下面的式子可以描述黑洞或白洞的空间曲率，黑洞洞是一个中心曲率无穷大，周围曲率为零的结构。
下面的资料可参见《引力论和宇宙论-广义相对论的原理和应用》，美国S.温伯格著，邹振隆，张历宁等译，科学出版社1980年出版。
比如我们问，自旋为S 的自由下落栗子的正确的运动方程是否也可写成如下的形式
n
2 2 μ ν μ ν
d x λ dx dx λ dx dx κ
0= +Γ +fR S (6.1.6)
2 μν μνκ
dτ dτdτ dτ dτ
(f是一未知标量)以代替熟悉的形式
用上面的式子描述黑洞的空间曲率。dx表示黑洞的x轴的曲率，dτ表示黑洞的y轴的曲率。也可以用实数的分布函数F(x)描述黑洞的曲率dx,dτ,这样根据实数的分布规律就会预计黑洞的横截面积的大小.
用上面的式子描述白洞的空间曲率。dx表示白洞的x轴的曲率，dτ表示白洞的y轴的曲率。
也可以用实数的分布函数F(x)描述白洞的曲率dx,dτ,这样根据实数的分布规律就会预计白洞的横截面积的大小。
同时用商高定理推导的解的公式，实数的分布函数可以预测黑洞，白洞的形成。
第三部分 虫洞的分布函数
可以用下面的公式描述一个重洞的能量，时间和面积的关系。
2 2 2 2
dσ =c dt -ds
上式中，dσ表示形成虫洞的暗能量的导数，dt表示时间的导数，ds表示虫洞横截面积的导数。
下面的内容可见《华罗庚文集》数论卷Ⅱ，华罗庚著，科学出版社，2010年出版。
根据商高定理
定理1 不定方程
2 2 2
x +y =z (1)
之解适合
x>0,y>0,z>0,(x,y)=1,2 | x (2)
者，比可表为
2 2 2 2
x=2ab,y=a -b ,z=a +b (3)
如此之(x,y,z)与(a,b)成一一对应，即不同之(a,b)，对应于不同之(x,y,z)，且反之亦然。
引理1 不定方程
2 2 2
x +y =mz (1)
的解为
x=2ab√m
2 2
y=a √m-b √m
2 2
z=a +b
证明：因为
2 2 2
x /m+y /m=mz
设w=x/√m，v=y/√m
所以
2 2 2
w +v =z
2 2 2 2
w=2ab,v=a -b ,z=a +b
根据上面的引理，得
2 2 2 2
dσ =c dt -ds
2 2 2 2
dσ +ds =c dt
2 2 2 2
dσ=2ab√c,ds=a √c-b √c,dt=a +b (3)
设a=F(s ),b=F(s )，得 1 2
dσ=2√cF(s )F(s )
1 2
2 2
ds=√cF (s )- √F (s )
1 2
2 2
dt=F (s )+F (s )
1 2
上式中c等于光速，即c=299792.458公里每秒。
这样就达到用两个实数分布函数F(s )和F(s )表示三个物理量dσ,ds,dt的目的。
1 2
通过函数F(s )和F(s )的函数图像就会得到三个物理量dσ,ds,dt的图像。
1 2
F(s)表示实数分布函数，如下所示。
在两个金箔之间通上几十亿伏特几十亿安培的高压直流电例，两个金箔放在充满氮气的水晶球里面。用高频开关控制电流的方向，让电流方向不断发生改变。不断改变金箔上面的电极的正负性，一会让这个金箔带正电，一会让这个金箔带负电，高电压使两个金箔之间的氮气被击穿释放激光，电子一会从这个金箔流向流向另外一个金箔，一会从另外一个金箔流向这个金箔。不同运动方向的电子在金箔中间发生碰撞，产生弱相互作用，吸引暗物质，产生激光，激光吸引暗能量，这些暗物质和暗能量就会产生虫洞。
在函数F(s)中，依次给s赋值，1，2，3.。。n等等，经过下面公式的计算得到对应的F(s)值，
2 2
调节电压，按照ds=√cF (s )- √F (s )值的数值从小到大变化，就会形成一个电
1 2
压波形，这个电压波形通过高频开关的切换不断改变方向就会有利于虫洞的形成。
同时要求F(s)满足下面的条件
2 2
ds=√cF (s )- √F (s )
1 2
2 2
dt=F (s )+F (s )
1 2
通过上面两个公式可以校准F(s)的数值。同时，用算筹，太一算，两仪算，三才算等古代计算工具，将上面的到的方程的解记录下来，就会形成一个方程解的曲线，按照这个曲线就会预判方程的根。可就是说，根据算筹，太一，两仪，三才记录的数据可以形成一个方程解的图形，根据这个图形可以预判方程的解。利用这个虫洞我们就会达到运动到宇宙另外一端的目的，也就达到超光速运动的目的。所以,根据上面的推导实数的分布函数F(s)可以化简为
[4]
F(s)=ξ(s)[1+4[A ]]
s-1 ∞ (-s/2)+(1/2) (s/2)+1 3s
=[ +(s-1) ∫ (x +x )ψ(x)dx]{1+4[16log ∑ es ]} 2 1 2 s=1 s 2log s
2 4 6
s-1 arctg y` arctg y` arctg y`
={ +(s-1) [ + + +o(arctg y`) ]} 2 2 12 40 s
3s
*{1+4[16log ∑ es ]}
2 s=1
2log s
上式中y=tga，a=arctgy，
(-s/2)+(1/2) (s/2)+1
y`=(x +x )ψ(x)
2
∞ -n πx
ψ(x)= ∑ e
n=1
所以,根据上面的推导实数的分布函数F(s)可以化简为
[3]
F(s)=ξ(s)[1+3[A ]]
s-1 ∞ (-s/2)+(1/2) (s/2)+1 s
=[ +(s-1) ∫ (x +x )ψ(x)dx]{1+3[8(1+6log3-10log2) ∑ es ]} 2 1 2 s=1 s log s
2 4 6
s-1 arctg y` arctg y` arctg y`
=[ +(s-1) ( + + +o(arctg y`) ]
2 2 12 40
s
s
*{1+3[8(1+6log3-10log2) ∑ es ]}
2 s=1
log s
上式中 (-s/2)+(1/2) (s/2)+1 y`=(x +x )ψ(x)
2
∞ -n πx
ψ(x)= ∑ e
n=1
所以,根据上面的推导实数的分布函数F(s)可以化简为so
[4]
F(s)=ξ(s)[1+4[A ]]
s-1 ∞ (-s/2)+(1/2) (s/2)+1 3s
=[ +(s-1) ∫ (x +x )ψ(x)dx]{1+4[16log ∑ es ]} 2 1 2 s=1 s 2log s
s-1
={ +(s-1)
2
s
3 3
2 2
3t 9t 27 3t 9t 27
stg{ + + + - + }} 2 4 27 2 4 27
3s
*{1+2[16log ∑ es ]}
2 s=1
2log s
上式中
y=tga， a=arctgy，
3
arctg y 4 t=arctgy+ +o(a )
3
3
arctg y` 4
t=arctgy+ +o(arctgy)
3
2
∞ -n πx
ψ(x)= ∑ e n=1
所以,根据上面的推导实数的分布函数F(s)可以化简为
[3]
F(s)=ξ(s)[1+3[A ]]
s-1 ∞ (-s/2)+(1/2) (s/2)+1 s
=[ +(s-1) ∫ (x +x )ψ(x)dx]{1+3[8(1+6log3-10log2) ∑ es ]} 2 1 2 s=1 s log s
s-1
={ +(s-1)
2
s
3 3
2 2
3t 9t 27 3t 9t 27
stg{ + + + - + }} 2 4 27 2 4 27
s
*{1+3[8(1+6log3-10log2) ∑ es ]}{
2 s=1
log s
上式中y=tga，a=arctgy，
3
arctg y` 4
t=arctgy`+ +o(a ) 3
3
arctg y` 4
t=arctgy+ +o(arctgy)
3
2
∞ -n πx
ψ(x)= ∑ e
n=1
所以,根据上面的推导实数的分布函数F(s)可以化简为so
-1/2 10 3/4 1/4 13/2 s-1
F(s)=s(N*3 log N+N 3 log N)[ +(s-1)[
2
s
2 4 6
arctg y` arctg y` arctg y` 6
+ + +o(arctg y` ) ]
2 12 40
上式中 (-s/2)+(1/2) (s/2)+1 y`=(x +x )ψ(x)
2
∞ -n πx
ψ(x)= ∑ e
n=1
所以,根据上面的推导实数的分布函数F(s)可以化简为
-1/2 10 3/4 1/4 13/2 s-1
F(s)=s(N*3 log N+N 3 log N)[ +(s-1)[
2
s
3 3
2 2
3t 9t 27 3t 9t 27
s*tg{ + + + - + ]
2 4 27 2 4 27
上式中
3
arctg y 4 t=arctgy+ +o(a )
3
(-s/2)+(1/2) (s/2)+1
y`=(x +x )ψ(x)
2
∞ -n πx
ψ(x)= ∑ e n=1
下面的式子可以描述虫洞的空间曲率，虫洞是一个中心空洞，周围曲率密集的结构。
下面的内容可参见《相对论》奥地利物理学家W.泡利著，凌德洪，周万生译，上海科技出版社1979年出版，
例如，若u,v为曲面的黎曼坐标，则线元的形式为
2 。 2 。 。 2 2
ds =γ du +2γ dudv+γ dv +π(u,v)(udv-vdu)
11 12 22
可以将上式化简为
2 。 。 。 2
ds =[γ +π(u,v)]du +2[γ -π(u,v)]dudv+[γ +π(u,v)]dv
11 12 22
上式中，素数分布函数π()，表示小于等于n的素数的数目。
例如：π(10)=4,(2,3,5,7是素数），π(a，b)表示a,b中素数的个数的和，字符上面的(。)符号表示两个坐标系在P点相切，P点的张量，u,v坐标，洛伦兹因子等各种参数。s表示短程线的最小弧长。
所以线元ds可以化简为
2 。 2 。 。 2 2
ds =γ du +2γ dudv+γ dv +π(u,v)(udv-vdu)
11 12 22
。 。 i k i i i hi hi 2
ds =( g ξ ξ -ξ ξ )du+2ξ η +η η dv+∑ p ξ ξ (udv-vdu)
11 ik i i i (hi)(jk) hijk
用上面的式子描述虫洞的空间曲率。此时，ds表示虫洞中心孔洞的横截面的弧长，du表示形成虫洞中心孔洞的暗能量在x轴方向的大小，dv表示形成虫洞中心孔洞的暗能量在y轴上的大小。也可以用实数的分布函数F(x)描述虫洞中心孔洞的横截面弧长ds,这样根据实数的分布规律就会预计虫洞中心孔洞的横截面积。还可以使用商高定理将上面的公式变形以下，这样会更加方便利用实数分布函数F(x)进行计算。最后再将用实数分布函数F(x)计算的数字用算筹，太一，两仪，三才等计算工具表示出来，就会形成一个函数分布图像。利用这个函数分布图像就可以预估这个虫洞横截面弧长函数的取值。有关算筹，太一，两仪，三才等计算工具的资料可参阅我国东汉数学家徐岳的《数术记遗》，南北朝北周数学家甄鸾注解，中的描写。 所以线元ds可以化简为 2 。 2 。 。 2 2 ds =γ du +2γ dudv+γ dv +π(u,v)(udv-vdu) 11 12 22
2 。 。 2 2
π(u,v)ds =(γ du+γ dv) +(udv-vdu)
a b
2 2 2
π(u,v)ds =(udu+vdv) +(udv-vdu)
上式中
hi jk
π(u,v)= ∑ p ξ ξ
(hi)(jk) hijk
因为,
引理1 不定方程
2 2 2
x +y =mz (1)
的解为
x=2ab√m
2 2
y=a √m-b √m
2 2
z=a +b
所以,
udu+vdv=2ab π(u,v)
2 2
udu-vdv=(a -b ) π(u,v)
2 2
ds=a +b
所以,
2 2
udu=[2ab+(a -b )/2] π(u,v)
2 2
vdv=[2ab-(a -b )/2] π(u,v)
2 2
ds=a +b
设a=F(s ),b=F(s )，得
1 2
2 2
udu=[2F(s )F(s )+(F(s ) -F(s ) )/2] π(u,v)
1 2 1 2
2 2
vdv=[2F(s )F(s )-(F(s ) -F(s ) )/2] π(u,v)
1 2 1 2
2 2
ds=F (s )+F (s )
1 2
这样就达到用两个实数分布函数F(s )和F(s )表示三个物理量udu,vdv,ds的目的.
1 2
通过函数F(s )和F(s )的函数图像就会得到三个物理量udu,vdv,ds的图像。
1 1
F(s)表示实数分布函数，如上所示
下面的内容可见《华罗庚文集》数论卷Ⅱ，华罗庚著，科学出版社，2010年出版。 习题1.解不定方程
2 2 4
x +y =z
并证明其解能适合x>0,y>0,z>0,(x,y)=1,2|x，者，由此式与之：
2 2 4 4 2 2 2 2
x=4ab(a -b ),y=|a +b -6a b |,z=a +b
a>0,b>0,(a,b)=1,a+b≡1 (mod 2)
所以
2 2 2 2
dσ =c dt -ds
2 2 2 2
dσ +ds =c dt
2 2 4 4 2 2 2 2
dσ=4ab(a -b ),ds=|a +b -6a b |,dt=a +b 设a=F(s ),b=F(s )，得 1 2
dσ=2√cF(s )F(s )
1 2
2 2
ds=√cF (s )- √F (s )
1 2
2 2
dt=F (s )+F (s )
1 2
上式中c等于光速，即c=299792.458公里每秒。
习题2.证明
4 2 2
x +y =z ,2|x.y>0,z>0,(x,y)=1
4 4 4 4
之解答为x=2ab,y=|4a -b |,z=4a +b
(a,b)=1,a>0,b>0,2|/b，
所以，
2 2 2 2
dσ =c dt -ds
2 2 2 2
dσ +ds =c dt
4 4 4 4
dσ=2ab,ds=|4a -b |,dt=4a +b 设a=F(s ),b=F(s )，得 1 2
dσ=2√cF(s )F(s )
1 2
2 2
ds=√cF (s )- √F (s )
1 2
2 2
dt=F (s )+F (s )
1 2
上式中c等于光速，即c=299792.458公里每秒。
下面的内容可参见《数学通报》1963年3期，中国数学学会编辑，科学出版社1963年出版。
2 2 2 2
商高定理与方程x +y +z =w
作者：嘤其
由商高定理推导出的解的公式。
一、
2 2 2
[(n+1)x +nx ] +(2n+1)y =[nx +(n+1)z ]
0 0 0 0 0
二、
2 2 2
[(1-n)x +2y +(2-n)z ] +(2n+1)(2x +y +2z ) =[(2+n)x +2y +(3+n)z ]
0 0 0 0 0 0 0 0 0
三、
2 2 2
[nx +(n-1)z -y ] +2n(x +y +z ) =[nx +y +(n+1)z ]
0 0 0 0 0 0 0 0 0
四、
2 2 2
[4-n)x +3y +(5-n)z ] +2n(3x +y +3z ) =[(4+n)x +3y +(5+n)z ]
0 0 0 0 0 0 0 0 0
以上各式中之n为任意整数，一、二结合得三；三、四结合得一。
另由（11）之解[x ,y ,z ],可得 0 0 0
z ±(x +dy ) (d+1)z ±(x +dy )
2 0 0 0 2 0 0 0 2
(x -y ) +(d+1)[ ] =[ ]
0 0 d d
根据上面的引理，得
2 2 2 2
dσ =c dt -ds
2 2 2 2
dσ +ds =c dt
设dσ=x,ds=y,√cdt=z
上式中c等于光速，即c=299792.458公里每秒。
得到方程
2 2 2
x +y =z
根据上面的公式（一）这个方程可以化简为
2 2 2
[(n+1)x +nx ] +(2n+1)y =[nx +(n+1)z ]
0 0 0 0 0
上式中,x ,y z 为方程的一组解，例如x=3,y=4,z=5，n为任意整数。 0 0 0 可以用模拟电路表示上式，调节x,y,z的取值，可以得到一系列方程的解。也可以按照公式二，三四，五计算x的值。计算电路可参照商高公式模拟计算电路。 设[x ,y ,z ]为方程 2 2 2
2 2 2
x +y =z
的一组解，则可由下式得其余解，即
2 2
2mp(x +mp) 2mp(x +mp)
2 1 2 1 2
(x +2mp) +[y + ] =[x + ] (12)
1 1 z -y z -y
1 1 1 1
式中m为任意整数，p为使式中之分数部分消去分母之最小整数。
在两个金箔之间通上几十亿伏特几十亿安培的高压直流电例，两个金箔放在充满氮气的水晶球里面。用高频开关控制电流的方向，让电流方向不断发生改变. 不断改变金箔上面的电极的正负性，一会让这个金箔带正电，一会让这个金箔带负电. 高电压使两个金箔之间的氮气被击穿释放激光，电子一会从这个金箔流向流向另外一个金箔，一会从另外一个金箔流向这个金箔。不同运动方向的电子在金箔中间发生碰撞，产生弱相互作用，吸引暗物质，产生激光，激光吸引暗能量，这些暗物质和暗能量就会产生虫洞。按照x的取值选取电压值，不断改变电流的方向，使电压等于x的数值，就会形成暗能量，这个暗能量就会形成虫洞。同时，用算筹，太一算，两仪算，三才算等古代计算工具，将上面的到的方程的解记录下来，就会形成一个方程解的曲线，按照这个曲线就会预判方程的根。可就是说，根据算筹，太一，两仪，三才记录的数据可以形成一个方程解的图形，根据这个图形可以预判方程的解。
同时，用算筹，太一算，两仪算，三才算等古代计算工具，将上面的到的方程的解记录下来，就会形成一个方程解的曲线，按照这个曲线就会预判方程的根。可就是说，根据算筹，太一，两仪，三才记录的数据可以形成一个方程解的图形，根据这个图形可以预判方程的解。根据我国东汉数学家徐岳的《数术记遗》，南北朝北周数学家甄鸾注解，中记录的太一，两仪，三才计算工具，记录上面方程的解。 《数术记遗》是我国最早记载珠算的古籍，为东汉数学家徐岳撰写，由南北朝时期北周数学家甄鸾注解。书中记录了14种计算方法，分别为积算，太一，两仪，三才，五行，八卦，九宫，运筹，了知，成数，把头，龟算，珠算，计数，除了最末了的计数属于心算，其余13种均有相应的计算工具。 积算又称筹算（确切的说是指筹算中最经典、最流行的一种），是我国古代在算盘出现以前最为常用的计算方法。所用工具叫算筹，算筹是一根根小小的棍子，说的是“以竹为之，长四寸”。其实从兽骨到金属，制作算筹的材质多种多样，不同时期算筹的长度也不尽相同。算筹用棍子的纵横组合摆放来表示数字，分有纵横两式，纵式摆法中以树棍表示1，横棍表示5，横式摆法中以横棍表示1、竖棍表示5. 算筹纵式：
算筹横式：
不同数位上纵横交替使用，“一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。”（语出《孙子算经》）。
太一算，太一之行，去来九道。刻板横为九道，竖以为柱，柱上一珠，数以下始。故曰“去来九道”也。
太一算的工具是一种古老的算盘。算盘上刻8道横线，从下至上分别表示1-9，纵线代表数位，算珠置于9线以下或1线以下表示0.
两仪算，天气下通，地禀四时。刻板横为五道，竖以为位。一位两珠，上珠色青，下珠色黄。其青珠自上而下，至上第一刻主五，第二刻主六，第三刻主七，第四刻主八，第五刻主九。其黄珠自下而上，至下第一刻主一，第二刻主二，第三刻主三，第四刻主四，而已。故曰“天气下通，地禀四时”也。 两仪算的工具也是古老算盘的一种。算盘和太一一样画成棋盘状，使用青黄两种颜色的算珠。
三才算，天地和同，随物变通。刻板横为三道，上刻为天，中刻为地，下刻为人，竖为算位。有三珠，青珠属天，黄珠属地，白珠属人。又其三珠能行三道，若天珠在天为九，在地主六，在人主三；其地珠在天为八，在地主五，在人主二，人珠在天主七，在地主四，在人主一。故曰“天地和同，随物变通”，亦况三元，上元甲子一、七、四，中元甲子二、八、五，下元甲子三、九、六，“随物变通”也。 三才算的工具也是古老算盘的一种。算盘同样是棋盘状，从上至下的三道横线分别名为天线、地线、人线。算珠有三种颜色，青珠称为天珠，黄珠称为地珠，白珠称为人珠。青珠置于天线为9，置于地线为6，置于人线为3，黄珠置于天线为8，置于地线为5，置于人线为2，白珠置于天线为7，置于地线为4，置于人线为1.三珠置于上下开外为0.
第四部分 商高定理
下面的内容可见《华罗庚文集》数论卷Ⅱ，华罗庚著，科学出版社，2010年出版。
注释：商高为我国西周初数学家，他在公元前1000年发现勾股定理，这里的商高定理就是勾股定理。
6.商高定理之推广
2 2 2
求x +y =z 之诸整数解。
若(x,y)=d>1，则d亦为z之因数，故讨论此方程式之解时，可设(x,y)=1,其他之解悉可由此类之解乘以一数而得之，又显然只需求解之适合x>0,y>0及z>0者。x及y中必有一为偶数，不然，则
2 2
x ≡y ≡1 (mod 4)
即
2 2
x +y ≡2 (mod 4)
2
亦即z 为2之倍数，而非4之倍数，此不可能，故可设欲求之解中，x为偶数。
定理1 不定方程
2 2 2
x +y =z (1)
之解适合
x>0,y>0,z>0,(x,y)=1,2 | x (2)
者，比可表为
2 2 2 2
x=2ab,y=a -b ,z=a +b (3)
如此之(x,y,z)与(a,b)成一一对应，即不同之(a,b)，对应于不同之(x,y,z)，且反之亦然。
证1）由（1），（2）以求（3），（1）。因y及z皆为奇数，故(z-y)/2,(z+y)/2皆为整数，又
((z-y)/2,(z+y)/2)=(z,y)=1
由（1）立得
x 2 z+y z-y
( ) =
2 2 2
故,
z+y 2 z-y 2
=a , =b
2 2
此处a>b,b>0且a>b,(a,b)=1, 又
2 2
a+b≡a +b ≡z≡1 (mod 2)
故a,b中一奇一偶，而得（3）及（40
2）由（3），（4）所定之x,y适合(1),(2)
2 2 2 2 2 2 2 2
x +y =(2ab) +(a -b )=(a +b ) =z,x>0,y>0,z>0,2 | x
若(x,y)=d,则
2 2 2 2
d | y =a -b ,d |z =a +b
2 2
故d | 2(a ,b )。因(a,b)=1,故d=1或2. 但a及b中一奇一偶，故y为奇数，及d≠2，所以d=1,
3)若a ,b 及a,b表同一解，则
1 1
z+y 2 2 z-y 2 2
=a =a , =b =b
2 1 2 1
故a =a,b =b(因a ,b 皆为正数），而得唯一性。
1 1 1 1
2
如以z 除（1）式，并命
x y
ξ= ,η=
z z
则本节所讨论之问题，一变而为：求圆周上之有理点（所谓有理点者乃指其坐标皆为有理数）。换言之，本节证得，单位圆上有有理点
2 2
2ab a -b
ξ= ,η=
2 2 2 2
a +b a +b
其数无穷。今推广此问题，即问任一二次曲线上有无穷个有理点否？
此说并不真实。例如：双曲线
2 2
ξ -3η =2
上并无有理点。盖若命
x y
ξ= ,η= ,(x,y,z)=1
z z
，则一变而为求
2 2 2
x -3y =2z
之整数解的问题。取3为模，则
2 2
x ≡2z (mod 3)
由此可得3 | x,3 | z,更由前式3 | y，此与(x,y,z)=1相违背。但吾人有次之定理：
定理2：在非直线的有有理数系数的二次曲线上如有一有理点，则有无穷个有理点。
证：可以假定所经过之有理点即为原点
（不然，用平行移动ξ=ξ+ξ ,η=η+η ，即得所需）。此二次曲线可以写成
0 0
S (ξ,η)+S (ξ,η)=0
2 1
此处S (ξ,η)为ξ及η之i次齐次式。若S (ξ,η)恒等于0，
1 1
则原二次曲线为两条直线，若S (ξ,η)恒等于0，则原曲线为一直线，
2
故S (ξ,η)S (ξ,η)均不能恒等于0
1 2
令命η=ζξ，则
ξS (1，ξ)+S (1,ξ)=0
2 1
而得
ξ=-S (1，ζ)/S (1,ζ),η=-ζS (1，ζ)/S (1,ζ).
2 1 2 1
故有无穷个有理点
定理3：设A,B,C为不全为零之有理数。
2
若B -4AC为一平方数，则二次曲线
2 2
Aξ +Bξη+Cη +Dξ+Eη+F=0 (5)
上有无穷有理点。换言之，若一双曲线之渐近线之方程有有理系数，则此双曲线上有无穷个有理点：又一抛物线上也有无穷个有理点。
2 2
证：命B -4AC=L ,则
2
2 2 B 2 C B 2
Aξ +Bξη+Cη =A((ξ+ η) +( - η) )
2A A 2
4A
B L B L
=A((ξ+ η- η)(ξ+ η- η)
2A 2A 2A 2A
若L≠0,命
B+L -B+L
ξ=ξ+ η, η=ξ- η,
2A 2A
解出ξ及η代入(5)式可得Aξη+Dξ+Eη+F=0 解出ξ得ξ=-(Eη+F)(Aη+D)
故显然（5）有无穷个有理解, 若L=0,命
B
ξ=ξ+ η, η=-η
2A
则得,
2
Aξ +Dξ+Eη+F=0
若E`=0，则原曲线并非二次曲线。
附注：由定理2及3，推出下列的问题。命
f(x ,x ,x ,...,x )=0 (6)
1 2 3 N
为一x ,...,x 之整系数二次齐次式（不能分解为一次式之积）。
1 n
今问有无穷个整点适合此式之条件？由定理2可知当n≥3, 则如其上有一非原点之整点，其上即有无穷个整点。但何时其上可有一整点？例如：
2 2 2 2
x +x +x +...+x =0
1 2 3 n
其上绝无原点以外之整点。故建议吾人必须假定f(ξ ,...,ξ )=0有实数轨迹。
1 n
吾人可证明如合此条件，且n≥5.则（6）上有一整点（此乃Mayer之定理本书不论证之）。
但当n=4，此定理不能成立，盖若
2 2 2 2
x +x +x -7x =0
1 2 3 4
则可假定(x ,x ,x ,x )=1，又得
1 2 3 4
2 2 2 2
x +x +x +x ≡0 (mod 8)
1 2 3 4
2
而x ≡0,1,4(mod 8)，由此式可知2|(x ,x ,x ,x )。此与假定相违背。
1 2 3 4
习题1.解不定方程
2 2 4
x +y =z
并证明其解能适合x>0,y>0,z>0,(x,y)=1,2|x, 者，由此式与之：
2 2 2 2 2 2 2 2
x=4ab(a -b ),y=|a +b -6a b |,z=a +b
a>0,b>0,(a,b)=1,a+b≡1 (mod 2)
习题2.证明
4 2 2
x +y =z ,2|x.y>0,z>0,(x,y)=1
之解答为
4 4 4 4
x=2ab,y=|4a -b |,z=4a +b
(a,b)=1,a>0,b>0,2|/b,
2 2 2
习题3.证明不定方程x +(x+1) =y 之解为
1 2n+1 2n+1
x= ((1+√2) +(1-√2) -2)
4
1 2n+1 2n+1
y= ((1+√2) +(1-√2) -2)
2√2
且无其他解。
2 2 2
习题4.关于商高定理3 +4 =5 有次之推广：
2 2 2 2 2
10 +11 +12 =13 +14
一般言之，证明
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
(2n +n) +(2n +n+1) +...+(2n +2n) =(2n +2n+1) +...+(2n +3n)
习题5.求证下列诸曲线上有无穷个有理点：
2 2
(a)η (d-ξ)=ξ
2 2 2 2
(b)η(ξ +η )=d(η -ξ )
2 2
(c)ξ +η -3dξη=0
2 2 2 2
(d)(ξ -d ) -aη (2η+3d)=0
习题6.定出所有的三角形，其边及面积皆为有理数者。
2 2 2 2
习题7.研究不定方程x +y +z =w 之解
习题8.设整数a,b,c不同号，abc≠0，且abc无平方因子，则不定方程. 有不全为零的整数解的充要条件是：——bc是a的二次剩余，——ac是b的二次剩余，——ab是c的二次剩余
下面的内容可参见《数学通报》1963年3期，中国数学学会编辑，科学出版社1963年出版
2 2 2 2
商高定理与方程x +y +z =w
作者：嘤其
华罗庚《数论导引》中“商高定理”一节，见有方程
2 2 2 2
x +y +z =w (1)
习题一则，遂默思其解，得到了解法数种。现在写出来向同志们请教。
（一）
2 2 2
我们称方程x +y =z (2)
的解[x,y,z]为“商高数”。如有两组商高数，其一组之第三项（或其倍数）适与另一组之第一或第二项（或其倍数）相等，以第一组之前两项，代另一组之前两项中之一项，那么，就得到方程（1）的一组解。设两组商高数：
2 2 2
3 +4 =5 (Ⅰ)
2 2 2
5 +12 =13 (Ⅱ)
(Ⅰ)代入（Ⅱ）
2 2 2 2
3 +4 +12 =13
又，商高数
2 2 2
8 +15 =17 (Ⅲ)
(Ⅰ)*3
2 2 2
9 +12 =15 (Ⅳ)
(Ⅳ)代入（Ⅲ）
2 2 2 2
8 +9 +12 =17
如此等等。因商高数存在于无穷，则适合此项条件之商高组亦必无穷。从而可得(1)之无穷多组解。但是，这种方法还不理想，不仅遇阔，而且其w之解只限于商高数，不是其解之全部。如果把这一方法公式化，即由“商高数公式”：
2 2 2 2 2 2 2
(a -b ) +(2ab) =(a +b )
令
2 2 2 2
x =a -b ,y =2ab,z =a +b ,
1 1 1
2 2 2 2
x =d -c ,y =2cd,z =c +d ,
2 2 2
更令
x =x ,
1 2
得到
2 2 2 2
a +b +c =d
而要求a,b,c,d,就又回到原来的（1）了。因此，这一方法的弱点就十分显然了。
（二）
由两组商高数，即由方程（2）的任意两组解而求（1）的解，
还有另外的方法（注意，这里所说的商高数为互素数），
设有商高数[x ,y ,z ]和[x ,y ,z ]
1 1 1 2 2 2
2 2 2
x +y =z (Ⅰ)
1 1 1
2 2 2
x +y =z (Ⅱ)
2 2 2
(Ⅰ)、(Ⅱ)结合，可有
x +x y +y z +z
2 1 2 2 1 2 1 2 2
p +( ) +( ) =( ) (3)
2 2 2
这就是说，两组商高数之第三项和的1/2的平方，减去它们的前两项相对各项之和的1/2的平方和，其差仍是一个平方数。这样，由（3），就得到了（1）的解。
证：由商高公式，知
2 2 2 2
x =a -b ,y =2ab,z =a +b ,
1 1 1
2 2 2 2
x =d -c ,y =2cd,z =c +d ,
2 2 2
代入（3）
2 2 2 2 2 2 2 2
2 a -b +c -d 2 2ab+2cd 2 a +b +c +d 2
p +( ) +( ) =( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 a +b +c +d 2 a -b +c -d 2
p +(ab+cd) =( ) -( )
2 2
2 2 2 2 2 2
p +(ab+cd) =(a +c )(b +d )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
p +a b +2abcd+c d =a b +a d +b c +c d
2 2 2 2 2
p =a d -2abcd+b c
2
p =(ad-bc)
p=ad-bc
得所欲证。因商高数多至无穷，两两结合，得（1）之解亦无穷。
（三）
应用上节的方法，可直接得到（1）之一种特殊形式，即
2 2 2
x +2y =z (4)
的解。这只要由商高数的另一表示公式即可依法得到。
设商高数[x ,y ,z ]为（2）的一组解，则有下列恒等式：
1 1 1
2 2 2
[2(x +y +z )-x ] +[2(x +y +z )-y ] =[2(x +y +z )+z ] (5)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
以（5）配以原来的[x ,y ,z ]，以前法，可得
1 1 1
2 2 2
(x -y ) +2(x +y +z ) =(x +y +2z )
1 1 1 1 1 1 1 1
又因商高数各项都可以改为负值，所以，由等式（6）参以正负变换，可得（4）的所有解，也是（1）的无穷多组解，而且，由（6），我们预先不知商高数公式，只要由（2）的显然解：
2 2 2
1 +0 =1
依（5）变化，得到一组商高数；从而再由（5）得所有之商高数。同时，由这一显然解，因为它的前两项之差为1，循（5）变化，不用负值，则其所得之商高数之前两项之差必恒为1；于是又可由（5）、（6）得到（1）的一种更加特殊的形式，即
2 2 2 2 2
1+2y =z ,或 x -2y =1 (7)
的解。还有，如果我们已知方程
2 2 2
x +2y =z (4)
的一组解[x ,y ,z ],那么，还可由下列公式
1 1 1
2 2 2
(2y +x ) +2(x +y +z ) =(x +2y +2z ) (8)
1 1 1 1 1 1 1 1
求得（4）的其余解。上述方法还可继续推演，即由（4）和（8），进行类似（3）的运算，可得到
x +2y +z x +2y +3z
2 1 1 1 2 1 1 1 2
(x -y ) +3( ) =( ) (9)
2 2
即方程
2 2
x +3y =z (9`)
的解法公式。如果其首项x -y =±1,就又得到方程
1 1
2 2 2
x -3y =1 (9) 的解法。这同样可由（4）的显然解 2 2 2 1 +2*0 =1 (10) 依（8）变化，得（7）之各解，然后得到（9)的解。现仅将所得之几个有关公式录后，供参考。由方程
2 2 2
x +y =z (2)
的解[x ,y ,z ]可得方程
0 0 0
2 2 2
x +dy =z (11)
的解法公式。这些公式主要有
一、
2 2 2
[(n+1)x +nx ] +(2n+1)y =[nx +(n+1)z ]
0 0 0 0 0
二、
2 2 2
[(1-n)x +2y +(2-n)z ] +(2n+1)(2x +y +2z ) =[(2+n)x +2y +(3+n)z ]
0 0 0 0 0 0 0 0 0
三、
2 2 2
[nx +(n-1)z -y ] +2n(x +y +z ) =[nx +y +(n+1)z ]
0 0 0 0 0 0 0 0 0
四、
2 2 2
[4-n)x +3y +(5-n)z ] +2n(3x +y +3z ) =[(4+n)x +3y +(5+n)z ]
0 0 0 0 0 0 0 0 0
以上各式中之n为任意整数，一、二结合得三；三、四结合得一。
另由（11）之解[x ,y ,z ],可得 0 0 0
z ±(x +dy ) (d+1)z ±(x +dy )
0 0 0 2 0 0 0 2
(x -y ) +(d+1)[ ] =[ ] 0 0 d d
（四）
大家知道，“商高公式”
2 2 2 2 2
(a -b )+(2ab) =(a +b )
可以求得所有之商高数。现举另一公式，再收同样之效果。设[x ,y ,z ]为方程
2 2 2
2 2 2
x +y =z (2)
的一组解，则可由下式得其余解，即
2 2
2mp(x +mp) 2mp(x +mp)
2 1 2 1 2
(x +2mp) +[y + ] =[x + ] (12)
1 1 z -y z -y
1 1 1 1
式中m为任意整数，p为使式中之分数部分消去分母之最小整数。
证：已知
2 2 2
x +y =z
1 1 1
则,
2
2mp(x +mp)
2 1 2 2 2 2 2
(x +2mp) +[y + ] =x +4mpx+4m p +y +
1 1 z -y 1 1
1 1
2
4mp(x +mp)y 2mp(x +mp)
1 1 1 2
+ +[ ]
z -y z -y
1 1 1 1
4mp(x +mp)y 2mp(x +mp)
2 2 1 1 1 2
=x +y +4mp(x +mp)+ +[ ]
1 1 1 z -y z -y
1 1 1 1
y 2mp(x +mp)
2 2 1 1 2
=x +y +4mp(x +mp)+ +[ ]
1 1 1 z -y z -y
1 1 1 1
2mp(x +mp)
2 1 2
=[x + ]
1 z -y
1 1
这样，就可从方程（2）的显然解：
x =1,y =0,z =1
1 1 1
x =0,y =-1,z =1
1 1 1
代入（12）得到商高数，再以所得之商高数再代入（12）之相对项，从而得到所有商高数。设
x =1,y =0,z =1
1 1 1
代入（12），得
2 2 2
(1+2m) +[2m(1+m)] =[1+20(1+m)]
m=1,2,3,...
故得,
2 2 2
3 +4 =5
2 2 2
5 +12 =13
2 2 2
7 +24 =25
.............
2 2 2 2 2 2
证：已知公式(a -b ) +(2ab) =(a +b ) 可以得到所有之商高数。今令
2 2 2 2
x =a -b ,y =2ab,z =a +b
1 1 1
代入（12）
2 2 2 2
2 2 2 2mp(a -b +mp) 2 2 2 2mp(a -b +mp) 2
(a -b +2mp) +[2ab+ ] =[a +b + ]
1 1 2 2 2 2
a +b -2ab a +b -2ab
由观察，知P=a-b
则有,
2 2 2 2 2 2 2
[a -b +2m(a-b)] +[2ab+2m(a+b+m)] =[a +b +2m(a+b+m)]
2 2 2 2 2 2 2 2
(a -b +2ma-2mb) +(2ab+2ma+2mb+2m ) =(a +b +2ma+2mb+2m )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
(a +2ma+m -b -2mb-m ) +[2a(b+m)+2m(b+m)] =(a +2ma+m +b +2mb+m )
2 2 2 2 2 2 2
[(a+m) -(b+m) ] +[2(a+m)(b+m)] =[(a+m) +(b+m) ]
很显然，这只是原商高数公式中之a和b同时加以同数（依m变化）时的情况；也就是说，与原公式并无二数。再如，令
2 2 2 2
x =2ab,y =a -b ,z =a +b
1 1 1
代入（12），仿上变化，便得到
2 2 2 2 2 2 2
[2(a+m)b] +[(a+m) -b ] =[(a+m) +b ]
这是原公式单独变化a的值（依m变化）时的情形，如令
2 2 2 2
x =2ab,y =-(a -b ),z =a +b
1 1 1
那么，所得的公式，就是原公式单独变化b值时的情形。这样就证明了公式（12）同原商高数公式具有同等效用。举出公式（12），目的是为了应用它来解（1）。显然，如果我们已经预知了（1）的一组解，令其首项不变，其余三项仿（12）改变，就可得到（1）的其他解。这（1）的一组解是不难预知的。试想，它的一组显然解：
2 2 2 2
1 +0 +0 =1
及商高数前二项之间加以一项0，如
2 2 2 2
x +0 +(-y ) =z
1 1 1
2 2 2 2
y +0 +(-x) =z
1 1 1
2 2 2 2
y +0 +x =z
1 1 1
2 2 2 2
y +x +0 =z
1 1 1
等等，都可作为（1）之初步解，从而得到（1）之所有解。
也就是说：已知[x ,y ,z ,w ]为（1）之一组解，仿（12）改变：
1 1 1 1
2
2mp(x +mp) 2mp(x +mp)
2 2 1 1 2
x +(y +2mp) +[z + ] =[w + ]
1 1 w -z 1 w -z
1 1 1 1
由p去分母，改变m的值，得到无穷（1）之解。又将[x ,y ,z ]更换位置，
1 1 1
并参以负值，代入（13），又得无穷多解。总括；屡次所得结果，便得到（1）之所有解。此外，在运算中，无意中还得到了一项恒等式，即
2 2 2 2 2 2 2 2
(ab) +(a +ab) +(ab+b ) =(a +ab+b ) (14)
以此（14）同（13）结合，便成了（1）之优良公式。
再有，由本节提供的方法，我们还可得到方程
2 2 2 2 2
x +x +...+x +x =x (15)
1 2 n-1 n n+1
的解法。而且，前述方程（11），即
2 2 2
x +dy =z
也可由本节方法稍事扩张，得其一法。设[x ,y ,z ]为（11）的一组解，则可由公式
1 1 1
2dp(y +mp) 2dmp(y +mp)
2 1 2 1 2
d(y +2mp) +[x + ] =[z + ]
1 1 z -x 1 z -x
1 1 1 1
得到无穷多解。
第五部分 商高公式模拟计算电路
上面电路表示
2 2 2 2
dσ +ds =c dt
设dσ=x,ds=y,√cdt=z，
2 2 2
x +y =z
电源x,y,z分别输出x,y,z电压值，这个电压值就是方程x,y,z的数值。用模拟乘法器加法器按照上面的等式组成电路。调节电压值x,yz,,电阻R1,R2,使两个电压表V1和V2的读数相等。这时电压x,y,z的数值就是方程的解。
可以按照下面的等式组成电路计算x,y,z,的取值。
一、
2 2 2
[(n+1)x +nx ] +(2n+1)y =[nx +(n+1)z ]
0 0 0 0 0
二、
2 2 2
[(1-n)x +2y +(2-n)z ] +(2n+1)(2x +y +2z ) =[(2+n)x +2y +(3+n)z ]
0 0 0 0 0 0 0 0 0
三、
2 2 2
[nx +(n-1)z -y ] +2n(x +y +z ) =[nx +y +(n+1)z ]
0 0 0 0 0 0 0 0 0
四、
2 2 2
[4-n)x +3y +(5-n)z ] +2n(3x +y +3z ) =[(4+n)x +3y +(5+n)z ]
0 0 0 0 0 0 0 0 0
以上各式中之n为任意整数，一、二结合得三；三、四结合得一。
另由（11）之解[x ,y ,z ],可得 0 0 0
z ±(x +dy ) (d+1)z ±(x +dy )
2 0 0 0 2 0 0 0 2
(x -y ) +(d+1)[ ] =[ ] 0 0 d d 设[x ,y ,z ]为方程 2 2 2
2 2 2
x +y =z (2)
的一组解，则可由下式得其余解，即
2 2
2mp(x +mp) 2mp(x +mp)
2 1 2 1 2
(x +2mp) +[y + ] =[x + ] (12)
1 1 z -y z -y
1 1 1 1
式中m为任意整数，p为使式中之分数部分消去分母之最小整数。
在两个金箔之间通上几十亿伏特几十亿安培的高压直流电例，两个金箔放在充满氮气的水晶球里面。用高频开关控制电流的方向，让电流方向不断发生改变，不断改变金箔上面的电极的正负性，一会让这个金箔带正电，一会让这个金箔带负电，高电压使两个金箔之间的氮气被击穿释放激光，电子一会从这个金箔流向流向另外一个金箔，一会从另外一个金箔流向这个金箔。不同运动方向的电子在金箔中间发生碰撞，产生弱相互作用，吸引暗物质，产生激光，激光吸引暗能量，这些暗物质和暗能量就会产生虫洞。按照x的取值选取电压值，不断改变电流的方向，使电压等于x的数值，就会形成暗能量，这个暗能量就会形成虫洞。
第六部分 陈景润定理
下面的内容可参见《纯粹数学与应用数学专著》第7号《哥德巴赫猜想》，潘承洞，潘承彪著，科学出版社1981年出版。 符号说明 现将全书常用符号说明如下： 1.a,b,h,l,m,n,q等表示整数； p,p`,p ,p ,...等表示素数。 1 1
2.c,c ,c ,...表示正常数。除第十一章外，
1 2
每一章中的正常数c ,c ,c ,...均按在该章中出现先后的次序各自编号。
1 2 3
2πiz
3.e(z)=e
k k k+1
4.a|b:a整除b;a|/b:a不能整除b;p ||a;p |a但p |/a。
5.(a,b,c,...,l):a,b,c,...,l的最大公约数；[a,b,c,...,l]:a,b,c,...,l的最小公倍数。
6.a≡b(q):q|(a-b)。
7.[x]:不超过x的最大整数；{x}=x-[x];=min({x},1-{x})
8.Χ(n),Χ (n),Χ(n)mod q:均表示模q的Dirichiet特征函数，有时可省去n不写。
q
q q
9. ∑ ∑
h=1 h=1
. (h,q)=1
-
∑ :对模q的所有特征求和，有时q可省去不写。
X q -
∑ :对模q的所有原特征求和，有时q可省去不写。
X q
* * *
12.Χ ←→Χ *，Χmod q←→Χ mod q ,Χ←→Χ : q q-
*
-
均表示X 为对应于X的原特征，X为由原特征X 所导出的特性，见第一章1（6），（6`)
13.Gauss和：
q mh
G (m)= ∑ Χ(h)e( )
X h=1 q
特别的，
τ(X)=G (1)
X
14.Ramanujan和：
C (m)=G (m),
q 0
X
q
0
X 为模q的主特征。
q
1
15.Euler函数φ(n)=n ∏ (1- )
p|n p
16.v (n):n的不同的素因子的个数；v (n):n的所有的素因子的个数(按重数计算)；
1 2
17.Mobius函数
v (n)
1
(-1) ,n无平方因子；
μ(n)={
0.其他
18.除数函数d(n):d(n)等于n的所有正除数的个数。
19.Mangoldt函数
k
log p,n=p ,p是素数；
A(n)={
0.其他
20.RH:Ricmann假设：GRH:广义Riemann假设。见第四章。
*
21.N(α,T),N(α,T,X),N(α,T,q),N (α,T,Q)等的定义见第四章(1),(3),(4),(5)。
22.π(x)= ∑ 1 p≤x
ψ(x)= ∑ A(n)
n≤x
23.π(x;q.l)= ∑ 1
p≤x
p≡l(q)
ψ(x;q.l)= ∑ A(n)
n≤x
n≡l(q)
24.π(x;a,q,l)= ∑ 1 ap≤x ap≡l(q)
25.S(α,x)= ∑ e(αp); p≤x
(1)
S (α,x)= ∑ e(αp)log p;
p≤x
(2)
S (α,x)= ∑ e(αp)A(n);
n≤x
26.ψ(x,X)= ∑ A(n)X(n)
n≤x
27..命题{a,b}:每一个大偶数可以表为一个不超过a个素因子的乘积及一个不超过b个素因子的乘积之和。
28.设A>0,符号B=O(A)或B<<A,均表示存在一个正常数c,使|B|≤cA, 在一些问题中，常数c可能依赖于某些参数，则将它们标注在符号“O”或“<<”的右下方，或另加说明；当这些参数不重要时，则不具体指出。
注释：exp()表示自然常数e的指数函数。
即
f(x)
exp(f(x))=e
log ξ log ξ/log log ξ
exp( )=e
log log ξ
注释：欧拉常数的推导可参见高等教育出版社苏联菲赫金哥尔茨著1953年版《微积分教程》第二卷第二分册，358例
欧拉常数的数值如下：
C=0.57721566490...*π=0.57721566490...*3.1415926=1.813376
第七章 SELBERG筛法 筛法1)是研究关于偶数的Goldbach猜想的一个最重要并得到了最好结果的方法。本章的内容仅是为了在第九章中证明陈景润关于大偶数理论的二个重要定理作准备。我们所需要的是关于线性筛法的上界和下界估计，至今这方面的最好结果是由W.B.Jurkat和H.E.Richert[58]利用A.Selberg的上界筛法所得到的。 注释1):本章讨论的筛法通常亦称为小筛法，参看第二章2. [58]Jurkat,W.B,Richert,H.E.,An improvemient of Selberg`s sieve method I,Acta,Arith.,11(1965),217-240 本章的目的就是为了证明这一Jurat-Richert定理。 由于筛法，特别是Selberg筛法，是数论中最强有力的方法之一，有着极为广泛的应用，所以我们将对此作较为详细的介绍。虽然这里所需要的只是线性的情况，但在不致使叙述更为复杂时，我们将尽量作较一般的讨论。关于筛法，它的发展历史及其广泛而富有成果的应用，已在H.Halberstam 和H.E.Richert合著的“Sieve Methods"一书中作了很好的叙述及全面的总结，该书还附有十分详尽的文献。我们这里的内容及所用的符号基本上取于该书。 1.筛函数 设A是一由有限个整数组成的集合（元素可重复），P是一由无限多个素数组成的集合（元素不重复），以P表示所有不属于P的素数组成的集合，再设z≥2是任一实数，并令
P(z)= ∏ p (1)
P<z
p∈P
我们定义函数
S(A;P,z)= ∑ 1 (2)
a∈A
(a,P(z))=1
显然，筛函数S(A;[,z)是表示集合，A中没有小于z且属于P的素因子的元素个数，亦即是表示从集合，A中筛去所有具有小于z且属于P的素因子的元素后所剩下的元素个数。容易看出，它有下述简单性质： （i)S(A;P,2)=|A|;1) (ii)S(A;P,z)≥0; (iii)S(A;P,z )≥S(A;P,z ),2≤z ≤z ; 1 2 1 2 利用Mobius函数，还可以得到
(iv)S(A;P,z)= ∑ ∑ μ(d) a∈A d|(a,P(z))
= ∑ μ(d)|A | (3)
d|P(z) d
注释:1)对一个有限集合μ，我们总以|μ|表示它的元素个数。 v (n) 1 (-1) ,n无平方因子； μ(n)={ 0.其他 其中A 表示集合A中所有能被d整除的元素所组成的子集合。 d 对于筛函数有下面重要的Бухщтаб恒等式成立。 引理1：对于任意的2≤w≤z，我们有
S(A;P,z)=S(A;P,w)- ∑ S(A ;P,p) (4)
w≤p<z p
p∈P
证：把P中所有素数按递增次序排列
p <p <...<p <p <...
1 2 k k+1
我们有
S(A;P,p )= ∑ 1
. k a∈A
(a,P(p ))=1
k
= ∑ 1+ ∑
a∈A a∈A
(a,P(p ))=1,p |/a (a,P(p ))=1,p |/a
k k k k
=S(A;P,p )+S(A ;P, )
k+1 p k
k
由此容易推出，对任意的1≤k ≤k 有 1 2
S(A;P,p )=S(A;P,p )- ∑ S(A ;P,p) k k p ≤p≤p p k k 1 2 p∈P 假定p =1，则对任意的2≤w≤z,必有1≤k ≤k ;使 0 1 2
p <w≤p ,p <z≤p k -1 k k -1 k 1 1 2 2 显然我们有 S(A;P,w)=S(A;P,p ) k 1
S(A;P,z)=S(A;P,p )
k
2
综合以上各式即得(4)式，证毕。 筛法的基本问题是估计筛函数S(A;P,z)的上界和正的下界(如果存在的话)。 Бухщтаб恒等式的重要性就在于它使我们可以从S(A;P,w)的上界（下界）估计以及所有的S(A ;P,p)(w≤p<z,p∈P)的下界（上界）估计来得到S(A;P,z)的上界（下界）估计。 d 如果对于给定集合A及P我们适当选取一个正数X>1, 及一个非负可乘函数
ω(d),μ(d)≠0,(d, P )=1. 1）
并设
ω(d)
r =|A |- X
d
这样做的目的是希望能用
ω(d)
X
d
来近似代替|A |，
d
以实现对筛函数的估计。这当然要求误差项r 尽可能地小（在某种平均意义上）。
d
实质上，这就是要求集合A中的元素分布是比较“均匀”的。如何选取最好的X和ω(d), 这主要由所讨论的具体集合A的性质来决定。下面举例说明。
例1：设(l,k)=1,x>k≥1
A={a:a≤x,a≡l(k)},P={p;p|/k},
由于,
A ={b:b≤x/d,db≡l(k)}
d
故从一个同余方程解的性质可知，可选取
x
X=
k
ω(d)=1,μ(d)≠0,(d, P )=(d,k)=1
且有
x
r =|A |- ,|r |≤1,μ(d)≠0,(d,k)=1
d d k d
例2，设N为偶数
A={a:a=N-p,p≤N},
P={p:p|/N}
由于,
A ={p:p≡N(d),p≤N},
d
故由算术级数中素数分布性质知，可取
X=Li N,
d
r =π(N;d,n)- Li N=E (N;d,N), ,μ(d)≠0,(d,N)=1
d ω(d) 0
例3，设N为偶数，E为一正整数集合1），且满足条件(N,E)=1,
A={a:a=N-cp,e∈E,ep≤N}, P={p:p|/N}
1)注释：集合E和N有关，它的元素亦可以重复。
由于,
A ={p:ep≡N(d),e∈E,ep≤N},
d
故由一次同余方程的解及算术级数中素数分布性知，可选取
N
X= ∑ Li
e∈E e
d
ω(d)= ,μ(d)≠0,(d,N)=1
φ(d)
且有 d N r = ∑ ( ∑ 1- Li ) d e∈E ep≤N φ(d) e ep≡N(d)
d N 1 N
= ∑ ( ∑ 1- Li )- ∑ Li
e∈E ep≤N φ(d) e φ(d) e∈E e
(e,d)=1 ep≡N(d) (e,d)>1
d N
= ∑ ( ∑ E (N;e,d,N)- Li ) ,μ(d)≠0,(d,N)=1
e∈E ep≤N 0 φ(d) e
(e,d)=1 ep≡N(d)
例4，设N为偶数
A={a:a=n(N-n),n≤N},P={p:p|/N}
由于
A ={n:n(N-n)≡O(d),e∈E,n≤N},
d
从同余方程n(N-n)≡O(d)的解数p(d)是d的可乘函数且
2,p|/N,
ρ(p)={
1,p|/N,
可知，可以取X=N,
v (d)
1
ω(d)=2 ,μ(d)≠0,(d,N)=1
且有
v (d)
1 v (d)
2 1
r =|A |- N, |r |≤2 ,μ(d)≠0,(d,N)=1
d d d d
在以后，除了考虑集合A和P外，还需要同时讨论集合
A(q)=A ,
{ q
P(q)={p:p∈P,p|/q}, (5)
μ(d)≠0,(q, P )=1
如果对应于集合A和P，我们选取了X及ω(d), 那么相对应于每一对集合A(q)P(q),X(q)和ω(d,q)可取为
ω(q)
X(q)= , X
{ q
ω(d,q)=ω(d),μ(qd)≠0,(qd, P )=1 (6)
且有 ω(q) r (q)=|A (q)|- X(q) d d d
ω(d,q)
=|A |- , X=r ,μ(qd)≠0,(qd, P )=1 (7)
qd d qd
最后，利用所选取的X及ω(d)，我们来看一下估计筛函数的困难。从(3)式我们有
ω(d,q)
S(A;P,z)= ∑ μ(d) X+ ∑ μ(d)r
d|P(z) d d|P(z) d
ω(p)
=X ∏ (1- )+θ ∑ μ(d)r ，|θ|≤1
p<z p d|P(z) d
p∈P
但是我们知道，当z相对于X并不是很大时，余项的项数 ∑ 1 d|P(z) 即P(z)的除数个数就可能很大，例如取 P(z)= ∏ p p<z 则当z>log X时，余项的项数就超过了X，这样就不可能由此得到有用的估计。这种方法仅当z相对于X很小时才有效（例如z<<log log X)，这就是所谓Eratosthenes筛法。
这种筛法在理论上是没有用处的，因为对于数论问题，所需要的正是z相对于X为较大时
b
的情形（例如，z=x ,0<b<1)。V.Brun和A.Selberg先后对这种筛法作了重要改进，它们的共同点是设法控制余项的项数，使从余项所得的估计相对于主项来说可以忽略不计，同时也要使主项得到尽可能好的估计。Brun筛法的思想是十分深刻的，可能仍有进一步研究的价值。Selberg筛法应用方便，并总是得到了比Brun筛法更好的结果。
这一节中所引进的符号;A,P,z,P(z),X,ω(d),r 等，以后要经常使用， d 它们的定义及所满足的条件到时就不作一一说明。
2.最简单的Selberg上界筛法
A.Selberg利用求二次型极值的方法，给出了筛函数S(A:P,s)的上界估计。为了简单起见，本节及4，6（3除外）中都假定ω(d)满足条件
ω(p) 1
0< ≤1- ,(p, P )=1 (8)
p L
1
其中L 为大于1的常数，1中所举的四个例子均满足这个条件。
1
事实上只要适当选取集合P,我们总是可以做到这一点的。
设ξ≥2，λ ,d|P(z)，是满足条件
d
λ =1,
{ 1 (9)
λ =0,d≥ξ,
d
的任意一组实数，这样，我们就有
2
S(A;P,z)≤ ∑ ( ∑ λ )
a∈A d|(a,P(z))
= ∑ λ λ ( ∑ 1 )
d |P(z) d d a∈A
i 1 2 [d ,d ]|a
i=1,2 1 2
=X∑ +∑ , (10)
1 2
其中
ω([d ,d ])
1 2
∑ = ∑ λ λ (11)
1 d |P(z) d d [d ,d ]
i=1,2 1 2 1 2
∑ = ∑ λ λ r (12)
1 d |P(z) d d [d ,d ]
i=1,2 1 2 1 2
我们把X∑ 称为主项，∑ 称为余项。由于当d≥ξ时λ =0， 1 2 d
2
所以余项∑ 的项数不超过ξ 。这样，通过对参数ξ的选择就可以控制余项的阶，
2
使其低于主项的阶而可略去。同时我们要选择一组满足所述条件的λ 使∑ 最小而得到
d 1
一个尽可能好的上界估计。
3.函数G (ξ,z)和G (z)
1 1
本书将在ω(p)满足一定的条件下，导出G (ξ,z)的一个下界估计，以及G (z)的渐进公式，
1 1
根据(21)式：
G (ξ,z)= ∑ g(d)
1 d|P(z)
d<ξ
G (z)=G (z,z)= ∑ g(d)
1 1 d|P(z)
d<ξ
以后，经常要应用熟知的Mertens的三个素数公式，
现列出如下（可参看[43,定理425，427，428],[51,第五章9[或[24],[92]):
log p z
∑ =log +O(1), 2≤w<z (29)
w≤p<z p w
1 logz 1
∑ =log +O( ), 2≤w<z (30)
w≤p<z p logw logw
-r
1 e 1
V(z)= ∏(1- )= +O( ), 2≤z (31)
p<z p logz 2
log z
其中γ为Euler常数。在本节中，为了方便起见，当p ∈ P 时，定义ω(p)=0,
这样，我们就把1中的可乘函数ω(d)（通过（13）也相应地把2中的可乘函数g(d)）的定义域扩大到了所有的d, μ(d)≠0上，但这时原来假定的ω(d)要满足的条件(8), 就相应的变为对所有的p满足：
ω(p) 1
0≤ ≤1- (32)
p L
1
(8)式中假定ω(p)/p>0是为了保证g(l)>0,这一点主要是在推导(19)式时所必需用到的。
在本节中，仅是为了研究G (ξ,z)及G (z),就并不必需有这样的条件，
1 1
而且在作出了这样的推广后，它们的值仍保持不变，因而也允许作这样的推广。显然，作了这样的推广后，在本节后，集合P就是由所有素数所组成的集合，而
P(x)= ∏ p
p<z
在本节中，我们还要求ω(d)满足条件：
ω(p)log p z
| ∑ -klog | ≤L ,2≤w≤z, (33)
w≤p<z p w 2
其中k,L 为二个正常数。由（29）式可以看出这条件表示：
2
平均起来说ω(p)是等于k。简单的来说，当k=1时，我们称其是线性的，估计相应于这种情形的筛函数的上界及下界的筛法，就称为线性筛法。显见1的例1-3都是线性的，而例4有k=2，就不是线性的了。在一般情形下，由条件(33)仅能推得很弱的结果，
L
ω(p) 2
≤ (34)
p logp
5.函数F(u)和f(u)
这一节我们将讨论满足方程
γ
2e
F(u)= ,f(u)=0,1≤u≤2, (47)
u
{ (uF(u))=f(u-1),(uf(u))=F(u-1), u>2 (48)
注释：(uF(u))`表示函数uF(u)的导数。的一对连续函数F(u)和f(u)，其中γ为欧拉常数。
注释：欧拉常数的推导可参见高等教育出版社苏联菲赫金哥尔茨著1953年版《微积分教程》第二卷第二分册，358例。C=0.57721566490...*π=0.57721566490...*3.1415926=1.813376,
由(48)式及函数的连续性直接推得
u
uF(u)=u F(u )+ ∫ f(t-1)dt, 2≤u ≤u , (49)
1 1 u 1
1
{ u
uF(u)=u f(u )+ ∫ F(t-1)dt, 2≤u ≤u , (50)
1 1 u 1
1
利用这两个公式及函数的初值条件(47)式，我们就可以逐段求出F(u)及f(u)的具体表达式。
例如，我们不难得到
γ
2e
F(u)= ,1≤u≤3, (51)
u
γ log(u-1)
f(u)=2e ,2≤u≤4, (52) u
γ
2e u-1 log(t-1)
F(u)= (1+∫ dt), 3≤u≤5, (53) u 2 t
γ
2e u-1 dt t-1 log(s-1)
f(u)= (log(u-1)+∫ ∫ ds), 4≤u≤6, (54)
u 2 t 3 s
等等。此外，容易看出，F(u)是连续可微函数，而f(u)除了u=2外连续可微，在u=2处有左右导数存在，且
γ
f(2+0)=0,f(2+0)=e
更进一步，我们从逐段求出F(u)及f(u)的表达式的过程可以看出，F(u)和f(u)都是逐段解析的。为了进一步研究F(u)和f(u)的性质，需要引进一对新的函数：
1 γ
w(u)= e (F(u)+f(u)), (55)
2
1 γ
ρ(u)= e u(F(u)-f(u)), (56) 2 容易验证w(u)和ρ(u)分别为满足下述方程的连续函数：
1
w(u)= , 1≤u≤2, (57)
u
{
(uw(u))=w(u-1), u>2, 和 ρ(u)=1, , 1≤u≤2, { (u-1)ρ(u)=-ρ(u-1), u>2, (58)
显然，w(u)和ρ(u)均为除了u=2外的连续可微函数，且有.
w(2-0)=-1/4, w(2+0)=1/4, ρ(2-0)=0, ρ(2+0)=-1,
定理9 当条件(8),(33)(x=1)成立时，对2≤z≤ξ有
2 v (d)
log ξ 1 1
S(A;P,z)≤XW(z){F( )+O( )}+ ∑ 3 |r |, (68)
log z 1/14 d|p(z) d
(log ξ) 2
d<ξ
2 v (d)
log ξ 1 1
S(A;P,z)≥XW(z){f( )+O( )}+ ∑ 3 |r |, (69)
log z 1/14 d|p(z) d
(log ξ) 2
d<ξ
28.设A>0,符号B=O(A)或B<<A,均表示存在一个正常数c,使|B|≤cA, 在一些问题中，常数c可能依赖于某些参数，则将它们标注在符号“O”或“<<”的右下方，或另加说明；当这些参数不重要时，则不具体指出。其中F和f为5中定义函数。
证：当ξ有界时，由定理7及F(u),f(u),(u≥1)的有界性知(68),(69)式显然成立，所以我们可假定。
ξ>c , (70)
7
c 为一充分大的待定常数，其次，当ξ充分大及
7
log ξ
log z≤
log log ξ
时，由于有(61),(62)式成立，故从定理7亦可推出（68），（69）式成立。因而我们还可以假定
log ξ
exp( )≤z≤ξ (71)
log log ξ
注释：exp()表示自然常数e的指数函数。
即
f(x)
exp(f(x))=e
log ξ log ξ/log log ξ
exp( )=e
log log ξ
现在我们要在条件(70),(71)下利用引理14，引理16从定理6及定理7来证明（68）及（69）式。为此取
7/10
z =exp(log ξ) (72)
1
当(70,(71)式成立时，必有
2≤z ≤z≤ξ (73)
1
再取自然数M满足条件
3/10 3/10
2(log ξ) 3 3(log ξ)
≤ ≤ (74)
log log ξ 2 log log ξ
下面我们将使用引理14及引理16中的符号，并不再作一一说明。
当p <ξ (i=1,2,...,M)时，有
i i
2 2 2 2
ξ =ξ /p >ξ /ξ ,(i=1,...,M)
i i-1 i i-1 i
(ξ =ξ),所以
0
2
log ξ > log ξ (i=1,2,...,M)
i 3 i-1
即
2
log ξ >( )log ξ (i=1,2,...,M) i 3 利用(74)式的右半不等式，由此及（72）式可得 log ξ i 3 3/10 1 3 M-i >( )(log ξ) ≥ ( ) log log ξ ,(i=1,2,...,M) (75)
log z 2 3 2
1
要注意的是以上三式仅在满足条件p <ξ (i=1,...,M)时才能成立。
i i
利用引理16的符号φ (u)，显然我们只要证明
L
2 v (d)
L+1 log ξ XW(z) 1
(-1) {S(A;z)-XW(z)φ ( )} ≤O( )+ ∑ 3 |r | (76)
1 log z 1/14 d|P(z) d
(log ξ) 2
d<ξ
就同时证明了（68）及（69）式。由引理14，引理16我们可得
L+1 log ξ
(-1) {S(A;z)-XW(z)φ ( )}
1 log z
2
L+1 log ξ
=(-1) {S(A;z )-XW(z )φ ( )} 1 1 1 log z 1 2 ω(p ...p ) log ξ M-1 L+1 (i) 1 i L
-
∑ (-1) ∑ {S(A ;z )- XW(z .)φ ( )} i=1 (i,z ,z,ξ) 1 p ...p 1 L+1 log z
1 1 1 i 12 ω(p ...p ) log ξL+M (M) 1 M M
-(-1) ∑ {S(A ;p )- XW(p .)φ ( )} (M,z ,z,ξ) M p ...p 1 L+M logp
1 1 1 M M2 ω(p ...p ) log ξ
M-1 L+1 (i) 1 i i
-
∑ (-1) ∑ {S(A ;p )- XW(p .)φ ( )} i=1 (i,z ,z,ξ) i p ...p 1 L+i log p
1 2 1 i i2 log z
+O(zW(z) )}
3
log z
1
2
log z
=I +I +I +I +O(zW(z) )} (77)
0 1 2 3 3
log z
1
我们将用定理2来估计I ,I 及I ，对I 的估计则用定理6.
0 1 2 3
在应用这些定理时我们要注意利用(5),(6)及(7)式。此外，为了便于计算，定理7的主项中的误差项O(exp(-τlogτ)) 将用O(exp(-2τ)) 来代替,
（1）I 的估计：由定理7及
a
-u
φ (u)=1+O(e ), u≥1
L
可得
2
log ξ
I ≤O(XW(z )exp(-2 ))+R(I )
0 1 log z 0
1
v (d)
1
R(I )= ∑ 3 |r | (78)
0 d|P(z ) d
1
2
d<ξ
由此及推论3(k=1),(72)式，z≤ξ，可得
log z log ξ
I ≤O(XW(z) exp(-2 ))+R(I )
0 log z log z 0
1 1
3/10 3/10
=O(XW(z)log ξexp(-2log ξ))+R(I )
0
XW(z)
+O( )+R(I ) (79)
7/10 0
(log ξ)
(2)I 的估计：由于这里的求和范围(i;z ,z,ξ) 满足条件z <ξ ，
1 1 1 1 i
所以我们可利用定理7来估计其中每一项
ω(p ...p ) log ξ
[i] 1 i i
S(A ;z )- XW(z )φ ( )
i p ...p 1 L+i log z
1 i 1
[i]
这时定理7中的A,ξ,z分别以A ,ξ ,z 来代替。由定理7，
i 1
-u
φ (u)=1+O(e ),u≥1,
1
并注意到（5），（6），（7）式可得
ω(p ...p ) log ξ
M-1 1 i i
I ≤O( ∑ ∑ XW(z .)exp( ))+R(I )
1 i=1 (i,z ,z,ξ) p ...p 1 log z 1
1 2 1 i
v (d)
M-1 1
R(I )= ∑ ∑ ∑ 3 |r | (80)
1 i=1 (i,z ,z,ξ) d|P(z ) d
1 2 1 p ...p
2 1 i
d<ξ
1
由此及推论3(k=1),(75)式，1≤i≤M-1，引理5(k=1),z≤ξ,(72)式得
logz 1 1 ω(p) i
I ≤O(XW(z) ∑ ( ∑ ) ) +R(I )
0 i=1 logz log ξ i z ≤p<z p 1
1
2
log z 1
=O(XW(z) ))+R(I )
2 log ξ 1
log z
1
XW(z)
=O( )+R(I ) (81)
4/10 1
(log ξ)
(3)I 的估计：这里需要利用引理13，比I 的估计要复杂。
2 1
同样，由于这里的求和范围(M;z ,z,ξ) 满足条件p <ξ ，
1 1 M M
故亦可利用定理7来估计其中每一项
2
ω(p ...p ) log ξ
[M] 1 M M
S(A ;p )- XW(p )φ ( )
M p ...p M L+M log p
1 M M
(M)
这时定理7中的A,E,z分别以A ,ξ ,p 来代替，这样由定理7，
M M
-u
φ (u)=1+O(e ),u≥1,
1
并注意到(5),(6),(7)式可得
ω(p ...p ) log ξ
1 M M
I ≤O( ∑ XW(p .)exp(-2 ))+R(I )
2 (M,z ,z,ξ) p ...p 1 log p 2
1 1 1 M M
v (d)
1
R(I )= ∑ ∑ 3 |r | (82)
2 (M,z ,z,ξ) d|P(p ) d
1 1 M p ...p
2 1 M
d<ξ
M
2 2
利用ξ =ξ /p 有
M M-1 M
2
ω(p ...p ) log ξ
1 M M-1
I ≤O( ∑ XW(p .)exp(-2 ))+R(I )
2 (M,z ,z,ξ) p ...p M log p 2
1 1 1 M M
我们来考虑“O”项中的和式
2
ω(p ...p ) log ξ
1 M M-1
△= ∑ XW(p .)exp(- ))
(M,z ,z,ξ) p ...p M log p
1 1 1 M M
2 2
ω(p ...p ) ω(p ) log ξ
1 M-1 M M-1
= ∑ ∑ *W(p )exp(- )
(M,z ,z,ξ) p ...p x ≤p <p p log p
1 1 1 M-1 1 M M-1 M M
p <ξ
M M
由于这里的求和范围满足条件：
p <ξ ，p <ξ
M-1 M-1 M M
2/3
以及由条件p <ξ 可推出p <ξ ,所以我们可对上式右边的内层和应用引理13
M M M M-1
2
（取D=z ,A=ξ ,B=p 及α=1/3.这时
1 M-1 M-1
2/3
这时C=min(p .ξ )),得到
M-1 M-1
2
ω(p ) log ξ
M M-1
∑ W(p .)exp(- )
x ≤p <p p M log p
1 M M-1 M M
p <ξ
M M
2
ω(p ) log ξ
M M-1
≤ ∑ W(p .)exp(- )
x ≤p <p p M log p
1 M M-1 M M
2/3
p <ξ
M M
2
log ξ log ξ
1 M M-1
≤ W(p .)exp(- )(1+O ))
3 M-1 log p 2
M-1 log z
1
2
log ξ
e M-2 1
≤ W(p .)exp(- )(1+O ))
3 M-1 log p 4/10
M-1 (log ξ)
2 2
上式最后一步用到了条件ξ ξ /p ,ξ ≤ξ及（72）式，
M-2 M-1 M-1 i
由以上二式可得：
2
ω(p ...p ) log ξ
e 1 1 M-1 M-2
△≤ (1+O( )) ∑ W(p .)exp(- )
3 4/10 (M,z ,z,ξ) p ...p M-1 log p
(log ξ) 1 1 1 M M-1
这样继续应用引理13，我们最后就得到
e 1 M
△≤( (1+O ))) W(z),
3 4/10
(log ξ)
由此及（83）式即得
e 1 M
I ≤O([ (1+O( ))] XW(z))+R(I )
2 3 4/10 2
(log ξ)
设
e -4/10
δ= (1+O((log ξ) )),
3
把c 取得充分大，使δ<1,所以由（74）式所确定的M的下界知
7
3/10
M logδ 2(log ξ )
log(δ )≤ log( )
log(3/2) log log ξ
由于
log(e/2) 10
<-
log(3/2) 42
所以只要c 取得足够大时，就使得
7
M 1
log(δ )<- log log ξ
14
因而推得
XW(z)
I ≤O( )+R(I ) (84)
2 4/10 2
(log ξ)
(4)I 的估计：由于这里的求和范围(i;z ,z,ξ) 满足条件
3 1 2
2
ξ ≤p <ξ ,
i i i
故由函数F(u)和f(u)的定义知，这时有
2 r
log ξ 2e log p
i i
φ ( )= ,L+i≡1(2)
L+i logp 2
log ξ
i
及
2
log ξ
i
φ ( )=0,L+i≡0(2)
L+i logp
i
由此并注意到筛函数总是非负的，就得到
ω(p ...p ) r
M (i) 1 i 2e log p
I ≤ ∑ ∑ {S(A ;p )- XW(p .)
3 i=1 (M,z ,z,ξ) i p ...p i 2
L+i≡1(2) 1 2 1 i log ξ
i
现在我们用定理6（k=1)来估计其中每一项。
(i)
为此，定理6中的A,ξ,z分别取为A ,ξ ,p ,
i i
并注意到(5),(6),(7)式，我们有
ω(p ...p ) log p
M 1 i i
I ≤O( ∑ ∑ XW(p .) )+R(I )
3 i=1 (i,z ,z,ξ) p ...p i 2 3
1 1 i log ξ
i
v (d)
M 1
R(I )= ∑ ∑ ∑ 3 |r | (85)
3 i=1 (i,z ,z,ξ) d|P(p ) d
i p ...p
2 1 M
d<ξ
i
利用W(p )log p <<W(z)log z,（即推论3），
i i
ξ >z (i=1,...,M),
i i
引理5（k=1),z≤ξ以及（72）式，我们有
ω(p ...p ) log p
M 1 i i
∑ ∑ XW(p .) )
3 i=1 (i,z ,z,ξ) p ...p i 2
1 1 i log ξ
i
log z M 1 ω(p) i
<<XW(z) ∑ ( ∑ )
2 i! z ≤p<z p
log z 1
i
log z XW(z)
<<XW(z) <<
2 1/10
log z (log ξ)
i
因而得到
XW(z)
I <<O( )+R(i ), (86)
1/10 3
(log ξ)
综合以上结果，由（77），（79），（81），（84），86）式我们就得到了
2
(i) log ξ XW(z)
(-1) {S(A ;z)XW(z)φ )}≤O<( )+R(i )+R(i )+R(i )+R(i ),
i L log z 1/14 0 1 2 3
(log ξ)
最后，我们来估计余项。类似于（46）式，不难证明对任意函数h(d)有
∑ h(d)= ∑ h(d)+ ∑ ∑ h(p d)+ ∑ ∑ h(p d)
2 2 z≤p<z 2 1 z ≤p <z 2 1
d<ξ d<ξ d<ξ 1 1 d<ξ
d|P(z) d|P(z ) 1 2 1
1 d|P(p ) ξ ≤p <ξ d|P(p )
1 1 1
= ∑ h(d)+ ∑ ∑ h(p d)+ ∑ ∑ h(p d) (88)
2 (L,z ,z,ξ) 2 1 (L,z ,z,ξ) 2 1
d<ξ 1 1 d<ξ 1 2 d<ξ
d|P(z ) 1 1
1 d|P(p ) d|P(p )
1 1
应用类似于引理14的这种分析方法继续做下去，我们就得到
M-1
∑ h(d)= ∑ h(d)+ ∑ ∑ ∑ h(p ...p d)+ ∑ ∑h(p ...p d)+
2 2 z≤p<z (L,z ,z,ξ) 2 1 i (M,z ,z,ξ) 2 M
d<ξ d<ξ 1 i d<ξ 1 1 d<ξ
d|P(z) d|P(z ) 1 M
1 d|P(z ) d|P(p )
1 M
M-1
= ∑ ∑ ∑ h(p ...p d) (89)
i=1 (L,z ,z,ξ) 2 1 i
1 1 d<ξ
i
d|P(p )
i
v (d)
1
现取h(d)=3 |r |,
d
由（89），（78），（80），（82），（85）式并注意到v (qd)≥v （的）即得
1 1
v (d)
1
∑ 3 |r |≥R(i )+R(i )+R(i )+R(i ),
2 d 0 1 2 3
d<ξ
d|P(z)
由此及（87）式就得到了（76）式，定理证毕。
附注1：当ξ<z≤ξ (λ>1)时1），定理9亦成立。
注释1）：这时我们不妨扩大函数F及f的定义域，使
r
2e
F`(u)= (0<u<1)及f(u)=0(0<u<1)
u
因为这时
2
logξ
f( )=0
logz
所以（69）式显然成立。从定理6可推出（68）式，不过这时主项中的“O”项：
-1/14 -1
O((logξ) )要改为O(λ(logξ) ),这时“O”中的常数和λ有关， 有关本节中的“O”常数要依赖于那些参数，一般说来并不重要，我们就不一一指出了。
