的是，引进权函数后，将使我们的估计（包括主项和余项二方面）大大复杂，例如从定理2可以看出，这时所要估计的不单是一个筛函数，而是一些筛函数的和（见（12）），因而在主项和余项估计中就都产生了新的问题和困难需要加以克服。事实上，第七章定理9及第八章定理1就解决了这里定理2中引进权函数ρ(a)=1-ρ (a)/2后，所产生的困难。 1 现在，我们来证明命题{1,2}，下面的引理就是程景润为了证明命题{1,2}而提出的新的加权筛法。引理2：设b为正整数，v为正数，v>b≥2，我们有 [b-1] 1-1/v
|A |≥ ∑ (1-ρ (a)/2-ρ (a)/2)+O(N ) (18) a∈A 1 2 1/v
(a,P(N ))=1
其中ρ (a)由引理1给出，
1 1/v 1/b
1,a=p p ...p ,N ≤p <N ≤p <...<p ,(a,N)=1 ρ (a)={ 1 2 b 1 2 b
0，其它证：和引理1的证明相同，我们有

     [b-1]          2     (b-1)       1-1/v                                  
   |A    |≥  ∑  μ   (a)λ   (a)+O(N    )              (18)
          a∈A,(a,N)=1                                                       
                1/v 
          (a,P(N   ))=1
  (b-1)

其中λ 的定义见引理1，及
∑ (1-ρ (a)/2-ρ (a)/2) a∈A 1 2
1/v
(a,P(N ))=1
2 1-1/v
= ∑ μ (a)(1-ρ (a)/2-ρ (a)/2)+O(N ) a∈A,(a,N)=1 1 2
1/v
(a,P(N ))=1
1 1/v
在条件μ (a)=1,(a,P(N ))=1,及(a,N)=1之下（这时v (a)=v (a)),我们有 2 1 （1）若v (a)≤b-1，则 2 (b-1)
λ (a)=1≥1-ρ (a)/2-ρ (a)/2
1 2 （2）若v (a)≥b，则一定有 2 ρ (a)≥1 1 如果ρ (a)≥2，则有 1 (b-1) λ (a)=0≥1-ρ (a)/2-ρ (a)/2 1 2
如果ρ (a)=1，这时一定有 1 v (a)=v (a)=b, 2 1 所以必有, ρ (a)≥1 2 故得

(b-1) λ (a)=1-1-ρ (a)/2-ρ (a)/2=0 1 2 综合以上结果即得（18）式，证毕。定理3：命题{1,2}成立，且有 [2] N
|A |>0.62c(N) 2 log N
证：在引理2中取b=3,v=10,并利用（16），（17）式可得

    [2]                               9/10
  |A   |≥ ∑    (1-ρ  (a)/2)-Q   /2+O(N   )   
         a∈A,      1        2
            1/10
       (a,P(N    ))=1            

                              N                 N

≥4(1+6log3-10log 2)(1+o(1))c(N) -Q /2+O( ) (19) 2 2 3 log N log N
其中 Q = ∑ ρ (a)= ∑ ∑ 1 2 a∈A,(a,N)=1 2 1/10 1/3 1/2 a∈A,a=p p p 1/10 N ≤p <N ≤p <(N/p ) 1 2 3 (a,P(N ))=1 1 2 1 p <p ,p |/N
(p p ,N)=1 2 3 3 1 2 这样，为了证明命题{1,2}，就只要估计Q 的上界，
2 由于a∈A时，a=N-p,p<N，亦即p=N-a,a<N，所以对固定的p ,p 有 1 2 ∑ 1= ∑ 1 a∈A,a=p p p p=N-p p p 1 2 3 1 2 3
p <p ,p |/N p <p <N/(p p ),p |/N 2 3 3 2 3 1 2 3
因而有 Q = ∑ ∑ 1 (21) 2 1/10 1/3 1/2 p=N-p p p
N ≤p <N ≤p <(N/p ) p <p <N/p p ,p |/N 1 2 1 2 3 1 2 3 (p p ,N)=1 1 2 这就把原来Q 是估计元素a的个数转化为估计素数p的个数，我们考虑集合 2 1/10 1/3 1/2
E=[e:e=p p ,N ≤p <N ≤p <(N/p ) ,(p p ,N)=1}, 1 2 1 2 1 1 2 及 L={L:L=N-ep,e∈E,ep≤N}, 显然有 N 2/3 |E|≤ ∑ ( )<N 1/10 1/3 p
N ≤p <N 1
及 13/30
e≥N ,e∈E,

                 13/30              2/3

所以集合L中不超过N 的元素个数小于N ，我们还不难看出Q 不超过集合L中的素数个数，若仍取P={p:p|/N}, 则由以上的讨论易知 2/3 13/30
Q ≤S(L;P,z)+O(N ),z≤N (22) 2 现在我们用最简单的Selberg上界筛法，即第七章4定理6来估计上式右边的筛函数S(L;P,z)的上界、这里的集合L和E就是第七章1例3所考虑的集合，故可取 N X= ∑ Li e∈E e

                  d   
          ω(d)=            ,μ(d)≠0，(d，N)=1
                 φ(d)

所以满足第七章的条件(8)及(33)(k=1)。我们取 2 1/2 -B
z =D=N log N,B =248, 1 就有 1/2 X
S(L;P,D )≤8(1+o(1))c(N) +R +R , (23) log N 1 2 其中

                    v
              2      1                         
 R  =  ∑   μ (d)3    (d)|    ∑  E  (N;e,d,N)|
   1  d≤D                 e∈E   0
      (d,N)=1               (e,d)>1       
                                       
                    v   
                2     1
              μ (d)3    (d)|           N           
 R  =  ∑                     ∑  Li
   2  d≤D       φ(d)       e∈E     e
      (d,N)=1                (e,d)>1       
由于e∈E时，
       13/30    2/3
      N   ≤e<N

所以 v 2 1
R = ∑ μ (d)3 (d)| ∑ g(a)E (N;e,d,N)| 1 d≤D 13/30 2/3 0 (d,N)=1 N ≤e<N (a,d)=1 其中, g(a)= ∑ 1≤1 e=a e∈E 故由八章定理2的推论2（并注意定理2的附注6，3及4）即得 N R << (24) 1 3 log N
1/10 下面我们再来估计R 由于e∈E时，它的素因子不小于N
2
以及 v (q) 2 1 2
μ (q)3 <d (q) （为了避免混淆，把变数d改为q)，我们有

                2    
              d   (q)                   N
 R  ≤  ∑                  ∑   g(a)Li
   2  q≤D      φ(d)           2/3     a
                            e∈E     
                                  1/10  
                            (a,q)>N

                2    
              d   (q)                  1       1+ε     1          1
    ≤N  ∑                  ∑            <<N   ∑        ∑  
       q≤D      φ(d)           2/3   a        q≤D  q      2/3  a
                            e∈E                         e∈E  
                                  1/10                        1/10  
                            (a,q)>N                      (a,q)>N

                   
     1+ε       1                     1       1+ε     1         1
  ≤N   ∑        ∑         ∑        <<N   ∑         ∑  
       q≤D   q    m|q          2/3  a        q≤D  q    m|q  m
                       1/10  a<N                           1/10
                   m>N      (a,q)=m                    m>N 
                                             
     1+ε       1         1       9/10+3ε 
  ≤N   ∑         ∑       <<N            (25)
       1/10    m  q≤D  q  
      N  <m≤D    m|q
                   m>N

最后，我们来计算X。由素数定理知 N
X=(1+o(1)) ∑ e∈E N elog e

                      1/3             1/2
                    N     dt      (N/t)         ds
         =(1+o(1))N∫            ∫
                     1/10  tlogt      1/3             N
                    N             N       slog slog
                                                    ts



                    N      1/3  log(2-3u)
        =(1+o(1))         ∫              du,       (26)
                  log N    1/10  u(1-u)

其中o(1)当N→∞趋于零。利用

               1
      logx≤      (x-1)(1+1/x),x≥1,
              2

可得 3 (1-3u)(1-u) 1 1 log(2-3u)≤ , ≤u≤ 2 (2-3u) 10 3 所以 1/3 log(2-3u) 3 1/3 1-3u ∫ du< ∫ du 1/10 u(1-u) 2 1/10 u(2-3u)

         3
    =       (2log 10-log 3-log 17)         (27)
          4

因而得到 3 N X< (2log 10-log 3-log 17)(1+O(1)) (28) 4 log N 由（22），（23），(24),(25)及(28)式就得到了Q 的上界估计 2

                                        N
     Q  <6(2log10-log 3-log 17)(1+o(1))c(N)         
       2                                  2
                                       log  N

由此及（19）式就证明了我们的定理。陈景润{19]更精确的计算积分(27)式，得到 [2] N |A |>0.67c(N)
2 log N 最近，他进一步改进了Q 的结构，证明了[19] 2 [2] N |A |>0.81c(N)
2 log N 注释[19]：On the representation of a large even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes .Sci,Sin.16(1973),157-176,Ⅱ,Sei.Sin.,21(1978),421-430. 不断改进这里下界估计的系数是有意义的，但从圆法对偶数Goldbach猜想的探讨来看（见第十一章（9），（7）式），目前的结果仍是太小，可能要大于2才会有价值。从定理1、定理2到定理3，我们清楚地看出了加权筛法的作用。取ρ(a)=1(即不加权）时，我们仅能得到命题{1,4}，取 ρ(a)=1-ρ (a)/2, 1 就得到了命题{1,3}，而取 ρ(a)=1-ρ (a)/2-ρ (a)/2, 1 2 就证明了命题{1,2}，所以对同一个问题，选取不同的权函数就可以得到不同的结果。但是权函数取得愈复杂，我们的估计就愈困难。陈景润所提出的加权筛法的基本困难就在于实现对Q 的估计。 2 如果我们用估计定理2中Q （见12）的办法来估计由（20）所表示的Q , 1 2 那就要去估计筛函数的和； ∑ S(A ;P,p } e∈E e 2 对此，我们只能用第七章定理9去估计其中每一个筛函数， 2/3 1/3
但由于e∈E时，e<N ,可以取大于N 的值，所以在估计总的余项时，就产生了Bombieri-Bнноградов均值定理（即第八章定理1及推论1）所不能克服的困难1），注释1）：一些数学家曾相继指出，只要第八章的均值估计式对η =4/7,0.546和0.531成立时，命题{1,2}就成立。陈景润巧妙的把Q 原来的表示式（20）变为表示式（21）， 2
把原来是估计元素a的个数转化为估计素数p的个数，这样，他就利用最简单的Selberg上界筛法来估计Q ,并首先用他的极有创造性的方法， 2 克服了估计余项的困难，实现了对Q 的估计，并证明了命题{1，2}。 2 后来，我们[88-90]在命题{1,2}的简化证明中明确指出，
注释[88]：丁夏畦、王元，On the representation of every iarge even integer as a sum of a prime and almost prime,Sei,Sin.,18(1975),599-610. 注释89：潘承洞，丁夏畦，一个均值定理，数学学报，18（1975），254-262，数学学报，19（1976），217-218。注释[90]：A new mean value theorem,Sei. Sin.,Special Issue(Ⅱ),1979,149-161. 估计Q 的关键实质上就是第八章的新均值定理——定理2， 2 这一点也可以从这里所给出的证明中清楚的看到。显然，利用陈景润的加权筛法不可能证明命题{1,1}，因为这时要在引理2中取b=2, 而这使得在估计主项和余项时出现至今仍然无法克服的困难。

陈景润手稿下面的内容由陈景润证明，详细内容可参见陈景润手稿. 陈景润（1933年5月22日-1996年3月19日），出生于福建福州，数学家，中国科学院学部委员（院士），生前是中国科学院数学研究院研究员。表大偶数为一个素数及一个不超过2个素数的乘积之和, 陈景润著（中国科学院数学研究院） 1.引言当每一充分大的偶数都能够表示为一个素数及一个不超过a个素数的乘积之和时，则简记之为(1,a), 后来不少数学工作者改进了Selberg方法及Dinchlet.L函数的某些结果并用之改善(1,a)，现在我们将(1,a)发展历史写如下： (1,5) (潘承洞[1],Барбан[2]) (1,4) (王元[1],潘承洞[4]，Барбан[2]) (1,3) (Барбан[6],A.И.Вннграов[7])) 本简报的目的是要给出证明(1,2)的提要，详细的证明将令文发表。 2.若干引理 1/10
命x是一个大偶数，命P (x,x )为适合下面条件的素数P的个数。 x

P≤x,P≠x   (mod  P    ),(1≤i≤j)
                     i

                         1/10           1/10

此处，3=P <P <...<P ≤x 为不超过x 的全部奇素数。 1 2 j

                        1/10

给定一个素数P又命P (x,P,x )为适合下面条件的素数P的个数。 x

P≤ x, P≡x (mod P),P≠x (mod P ),(1≤i≤j) (P≠P ) i i

命P (α，α ，β，β ）为适合下面条件的素数P的个数 x 1 1
α β 1/10 α 1 β 1 x-P=P P P .P≤x,x ≤x P ≤x ≤x <P ≤x ,P <P 1 2 3 1 2 2 3

其中P ,P ,P 都是素数 1 2 3 1/10 1/3
命Q(x,x ,x )为适合下面条件的素数P的个数 1/10 1/3
x-P=P P P ,P≤x,x <P ≤x <P <P
1 2 3 1 2 3

其中P   ,P   ,P   都是素数
  1    2    3

命P (1,2)为适合下面条件的素数P的个数
x

    x-P=P     或x-P=P   P
         1            2   3

其中P   ,P   ,P   都是素数
  1    2    3

我们已经证明下面四个引理恒成立。引理1：我们有 9.996xC 1/10 x P (x,x )≥
x 2 log x

此处

        -r     P-1            1    
  C  =2e  ∏        ∏(1-        )
    x     P|x   P-2  p>2        2
          P>2             (P-1)

其中r是欧拉常数。引理2：我们有

                          15.355xC
                  1/10             x
   ∑    P  (x,P`,x   )≤  
1/10      1/3                  2

x <P`≤x log x
此处

        -r     P-1            1    
  C  =2e  ∏        ∏(1-        )
    x     P|x   P-2  p>2        2
          P>2             (P-1)

其中r是欧拉常数。引理3:命ε是一个充分小的给定正数，则当1/2≤α+β≤α +β ≤2/3成立时有 1 1 r
2(1+ε)e C x(log(α /α)log(β /β) x 1 1 x P (α,α ,β,β )≤ + x 2 2 (1-α -β ) log x log x
1 1

而当1/2≤α+β≤α +β ≤1/2成立时有 1 1

                        r                                2        x

P (α,α ,β,β )≤8.8e C (log(α /α)log(β /β)(x/log x)+ x 1 1 x 1 1 2
log x

而当13/30≤α+β≤1/2≤α +β 成立时有 1 1

                                          r                            2

P (α,α ,β,β )≤{Max(8.2,2(1-α -β ) )}e C (log(α /α)log(β /β)(x/log x)+
x 1 1 1 1 x 1 1

引理4：我们有

                          4.4xC
           1/10   1/3           x
       Q(x,x   ,x     )≤  
                              2
                            log  x

3.定理的证明 1.定理：每一个充分大的偶数x都能够表示为一个素数及一个不超过2个素数的乘积之和。证：显然有 1/10 1 1/10 1 1/10 1/3 1/2 P (1,2)≥P (x,x )- ∑ P (x,P,x )- Q(x,x ,x )-x （1） x x 2 x 2 1/10 1/3 x <P≤x 由（1）式及引理1到引理4即得到 0.098xC x P (1,2)≥
x 2 log x
故定理得证。参考文献 [1]:潘承洞，O предсгавпенин четных чнсеп в вивв суммъ прссгого и почти простого чиспа 中国科学V.12(1962)873-888. [2]Барбан М.Е. Арифметические Функчи наредкнх множествах, Вскпааы АкабемцНаук,8,9-11. [3]王元，On the Representation of Large integer as a Sam of a Prime and an Almost Prime 中国科学V.11(1962)1033-1054 [4]潘承洞，О преяставпени четных чисеп в вияе суммы простого и непревохояшего 4 проиэвеяения中国科学V.12(1963),455-474. [5]Барбан М Б Ппотнсть нупейь-рявов Вирихпе ы эавача о спожени простых и почти простьх чнсеп Маг-ематнческии СБорНник Т Е1(1963)419-485 [6]Бухщтаб А.А. Новше реэупыагы в цспевани пробпемы Топъбаха-Эипера и пробпемы цроспх нисеп бпиэнчев Бокпавц АН ССР V39-742 Tom 62(1965) [7]Вннграяев А.И.О Ппатнстнои Гипотезе дпа Ц-равов Внрнхпе Изв Акая Наук СССР 29(1965)903-934 所以，设实数的分布函数是F(s)，它约等于偶数的分布函数，可以用它来表示偶数的分布函数根据陈景润定理陈景润定理如下：任何一个充分大的偶数都可以表示成一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和。 F(s)=ξ(s)+2ξ(s)P (1,2) x

        F(s)=ξ(s)[1+2P   (1,2)]
                    x

因为 -s/2
ξ(s)=π (s-1)ζ(s)Γ((s/2)+1)

    s-1           ∞   (-s/2)+(1/2)   (s/2)+1             
 =        +(s-1) ∫   (x         +x       )ψ(x)dx      
     2            1

由上面的定理可知

                          0.098xC
                                 x
            P   (1,2)≥  
              x                2
                            log  x

上式中 -r P-1 1
C =2e ∏ ∏(1- ) x P|x P-2 p>2 2 P>2 (P-1)
其中r是欧拉常数。所以 F(s)=ξ(s)[1+2P (1,2)] x

 s-1          ∞   (-s/2)+(1/2)   (s/2)+1            s

=[ +(s-1) ∫ (x +x )ψ(x)]dx[1+2 ] 2 1 2
s log s

解法1：根据上面的推导，详细内容见斜率积分推导页因为 2 4 6
a a a 6 f(x)=-lncosa+C= + + +o(a ) 2 12 45
推导过程可参见《微积分学导论》，1958年版，曹一华，江体乾编译推导过程可参见《无穷小分析基础》,苏联，И.И普里瓦诺夫，C.A加里别伦著上式中 tga=y=f(x)=u(x)=y/x, a=arctgy`, 所以
sina d(cosa) f(x)= ∫tgada=∫ da=-∫ =-lncosa+C cosa cosa

                   2          4          6           
              arctg  y`    arctg  y`   arctg  y`          6

f(x)=-lncosa+C= + + +o(arctg y` ) 2 12 40
所以,根据上面的推导实数的分布函数F(s)可以化简为 F(s)=ξ(s)[1+2P (1,2)] x 0.098xC s-1 ∞ (-s/2)+(1/2) (s/2)+1 x =[ +(s-1) ∫ (x +x )ψ(x)dx]{1+2 ] 2 1 2
s log x

                      2         4         6
 s-1              arctg  y`   arctg  y`  arctg  y`

= +(s-1) {1+2[ + + +o(arctg y`) ]* 2 2 12 40 s

                          0.098xC
                                 x
                    [1+2             ]    
                               2
                            log  x

上式中y=tga，a=arctgy， (-s/2)+(1/2) (s/2)+1 y`=(x +x )ψ(x)

           2 
  ∞     -n  πx

ψ(x)= ∑ e n=1

解法2：推导过程可参见《古今算学丛书，割圆密率捷法》，清光绪戊戌六月算学书局印成，清咸丰壬子年，蒙古族数学家明安图，湖北人戴煦识，夏鸾翔编写，1898年刘铎整理 f(x)=ln sec a+C= 2 4 6 8
a a 2 a 2 16 a 2 16 272 + + +
2 2 34 2 34 56 2 34 56 78

f(x)=ln sec a+C= 2 4 6 8
arctg y arctg y 2 arctg y 2 16 arctg y 2 16 272 + + +
2 2 34 2 34 56 2 34 56 78

推导过程参见《高等混合算学下册》，商务印书馆1925年出版，梧兹（Woods），巴雷（Bailey）著，长沙易俊元译上式中 tga=y=f(x)=u(x)=y/x, a=arctgy`, lnsinθ=-lncscθ, lncosθ=-lnsecθ, lgtgθ=lgsecθ-lgcscθ, lgctgθ=lgcscθ-lgsecθ, 所以
sina d(cosa) f(x)= ∫tgada=∫ da=-∫ =-lncosa+C=lnseca+C cosa cosa

                cos        d(sina)

f(x)= ∫cotda=∫ da=-∫ =-lnsina+C sina cosa
所以,根据上面的推导实数的分布函数F(s)可以化简为 F(s)=ξ(s)[1+2P (1,2)] x

                                             0.098xC
 s-1          ∞   (-s/2)+(1/2)   (s/2)+1               x

=[ +(s-1) ∫ (x +x )ψ(x)dx]{1+2 ] 2 1 2
s log x

s-1

={ +(s-1) [
2
s

  2         4                 6                       8

arctg y arctg y 2 arctg y 2 16 arctg y 2 16 272 + + + ]} 2 2 34 2 34 56 2 34 56 78

                          0.098xC
                                 x
                    *[1+2             ]    
                               2
                            log  x

上式中y=tga，a=arctgy， (-s/2)+(1/2) (s/2)+1 y`=(x +x )ψ(x)

           2 
  ∞     -n  πx

ψ(x)= ∑ e n=1

解法3：

根据上面的推导，详细内容见斜率积分推导页 y=x*tga= 3 3

                 2                            2                                 
      3t        9t       27            3t     9t      27

x*tg{ + + + - +
2 4 27 2 4 27

或, y=x*tga= 3 3

                 2                           2                                 
      3t       9t       27     2     3t      9t      27

xtg{ε + + +ε - + } 2 4 27 2 4 27
或, y=xtga=

    3                           3               
                                       
                 2                           2                                 
   2   3t      9t      27          3t        9t      27

x*tg{ε + + +ε - - + } 2 4 27 2 4 27

上式中， 3
a 4 t=a+ +o(a ) 3
这样就得到由导数的斜率tga构成的原函数y, 也就是通过上面的办法通过导数u(x)计算得到原函数f(x)。上式中 y=tga， a=arctgy， 3
arctg y 4 t=arctgy+ +o(a ) 3

           2 
  ∞     -n  πx

ψ(x)= ∑ e n=1
所以,根据上面的推导实数的分布函数F(s)可以化简为 F(s)=ξ(s)[1+2P (1,2)] x

                                             0.098xC
 s-1          ∞   (-s/2)+(1/2)   (s/2)+1               x

=[ +(s-1) ∫ (x +x )ψ(x)dx]{1+2 ] 2 1 2
s log x

s-1

={ +(s-1)
2
s

      3                           3               
                                       
                 2                            2                                  
      3t        9t       27            3t     9t       27

stg{ + + + - + }} 2 4 27 2 4 27

                          0.098xC
                                 x
                    *[1+2             ]    
                               2
                            log  x

上式中 y=tga， a=arctgy， 3
arctg y 4 t=arctgy+ +o(a ) 3

            3   
       arctg   y`           4

t=arctgy+ +o(arctgy)
3

           2 
  ∞     -n  πx

ψ(x)= ∑ e n=1
上面得到的实数的分布函数可以用来描述虫洞模型，详细过程可参见虫洞分布函数页

                   第七部分   三素数定理的一个新的证明

下面的资料可参见《数学学报》1977年3期，数学学报编辑委员会编辑，科学出版社1977年出版。潘承彪，生于1938年3月，数学家，原中国科学院院士、山东大学前校长潘承洞之第。三素数定理的一个新证明注释：本文于1975年8月5日收到华北农机学院，潘承彪著（一）在Hardy-Littlewood圆法的基础上，1937年H.M.Bнноградов[1]首先利用他所提出的估计素数变数的三角和的方法证明了任一充分大的奇数都是三个素数之和。它的通常称为Goldbach-Bнноградов定理，简称三素数定理。此后，IO.B.Лнннк[2]及H.Γ.Чудаков[3]利用L-函数零点密度估计给出了另外二个证明。注释[1]:Bнноградов И.М.,Предсгаелене Нечегнне чнсла суммон грех Просгых чнсел,ДАН ccp (1937)291-294 注释[2]:Лннннк Ю.В.,О возможностн еднного мегода В Некоторых Вопросах "аддивной" И "Дистрибутивной" Теорин Простых чисел,ДАН СССР,49(1945),3-7 注释[3]:Чудаков Н.Г.(Тсhudakoff N。），On Goldbach-Vinogradov`s theoem,ANN.of Math.(2)48,(1947)515-545 最近，H.L.Montgpmery[4]及M.N.Huxley[5]仍用L-函数零点密度估计给出二个较为简化的证明，注释[4]:Montgomery H.L.,Topics in Multiplicative Number Theory,Lecture Notes in Math. 227 ,1971 注释[5]:Huxley M. N., The Distribution of Prime Numbers,Oxford Mathematical Monographs.1972 但他们利用了复杂的L-函数的渐进函数方程和L-函数四次幂的均值公式↑。注释↑：最近，Ramachandra K[7]对L-函数四次幂的均值公式给出了一个简化证明。注释[7]:Ramachamdra K. A Simple Proof of the mean fourth Pouser esimate for S(1/2+it)and L(1/2+it,X) Ann , Sc. norm.Super.Pisa.Cl. Sci.,Ⅳ Ser.1(1974),81-97 本文的目的是不用Bнноградов方法及L-函数的零点密度估计，而只用一些熟知的基本结果，对三素数定理给出一个新的简单的分析说明。 2πix (二）本文中用N表示充分大的正整数，p ,p ,p ,p 为素数以及c(x)=e ,设 1 2 3

           S(x,N)=  ∑  e(px)       (1)
                  p≤N

下面的内容可参见《纯粹数学与应用数学专著》第7号《哥德巴赫猜想》，潘承洞，潘承彪著，科学出版社1981年出版注释：S(A;P,N)表示第七章中提到的筛函数，那么N表示为三个素数之和的形式的个数为

                              1  3     
     r(N)=      ∑      1=  ∫  S  (x,N)e(-Nx)dx    (2)
          p   +p   +p   =N   0  
            1    2    3

三素数定理就是要证明，当N为充分大的奇数时必有r(N)>0,证明的关键是要得到下面的结果：设c为某一正整数，若 c -c
log N<q≤Nlog N,(q,h)=1 (3) 则 -1 S(h/q.N)<<Nlog N (4) 注释：(q,h)=1,表示实数q,h的最大公约数等于1

本文主要是证明下面的定理。定理：设 N T (x,N)= ∑ Λ(n)log e(nx) (5) 1 n≤N n
注释：Λ()表示数论中的卡迈克尔(carmichael)函数定义：当n为1、2、4、奇质数次幂、奇质数的次幂的两倍时为欧拉函数。当n为2，4以外的2的次幂时为它的一半。 φ(n) n=1,2,3,4,5,6,7,9,10,11 λ(n)={ φ(n)/2, n=8,16,32,64,128,256... k k-1
欧拉函数有φ(p )=p (p-1) 由算术基本定理，正整数n可写为质数的积 a a a
1 2 w(n) n=p p ..p 1 2 w(n) 对于所有n,λ(n)是它们最小公倍数：. a a a
1 2 w(n) λ(n)=lcm[λ(p ),λ(p ),...,λ(p )]
1 2 w(n) 例子： λ(8)=2 2 7 ≡1 注释结束. 若(a,h)=1,1≤q≤N，则 -1/2 10 3/4 1/4 13/2
T (h/q.N)<<Nq log N+N q log N (6) 1
由我们的定理就可推出（4），因而就证明了三素数定理。为此需要下面熟知的引理（见[4]定理6.2）引理1：设X(n)是模q的特征，则 n +K n +K
0 2 0 2 ∑| ∑ a X(n) | ≤(q+K) ∑ |a | X n=n +1 n n=n +1 n
0 0 其中∑表示对全体模q的特征求和。 X 注释：模，又称范数。范数，是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域，范数是一个函数，是矢量空间内的所有矢量赋予非零正常度或大小。半范数可以为非零的矢量赋予零长度。模的特征，即模代表的矩阵的特征值。特征值，是线性代数中的一个重要概念，是指设A是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量x，使得Ax=mx成立，则称m是A的一个特征值(characteristio valus)或本征值(eigenvalue)

定理的证明：当(q,h)=1时 q hL N N hL T (h/q,N)= ∑ e( ) ∑ Λ(n)log + ∑ Λ(n)log e( ) 1 L=1 q n≤N n n≤N n q (L,q)=1 n≡L(q) (n,q)>1

         1                                2                
    =        ∑  τ( X )X(h)ψ   (N,X)+O(log   Nlogq)    (8)                                       
        φ(q)  X            1

注释.a≡b(q)表示q|(a-b)，即q整除于a-b, 其中φ(q)为Euler函数，及 q h τ(X)= ∑ X(h)c( ) (9) h=1 q

                          N
   ψ  (N,X)=  ∑ Λ(n)log                  (10)
     1       n≤N        n

                         1

注释.Euler函数φ(n)=n ∏ (1- ) p|n p
在数论中，对正整数n,欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目。注释结束。由于τ(x )=μ(q)(X 为主特征）， 0 0 -1 |τ(x)|≤√q (X≠X )及φ(q)>>qlog q,
0 故 logq logq
T (h/q,N)<< ψ (N,X )+ ∑ |ψ (N,X)|+log Nlog q (11) 1 q 1 √q X≠X 1 0 容易证明当α>1时 s 1 L N ψ (N,X)= ∫ - (s,X) ds 1 2πi (α） L 2 s s 1 α+i∞ L N
= ∫ - (s,X) ds (12) 2πi α-i∞ L 2 s 设A≤N为一待定常数，及 μ(n)X(n) M(s,X)= ∑ (13) n≤A s N 其中μ(n)为Mobius函数，把 L` - (s,X)分为[6] L
注释.Mobius函数下面的内容可参见《纯粹数学与应用数学专著》第7号《哥德巴赫猜想》，潘承洞，潘承彪著，科学出版社1981年出版 v (n) 1 (-1) ,n无平方因子； μ(n)={ 0.其他 Mobius函数是一种复杂的方程，也可以用数论中更复杂的情况来完成。它本质上是一种函数，它可以利用费马小定理来构建一个无限数列。这种函数简称为Mobius函数。Mobius函数是一种复杂的数论函数，它的定义如下：

                 1         当x为质数时
          μ(n)={ 0.当x为合数时
                 -1，当x为平方合数时

合数（也称为合成数）是大于1的整数，其质因数分解中包含除了1和它本身之外的因子。与质数不同，合数能够被分解成若干个因子的积。数字24是一个合数，因为我们可以将其分解为222*3. 这意味着24有4个因子，而不仅仅是1和24本身。注解[6]:潘承洞，丁夏畦，一个均值定理，数学学报18 ，4（1975），254-262 注解结束。 L L - (s,X)= (s,X)(1-L(s,X)M(s,X))-L(s,X)(x,X) (14) L L 现取 -1 2 α=1+log N,B=[6log N],熟知有 L -3 - (s,X)=f (s,X)+f (s，X)+O(N ) (15) L 1 2 其中, Λ(n)X(n) Λ(n)X(n) f (s,X)= ∑ ,f (s,X)= ∑ (16) 1 n≤A s 2 B s
A<nn≤2 A n -1 由于在Res=1+log N上，L(s,X)<<logN,M(s,X)<<logN, -1 故从（14），（15）得，在Res=1+log N上有 L -2 - (s,X)=f (1-LM)+f (1-LM)-LM+O(N ) (17) L 1 2 由（12），（17）得 s 1 N -1
ψ (N,X)= ∫ [f (1-LM)+f (1-LM)-LM] ds+O(N ) (18) 1 2πi (α） 1 2 2 s 当X≠X 时，其中第一、第三项积分可移至直线Res=1/2上，故得 0 s s 1 N 1 N -1 ψ (N,X)= ∫ [f (1-LM)-LM] ds+ ∫ [f (1-LM)-LM] +O(N )
1 2πi (1/2） 1 2 2πi (α） 2 2 s s

                              1/2                     s
                             N                     N       -1  
  << ∫   [|f  |+|f  LM|+|L`M|]    |ds|+∫  |f   ||1-LM|     +O(N  )    (19)
      (1/2） 1    2            2     (α） 2          2
                             s                      s

利用Holder不等式由（19）即得 1/2 1/2 2 1/2 4 1/4
∑ |ψ (N,X)|<<N q sup ( ∑ |f | ) +N sup ( ∑ |f | ) X≠X 1 Res=1/2 X≠X 1 Res=1/2 X≠X 1 0 0 0

               4   1/4                2  1/2  |ds|     1/2             2   1/2                       
* sup  (  ∑   |M |  )   ∫   (  ∑   |L |   )        +N   sup   (  ∑  |M|   )

Res=1/2 X≠X (1/2) X≠X 2 Res=1/2 X≠X 0 0 |s| 0

           2  1/2  |ds|    1/2             2   1/2                 2  1/2   -1

*∫ ( ∑ |L `| ) +N sup ( ∑ |f | ) * sup ( ∑ |1-LM| ) +qN (1/2) X≠X 2 Res=α X≠X 2 Res=α X≠X 0 |s| 0 0 （20）注释：sup(x)是取上界函数，inf(x)是取下界函数，Res=1/2表示余数是1/2。

由简单而熟知的结果（证明附于（四）） 2 2
∑ |L(1/2+it X)| <<q|s|log q|s|, (s=1/2+it), (21) X≠X 1 0

                  2          2              
∑  |L`(1/2+it   X)|   <<q|s|log   q|s|,   (s=1/2+it),           (21)

X≠X 1 0 可推得 2 1/2 |ds|
∫ ( ∑ |L |) <<√q log q (23) (1/2) X≠X 2 0 |s|

                  2  1/2  |ds|         2                   
  ∫   (  ∑   |L`|  )         <<√q log   q         (24)
   (1/2)  X≠X              2 
               0          |s|

因而，为了估计（20）就只要利用引理1来估计其中的各个和。下面都利用了条件 q≤N,A≤N (a)由（16）和引理1得 2 3
∑ |f (1/2+it,X)| ≤(q+A)log N (25) X 1
(b)由（13）和引理1得
2
∑ ||M (1/2+it,X)| ≤(q+A)logN (26) X
（c)由（16）得 a X(n) 2 n f (r,X)= ∑
1 2 s n≤A n

                2        
   |a   |≤d(n)log  n       
     n

其中d(n)为余数函数，故从引理1得 4 2 8
∑ |f (1/2+it,X)| ≤(q+A )log N (27) X 1 这里用到了 2 d (n) 4 ∑ <<lg x
n≤x n 在(d)和(f)中亦要用此结果。(d)由（13）得 b X(n) 2 n M (s,X)= ∑ ,|b |≤d(n)
n≤x 2 n n 故从引理1及 2 d (n) 4 ∑ <<log x
n≤x n 得 4 2 4
∑ |M(1/2+it,X)| ≤(q+A )log N (28) X
-1 (e)由（16）得当Res=1+lg N时 2 B-1 Λ(n)X(n) 2 B-1 Λ(n)X(n) 2 ∑ |f (s,X)| = ∑| ∑ ∑ | ≤B ∑ | ∑ ∑ | X 2 X j=0 j j+1 s j=0 X j j+1 s 2 A<n≤2 A n 2 A<n≤2 A n 2 2 B-1 j Λ (n) 2 6 <<log N ∑ (q+2 A) ∑ <<(q/A+log N)log N (29) j j+1 s 2 A<n≤2 A n

-1

(f)由于当Res=1+log N时 c X(n) n -1 1-LM= ∑ +O(N ),|c |≤d(n) (30) B S n
A<n≤2 A n 由（20）及（23）-（30）就得
1/2 1/2 2 1/2 4 2 7
∑ |ψ (N,X)|<<N q (q+A ) log N+N(q/A+log N)log N (31) X≠X 1 0 现取 1/4 1/4 3/2
A=N q log N 则由（11），（31）及ψ (N,X)|<<N 即得（6），定理证毕 1 由我们的定理推得引理2：设c是一大于42的整数，则当 c -c
log N<q≤Nlog N,(q,h)=1 (32) 有 -4 T (h/q,N)<<Nlog n (33) 1
(三)为了证明三素数定理，即证明（4）需要下面引理引理3（1）：设c是一大于46的整数注释（1）：这引理是丁夏畦同志提出的，用下面的方法可得到关于T (x,N)的一个一般估计式。
1
丁夏畦，1928年5月出生于湖南省桃江县，1951年毕业于武汉大学，后进入中国科学院数学研究院。 T (x,N)= ∑ Λ(n)e(nx) (34) 1 n≤N
则当 c -c
log N<q≤Nlog N,(q,h)=1
时有 -2 T (h/q,N)<<Nlog n (35) 0 -2
证：设λ=log N,则有 N+λN T (h/q,N+λN)-T (h/q,N)=log(1+λ)T (h/q,N)+ ∑ Λ(n)log e(nx) (36)
1 1 0 N<n≤N+λN n 故由引理2和（36）得 -4
log(1+λ)T (h/q,N)<<Nlog N+λNlog(1+λ) (37) 0 由于当0<x<1/2时log(1+x)>x/2故 -1 -4 -2
T (h/q,N)<<λ Nlog N+λN<<Nlog N (38) 0 证毕。利用分布求和不难从引理3推得，当 c -c
log N<q≤Nlog N,(q,h)=1,c≥42 (39) 时有 Λ(n) nh -3 ∑ e( )<<Nlog N (40) N<n≤N+λN logn q 而这就等价于（4），因而也就证明了三素数定理。（四）（21），（22）的证明，先证明（21），设 X≠X ,H=[q|s|], 0 及 F(x)= ∑ X(n) H<n≤x 由Polya定理知
F(x)<<√q logq 故 ∞ X(n) ∞ dF(x) ∞ F(x) ∞ dx ∑ = ∫ =∫ (1/2+it) <<|s|√q log q ∫ <<√|s| logq n=H+1 1/2+it H 1/2+it H 3/2+it H 3/2 n x x x (41) 由此及引理1得 2 H X(n) 2 2
∑ |L(1/2+it,X)| << ∑ [| ∑ | +|s|log q]
X≠X X≠X n=1 1/2+it
0 0 n 2 2 <<(q+H)log H+q|s|log q<<q|s|log q|s| (42) 这就证明了（21）、（22）可完全同样的加以证明。

                           第八部分   算筹计算电路

下面的内容可参见《珠算》，科学普及出版社，1994年出版珠算与珠算盘是从“筹算”和“算筹”发展演变而来的。“算筹”是计算工具，也叫：策“，”筹“，”算“等等，一般用竹制成形状像筷子的圆形或方形的小竹棍，用算筹来计算叫“筹算”。用算筹来计算叫“筹算”。筹算时，把算筹搬来搬去，称为运筹。我国古代劳动人民利用这些算筹摆成不同形式，表示记数。如：把一根算筹摆在上面当五，下面每一根当一，空一位表示零。从左到右，由高位到低位排成横行。我们今天的算盘也具有这种特点。算筹反应多位数时用纵、横两种方式排列，图示如下：表示的数：1 2 3 4 5 6 7 8 9 算筹纵式：

算筹横式：

两种数码并排有一定的规则：个位、百位、万位用纵式，十位、千位、十万位用横式。纵横相间，便于辨认数码。例如：三千六百七十二，可排成：

上面的算筹表示数字3672 注意，用方框表示数字零。同时，我们可以像珠算口诀一样，来改变算筹纵横的位置，用LED发光二极管表示算筹，

上面的电路表示，一个纵放的LED发光二极管表示数字1，三个纵放的LED放光二极管表述数字3，上面是一个横放的LED发光二极管，下面是一个纵放的LED放光二极管、表示数字6，上面是一个横放的LED发光二极管，下面是三个纵放的LED放光二极管、表示数字8，等等。四个LED发光二极围成一圈表述数字0. 上面的电路表示的是纵式算筹。注释，上面说明的计算乘法，除法的过程和用笔算计算乘法除法的过程类似，都是通过一位数和上面的数相乘，相除，得到计算结果。可以用电路描述上面的计算过程，就是说上面的算筹怎么变化，电路就怎么选择那个算筹对应发光二极管量，这需要大量的数字判断，选择电路来实现。

上面的电路表示，一个横放的LED发光二极管表示数字1，三个横放的LED放光二极管表述数字3。上面是一个纵放的LED发光二极管，下面是一个横放的LED放光二极管、表示数字6，上面是一个纵放的LED发光二极管，下面是三个横放的LED放光二极管，表示数字8，等等。四个LED发光二极围成一圈表述数字0. 上面的电路表示的是横式算筹。例1，计算3+5=8 当开关S3闭合式，与门导通，三个纵放代表数字3的LED发光二极管发光。当开关S5闭合式，与门导通，五个纵放代表数字5的LED发光二极管发光。当S+开关闭合后，与门导通，后级的8个纵放LED同时发光。经过计数器，计数后得到数字8，所以后级的一个横LED导通，三个纵LED导通，显示计算结果8

例2，计算26-18=8 当开关S2闭合式，与门导通，二个横放代表数字2的LED发光二极管发光。当开关SB6闭合式，与门导通，一个横放代表数字5，5个LED发光二极管发光。一个纵放代表数字1，1个LED发光二极管发光。总共6个LED发光。当开关SC1闭合式，与门导通，一个横放代表数字1的LED发光二极管发光。当开关SD8闭合式，与门导通，一个横放代表数字5，5个LED发光二极管发光。三个纵放代表数字3，3个LED发光二极管发光。总共8个LED发光。当SA-开关闭合后，与门导通，后级的6个纵放LED同时发光。8个纵放LED同时发光, 经过与门和非门的判断后输出2个高电平，在经过末级的或门判断后输出1个高电平。前6个与门输入端都是高电平1，经过与门，非门判断后，输低电平0。后2个与门输入端是1和0，经过与门，非门后输出高电平1，非门的后级，两两之间接上或门，经过或门的判断后输出高电平1.。四个高电平输入与门，经过两个与门，非门判断后输出0，同或门判断后输出1。同或门输出高电平，后面的10个与门输出高电平，代表数字1010个与门前面的两个输入从前面计算得到的2个高电平，经过非门判断后输8。经过计数器，计数后得到数字8，所以后级的一个横LED导通，三个纵LED导通，显示计算结果8

          第九部分    筹算计算过程

下面的内容可参见《筹算》，明崇祯戊辰年，意大利传教士罗雅谷编。《四库全书》子部有收录。四，定数数自一至九并，共十位。筹有二面，五筹可满十数。其数以方数与筹上方数相乘。每方之中，既以对角线分而为二，即每方各成二位。右位即零数，左位即十数至第九筹第九方，九九相乘得八十一而止。第一筹，一面作零数，九方对角线之上各画一圈，一面作一数，九方对角线上顺画一二三四五六七八九数。第二筹，一面作二数，第一方线右书二，第二方，线右书四，二筹二方，二二如四也，第三方线右书六，二筹三方，二三得六也，后推此，则第四方线右书八，第五方线右书〇，线左书一，二筹五方，二五得十。故左位一右位〇，以当〇数也，后推此，则第六方线右书二，线左书一。第七方线右书四，线左书一，第八方线右书六，线左书一，第九方线右书八，线左书一，一面作三数，第一方线右书三，第二方线右书六，第三方线右书九，第四方线右书二，线左书一，第五方线右书五，线左书一，第六方线右书八，线左书一，第七方线右书一，线左书二，第八方线右书四，线左书二，第九方线右书七，线左书二。

注释：上面描述了一种算筹，两个数字写在一个方框中，中间用斜线分开。方框下面的数字都是，方框里面第一个数分别和1，2，3，4，5，6，7，8，9相乘得到的积。如果积是两位数，中间用斜线分开，如果积是一位数，放在方框右上角。这类算筹用来计算乘法和除法

第三筹，一面作四数，第一方线右书四，第二方线右书八，第三方线右书二，线左书一。第四方线右书六，线左书一，第五方线右书〇，线左书二，第六方线右书四，线左书二，第七方线右书八，线左书二，第八方线右书二，线左书三，第九方线右书六，线左书三，一面作五数，第一方线右书五，第二方线右书〇，线左书一，第三方线右书五，线左书一，第四方线右书〇，线左书二。第五方线右书五，线左书二，第六方线右书〇，线左书三，第七方线右书五，线左书三。第八方线右书〇，线左书四，第九方线右书五，线左书四。第四筹，一面作六数，第一方线右书六，第二方线右书二，线左书一，第三方线右书八，线左书一。第三方线右书八，线左书一，第四方线右书四，线左书二，第五方线右书〇，线左书三。第三方线右书八，线左书一，第四方线右书四，线左书二，第五方线右书〇，线左书三。第六方线右书六，线左书三，第七方线右书二，线左书四，第八方线右书八，线左书四。第九方线右书四，线左书五，一面作七数，第一方线右书七，第二方线右书四，线左书一，第三方线右书一，线左书二，第四方线右书八，线左书二，第五方线右书五，线左书三，第六方线右书二，线左书四，第七方线右书九，线左书四，第八方线右书六，线左书五，第九方线右书三，线左书六。

第五筹，一面作八数，第一方线右书八，第二方线右书六，线左书一。第三方线右书四，线左书二，第四方线右书二，线左书三，第五方线右书〇，线左书四。第六方线右书八，线左书四，第七方线右书六，线左书五。第八方线右书四，线左书六。第九方线右书二，线左书七。一面作九数，第一方线右书九。第二方线右书八，线左书一。第三方线右书七，线左书二。第四方线右书六，线左书三。第五方线右书五，线左书四。第六方线右书四，线左书五。第七方线右书三，线左书六。第八方线右书二，线左书七。第九方线右书一，线左书八。五。定号

五。定号号者，应于面之左右两边厚楞漏出匣外者。记本面数目，〇至九共十号，其旁狭难书一二三四等字。始作横线如〇则无线一则一横线也，至五则结为一纵线以该之。如五则一纵，六则一纵一横，七则一纵二横也。各书本面之右，用时视其旁，即可得之。六，平立方筹

诸小筹之外，别作一大筹。长与诸筹等，广约长六分之二，两面横分九方。亦与诸筹等，其一面平方筹，纵作二行，其右行九分，书一至九之数，为平方根，其左行九分，亦如小筹作对角线，以平方根数自乘之，各书根数之左，第一方线右书一，第二方线右书四。第三方线右书九，第四方线右书六，线左书一。第五方线右书五，线左书二。第六方线右书六，线左书三。第七方线右书九，线左书四。第八方线右书四，线左书六。第九方线右书一，线左书八。其一面立方筹纵作六分，右一分作一行，九方书一至九之数，为立方根中二分作一行。九方，书一至九各自乘之数，与平方筹同。左三分作一行。九方，每方止截左边三分之二，亦如小筹作对角线，是每方分为直角三边形，无法四边形各一也。而无法四边形之中。暗具一直角方形在右，一直角三边形在左。今止以左中右分之，以中行自乘之数再乘之各书方数之左。各立方数，第一方右书一，第二方右书八，第三方右书七，中书二。第四方右书四，中书六。第五方右书五，中书二，左书一。第六方右书六，中书一，左书二。第七方右书三，中书四，左书三。第八方右书二，中书一，左书五。第九方右书九，中书二，左书七。

注释；上面介绍的是计算平方时使用的算筹。这个算筹一边写的是1到9共8个数字，另外一边写的是2，4，9等上面九个数的平方，注释：上面介绍的是计算立方时使用的算筹。这个算筹一边写的是2，4，9等上面九个数的平方，另外一边写的是1，8，27，64等上边1到9个数的立方。一，乘法乘数有实有法先将实数，依号查号，从左向右齐列。其两筹相并，所成平行线斜方形，合成一位，方形内之数并为一数矣。次以筹之方位为法数。如法数是五则，视两筹第五方。是九则视两筹第九方，即得数矣。若法有二数，则先查法尾所得数横列之。次查法首所得数进一位横列之。末用加法并之，得数，法有三数以上，依次推现。解曰，乘者陛也。九九陛积之义也数有二一为实。一为法，可互用，大略以位数多者为实可也。用筹，则如实数列筹，自左而右次视法数，依筹之同数格上横取之，并得商数，列书之。更视次法，如前得次商数，进一位书初商之下。三以上放此，商毕，并诸商数，即乘得之数。假如八十三为实，以四乘之，先列八三两筹，视其第四格，八号筹下左半斜方有三两筹合一斜方有二一，并作三，三号筹下右半斜方有二，并为三百三十二也。又如每银一钱耀米九升五谷。今有银三两五钱，问该米若干，则以三五为实，九五为法，先查实数二筹齐列。次视法尾五查二筹，第五横行内数是一七五另列，再视法首九查二筹第九横行内数有三一五，进一位列于前得数之下，并之得三三二五，该米三石三斗二升五谷。

注释：用筹算计算3595的过程，首先找到3号筹和5号筹，排列在一起组成数字35 查找3号筹和5号筹的第五个方框内的数是15，25。因为5+2=7，所以得到数175 查找3号筹和5号筹的第九个方框内的数是27，45。因为7+4=11，所以得到数315把315进一位，得到3150，用3150+175=3325，就得到3595=3325。又如有米一斗，卖钱一百二十五文。今有米一十八石三斗，问该钱若干。则以一八三为实，一二五为法，先查实数三筹齐列，视法尾五，查三筹第五横行内数是九一五，另列次视法次二，查三筹第二横行内数是三六六，进一位列于前得数之下，次视法首一位，查三筹第一横行内数是一八三。又进一位列于前得二数之下，并之得二二八七五，该钱二万一千八百七十五文。

注释：用筹算计算183125的过程，首先找到1号筹，8号筹和3号筹，排列在一起组成数字183。查找1号筹，8号筹和3号筹的第五个方框内的数是5，40，15。因为5+4=9，0+1=1，所以得到数915。查找1号筹，8号筹和3号筹的第二个方框内的数是2，6，6。所以得到数266。查找1号筹，8号筹和3号筹的第一个方框内的数是1，8，3。所以得到数183。把366进一位，得到3660，把183进二位，得到18300，用18300+366+915=22875，就得到183125=22875。如法数有〇，则径作一，〇以当其位，再查法数如前，如六八三为实，三〇〇为法，则作二乃查三筹之第三，横行内数从二，〇左进书之，余放此。二，除法除法，有实有法有商，先将法数依号查筹，从左向右齐列，次于诸筹从上至下，查横行内连数之等于实数或略少于实数者，在第几行，即是初商数，如在第一行，即得数是一，在第九行，即得数是九也。次以查得之数减其实数，如已尽，则如止有初商，未尽则知宜有再商也，有再商者，即再查横行内数之等于存实或略少于存实者。在第几行，即是再商数，又以查得之数减其存数，如前又未尽，则更有三商亦如上法，三以上放此，若初得已除实数未尽。乃实数次位无实，则知当有〇位，即作一〇以当次商。或三位俱无，则知得有二〇，即又作一〇以当三商。乃从后数查之，若虽有余数而其数小于法数，是为不尽法，法之数，用命分法。解曰，除法者分率之法也。有实有法，先列实，次以法数平分之，故古九章法名为实如法而一，或者曰而一也，除法有二，一归除，一商除，商除者古法，归除则后来捷法，珠算可任用之。若书美筹莫，必独用商除也，用筹则先知如法数列筹。自左而右，别列实数，间筹之某格与实数相合者或略少于实数者，以减实，即初商数也，若未尽，即如前再商三商，以上皆如之。又未尽，则以法命之，假如列实一百〇八以三十六为法除之，简三六两签列之，视其第三格，六号签下，右半斜方有八，中各斜方有一九，共十，进一位成百，即一百〇八，除实尽也。又如有米九升五，合价银一钱，今有米三石三斗二升五，合问该银若干，以三三二五为实，九五为法，先以法数二筹齐列，次于各行横数内求三三二，有则径减实数。无则取其略少者，二八五，以二八五减三三二，余四七五为实，而此二八五数乃在第三行，即三为初商数，次视第五行，有四七五，正与余实相等减尽，即五为次商数是三五为得数也，该银三两五钱。

注释：用筹算计算3325/95的过程，首先找到9号筹和5号筹，排列在一起组成数字95查找9号筹和5号筹的第3个方框内的数是27，15。因为7+1=8，所以得到数285，因为332-285=47，47*10+5=475，查找9号筹和5号筹的第5个方框内的数是45，25，因为5+2=7，所以得到数475，这样我们就通过查算筹方框里面的数，得到3325/95的商35。

又如每钱三百七十四文，卖米一斗，今有钱八万七千一百四十二文，问合该米若干。以八七一四二为实，三七四为法，先以法数三筹齐列。次视各行横数内求八七一，无则取其略少者七四八，以七四八减八七一余一二三，四二为实，而此七四八方在第二行，即二为初商数，次视各行中无一二三四及略少者。第三行有一一二二。以一一二二减一二三四，余一一二二为实，即三为次商数，次视第三行有一一二二。正与余。实相等，除尽，即三为商数。该米二十三石三十。若积数为八七二四八，尚有一〇六为余实，再欲细分，即用积数为八七二四八，尚有一〇六为子，法数三七四为母，即命为第二法，于余实一〇六后加一〇，依上法再分之得二，又加一〇，再分之得八，又加一〇，再分之得三，得数为二八三，凡三位即命为一千之二百八十三。

注释：用筹算计算87142/374的过程，首先找到3号筹,7号筹和4号筹，排列在一起组成数字374。查找3号筹,7号筹和4号筹的第2个方框内的数是6,14，8，因为6+1=7，所以得到数748，选取数字87142的前三位数871，进行比较，因为871-748=123, 查找3号筹,7号筹和4号筹的第3个方框内的数是9,21，12，因为9+2=11，1+1=2,所以得到数1122，在数字87142中，871后面的数字是4，所以选取1234进行比较。因为1234-1122=112，在数字87142中，8714后面的数字是2，所以选取1122进行比较。查找3号筹,7号筹和4号筹的第3个方框内的数是9,21，12。因为9+2=11，1+1=2,所以得到数1122，因为1122-1122=0，所以，得到商数是233。

三，命分二法。命分者，一大几何，已分几何，尚余几何，今应命此余者为几何分之几何也，又所余之小几何。再分得几何，今应命此得者为几何分之几何也，前解曰法数为母，余数为子，如法数一六八，余数四九，即命为一百六十八分之四十九。后解曰，得数为子，得数前位为母，如得数一位，则前位为十，得数六。即命为十分之六，得数二位则前位为百，得数三四，即命为百分之三十四，得数三位，则前位为十。得数二八三，即命为千分之二百八十三，得数四五位以上，推此，第前位定于一，数十则一十，百则一百，千则一千，万则一万。前一法即九章之命分法，亦即几何原本之命此法，后一法，即九章之小数，如衡有钱分厘毫量，有尺寸分鳌历，有分秒微知也。

三开平方法开平方，有积数，有商数，商有方法。有廉法耦法，置积为实，从末位下作一点，向前隔一位作一点，每一点当作一商，次视平方筹内自乘之数，有与实首相等者，即除之。若无相等，则取其相近之略少者除之，但实首以左第一点为王。若点前无位，则自乘止于零数如一四九是也，若点前有一位则自乘应有十数，如十六至八十一是也。而此乘数在第几格，则第几数即初商数。如所用数是九，九为三之自乘，在第三格，即三为商数也。若有二点者，则以初商数倍之，如一倍为二，三倍为六也，即查所倍之筹列于方筹之左，如四倍为八，即取第八筹，九倍为十八。即取第一第八两筹也，次视诸筹横行内数之，与存实相等者除之，而次数在第几格，则第几数即次商，如在第五格，即五为次商也，不尽，以法命之三点以上放此。 . 解曰，开平方者，即自乘还原也，而法实相同，无从置哉。故以积求形，必用方廉偶三法，商除之，如有积一百，商其根，（根者一边之数，四边皆同）十。即盖实此独用方法，无用廉偶矣。若一百二十一，初商十，除实百，余二十一，则倍初商方根廉法，（任加于初商实一角之旁两边，故曰廉，两廉故倍初商根）次商一，以乘廉，得二十也，以一为耦法，实盖，则百二十一之积，开其根得十一也。在筹则右行自一至九者，即方根数也，左二行，即方根自乘之数。自乘之数止于二位，故隔一位作点，查实下作几点，知方根当几位也，法先于左第一点上，一位或二位为乘数。平行求得其根适足则已，不合，则用其少者，余实以待次商也。左点或一位或二位者，点在实首，则乘数为单数，点在实首之次位。则乘数为十数也。乙为方积也。不尽为二点之实。以初商根倍之为廉法，甲丙之长边也，次商若干，即以为耦法，丁方之一边也，并二廉一偶法，以除实甲乙丙丁平方也，不尽，三商之商而不尽者，以法命之，其筹法先列本筹，得初商，次商则列廉法筹于本筹之左。本筹之自乘数，即偶积也，其根耦法也，次查所列筹何格中，平行并数可当廉法之几倍及耦法方积，得其根，以除实，即得，设实下有二点，则左一点之根为十数。右一点之根为单数，故廉法筹为千数，本筹数为单数也，三点以上放此。

假如有积六百二十五，别列为实，从末位五向前隔一位，各作一点，即知商二位也，点在实首，六为单数，视方筹内自乘之数无六，其下九过实，用其上四实之近少数也，平行向右取二为方法，即方根，另列之，为初商，即以四百减六百存二百，以并次点之实，得二二五为余实，次倍初商根得四为廉法，廉有二，故倍方根，取四筹列方筹左于列筹内并数取其合余实或近少于余实者，至五格适合，即五为廉次率，为耦法，为次商，而本方之根，得二十五。

注释：用算筹计算625的平方根的过程，从625的末位5开始，隔一位做一点，即再6后面做一点，得到开方数为2位数, 先在方筹内查找和6相近的数，得到6在9和4之间，因为2*2等于4，得到开方数的第一位数是2, 在用600减去400得到200, 再用200加上25，得到225, 在方筹内查找，得到5格数为225，所以开方数第二位数是5, 可以用下面的公式表示上面的计算过程, 2 2 2
(a+b) =a +2ab+b
上式中，a=20,b=5,a+b=25, 即 2 625=25

又如有积六十五万一千二百四十九列为实，从末位九向前，隔一位作一点，得三点，知商三位，点在次位，则实首六为十数也，视筹自乘无六五，近少为六四，平行取八为方法，为初商，以六四减六五，存一，以并次点实得一一二为余实，次倍初商根得廉法一六，取一六两筹列方筹左，于列筹并数，查无一一二，亦无近小数，即知次商为〇也，则于八下加〇，以当次商，而以一一二并三点之实，得一一二四九为此余实，次倍前根八，得一六，进一位，得一六〇为次廉法，取〇筹列一六两筹之右，于列筹并数得一一二四九，在第七格，适尽，即七为三商位耦法，列前（商二）之下，而本方之根，得八〇七。

注释：用算筹计算651249的平方根的过程，从651249的末位9开始，隔一位做一点，即作三点，得到开方数为3位数, 先在方筹内查找和65相近的数，得到65在81和64之间，因为88等于64，得到开方数的第一位数是8, 在用651249减去640000得到112498乘以2等于16，，所以将1，6号方筹放到方筹的左边，在方筹内查找，得到1格数为160，大于112，所以开方结果的第二位数是0, 80乘以2等于160，，所以将0号方筹放到方筹的右边，在方筹内查找，得到7格数为11249，等于11249，所以开方结果的第三位数是7所以，得到开方结果807. 可以用下面的公式表示上面的计算过程 2 2 2 2
(a+b+c) =a +2ab+2ac+2bc+b +c 上式中，a=800,b=0,c=7,a+b+c=807, 即 2 651249=807 其商而不尽者，以法命之，则有二术，其一，如前第一，六十六万二十七百四十九，如前三商得根八百一十四，余积一百五十三，更商一，当倍廉加偶得一千六百二十八，今不足，则命为未尽者，一千六百二十八之一百五十三也。注释：用算筹计算662749的平方根的过程，所以，得到开方结果814，余数为153814乘以2等于1628，所以得到的开放结果是814（153/1628), 一二六六五三六六，二七，四九，余，一六二八，一五三倍，一六，七六二根，八一四

一六〇七三六四七一九五一一五三零零零零零零倍，一六二八，一六二八〇，六二八一八根，八一四，〇百，九十，三单

法曰，凡开方不尽者，其命分法，倍前商数（二廉也）加一（立偶）为母（积商之一），余实为子，依法命之，然终不能尽，如设积六十，求开方，初商七，余十一，倍七加一，得十五，为母，十一为子，可命六十之根，为七又一十五之一十一，而缩试，并初商及分数自之，得四十九又二二五之二四三一，约之为一十一，是二二五之一八一，不及元积，若初商，不加一为母，命为十四之十一，试自之，得六十〇又一九六之一十四一，遇元积而盈。注释：用算筹计算60的平方根的过程，先在方筹内查找和60相近的数，得到60在49和64之间，因为77等于49，得到开方数的第一位数是7, 在用60减去49得到11, 7乘以2等于14，，14加1等于15，所以，得到开方结果7（11/15) 4949=2401, 2401+152=2431, 15*15=225,

(4949+152) 2431 181
[7 ]=49 =59 2 225 225 15

(48*48+14)         2318        162

[7 ]=49 =60 2 225 225 15
其一，欲得其小分，则通为小数，如前第二法更开之，当于余积之右加两圈（是原积之一圈为百也），如法问之，得根数，当命为一十分之几分也，或加四圈（是原积之一化为万也），得根数，命为一百分之几分也，或加六圈（一化为百万），得根，命为一千分之几分，或加十圈（一化为一百万）得根，命为十万之几分也。如图原积六六二七四九，已商得八一四，不尽者一五三，欲得其细分，加六圈（是一百五十三化为一万五千三百〇十〇万〇千〇百；〇十〇也），更开得数，为零九三，因空位六，则命为一千分之〇百九十三也，欲更细更加空位，终不能尽，何故，六十者本无根之方也。注释：用算筹计算662749的平方根的过程，得到结果814，余153, 153开方得到93/1000, 得到结果814*(93/1000).

五，开立方假如有积四千九百一十三，别列为实，从末位三，向前，隔二位各作一点，即知商二位也，点在实首，四为单数，视立方筹内再乘之数无四，下八过实，用其上一，实之近少数也，平行向右取一，为方法，即方根，另列之，为初商即以一千减四千存三千，以并次点之实，得三九一三为余实。次用初商一自乘为平廉面，而三倍之，三平廉，得三百为平廉法，亦名倍方数，取三号筹列立方筹左，又以初商一十。三倍之，一者长廉边，三长无故三倍，得三为长廉法，亦名倍根数，取三号筹列立方筹右，于列筹，立方筹与平方筹也，内并数，取其少于余实者为约数，第其中有长廉之实，不得过少，又不得多，多者如第九格遇三四二九，以为约数，近少矣。另列之，向右平筹自乘数内平行取八十一，乘于长廉法三，得二百四十三，列近少数三四二九，下，进一位，并得五八五九，则多于余实也，至第七格，遇二四四三，以为约数，另列之，向右平筹自乘数平行取四十九，以乘长廉法三，得一百四十七，列近少数（二四四三）下，进一位，并得三九一三，除实尽（平廉筹之二千一百，平廉实也，立方筹之三百四十三，立偶积也，平方筹之四十九，长腰两端之面也，以乘长廉法三十，得一四七长廉积也，诸筹之上，一一分明）, 平行球其根，得七，即七为次商也，得总立方根一十七。

注释：用算筹计算4913的立方根的过程，从4913的末位3开始，隔二位做一点，即再4后面做一点，得到立开方数为2位数, 先在立方筹内查找和4相近的数，得到4在8和1之间，因为222等于8，得到开方数的第一位数是1, 在用4000减去1000得到300再用3000加上913，得到3913, 因为11乘以3等于3，所以选取3号筹，放在立方筹的左边进行计算。因为1乘以3等于3，所以选取3号筹，放在立方筹的右边进行计算。在方筹内查找，找到比3913小的数，因为第七格中2443加上49乘以30等于3913，等于3913，第八格中2912加上6430等于4832，大于3913，所以选择第七格，在方筹内查找，得到7格数为2443，在方筹内查找，得到7格数为49，乘以3得到147, 1470乘以10，再加上2443等于3913，这样就得到开立方数的末尾数是7, 可以用下面的公式表示上面的计算过程, 3 2 2 2 3
(a+b) =a +3a b+3ab +b

上式中，a=10,b=7,a+b=17, 即 3 4913=17 又如积九百一十五万九千八百九十九，别列为实，从末位九，向前隔二位作一点。凡三点，当商三位也，点在实首，九为单数，视立方筹内再乘之数无九，下二七过实，用其上八，实之近少数也，平行向右取二为方法，另列为初商，即以八减九存并下位得一一五九为余实，次用初商二，自乘二三倍之得一十二为平廉法，取一号二号两筹列立方筹左，又以初商二，三倍之得六为长廉法，取六号筹列立方筹右。于列筹（立方与平方廉共三筹）内并数，取其少于余实为约数，试之而无有（最少者为第一个之一二零一）则知商有空为于初商，下作圈以当次商，复开第三点之余实为一一五九八九九前两商二〇（百十也），自乘的四零零（四万也）, 三倍之为一二零零（一千二百），以数取四筹为平廉法列立方筹左，前商二〇，三倍之得六〇，取二筹为长廉法列立方筹右，于列筹（立方与平廉共五筹），内并数，取其少于余实者为约数至第九方格，方得一零八零七二九，另列之，向右平筹自乘数平行取八十一，以乘长廉法六十，得四八六〇列近少数（一零八零七二九）下，进一位，并得一一二九三二九余实，不尽三零五七〇，其三商平行取根，得九，并初二商，得立方根二零九，不尽者更欲细分之，则用命分第二法，于余实后加三圈，得三〇五七零零零零为余实，依上法再开之，以前商二〇九自乘为四三六八一，又三倍之，为一三一〇四三，取此六筹，列方筹左，为平廉法，又以前商二〇九，三倍之为六二七取此三筹列方筹右，为长廉法，于列筹（左筹六）内并数，取其近少为约数，试之至第二格，遇二六二零八六〇八，为近少于余实（三〇五七零零零零）, 另列之，向右平筹自乘数内平行取四，乘于长廉法六二七得二五〇八，列近少数（二二零八六六零八）下进一位，并得二六二三三六三一二，即取右根二为商数，依法命为一十分之二分也，若欲在开则余实后又加三圈，得四三六三一二零零零为余实，依上法以前商二〇九二自乘为四三七六四六，又三倍之，得一三一二九三九二，

取此八筹列方筹左，为平廉法，又以前商二〇九二，三倍之为六二七六，取此四筹，列方筹右，为长廉法，于列方筹（左九筹）内并数，取其近少，至第三格遇三九三八八一七六二七，为近少于余实（四三三六三一二零零零），另列之，向右平筹自乘平行取九，乘于长廉法六二七六，得五六四八四，列近少数（三九三八八一七六二七）下，进一位，并得三九三九三八二四六七以余实，不尽三九六九二九五三三，即取右根三为商数，依法命为二百〇九又一百分之二十三分也，若再开，则余实后又加三圈，得三九六九二九五三三零零零为余实，依上法，以前商二〇九二三，自乘为四三七七一九二九，又三倍之得一三一三三一五七八七，取此十筹，列方筹左为平廉法，又以前商二〇九二三三倍之得六二七六九，取此五筹列方筹右，为长廉法，于列筹（左十一筹），并数取约至第三格，遇三九三九九四七三六一二七，为近少于余实（三九六九二九五三三零零零）另列之，向右平筹自乘数，平行取九乘于长廉法六二七六九，得五六四九二一，列近少数（三九三九九四七三六一二七）下进一位，并得三九四零零零三八五三三七，以余实不尽者为二九二九一四七六六三，即取右根三为商数，依法命为二百零九又一千分之二百三十三也，余实任开之，终不尽何者，无立方数，不得有立方根也。.

注释：用算筹计算9159899的立方根的过程，从9159899的末位9开始，隔二位做一点，共作三点，得到立开方数为3位数, 先在立方筹内查找和9相近的数，得到9在8和27之间，因为333等于27，得到开方数的第一位数是2, 在用9000000减去8000000得到1000000, 再用1000000加上159899，得到1159899, 因为2乘以2等于4，4乘以3得12，所以选取1，2号筹，放在立方筹的左边进行计算。因为2乘以3等于6，所以选取6号筹，放在立方筹的右边进行计算。因为第一格中1201100加上1乘以3000000等于1501100，大于1159899，选择开方结果的第二位数为0, 因为200乘以200等于40000，40000乘以3得120000，所以选取1，2，0，0，0号筹，放在立方筹的左边进行计算。因为200乘以3等于600，所以选取6，0号筹，放在立方筹的右边进行计算。因为第九格中1080729加上81乘以60000等于1129329，小于1159899，选择开方结果的第三位数为9, 因为1159899减去1123929等于30570，所以开方不尽, 得到开方结果为209,

因为209乘以209等于43681，43681乘以3等于131043，所以分别取1，2，1，9，4，3号筹放在方筹的左边, 因为209乘以3等于627，，所以分别取6，2，7号筹放在方筹的右边,

因为第二格中26208608小于30570000，所以选择第二格，2乘以2等于4，4乘以627等于2508，26208608加上25080等于26233688，30570000减去26233688等于4336312, 得到开方结果为209.2,

因为209.2乘以209.2等于43764.64，43864.64乘以3等于131293.92，所以分别取1，3，1，2，9，3，9，2号筹放在方筹的左边, 因为209.2乘以3等于627.6，，所以分别取6，2，7，6号筹放在方筹的右边, 因为第三格中3938817627小于4336312000，所以选择第三格，3乘以3等于9，9乘以627.6等于56484.4, 564840加上3938817627等于3939382467, 4336312减去3939382.467等于396929.533, 得到开方结果为209.23,

因为209.23乘以209.23等于437719.29，437719.29乘以3等于1313157.87，所以分别取1，3，1，3，3，1，5，7，8，7号筹放在方筹的左边, 因为209.23乘以3等于627.69，，所以分别取6，2，7，6，9号筹放在方筹的右边, 因为第三格中393994736127小于396929533000，所以选择第三格，3乘以3等于9，9乘以627.69等于5649.21, 得到开方结果为209.233,

可以用下面的公式表示上面的计算过程 3 3 3 3 2 2 2
(a+b+c) =a +b +c +3a c+3ab +3ac +6abc 上式中，a=200,b=0,c=9,a+b+c=209, 即 3 9159899=209.233

                         第九部分   筹算计算电路

下面的内容可参见《筹算》，明崇祯戊辰年，意大利传教士罗雅谷编。《四库全书》子部有收录，又如每银一钱耀米九升五谷。今有银三两五钱，问该米若干，则以三五为实，九五为法，先查实数二筹齐列。次视法尾五查二筹，第五横行内数是一七五另列，再视法首九查二筹第九横行内数有三一五，进一位列于前得数之下，并之得三三二五，该米三石三斗二升五谷。

注释：用筹算计算3595的过程，首先找到3号筹和5号筹，排列在一起组成数字35，查找3号筹和5号筹的第五个方框内的数是15，25，因为5+2=7，所以得到数175，查找3号筹和5号筹的第九个方框内的数是27，45，因为7+4=11，所以得到数315，把315进一位，得到3150，用3150+175=3325，就得到3595=3325，下面的电路按照上面的计算过程进行计算，电路通过与门进行判断，寄存器保存数据，加法器进行计算，当开关s3闭合，与门导通，将3号算筹中的数字保存到相应位置的寄存器中，当开关s5闭合，与门导通，将5号算筹中的数字保存到相应位置的寄存器中，数码管显示电路，数码管编码器，千位计算结果寄存器，加法器，末位数据寄存器，进位数据寄存器，万位计算结果寄存器，加法器将5+2=7，将15，25两个数变成175，加法器将4+7=11，将27，45两个数变成数315，加法器将3150+175=3325，就是35*95的积。开关SB5闭合，与门导通，将3号和5号算筹中的第五栏中的两个数据接入电路进行计算。，开关SB9闭合，与门导通，将3号和5号算筹中的第九栏中的两个数据接入电路进行计算。，

又如有米九升五，合价银一钱，今有米三石三斗二升五，合问该银若干，以三三二五为实，九五为法，先以法数二筹齐列，次于各行横数内求三三二，有则径减实数。无则取其略少者，二八五，以二八五减三三二，余四七五为实，而此二八五数乃在第三行，即三为初商数，次视第五行，有四七五，正与余实相等减尽，即五为次商数是三五为得数也，该银三两五钱。

注释：用筹算计算3325/95的过程，首先找到9号筹和5号筹，排列在一起组成数字95，查找9号筹和5号筹的第3个方框内的数是27，15，因为7+1=8，所以得到数285，因为332-285=47，47*10+5=475，查找9号筹和5号筹的第5个方框内的数是45，25，因为5+2=7，所以得到数475，这样我们就通过查算筹方框里面的数，得到3325/95的商35。当开关s9闭合，与门导通，将9号算筹中的数字保存到相应位置的寄存器中。当开关s5闭合，与门导通，将5号算筹中的数字保存到相应位置的寄存器中。数字2的二进制编码，代表第2#方框，数据大小比较器将4和上面第9筹的3#，5#，7#，9#等等寄存器里面的数据相互比较，如果相等输出4。数据大小比较器将4和上面第9筹的3#，5#，7#，9#等等寄存器里面的数据相互比较，如果相等输出4。 . 数据大小比较器将4和上面第9筹的3#，5#，7#，9#等等寄存器里面的数据相互比较，如果相等输出4。数据大小比较电路，将输出的两组5相比较，如果相等输出数字5。十位计算结果寄存器，

数值大小比较电路A。两数相减，得到的数据进行平方计算，如果是负数，平方后得到正数，开方后得到正数，加上原来的负数，输出0。两数相减，得到的数据进行平方计算，如果是正数，平方后得到正数，开方后得到正数，加上原来的正数，输出正数。如果加法器输出0，或门输出1，与门输出1，状态寄存器A保存1，证明两数相减得到的是负数，反之，则是正数。减法器，平方计算电路，开方计算电路，加法器，或门，与门，状态寄存器A。

数值大小比较电路B 将数据-p1和-q1相互比较，如果两者相等，则停止计算，将数据-p1和数据-q1相减，如果等于0或门输出高电平，非门输出低电平，与门截止-p1,-q1不会到下一级电路，计算停止。将数据-p1和数据-q1相减，如果不等于0或门输出低电平，非门输出高电平，与门导通-p1,-q1进入到下一级电路，继续计算。数值-p1寄存器，减法器，或门，非门，与门，与门，状态寄存器A。