数字计算机傅里叶变换电路 下面介绍一种使用傅里叶变换进行AD信号转换的计算机端口电路。相关资料下载网址如下：
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115.com/s/sw6h09n33… 数字计算机傅里叶变换电路 访问码：dcf1 链接:pan.baidu.com/s/1_m_PmV22… 提取码:6ch7 链接:pan.baidu.com/s/1a6tSWaGf… 提取码:9g4x kdocs.cn/join/g3g4hz… kdocs.cn/join/gz3vdd… kdocs.cn/join/ge5wqf…
第一部分傅里叶级数勒让得多项式解法
下面的资料可参见《高等微积分》，赵访熊著，商务印书馆1946年出版。
[例3]给定在(-π,π)间节之正交函数集{1/2,cosnx,sinmx}，n,m=1,2,...。
设f(x)在(-π，π)间节可积，则其正交系数为：
π
∫ 1 f(x)dx
-π 2 1 π
a = = ∫ f(x)dx
π 2 π -π
∫ （ 1 ） dx
-π 2
y=f(x)=πa （1）
0
π
∫ f(x)cosnxdx
-π 1 π
a = = ∫ f(x)cosnxdx
n π 2 π -π
∫ cos nxdx
-π
y`cosnx-nysinnx=πa
n
2
y``cosnx-ny`sinnx-ny`sinnx-n ycosnx=πa (2)
N
π
∫ f(x)sinnxdx
-π 1 π
b = = ∫ f(x)sinnxdx
n π 2 π -π
∫ sin nxdx
-π
y`sinnx+nycosnx=πb
n
2
y``sinnx+ny`cosnx+ny`cosnx+n ysinnx=πb (3)
n
其正交函数级数为：
a
0 ∞
f(x)∽ + ∑ (a coskx+b sinkx)
2 k-1 k k
名此级数为f(x)之“富氏级数”(Fouriers series),a ,a 为f(x)之富氏级数之“余弦级数” 0 n (Cosine coefficient),b 为f(x)之富氏级数之“正弦级数”(Sine coefficient)。合称富氏级数之系 n 数a ,a ,b 为f(x)z之“富氏系数”(Fourier coefficients)。 0 n n a 0 ∞ y= + ∑ (a coskx+b sinkx) 2 k-1 k k (1)+(2)+(3)得 y=f(x)=πa (1) 0 2 y``cosnx-nysinnx-nysinnx-n ycosnx=πa (2) n 2 y``sinnx+nycosnx+nycosnx+n ysinnx=πb (3) n 2 2 y``cosnx-nysinnx-nysinnx-n ycosnx+y``sinnx+nycosnx+ny`cosnx+n ysinnx+y
=πb +πa +πa
n n 0
2 2
ycosnx-ny`sinnx-ny`sinnx-n ycosnx+ysinnx+nycosnx+nycosnx+n ysinnx+y
-πb -πa -πa =0
n n 0
2
(sinnx+cosnx)y+2n(cosnx-sinnx)y`+n (sinnx+cosnx+1)y-πa -πa -πb =0 0 n n 因为 2 (1-x )y-2xy+n(n+1)y=0 设 x=t 2 (1-t )y``-2ty+n(n+1)y=0
根据勒让得多项式求解微分方程，上面方程的解是：
∞ 2k ∞ 2k+1
y=∑ a t + ∑ a t
k=0 2k k=0 2k+1
所以
2
(1-t )y``-2ty`+n(n+1)y=s (5)
上面方程的解是：
∞ 2k ∞ 2k+1
y=s+∑ a t + ∑ a t
k=0 2k k=0 2k+1
假设(4)和(5)是同一个方程，得
sinkx+coskx=1-t
2n(coskx-sinkx)=-2t
2
n (sinkx+coskx+1)=n(n+1)
πa +πa +πb =s
0 n n
所以
t=1-sinkx-coskx,
-t=n(coskx-sinkx),
n(sinkx+coskx+1)=n+1,
n(sinkx+coskx)=1,
n=1/(sinkx+coskx),
所以
∞ 2k ∞ 2k+1
y=s+∑ a t + ∑ a t
k=0 2k k=0 2k+1
∞ 2k ∞ 2k+1
y=πa +πa +πb + ∑ a (1-sinkx-coskx) +∑ a [-k(coskx+sinkx)]
0 n n k=0 2k k=0 2k+1
因为,
a
0 ∞
y= + ∑ (a coskx+b sinkx) (6)
2 k-1 k k
所以so
a
0 ∞
+ ∑ (a coskx+b sinkx)=
2 k-1 k k
∞ 2k ∞ 2k+1
=πa +πa +πb + ∑ a (1-sinnx-cosnx) +∑ a [-n(cosnx+sinnx)]
0 n n k=0 2k k=0 2k+1
所以
2k
a (1-sinkx-coskx) =a coskx
2k k
2
a =coskx/2(1-sinkx-coskx)
k
2k+1
b [-n(cosnx+sinnx)] = b sinkx
2k+1 k
3
b =sinkx/3[-n(cosnx+sinnx)]
K
所以傅里叶变换(6)可写为，
a
0 ∞
y= + ∑ (a coskx+b sinkx) (6)
2 k-1 k k
∞ 2 2 3
y=2πx+ ∑ {cos kx/2(1-sinkx-coskx)+sin kx/3[-n(cosnx+sinnx)] }
k=1
当用计算机采集一个外部信号，这个信号的变化函数设为y,那么y可以用上面的傅里叶变换表示，设k为时间，则信号y可以表示成自变量x的函数，第一秒采集的信号数据储存在第一个寄存器中，第二秒采集的数据储存在第二个寄存器中，依次类推，最后采集的数据可以用上面的方程描述，y代表信号，x代表这个信号的自变量，k代表时间。同时利用上面的方程可以向外输出信号，改变上述方程的x和时间参数k，就可以向外输出信号y，x的不同变化就可以形成不同的波形y，
9-1勒氏多项式，即勒让德多项式
兹求勒(Legendre)氏微分方程：
2
(1-x )y-2xy`+n(n+1)y=0 之幂级数解。设此微分方程有一收敛幂级数解： ∞ k y= ∑ a x k=0 k 则可逐项微分一次及二次，依次得： ∞ k-1 y`= ∑ ka x k=1 k 及 ∞ k-2 y= ∑ k(k-1)a x
k=2 k
代入勒氏微分方程即得
2 2 ∞
n(n+1)(a +a x+a x )-2x(a +2a x)+(1-x ) ∑ k(k-1)a x
0 1 2 1 2 k=1 k
∞ k ∞ k-1
+n(n+1) ∑ a x -2x ∑ ka x =0 k=2 k k=1 k
2
n(n+1)(a +a x+a x )-2x(a +2a x) 0 1 2 1 2
∞ 2 k-2 k-i k
-
∑ {(1-x )k(k-1)a x -2xka x +n(n+1)a x }=0
k=2 k k k∞ k
[2a +n(n+1)a ]+[3*2a +(n(n+1)-2)a ]x+ ∑{(k+2)(k+1)a +[n(n+1)-k(k+1)]a }x ≡ 0
2 0 3 1 k=2 k+2 k
故必有
n(n+1)
a =- a
2 2 0
n(n+1) -2
a =- a
3 3*2 0
n(n+1)-k(k+1)
a =- a ,k=2,3,...
k+2 (k+2)(k+1) 2
亦即
n(n+1)-k(k+1)
a =- a ,k=2,3,... (1)
k+2 (k+2)(k+1) 2
此为系数a 之循环公式。给定a ，即a ,a ,......a ......均为a 及此循环公式所定， k 0 2 4 2k 0
并均为a 之常数倍数，给定a ,则a ,a ,...a ...均为a 及此循环公式所定，
0 1 2 3 2k+1 1
并均为a 之常数倍数，写y作： 1
∞ 2k ∞ 2k+1
y= ∑ a x + ∑ a x
k=0 2k k=0 2k+1
傅里叶级数的反级数, 因为傅里叶级数如下：
a
0 ∞
f(x)∽ + ∑ (a coskx+b sinkx)
2 k-1 k k
a
0 ∞
y= + ∑ (a coskx+b sinkx) (1)
2 k-1 k k
根据反函数的相关性质，可推导出
a
0 ∞
x= + ∑ (a arccosky+b arcsinky) (2)
2 k-1 k k
利用上面的级数，当计算机采集一个信号y，可得到一个反三角函数级数x, 利用上面的方程可以产生任意一个波形，如正弦波，三角波，等等。因为级数
∞ 2 2 3
y=2πx + ∑{cos kx/2(1-sinkx-coskx)+sin kx/3[-n(cosnx+sinnx)] } (3)
k=1
根据反函数的相关性质，可推导出
∞ 2 2 3
x=2πy + ∑ {arccos ky/2(1-arcsinky-arccosky)+arcsin ky/3[-n(arccosny+arcsinny)] } (3)
k=1
利用上面的级数，当计算机采集一个信号y，可得到一个反三角函数级数x, 利用上面的方程可以产生任意一个波形，如正弦波，三角波，等等。将(2)代入(3),得
∞ 2 2 3
z=2πx + ∑{cos kx/2(1-sinkx-coskx)+sin kx/3[-n(cosnx+sinnx)] } (5)
k=1
上式中,
a
0 ∞
x= + ∑ (a arccosky+b arcsinky)
2 k-1 k k
这样就得到一个y是自变量，z是未知量的方程，比较z和y的值，如果两个值的大小变化很大，证明y是一个毫无规律的信号。用这个方式判断宇宙微波背景信号的变化，就会发现宇宙微波背景辐射信号那些部分的变化毫无规律可寻，也就找到了异常变化点。
将(4)代入(1),得
a
0 ∞
z= + ∑ (a coskx+b sinkx) (6)
2 k-1 k k
上式中,
∞ 2 2 3
x=2πy + ∑ {arccos ky/2(1-arcsinky-arccosky)+arcsin ky/3[-n(arccosny+arcsinny)] } (4)
k=1
这样就得到一个y是自变量，z是未知量的方程，比较z和y的值，如果两个值的大小变化很大，证明y是一个毫无规律的信号。用这个方式判断宇宙微波背景信号的变化，就会发现宇宙微波背景辐射信号那些部分的变化毫无规律可寻，也就找到了异常变化点。上面的情况是正交函数的情况，如果是非正交函数，则要乘以空间的夹角的正弦. 所以,
a
0 ∞
y= + ∑ (a coskx+b sinkx) (1)
2 k-1 k k
可改写为
a
0 ∞
y= + ∑ (a coskx+b sinkx)sinβ
2 k-1 k k
上式中，β是空间中x轴和y轴的夹角，非直角，即非正交空间, 所以,
a
0 ∞
x= + ∑ (a arccosky+b arcsinky) (2)
2 k-1 k k
可改写为
a
0 ∞
x= + ∑ (a arccosky+b arcsinky)arc sinβ
2 k-1 k k
上式中，β是空间中x轴和y轴的夹角，非直角，即非正交空间, 所以,
∞ 2 2 3
x=2πy + ∑{cos kx/2(1-sinkx-coskx)+sin kx/3[-n(cosnx+sinnx)] } (3)
k=1
可改写为
∞ 2 2 3
y=2πx + ∑{cos kx/2(1-sinkx-coskx)+sin kx/3[-n(cosnx+sinnx)] }sinβ
k=1
上式中，β是空间中x轴和y轴的夹角，非直角，即非正交空间, 所以,
∞ 2 2 3
y=2πx + ∑ {arccos ky/2(1-arcsinky-arccosky)+arcsin ky/3[-n(arccosny+arcsinny)] } (4)
k=1
可改写为
∞ 2 2 3
y=2πx + ∑{arccos ky/2(1-arcsinky-arccosky)+arcsin ky/3[-n(arccosny+arcsinny)] }arc sinβ
k=1
上式中，β是空间中x轴和y轴的夹角，非直角，即非正交空间。
9-7.白氏函数，即贝塞尔函数
试求“白氏微分方程：(Bessels differential equation): 2 2 2 x y``+xy+(x -n )y=0
之幂级数解，设有一收敛幂级数解：
∞ m+k
y= ∑ (m+k)a x
k=0 k
则,
∞ m+k-1
y`= ∑ (m+k)a x
k=0 k
∞ x+k-2
y``= ∑(m+k)(m+k-1)a x
k=0 k
代入白氏微分方程，即得
2 2 m 2 2 n+1 ∞ 2 2 m+k
(m -n )a x +[(m+1) -n ]a x + ∑ {[(m+k) -n ]a +a )x =0
0 1 k=2 k k-2
故必有
2 2
(m -n )a =0
0
2 2
[(m+1) -n ]a =0
1
a
k-2
a =- ,k=2,3,......,
2 2
(m+k) -n
兹令m=n，则第一次并不限制a ,因
0
2 2 2 2
(m+1) -n =(n+1) -n ≠0
故第二式限制a =0，因
1
2 2 2 2
(m+k) -n =(n+k) -n =k(k+2n)
故第三式为：
a
k-2
a =- ,k=2,3,......,
k k(k+2n)
因a =0，标此循环公式a =0,k=1,2,......,给定a ≠0并给定n非负整数，
1 2k+2 0
则此循环公式依次自a 定出a ,k=1,2,......,a 均不等于零并均为a 之常数倍数。故
0 2k 2k 0
n ∞ 2k
y=x ∑ a x
k=0 2k
因,
│a │
k 1
Lim = Lim =0
k→∞ │a │ k→∞ │k+2n│
k-2
此级数恒收敛，故为白氏方程之一解。
由上面的推导可知
2
(sinnx+cosnx)y+2n(cosnx-sinnx)y`+n (sinnx+cosnx+1)y-πa -πa -πb =0 (4) 0 n n 因为, 2 2 2 x y+xy+(x -n )y=0 设 x=t 2 2 2 t y``+ty+(t -n )y=0
根据贝赛尔多项式求解微分方程，上面方程的解是：
n ∞ 2k
y=x ∑ a x
k=0 2k
所以,
2 2 2
t y``+ty`+(t -n )y=s (5)
上面方程的解是：
n ∞ 2k
y=s+t ∑ a x
k=0 2k
假设(4)和(5)是同一个方程，得
2
sinkx+coskx=t
2n(coskx-sinkx)=t
2 2 2
n (sinkx+coskx+1)=t -n
πa +πa +πb =s
0 n n
所以,
t= sinkx+coskx
2n(coskx-sinkx)=t,
2 2
n (sinkx+coskx+2)=t
n=t/ (sinkx+coskx+2)
所以,
2 2 2
t y``+ty`+(t -n )y=s
2 2
4n (coskx-sinkx) y``+ (sinkx+coskx) y`+{(sinkx+coskx)-[(sinkx+coskx)/(sinkx+coskx+2)]}y=s
上面方程的解是：
n ∞ 2k
y=s+t ∑ a x
k=0 2k
∞ k
y=πa +πa +πb + ∑ a (sinkx+coskx)
0 n n k=0 k
或
∞ 2k+1
y=πa +πa +πb + ∑ a 2n(coskx-sinkx)
0 n n k=0 2k+1
因为，
a
0 ∞
y= + ∑ (a coskx+b sinkx) (6)
2 k-1 k k
a
0 ∞ ∞ 2k+1
+ ∑ (a coskx+b sinkx) =πa +πa +πb + ∑ a 2n(coskx-sinkx)
2 k-1 k k 0 n n k=0 2k+1
所以傅里叶变换(6)可写为，
. a
0 ∞
y= + ∑ (a coskx+b sinkx) (6)
2 k-1 k k
∞ 2k+1
y=2πx+ ∑ a 2n(coskx-sinkx)
k=1 2k+1
当用计算机采集一个外部信号，这个信号的变化函数设为y, 那么y可以用上面的傅里叶变换表示，设k为时间，则信号y可以表示成自变量x的函数，第一秒采集的信号数据储存在第一个寄存器中，第二秒采集的数据储存在第二个寄存器中，依次类推，最后采集的数据可以用上面的方程描述，y代表信号，x代表这个信号的自变量，k代表时间。同时利用上面的方程可以向外输出信号，改变上述方程的x和时间参数k，就可以向外输出信号y，x的不同变化就可以形成不同的波形y。
第八章富氏级数及富氏积分.
8-1.正交函数集
1 2 3
设a ,a a 为三个空间相互垂直非零矢量，则
i j
a +a =0,i≠j,i,j=1,2,3
设b为空间随意矢量，则b恒可写为：
1 2 3
b=c a +c a +c a
1 2 3
i i i
其中c ,c ,c 为数量，因b*a =c a a ，故其值为：
1 2 3
i
bn
c = ,i=1,2,3
i i i
a *a
兹讨论一类似问题，问题为给定一在(a,b)间节之函数集(φ,(x)),n=0,1,2,......,及一在(a,b)间节之随意函数f(x).
(1)是否可展开f(x)为函数集(φ,(x))之函数级数：
∞
f(x)∽ ∑ c φ (x)？
k=0 k k
(2)在何种条件下，
∞
f(x)= ∑ c φ (x)？
k=0 k k
在讨论问题前，先证明于二级平直微分方程之下列二定理：
定理8-1，给定a (x)y+a (x)y`+a (x)y，则恒有函数p(x),q(x),及r(x)使 2 1 0 d r(x)[a (x)y+a (x)y+a (x)y]= [p(x)y]+q(x)y
2 1 0 dx
[证]所求三函数p,q,r之必要及充分条件为：
ra =p (1)
2
ra =p (2)
1 q
ra =p (3)
0 a
自(1)及(2)即得
a
d p` 1
logp= =
dx p a
2
即,
a
1
∫ dx
a
p=ce 2
兹选：
a
1
∫ dx
a
p=ce 2
a
1
∫ dx
1 a
r= e 2
a
2
a
1
a ∫ dx
0 a
q= e 2
a
2
则(1),(2)，及(3)均满足,
[例1]
2 d 2
y``+n y= y`+n y,
dx
2
r=1,p=1,q=n
[例2]
2 d 2
(1-x )y-2xy`+m(m+1)y= [1-x )y`]+m(m+1)y, dx 2 r=1,p=(1-x ),q=m(m+1) [例3] 2 d 2 xy+y+k xy= [xy]+k xy,
dx
2
r=1,p=z,q=k z,
定理8-2，设y (x)及y (x)依次为
1 2
d
[py` ]+q y =0
dx 1 1 1
d
[py` ]+q y =0
dx 2 2 2
之解，则
b b
∫ (q -q )y y dx=p(y y -y y )
a 2 1 1 2 1 2 1 2 a
[证]以y 乘第一微分方程，以y 乘第二微分方程，相减即得
2 1
d d d
y [py ]-y [py ]= [p(y y -y y )]=(q -q )y y
2 dx 1 dx dx 1 2 1 2 2 1 1 2
自a至b积分，即证此定理
正交函数集定义：设y (x)及y (x)为在间节(a,b)可积函数集{y },n=0,1,2,......,之任何两
i j n
个不同函数，即有
b
∫ y (x)y (x)dx=0,
a I j
则称此函数值为在间节(a,b)之“正交函数集”(Set of orthogonal functions)。
[例1]{sinnx},n=1,2,......,为间节(0,π)及(-π,π)之正交函数集。
因y =sin nx及y =sin mz依次满足：
n m
d 2
[y` ]+n y =0
dx n n
d 2
[y` ]+m y =0
dx m m
标定理8-2即得
2 2 π π
(m -n ) ∫ y y dx=(y y -y y ) =0
0 n m n m n m 0
2 2 π π
(m -n ) ∫ y y dx=(y y -y y ) =0
-π n m n m n m -π
2 2
故设m≠n,则m -n ≠0，即有
π π
∫ y y dx=0,及∫ y y dx=0,
0 n m -π n m
[例2]{1/2,cos nx},n=1,2,......,为间节(0,π)及(-π,π)之正交函数集。
因y =cosnx,y =cos mx依次满足例1之微分方程，
n m
准定理8-2并注意y =-ksinkx在x=0,π,-π之值均为零，不论k为何数，即得： k 2 2 π π (m -n ) ∫ y y dx=(y y -y y` ) =0
0 n m n m n m 0
2 2 π π
(m -n ) ∫ y y dx=(y y -y y ) =0
-π n m n m n m -π
函数1/2可写为
1
y (x)= cos0x
0 2
其微商恒等于零。故设m≠n,m,n=0,1,2,......,则
π π
∫ y y dx=0, ∫ y y dx=0,
0 n m -π n m
[例3]{1/2,cos nx,sin nx},m,n=1,2,......,为(-π,π)间节之正交函数集。
f(x)=cos nx sin nx,n=0,1,2,......,m=1,2,......为奇函数，故
π
∫ cos nx sin mx dx=0,n=0,1,2,......,m=1,2,......,
-π
自例1及2已知
π
∫ cos nx cos mx dx=0,m≠n,
-π
π
∫ sin nx sin mx dx=0,m≠n,
-π
故已证此函数集为(-π,π)间节之正交函数集。
[例4]名“勒氏方程”(Legendres equation): d 2 [(1-x )y]+n(n+1)y=0,n=0,1,2,......
dx
之多项式解之满足y(1)=1者为“n级勒氏多项式”(Legendre poly-nomial),
以P (x)表之，则{P (x)},n=0,1,2,......为(-1,1)间节之正交函数集。
n n
准定理8-2，知
1 1
[m(m+1)-n(n+1)] ∫ P P dx=(1-x )(P P -P P ) =0
-1 n m n m n m -1
故设m≠n，则
1
m(m+1)-n(n+1)≠0,故 ∫ P P dx=0
-1 n m
[例5]名“白氏方程”（Bessels equation): d 2 (xy)+k xy=0
dx n
之幂级数解为J (k x)。
0 0
设J (k a)=0,n=1,2,......,0<k <k <k ......，则
0 n 1 2 3
b
∫ xJ (k x)J (k x)dx=0,n≠m。
a 0 n 0 m
亦称(J (k x)),n=1,2,......,为(0,a)间节之“广义正交函数集”(Generalized orthogonal set)。
0 x
准定理8-2，知
2 2 b
(k -k )∫ xJ (k x)J (k x)dx=0,n≠m。
m n a 0 n 0 m
π
=x[J (k x)J (k x)-J (k x)J (k x)] =0
0 n 0 m 0 n 0 m 0
2 2
设n≠m，则k -k ≠0,故得所欲证。
m n
8-2.正交函数级数之展开公式
设f(x)为在(a,b)间节可积之随意函数，{φ (x)},n=0,1,2,......, 为(a,b)区间之正交函数集。
设f(x)已展开成一收敛f(x)之正交函数级数：
∞
f(x)= ∑ a φ (x)
k=0 k k
并在(c,b)间节可逐项积分，则
b ∞ b b
∫ fφ dx= ∑ a ∫ φ φ dx=a∫ φ dx=a
a n k=0 k a k n a n
故必有
b
∫ fφ dx
a n
a = ,n=0,1,2,......, (1)
b 2
∫ φ dx
a n
兹名a 为f(x)之“正交系数”，
n
∞
∑ a φ (x) 为于f(x)相当之“正交函数级数”而以
k=0 k k
∞
f(x)∽ ∑ a φ (x)
k=0 k k
表之，并读符号∽作“相当于”。设f(x)为在(a,b)间节可积函数，则其正交系数可自公式(1)求出，故与f(x)相当于正交函数级数亦已定。惟求出与f(x)相当于之正交函数级数在间节(a,b)是否收敛，即收敛其值是否即f(x)，尚待将来讨论之。
π
∫ f(x)sinnxdx
0 2 π
a = = ∫ f(x)sinnxdx
n π 2 π 0
∫ sin nxdx
0
其相当于正交函数级数为：
∞
f(x)∽ ∑ a sinnx
k=0 n
名a 为f(x)之“富氏正弦级数系数”(Coefficient of Fouriers sine series)。 n 名其相当于正交函数级数为f(x)之“富氏正弦级数”(Fouriers sine series)。
例如：设f(x)=1,0<x<π，则其富氏正弦级数系数为
4 1
,n=1,2,......
2 2 1 n π n
a = ∫sin nxdx= [1-(-1) ]= {
n π π n 0,n为变数
其富氏正弦级数为：
4 ∞ sin(2k+1)x
1∽ ∑ ,0<x<π
π k=0 2k+1
[例1]给定在(0,π)间节之正交函数集{1/2,cos nx},n=1,2,......
设f(x)在(0,π)间节可积，则其正交系数为：
π
∫ f(x)sinnxdx
0 2 π
a = = ∫ f(x)sinnxdx
n π 2 π 0
∫ sin nxdx
0
其相当于正交函数级数为：
∞
f(x)∽ ∑ a sinnx
n=1 n
名a 为f(x)之“富氏正弦级数系数”(Coefficient of Fouriers sine series)。 n 名其相当于正交函数级数为f(x)之“富氏正弦级数”(Fouriers sine series)。
例如：设f(x)=1,0<x<π，则其富氏正弦级数系数为
4 1
,n=1,2,......
2 2 1 n π n
a = ∫sin nxdx= [1-(-1) ]= {
n π π n 0,n为变数
其富氏正弦级数为：
4 ∞ sin(2k+1)x
1∽ ∑ ,0<x<π
π k=0 2k+1
[例2]给定在(0,π)间节之正交函数集{1/2,cos nx},n=1,2,......
设f(x)在(0,π)间节可积，则其正交系数为：
π 1
∫ f(x)dx
0 2 2 π
a = = ∫ f(x)dx
n π 1 2 π 0
∫ ( ) dx
0 2
π
∫ f(x)cosxdx
0 2 π
a = = ∫ f(x)cos nxdx,n=1,2,......
n π 2 π 0
∫ cos nxdx
0
其相当于正交函数级数为：
a
0 ∞
f(x)∽ + ∑ a sinnx
2 n=1 n
名a ,n=0,1,2,.......为f(x)之“富氏余弦级数系数”(Coefficient of Fourier`s cosine series)。
n
[例3]给定在(-π,π)间节之正交函数集{1/2,cos nx,sin nx},n,m=1,2,.....
设f(x)在(-π,π)间节可积，则其正交系数为：
π 1
∫ f(x)dx
-π 2 1 π
a = = ∫ f(x)dx
n π 1 2 π -π
∫ ( ) dx
-π 2
π
∫ f(x)cosnxdx
-π 1 π
a = = ∫ f(x)cos nxdx,
n π 2 π 0
∫ cos nxdx
-π
π
∫ f(x)sinnxdx
-π 1 π
b = = ∫ f(x)sin nxdx,
n π 2 π 0
∫ sin nxdx
-π
其正交函数级数为：
a
0 ∞
f(x)∽ + ∑ (a cos kx+b sin kx)
2 n=1 k k
名此级数为f(x)之“富氏级数”(Fourier`s series),a , a 为f(x)之富氏级数之“余弦级数”
0 n
(Cosine coefficient)，b 为f(x)之富氏级数之“正弦级数”(Sine coefficient)。
n
合称富氏级数之系数a ,a ,b 为f(x)之“富氏系数”
0 n n
(Fourier coefficients of Fouriers cosine series)。名其相当正交函数级数为f(x)之“富氏余弦级数”(Fouriers cosine series)。
自富氏系数定义知设f(x)为偶函数，即f(-x)=f(x)，则f(x)之富氏级数之正弦系数均为零，其余弦系数即f(x)在(0,π)间节之值所定之富氏余弦级数系数。设f(x)为奇函数，即f(-x)=-f(x)，则f(x)之富氏级数之余弦系数均为零，其正弦系数即f(x)在(0,π)间节之值所定之富氏正弦级数系数。
例如:
2,0<x<π
f(x)={
0,-π<x<0
作
1,0<x<π
g(x)=f(x)-1={
-1,-π<x<0
g(x)为奇函数，其富氏级数即g(x)在(0,π)间节之值所定之富氏正弦级数：
4 ∞ sin(2k+1)x
f(x)∽ + ∑ π k=1 2k+1 故f(x)之富氏级数为： 4 ∞ sin(2k+1)x f(x)∽1+ ∑ π k=1 2k+1
[例4]给定在(-1,1)间节之正交函数集{P (x)},n=0,1,2,......,
n
设f(x)在(-1,1)间节可积，则其正交系数为：
1
∫ f(x)P (x)dx
-1 n
a =
n 1 2
∫ P (x)dx
-1 n
名为“勒氏系数”(Legendre conefficients)。其正交函数级数为：
∞
f(x)∽ ∑ a P (x) n=1 k k 名为f(x)之：勒氏级数(Legendre`s series)
9-1勒氏多项式，即勒让德多项式
兹求勒(Legendre)氏微分方程：
2
(1-x )y-2xy`+n(n+1)y=0 之幂级数解。设此微分方程有一收敛幂级数解： ∞ k y= ∑ a x k=0 k 则可逐项微分一次及二次，依次得： ∞ k-1 y`= ∑ ka x k=1 k 及 ∞ k-2 y= ∑ k(k-1)a x
k=2 k
代入勒氏微分方程即得
2 2 ∞
n(n+1)(a +a x+a x )-2x(a +2a x)+(1-x ) ∑ k(k-1)a x
0 1 2 1 2 k=1 k
∞ k ∞ k-1
+n(n+1) ∑ a x -2x ∑ ka x =0 k=2 k k=1 k
2
n(n+1)(a +a x+a x )-2x(a +2a x) 0 1 2 1 2
∞ 2 k-2 k-i k
-
∑ {(1-x )k(k-1)a x -2xka x +n(n+1)a x }=0
k=2 k k k∞ k
[2a +n(n+1)a ]+[3*2a +(n(n+1)-2)a ]x+ ∑{(k+2)(k+1)a +[n(n+1)-k(k+1)]a }x ≡ 0
2 0 3 1 k=2 k+2 k
故必有
n(n+1)
a =- a
2 2 0
n(n+1) -2
a =- a
3 3*2 0
n(n+1)-k(k+1)
a =- a ,k=2,3,...
k+2 (k+2)(k+1) 2
亦即
n(n+1)-k(k+1)
a =- a ,k=2,3,... (1)
k+2 (k+2)(k+1) 2
此为系数a 之循环公式。给定a ，即a ,a ,......a ......均为a 及此循环公式所定， k 0 2 4 2k 0
并均为a 之常数倍数，给定a ,则a ,a ,...a ...均为a 及此循环公式所定，
0 1 2 3 2k+1 1
并均为a 之常数倍数，写y作： 1
∞ 2k ∞ 2k+1
y= ∑ a x + ∑ a x
k=0 2k k=0 2k+1
设n非零及正整数，a 及a 为两个随意常数，则上式表示二无穷级数（非多项式）。
0 1
因
│a │ │n(n+1)-k(k+1)│
k-2
Lim = Lim =1
k→∞ │a │ k→∞ (k+2)(k+1)
k
故上式两个幂级数之收敛半径均为1，其和y之收敛半径亦为1.
因此幂级数解已含a 及a 两个随意常数，故此即勒氏方程之全解。
0 1
设n=2m,m=0,1,2,.......,使a =0，则a =0,k=0,1,2,....., 使a ≠0, 0 2k 0
则a ,a ,......,a 均不等于零，而a ,a ,......,均等于零，故得一多项式解： 2 4 2m 2m+2 2m+4
m 2k
y (x)=α ∑ a x
2m 0 k=0 2k
定常数α 使y (1)=1，则得一特解P (x)
0 2m 2m
设n=2m+1,m=0,1,2,.......,使a =0，则a =0,k=0,1,2,..... 0 2k
使a ≠0,则a ,a ,......,a 均不等于零， 1 3 5 2m+1
而a ,a ,......,均等于零，故得一多项式解：
2m+3 2m+5
m 2k+1
y (x)=α ∑ a x
2m+1 1 k=0 2k+1
定常数α 使y (1)=1，则得一特解P (x) 1 2m+1 2m+1 名P (x),n=0,1,2,......,为n次“勒氏多项式”(Legendre polynomials)。 n 例如： P (x)=1 0
P (x)=x
1
3 3 1
P (x)= x -
2 2 2
5 3 3
P (x)= x - x
3 2 2
7*5 4 5*3 2 3*1
P (x)= x -2 x +
4 42 42 4*2
9*7 5 7*5 3 5*3
P (x)= x -2 x + x
5 42 42 4*2
9-2.勒氏多项式之特性
设P点之极坐标为(r,θ)，Q点之极坐标为(1,0)，
P
π
ρ
θ
O 1 Q
PQ之长为ρ，则
2 2
ρ =1-2rx+r =1+y，
1 1 1 13 2
= =1- y+ y -……
ρ 2 24
1+y
2
令1/ρ之y幂级数之收敛半径为1，y之r幂级数y=-2xr+r 无常数项，
2
准定理4-16知以y=-2xr+r 代入1/ρ之y幂级数后必得一收敛r幂级数。
1 ∞
= ∑ f(x)r
ρ n=0
兹讨论f (x)之特性
n
1.设x=1,则
2 2
ρ =(1-r) ,
1 1 ∞ n ∞ n
= = ∑ r = ∑ f (1)r
ρ 1-r n=0 n=0 n
故有：
f (1)=1,n=0,1,2,...... (1)
n
2.设x=-1,则
2 2
ρ =(1-r) ,
1 1 ∞ n n ∞ n
= = ∑ (-1) r = ∑ f (-1)r
ρ 1-r n=0 n=0 n
故有：
n
f (-1)=(-1) ,n=0,1,2,...... (2)
n
2 2
3.设x=0,则ρ =1+r
1 1 k 135……(2k-1) 2k ∞ n
= =∑(-1) r = ∑ f (0)r
ρ 246……(2k) n=0
1+y
故有：
0,设n为单正整数
f (0)={ n/2 135......(n-1)
n (-1) ,设n为双正整数
246......n
9-7.白氏函数，即贝塞尔函数
试求“白氏微分方程：(Bessels differential equation): 2 2 2 x y``+xy+(x -n )y=0
之幂级数解，设有一收敛幂级数解：
∞ m+k
y= ∑ (m+k)a x
k=0 k
则,
∞ m+k-1
y`= ∑ (m+k)a x
k=0 k
∞ x+k-2
y``= ∑(m+k)(m+k-1)a x
k=0 k
代入白氏微分方程，即得
2 2 m 2 2 n+1 ∞ 2 2 m+k
(m -n )a x +[(m+1) -n ]a x + ∑ {[(m+k) -n ]a +a )x =0
0 1 k=2 k k-2
故必有
2 2
(m -n )a =0
0
2 2
[(m+1) -n ]a =0
1
a
k-2
a =- ,k=2,3,......,
2 2
(m+k) -n
兹令m=n，则第一次并不限制a ,因
0
2 2 2 2
(m+1) -n =(n+1) -n ≠0
故第二式限制a =0，因
1
2 2 2 2
(m+k) -n =(n+k) -n =k(k+2n)
故第三式为：
a
k-2
a =- ,k=2,3,......,
k k(k+2n)
因a =0，标此循环公式a =0,k=1,2,......,给定a ≠0并给定n非负整数，
1 2k+2 0
则此循环公式依次自a 定出a ,k=1,2,......,a 均不等于零并均为a 之常数倍数。故
0 2k 2k 0
n ∞ 2k
y=x ∑ a x
k=0 2k
因,
│a │
k 1
Lim = Lim =0
k→∞ │a │ k→∞ │k+2n│
k-2
此级数恒收敛，故为白氏方程之一解。
设n非负整数，令
1
a =
0 n
2 Γ(n+1)
准循环公式
a
2(k-1)
a =
2k 2
2 k(k+n)
即得
1 1 1
a = =-
2 2 n n+2
2 (1+n) 2 Γ(n+1) 2 Γ(n+2)
1 1 1
a = =
4 2 n+2 n+4
2 2(2+n) 2 Γ(n+2) 2 2!Γ(n+3)
k
(-1)
a =
2k n+2k
2 k!Γ(n+k+1)
注：Γ(n+1)表示(n+1)!，Γ(n+2)表示(n+2)!，Γ(n+k+1)表示(n+k+1)!
名此解为“n级白氏函数”(Bessel`s function of order n),以J (x)表之，则
n
k
x n ∞ (-1) x 2k
J (x)=( ) ∑ ( )
n 2 k=0 k!Γ(n+k+1) 2
设m=0,1,2,.......,则Γ(m+k+1)=(m+k)!
k
x m ∞ (-1) x 2k
J (x)=( ) ∑ ( )
m 2 k=0 k!(m+k)! 2
例如：
2 4 6
x x x
J (x)=1- + - +……
m 2 2 2 2 2 2
2 2 4 2 4 6
定理9-4.设已知y (x)≠0为 0
y``+a (x)y`+a (x)y=0
1 0
之一解，则其全解为：
x
-∫ a dx
x e 1
y=c y +c y ∫ dx
1 0 2 0 2
y
0
[证]令y=y v
0
则, y=y v+y v`
0 0
y=y v+2y v+y v`` 0 0 0 故, y``+a y+a y=(y +a y` +a y )v+(a y +2y` )v`+y v
1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
因y 为此微分方程之解，故v之系数为零。
0
y=y v为此微分方程之解之必要及充分条件为v满足： 0
y v+(a y +2y` )v`=0 0 1 0 0 即, y` v 0
+a +2 =0
v 1 y 0 即, d 2 [logv+logy ]+a =0
dx 0 1
故
x
-∫ a dx
e 1
v`=c
2 2
y
0
-∫ a dx
x e 1
y=c +c ∫ 1 0 2 y 0
x
-∫ a dx
x e 1
y=c y +c y ∫ dx
1 0 2 0 2
y
0
[例]今已知y =J (x)为白氏微分方程：
0 m
2
1 m
y``+ y`+(1- )y=0
x 2
之一解，故白氏微分方程之全解为：
x dx
y=c J (x)+c J (x) ∫
1 m 2 m 2
xJ (x)
m
在x=0之邻区，设m=1,2,.....,则J (x)趋近于
m
m
x
m
2 m!
故
x dx
J ∫
m 2
xJ
m
趋近于
m m
m m x dx 2 m! -m
2 m!x ∫ = x
2m+1
x -2m
此解在x=0时趋向无穷大。设m=0,则J (x)在x=0趋近于1，
0
x dx
J ∫
m 2
xJ
m
在x=0趋近于logx，故亦趋向无穷大。
故设m=0,1,2,......,则白氏微分方程之解在x=0不趋向无穷大仅有c J (x)
1 m
兹求白氏函数之母函数。设
x 1
(t- )
2 t
x(x,t)=e
则,
ǝz 1 1
x = (t- )xz
ǝx 2 t
ǝz 1 1
-t = (t+ )xz
ǝx 2 t
2
2 ǝ z 1 1 2
x = (t- ) x z
2 4 t 2
ǝx
2 2
2 ǝ z 1 1 2 1
-t = (t+ ) x z+ xz
2 4 t 2 t
ǝt
2 2
x z=x z
相加即得此函数满足之偏微分方程：
2 2
2 ǝ z ǝz 2 ǝ z ǝz
x +x +x z-t -t =0
2 2
ǝx ǝx ǝt ǝx
兹展开z(x，t)为t之幂级数：
∞ m
z(x,t)= ∑ f (x)t
m=-∞ m
第二部分傅里叶级数数字计算机AD采样电路 下面的资料可参见《高等数学》下册，盛祥耀主编，潘鹊屏副主编，编者黄奕佗，刑文斗，钱翼文，章平，汪瑶同，王庚生，高等教育出版社1992年出版。 例2.设函数f(x)是周期为2π的周期函数，它在[-π,π)上的表达式为
-1,-π≤x<0
f(x)=
1,0≤π<x
试将函数f(x)展开成傅里叶级数. 解，函数f(x)的图形如图12-3所示，这是一个矩形波，它的傅里叶级数是
4 1 1
f(x)= [sinx+ sin3x+...+ sin(2n-1)x+...] π 3 2n-1
4 1 1 1 1
f(x)= [sinx+ sin3x+ sin5x+ sin7x+...+ sin(2n-1)x+...] π 3 5 7 2n-1 用数字电路形成上面的信号，通过计算机端口01发送出去，就会产生一个无线电矩形波。 用数字电路乘法器，除法器，加法器，减法器像上面等式一样把变换的数字x，数字3，5，7连接成电路。就会形成一个计算f(x)的电路。
被物体发射后，用端口02接收反射的信号z，就会重新形成一个自变量为t的傅里叶级数z z=a+b+c+d，
4
a= sint
π
4 1
b= sin3t π 3
4 1
c= sin5t π 5
4 1
d= sin7t π 7
4 1 1 1 1
z= [sint+ sin3t+ sin5t+ sin7t+...+ sin(2n-1)t+...]
π 3 5 7 2n-1
根据泰勒展开，得
3 5 2m-1
x x m-1 x 2m
sin x=x- + -...+(-1) +o(x )
3! 5! (2m-1)!
3 5 7
x x x
sin x=x- + -
3! 5! 7!
所以,
3 5 7
4 t t t
a= (t- + + )
π 3! 5! 7!
3 5 7
4 1 27t 243t 2187t
b= (3t- + - ) π 3 3! 5! 7!
3 5 7
4 1 125t 3125t 78125t
c= (5t- + - ) π 5 3! 5! 7!
3 5 7
4 1 343t 16807t 823543t
d= (7t- + - )
π 7 3! 5! 7!
所以,
z=a+b+c+d
3 5 7
4 t t t
= (t- + + )
π 3! 5! 7!
3 5 7
4 1 27t 243t 2187t
-
(3t- + - ) π 3 3! 5! 7! 3 5 7 4 1 125t 3125t 78125t -
(5t- + - ) π 5 3! 5! 7! 3 5 7 4 1 343t 16807t 823543t -
(7t- + - ) π 7 3! 5! 7! 可以利用一元多次方程求根公式计算上面关于t的方程的解，
简化上式得到关于t的一元三次方程时，并求解
3
4 t
z≈ (t- )
π 3!
3
4 1 27t
-
(3t- ) π 3 3! 3 4 1 125t -
(5t- ) π 5 3! 3 4 1 343t -
(7t- ) π 7 3! 3π t
z≈ (t- ) 4 3!
3
1 27t -
(3t- ) 3 3! 3 1 125t -
(5t- ) 5 3! 3 1 343t -
(7t- ) 7 3! 3π 496t
z≈3t-
4 3!3496t π -3t- z=0 3! 4
3248t π -3t- z=0 3 4
3 9t 3πz
t - - =0
248 992
解上面关于t的一元三次方程,
推导过程可参见А.Г.УРОШ库洛什著高等代数教程1953年版，
说明，计算一元三次立方根的卡尔丹公式如下：
3 2
y +ay +by+c=0 (1)
设y=x+h,得
3 2
(x+h) +a(x+h) +b(x+h)+c=0
3 2 2 3
x +(3h+a)x +(3h +2ah+b)x+h +bh+c=0
上面方程可转化为,
3
x +px+q=0 (3)
其中, y=x-a/3, (2)
h=-a/3,
2 2
p=3h +b+2ah=b-a /3,
3 3
q=h +bh+c=-a /27-ab/3+c,
只要求得方程(3)的根，那么我们根据(2)就可以得到方程(1)的根, 根据基本定理方程(3)有三个复数根，设x0是其中一个, 我们引入辅组未知量u来讨论多项式,
2
f(u)=u -x0u-p/3,
它的系数为复数，故有两个复数根α和β。而且由韦达公式，得,
α+β=x0 (4)
αβ=-p/3 (5)
以根x0的表达式(4)代(3)中，我们得出：
3
(α+β) +p(α+β)+q=0,
或,
3 3
α +β +(3αβ+p)(α+β)+q=0,
但由(5)得3αβ+p，故有,
3 3
α +β =-q (6)
另一方面，由(5)推得,
3 3 3
α β =-p /27 (7)
3 3
等式(6)与(7)证明了，数α 和β 是系数为复数的二次方程,
3
2 p
z +qz- =0 (8)
27
的根,
解方程(8)，我们得到：
2 3
q q p
z =- ± +
2 4 27
3
2 3
q q p
α= - ± +
2 4 27
3
2 3
q q p
β= - ± + (9) 2 4 27
注意：因α和β在等式(6)和(7)中，同时在x0的表达式(4)中，都是对称的,
3 3
故对方程的根(S)的根，以何者为α 何者为β 是没有什么分别的。这就是说α，β可以相互交换位置，得到的计算结果不变.
即,
3
2 3
q q p
β= - ± +
2 4 27
3
2 3
q q p
α= - ± + (9)
2 4 27
或,
3
2 3
q q p
α= - ± +
2 4 27
3
2 3
q q p
β= - ± + (9)
2 4 27
两者的计算结果是相同的, 我们得到次之卡尔丹公式，把方程(3)的根经其系数用平方根与立方根来表出：
3 3
2 3 2 3
-q q p q q p
x0=α+β= + + + - - +
2 4 27 2 4 27
因立方根在复数域中有三个值，所以(9)式给予α三个值与β三个值。
注意：ε是1的立方根，即
3
ε =1,
因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是
ε =1, ε =-1/2+i√3/2, ε =-1/2+i√3/2,
0 1 2
推导过程可参见7.复数的方根
解方程
3 9t 3πz
t - - =0
248 992
9 3πz
p=- q=-
248 992
方程的解为：
3 3
2 3 2 3
-q q p q q p
t= + + + - - +
2 4 27 2 4 27
3 3
2 2 2 2
3πz 9π z 729 3πz 9π z 729
t= + + + - - +
1984 3968 27 1984 3968 27
利用上面的函数采集方波信号，如果计算得到的t是程线性变化的则证明方波是标准方波，反之，则说明采集得到的方波不是标准方波。把这个t和上面的x相互比较，如果两者相等，则证明发射的信号就是接收的信号，
x的函数为
4 1 1 1 1
f(x)= [sinx+ sin3x+ sin5x+ sin7x+...+ sin(2n-1)x+...]
π 3 5 7 2n-1
计算机采集得到的信号为z，t为自变量，从上面的推导得到下面的方程
3 9t 3πz
t - - =0
248 992
9 3πz
p=- q=-
248 992
解方程，得
3 3
2 2 2 2
3πz 9π z 729 3πz 9π z 729
t= + + + - - +
1984 3968 27 1984 3968 27
用数字电路表示上式
方波的傅里叶级数是
4 1
f(x)= [sinx+ sin3x]
π 3
4 1 1 1 1
f(x)= [sinx+ sin3x+ sin5x+ sin7x+...+ sin(2n-1)x+...] π 3 5 7 2n-1 用数字电路形成上面的信号，通过计算机端口01发送出去，就会产生一个无线电矩形波。
用数字电路表示上式
当x与w相等时，或门输出1与门输出1，采集信号状态寄存器CJXH1存储1, 将采集得到的信号t和线性信号源w相互比较，如果相等则证明信号t是线性信号, 同时说明采集得到的是标准方波
当x与t相等时，或门输出1与门输出1，采集信号状态寄存器CJXH2存储1, 将采集得到的信号t和x相互比较，如果相等则证明信号没有损失。
下面的资料可参见《高等数学》下册，盛祥耀主编，潘鹊屏副主编，编者黄奕佗，刑文斗，钱翼文，章平，汪瑶同，王庚生，高等教育出版社1992年出版。
例3，设f(x)是周期为2π的周期函数，它在[-π,π]上的表达式为
-π,-π≤x＜0
f(x)={
x,0≤x＜π
试将其展开成傅里叶级数。
解，上面函数的傅里叶级数如下
4 2 1 1
f(x)= - (cosx+ cos3x+ cos5x+...)
π π 2 2
3 5
1 1 1
+(3sinx- sin2x+ sin3x- sin4x+...)
2 3 4
(-∞<x<+∞,x≠kx,k=0,±1,±2,...)
当x=2kx(k=0,±1,±2,...)时，级数收敛与-π/2。当x=(2k+1)π,(k=0,±1,±2,...)时，级数收敛于0，图12-7给出了它的和函数的图形。
4 2 1 1
f(x)= - (cosx+ cos3x+ cos5x+...)
π π 2 2
3 5
用数字电路形成上面的信号，通过计算机端口01发送出去，就会产生一个无线杂波。用数字电路表示上式
例4、设周期系数f(x)在其一个周期上的表达式
π+x,-π≤x＜0
f(x)={
π-x,0≤x＜π
试将其展开成傅里叶级数。
解、函数f(x)的图形如图1·2-8所示，
上面函数的傅里叶级数是
π 4 1 1
f(x)= - (cosx+ cos3x+ cos5x+...) (-∞<x<+∞)
2 π 2 2
3 5
用数字电路形成上面的信号，通过计算机端口01发送出去，就会产生一个三角波。用数字电路表示上式 例2.试将图12-9中周期性锯齿波展开成傅里叶级数
解：显然首先应当给出这个锯齿波的解析表达式。根据解析几何的知识，我们不难得出周期函数φ(t)在一个周期内的表达式
2At
φ(t)=
T
由于φ(t)在(-T/2,T/2)内是奇函数，因此只需用式(12.8.3)来计算b
4 T/2 2nπ 4 T/2 2A 2nπ
b = ∫ φ(t)sin tdt= ∫ tsin tdt
n T 0 T T 0 T T
4A 2nπ T/2 4A T/2 2nπ
= [-tcos t] + ∫ cos tdt
nπT T 0 nπT 0 T
2A n+1
= (-1) (n=1,2,3...)
nπ
所以，所求的展开式为
2A 2π 1 4π 1 6π
φ(t)= (sin t- sin -t+ sin t-...)
π T 2 T 3 T
(-∞<t<+∞,t≠(2k+1)T/2，k=0,±1,±2,...)
当t=(2k+1T/2,(k=0,±1,±2,...)时，级数收敛于0.
在科技问题中，人们常将傅里叶级数用频率ω表示。这只需将ω=2π/T换入，于是上式可改写成
2A 1 1
φ(t)= (sinωt- sin2ωt+ sin3ωt-...),(-∞<t<+∞,t≠(2k+1)π/ω，k=0,±1,±2,...)
π 2 3
上面锯齿波函数的傅里叶级数为
2A 2π 1 4π 1 6π
φ(t)= (sin t- sin -t+ sin t-...)
π T 2 T 3 T
(-∞<t<+∞,t≠(2k+1)T/2，k=0,±1,±2,...)
第三部分傅里叶级数
下面的资料可参见《高等数学》下册，盛祥耀主编，潘鹊屏副主编，编者黄奕佗，刑文斗，钱翼文，章平，汪瑶同，王庚生，高等教育出版社1992年出版
第七节傅里叶(Fourier)级数
在物理学及电工学等学科中经常会用到函数项级数
∞
a + ∑ (a cos nx+b sin nx)
0 n=1 n n
例1设有一个由电阻R、自感L、电容C和电源E串联组成的电路，其中R、L及C为常数，电源电动E=E(t)(图12-2)。
例1设有一个由电阻R、自感L、电容C和电源E串联组成的电路，其中R、L及C为常数，电源电动势E=D(t)(图12-2)。设电路中的电流为i(t)，电容两极板上的电压为u ，那么根据
c
回路定律，就得到一个二阶线性常系数非齐次微分方程
2
d u du 2
+2β c +ω u =f(t)
2 0 c
dt dt
其中
R 1 E(t)
β= ,ω = ,f(t)=
2L 0 LC LC
这就是串联电路的振荡方程。如果电源电动势E(t)非正弦变化，也就是说f(x)不是正弦函数，那么求解这个非齐次微分方程就变得十分复杂。在电学中解决这类问题的方法，是将自由项近似的表示成许多不同周期的正弦型函数的迭加，即
n
f(t)= ∑ A sin(kωt+φ )
k=0 k k
这样，串联电路的振荡方程的解u (t),
c
就化成了n+1自由项为正弦型函数的方程解uc (t)的迭加，
k
于是可求原方程解u (t)的近似解当n→∞，就得精确解：
c
n
u (t)= ∑ u (t)
c k=0 c
k
这种方法称为谐波分析法，它是将一个非正弦型的信号，分解成一系列不同频率的正弦信号的迭加，即
n n
f(t)= ∑ A sin(kωt+φ )= A + ∑ A sin(kωt+φ ) (12.7.1)
n=0 k k 0 n=1 n n
(设φ =π/2)其中，A 称为直流分量，A sin(ωt+φ )称为一次谐波（基波）， 0 0 1 1
A sin(2ωt+φ )称为二次谐波，以下依次为三次谐波，四次谐波等等。 1 1
一个非正弦型的函数f(t)，为何可以展开成(12.7.1)式？原因之一是三角函数系具有正交性，由1，cosx,sinx,cos2x,sin2x,...,cos nx,sin nx,... 组成的函数序列叫做三角函数系，三角函数系的正交性是指：
如果从三角函数系中任取两个不同的函数相乘，在区间[-π,π]上做定积分，其值都为零。这实际上只需证明以下五个等式成立：
π π
∫ cos nxdx=0; ∫ sin nxdx=0;
-π -π
π
∫ cos mxcos nxdx=0;(m=1,2,3,...,n=1,2,3,...,m≠n)
-π
π
∫ sin mxsin nxdx=0;(m=1,2,3,...,n=1,2,3,...,m≠n)
-π
π
∫ sin mxcos nxdx=0;(m=1,2,3,...,n=1,2,3,...,)
-π
任何一个熟悉定积分的读者都很容易推得以上结果，这里就不证明了。
二、傅里叶级数
改写(12.7.1)式
n
A + ∑ A sin(kωt+φ )
0 n=1 n n
n
=A + ∑ (A sinφ cosnωt+A cosφ sinnωt)
0 n=1 n n n n
A
0 n
= + ∑ (a cosnt+b sinnt) (12.7.2)
2 n=1 n n
其中, a =2A ,a =A sinφ ,b =A cosφ ,x=ωt 0 0 n n n n n n 与幂级数的讨论相类似，这里我们也要研究三个问题： 一是函数f(x)满足什么条件时方能展开(12.7.2)式？ 二是若f(x)能展开(12.7.2)式，那么系数a 、a 、b 怎么求？ 0 n n 三是展开后级数在那些点上收敛于f(x). 为了求得系数a ，a ，b 的计算公式，我们先假定 0 n n
a
0 n
f(x) = + ∑ (a cosnx+b sinnx) (12.7.3)
2 n=1 n n
且可逐项积分，于是有
a
π π 0 ∞ π π
∫ f(x)dx= ∫ dx+ ∑ [∫ a cosnxdx+ ∫ b sinnxdx]
-π -π 2 n=1 -π n -π n
因为a ,a ,b (n=1,2,3,...)均为常数，注意到三角函数系的正交性，即有
0 n n
a
π π 0
∫ f(x)dx= ∫ dx=πa
-π -π 2 0
所以,
1 π
a = ∫ f(x)dx
0 π -π
为了求出系数a ，我们用coskx乘级数（12.7.3），然后在逐项积分 n
a
π π 0 ∞ π π
∫ f(x)coskxdx= ∫ coskxdx+ ∑ [∫ a coskxcosnxdx+ ∫ b coskxsinnxdx]
-π -π 2 n=1 -π n -π n
由三角函数系的正交性可知，等式右端各项中，只有当k=n时，
π π 2 π 1+cosnx
∫ a coskxcosnxdx= ∫ a cos nxdx =a ∫ dx=a π
-π n -π n n -π n n
而其余各项均为零，因此
1 π
a = ∫ f(x)cosnxdx (n=1,2,3,...)
0 π -π
用类似的方法，可得到
1 π
b = ∫ f(x)sinnxdx (n=1,2,3,...)
0 π -π
注意到在求系数a 的公式中，令n=0就得到a 的表达式，
n 0
因此求系数a 、b 的公式可以归并为
n n
1 π
a = ∫ f(x)cosnxdx (n=1,2,3,...)
0 π -π
{ (12.7.4)
1 π
b = ∫ f(x)sinnxdx (n=1,2,3,...)
0 π -π
a 、b 称为傅里叶系数，由傅里叶系数组成的(12.7.2)式称为傅里叶级数。
n n
关于函数展开成傅里叶级数的条件及其收敛性问题，我们不加证明的给出如下定理：
收敛定理（狄利克雷（Dirichlet)充分条件）
设函数f(x)是周期为2π的周期函数，如果它满足条件：
在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，并且至多只有有限个极值点，则f(x)的傅里叶级数收敛，并且
（1）当x是f(x)的连续点时，级数收敛于f(x)；
（2）当x是f(x)的间断点时，级数收敛于
f(x-0)+f(x+0)
2
其中f(x-0)表示f(x)在x处的左极限，f(x+0)表示f(x)在x处的右极限。这个收敛定理说明，以2π为周期的函数f(x)，只要是在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，并且至多只有有限个极值点，即可以把一个周期分为有限多个单调区间，那么按式（12.7.4）计算出傅里叶系数，得到傅里叶级数，在f(x)的连续点处收敛于函数f(x)。定理中所要求的条件，一般的初等函数与分段函数都能满足，这就保证了傅里叶级数广泛的应用性。
例2.设函数f(x)是周期为2π的周期函数，它在[-π,π)上的表达式为
-1,-π≤x<0
f(x)=
1,0≤π<x
试将函数f(x)展开成傅里叶级数
解，函数f(x)的图形如图12-3所示，这是一个矩形波，它显然满足收敛定理的条件，由式（12.7.4）
1 π
a = ∫ f(x)cosnxdx
0 π -π
1 0 1 π
= ∫ (-1)cosnxdx+ ∫ cosnxdx
π -π π 0
1 1 0 1 1 π
= [ sin nx] + [ sin nx] π n -π π n 0
=0 (n=1,2,3,...)
因为在计算a 中n≠0，所以a 需另计算： n 0
1 π
a = ∫ f(x)dx
0 π -π
1 0 1 π
= ∫ (-1)dx+ ∫ dx
π -π π 0
又
1 π
b = ∫ f(x)sinnxdx
n π -π
1 0 1 π
= ∫ (-1)sinnxdx+ ∫ sinnxdx
π -π π 0
1 1 0 1 1 π
= [ cos nx] + [ cos nx] π n -π π n 0
1 n
= [1-(-1) ]
nπ
4
,n=1,3,5,...
nπ
={
0,n=2,4,6,...
根据收敛定理可知，当x≠kπ(k=0,±1,±2,...)时，傅里叶级数收敛于f(x)，即
2A 1 1
f(x)= [sinx+ sin3x+...+ sin(2n-1)x+...]
π 3 2n-1
当x=kx(k=0,±1,±2,...)时，级数收敛于
f(x-0)+f(x+0) =0
2
所求傅里叶级数和函数的图形如图12-4所示。细心的读者会发现这个图形在x=kπ(k=0,±1,±2,...)各点处与图12-3不同。如果将f(x)看成是矩形波，那么傅里叶级数表明，它可以用无穷多奇次谐波的去替代。在实际计算中，我们只可能取有限多个奇次谐波迭加。图12-5给出了当n=1,2,3,4时，傅里叶级数部分和逼近和函数f(x)的情况。
例3，设f(x)是周期为2π的周期函数，它在[-π,π]上的表达式为
-π,-π≤x＜0
f(x)={
x,0≤x＜π
试将其展开成傅里叶级数。
解，因为f(x)满足收敛定理的条件（其图形见图12-6），计算傅里叶系数
1 π
a = ∫ f(x)cosnxdx
n π -π
1 0 1 π
= ∫ (-π)cosnxdx+ ∫ xcosnxdx
π -π π 0
1 0 1 π 1
=- [sin nx] + [ xsin nx] - ∫sin nxdx
n -π nπ 0 nπ
1 n
= [(-1) -1]
2
n π
-2
,n=1,3,5,...
2
n π
={
0,n=2,4,6,...
1 π
a = ∫ f(x)dx
0 π -π
1 0 1 π
= ∫ (-π)dx+ ∫ xdx
π -π π 0
π
=-
2
1 π
b = ∫ f(x)sinnxdx n π -π
1 0 1 π
= ∫ (-1)sinnxdx+ ∫ sinnxdx
π -π π 0
1 0 1 1 π 1
= [ cos nx] - [xcos nx] + ∫cos nxdx
n -π nπ n 0 nπ
1 n
= [1-2(-1) ]
n
3
,n=1,3,5,...
n
={
-1
,n=2,4,6,...
n
因此所求的傅里叶级数在连续点处收敛于f(x)，即
4 2 1 1
f(x)= - (cosx+ cos3x+ cos5x+...)
π π 2 2
3 5
1 3 1
+(3sinx- sin2x+ sin3x- sin4x+...)
2 3 4
(-∞<x<+∞,x≠kx,k=0,±1,±2,...)
当x=2kx(k=0,±1,±2,...)时，级数收敛与-π/2。当x=(2k+1)π,(k=0,±1,±2,...)时，级数收敛于0，图12-7给出了它的和函数的图形。 三、奇函数与偶函数的傅里叶级数 从例2和例3可以看出，一个函数展开成傅里叶级数的结果，可能既含有余弦项又含有正弦项（如例3），也可能仅含有正弦函数， 即系数a =0(n=0,1,2,...)(如例3)。我们还可以举出只含有余弦函数， n
即系数b =0(n=1,2,3,...)的例子。展开式中只含有正弦函数的傅里叶级数，称为正弦级数，
n
只含有余弦函数或常数项的称为余弦级数。
∞
f(x)= ∑ b sin nx
n=1 n
此时傅氏系数
a =0(n0,1,2,...)
n
2 π
b = ∫ f(x)sin nxdx (n=1,2,3,...) (12.7.5)
n π 0
这是因为
1 π
a = ∫ f(x)cos nxdx
n π -π
中cosnx是偶函数，于是在区间(-π,π)内f(x)cosnx为奇函数，而奇函数在对称区间上的积分为零（见（5.3.4）式），所以
1 π
a = ∫ f(x)cos nxdx (n=0,1,2,3,...)
n π -π
又因f(x)sin nx在区间(-π,π)内是偶函数，故有
2 π
b = ∫ f(x)sin nxdx (n=1,2,3,...)
n π 0
同理可以推出，当函数f(x)是偶函数时，其展开式为余弦级数，即
a
0 ∞
f(x)= + ∑ a cos nx
2 n=1 n
此时傅里叶级数为
2 π
a = ∫ f(x)cos nxdx (n=0,1,2,3,...)
n π 0
b =0 (n=1,2,3,...)
n
根据以上结果，在展开函数f(x)成傅里叶级数时，应当首先判断一下f(x)在(-π,π)内的奇偶性，据此选择相应的公式计算傅里叶系数，使计算尽量简化。
例4、设周期系数f(x)在其一个周期上的表达式
π+x,-π≤x＜0
f(x)={
π-x,0≤x＜π
试将其展开成傅里叶级数。
解、函数f(x)的图形如图1·2-8所示，
由图形的对称性可知f(x)是偶函数，因此我们应根据(12.7.6)式计算傅里叶系数。
2 π
a = ∫ f(x)cos nxdx
n π 0
2 π
= ∫ (π-x)cosnxdx
π 0
2 π-x π 2 π
= [ sinnx] + ∫ sinnxdx
π nπ 0 nπ 0
1 n
= [1-(-1) ]
2
n π
4
,n=1,3,5,...
2
n π
={
0,n=2,4,6,...
2 π
a = ∫ f(x)dx
0 π 0
2 π
= ∫ (π-x)dx=x
π 0
b =0 (n=1,2,3,...)
0
又因为f(x)处处连续，故所求的傅里叶级数收敛于f(x)，即
π 4 1 1
f(x)= + (cosx+ cos3x+ cos5x+...) (-∞<x<+∞)
2 π 2 2
3 5
习题12-7
79.证明三角函数系：
1、cosωx、sinωx、cos2ωr、sin2ωr、...cosωr、sinωx，...，在[-T/2,T/2]上具有正交性，其中T=2π/ω.
将80-87题中周期为2π的周期函数f(x)展开成傅里叶级数，其中f(x)在[-π,π]上的表达式为：
80.f(x)=x
解：
n+1
∞ (-1)
x=2 ∑ sin nx (-∞<x<+∞,x≠(2k+1)π,k=0,±1,±2,...)
n=1 n
π,-π≤x＜0
81.f(x)={
x,0≤x＜π
解：
3π 2 ∞ cos(2n-1)x ∞ 1
f(x)= - ∑ - ∑ sinnx
4 π n=1 2 n=1 n
(2n-1)
(-∞<x<+∞,x≠kπ,k=0,±1,±2,...)
2
82.f(x)=3x +1
解：
n
2 2 ∞ (-1) cosnx
3x +1=π +1+12 ∑ (-∞<x<+∞)
n=1 2
n
x
83.f(x)=2sin
3
解：
n
x 18√3 ∞ (-1) n
2sin = ∑ sinnx
3 π n=1 n
(-∞<x<+∞,x≠(2k+1)π,k=0,±1,±2,...)
85.f(x)=│x│
解：
π 4 ∞ cos(2n+1)x
│x│= - ∑ (-∞<x<+∞)
2 π n=1 2
(2n-1)
ax,-π≤x＜0
86.f(x)={ (a,b为不等于零的常数，且a≠b)
bx,0≤x＜π
解：
n+1
π 2(b-a) ∞ cos(2n+1)x (-1)
f(x)= (b-a)- ∑ +(b+a) ∑ *sin nx
4 π n=1 2 n
(2n-1)
(-∞<x<+∞,x≠(2k+1)π,k=0,±1,±2,...)
0,-π≤x<-π/2
87.f(x)={ 1,-π/2≤x<π/2
0,π/2≤x<π
解：
1 2 ∞ 1 nπ
f(x)= + ∑ sin cosnx
2 π n=1 n 2
(-∞<x<+∞,x≠(2k+1)π/2,k=0,±1,±2,...)
第八节、周期为T的周期函数的展开
上一节着重研究了将以2π为周期的周期函数展开成傅里叶级数的方法，它有比较普遍的应用价值，下面我们介绍以T(T为任意非零正常数)为周期的周期函数φ(t)，在区间[-T/2,T/2)上展开成傅里叶级数问题。为了能按第七节的方法把它展成傅里叶级数，显然首先应当将φ(t)变换成以2π为周期，区间[-T/2,T/2)变换成[-π,π)，为此我们作变量代换，令x=2πt/T,即t=Tx/2π，于是φ(t)=φ(Tx/2π)=f(x), 这时，函数f(x)就是以2π为周期的周期函数，假设在区间[-π,π]上满足收敛定理的条件。因此可以将它展成傅里叶级数，并且在连续点上有：
a
0 n
f(x)= + ∑ (a cosnt+b sinnt)
2 n=1 n n
其中傅里叶系数
1 π
a = ∫ f(x)cosnxdx (n=0,1,2,...)
n π -π
{
1 π
b = ∫ f(x)sinnxdx (n=1,2,3,...)
n π -π
将变量x再换回成变量t，就得到周期为T的周期函数的傅里叶级数，并且在连续点上有
a
0 n 2nπt 2nπt
f(x)= + ∑ (a cos +b sin ) ,(12.8.1)
2 n=1 n T n T
其中傅里叶系数为
2 T/2 2nπ
a = ∫ φ(t)cos tdt (n=0,1,2,...)
n T -T/2 T
{ (12.8.2)
1 T/2 2nπ
b = ∫ φ(t)sin tdt (n=1,2,3,...)
n π -T/2 T
在连续点处收敛于φ(t)，在间断点处收敛于
φ(t-0)+φ(t+0)
2
如果以T为周期的周期函数φ(t)，在(-T/2,T/2)内是奇函数，那么其傅里叶级数一定是正弦级数，且在连续点处有
n 2nπt
φ(t)= ∑ b sin
n=1 n T
这时
a =0 (n=0,1,2,...,)
n
{ (12.8.3)
4 T/2 2nπ
b = ∫ φ(t)sin tdt (n=1,2,3,...)
n T 0 T
同样，以T为周期的周期函数φ(t)，在(-T/2,T/2)内是偶函数，那么它的展开式必然是余弦级数，且在连续点处有
a
0 n 2nπt
φ(t)= + ∑ a cos
2 n=1 n T
这时
4 T/2 2nπ
a = ∫ φ(t)cos tdt (n=1,2,3,...)
n T 0 T
{ (12.8.4)
b =0 (n=0,1,2,...,)
n
例1，若函数φ(t)以2为周期，在区间[-1,1)上的表达式为
1，-1≤t<0
φ(t)={
2，0≤t<1
试将其展开成傅里叶级数
解、因为函数φ(t)满足收敛定理条件，且注意到T=2，故可由式(12.8.2)得
2 1 0 1
a = ∫ φ(t)cosnπtdt=∫ cosnπtdt+∫ 2cosnπtdt
n 2 -1 -1 0
1 0 2 1
= [sinnπt] + [sinnπt] nπ -1 nπ 0
=0 (n=1,2,3,...,)
2 1 0 1
a = ∫ φ(t) dt=∫ dt+∫ 2dt=3 0 2 -1 -1 0
2 1 0 1
b = ∫ φ(t)sinnπtdt=∫ sinnπtdt+∫ 2sinnπtdt n 2 -1 -1 0
1 0 2 1
=- [cosnπt] - [cosnπt] nπ -1 nπ 0
2
,n=1,3,5,...
1 n nπ
=- [1-(-1) ]={
nπ 0,n=2,4,6,...
因此函数φ(t)的展开式为
3 2 1 1
φ(t)= + (sinπt+ sin3πt+ sin5πt+...)
2 π 3 5
(-∞<t<+∞,t≠k，k=0,±1,±2,...)
例2.试将图12-9中周期性锯齿波展开成傅里叶级数
解：显然首先应当给出这个锯齿波的解析表达式。根据解析几何的知识，我们不难得出周期函数φ(t)在一个周期内的表达式
2At
φ(t)=
T
由于φ(t)在(-T/2,T/2)内是奇函数，因此只需用式(12.8.3)来计算b
n
4 T/2 2nπ 4 T/2 2A 2nπ
b = ∫ φ(t)sin tdt= ∫ tsin tdt
n T 0 T T 0 T T
4T 2nπ T/2 4A T/2 2nπ
= [-tcos t] + ∫ cos tdt
nπT T 0 nπT 0 T
2A n+1
= (-1) (n=1,2,3...)
nπ
所以，所求的展开式为
2A 2π 1 4π 1 6π
φ(t)= (sin t- sin t+ sin t-...)
π T 2 T 3 T
(-∞<t<+∞,t≠(2k+1)T/2，k=0,±1,±2,...)
当t=(2k+1T/2,(k=0,±1,±2,...)时，级数收敛于0. 在科技问题中，人们常将傅里叶级数用频率ω表示。这只需将ω=2π/T换入，于是上式可改写成
2A 1 1
φ(t)= (sinωt- sin2ωt+ sin3ωt-...)
π 2 3
(-∞<t<+∞,t≠(2k+1)π/ω，k=0,±1,±2,...)
例3.若矩形波以T为周期，且在[-T/2,T/2)上表达式为
0,-T/2≤t<-T/4
φ(t)={ A,-T/4≤t<T/4
0,T/4≤t<T/2
试写出前五次谐波
解：这个函数的图形如图12-10所示，φ(t)是偶函数，
所以应利用(12.8.4)式计算傅里叶系数。
4 T/2 2nπ 4 T/2 2nπ
a = ∫ φ(t)cos tdt= ∫ Acos tdt
n T 0 T T 0 T
2A 2nπ T/4
= [sin ]
nπ T 0
2A nπ
= sin (n=1,2,3,...)
nπ 2
4 T/2 4 T/4
a = ∫ φ(t) dt= ∫ Adt=A 0 T 0 T 0
因此，所求的傅里叶级数为：
A 2A 2πt 1 6πt 1 10πt
φ(t)= + (cos - cos + cos - ……)
2 π T 3 T 5 T
(-∞<t<+∞,t≠(2k-1)T/4，k=0,±1,±2,...)
当t=(2k-t)T/4，(k=0,±1,±2,...)时，该级数收敛于A/2. 令ω=2π/T，利用三角函数公式，则可将φ(t)的傅里叶级数改成谐波的形式。
A 2A π 2A 3π 2A 5π
φ(t)= + sin(ωt+ )+ sin(3ωt+ ) + sin(5ωt+ )+…
2 π 2 3π 2 5π 2
如果取五次谐波则有
A 2A π 2A 3π 2A 5π
φ(t)≈ + sin(ωt+ )+ sin(3ωt+ ) + sin(5ωt+ )
2 π 2 3π 2 5π 2
若令ωt=0，即t=0，则
A 2A 2A 2A
φ(t)≈ + - +
2 π 3π 5π
这是一个满足莱布尼兹审敛法条件的交错级数的前四项和，显然它的误差
2A
│r │< ≈0.09A
4 7π
实际上，由已知的φ(t)表达式知φ(0)=A，因此可以计算出，当取五次谐波时φ(0)≈1.05A，实际误差为0.05A，若想要减小误差，提高精度，就再多取几次谐波。
习题12-8
已知第88-93题中各周期函数在一个周期内的表达式，试将它们展开成傅里叶级数。
2
88.φ(t)=1-t ,(-1/2≤t<1/2)
解：
n+1
2 11 1 ∞ (-1)
1-t = + ∑ cos2nπt
12 2 n=1 2
π n
(-∞<t<+∞,)
t+T/4,-T/2≤t<-T/4
89.φ(t)={ 0,-T/4≤t<T/4
t-T/4,T/4≤t<T/2
解：
n+1 nπ
nπ(-1) -2sin
T ∞ 2 2nπt
φ(t)= ∑ sin
2 n=1 2 T
2π n
(-∞<t<+∞,t≠(2k+1)T/2,k=0,±1,±2,...)
2,-2≤t<0
90.φ(t)={
2-t,0≤t<2
解： n
3 4 ∞ 1 (2n-1)πt 2 ∞ (-1) nπt
φ(t)= + ∑ cos + ∑ sin
2 2 n=1 2 2 π n=1 n 2
π (2n-1)
(-∞<t<+∞,t≠(2k+1)2,k=0,±1,±2,...)
91.φ(t)=t+│t│,(-T/2≤t<T/2)
解： n+1
T 2T ∞ 1 2(2n-1)πt T ∞ (-1) 2πxt
t+│t│= - ∑ cos + ∑ +sin
4 2 n=1 2 T π n=1 n T
π (2n-1)
(-∞<t<+∞,t≠(2k+1)2,k=0,±1,±2,...)
A,-T/2≤t<0
92.φ(t)={
-A,0≤t<T/2
解：
4A ∞ 1 2(2n-1)πt
φ(t)= ∑ sin
π n=1 2n-1 T
(-∞<t<+∞,t≠kT/2,k=0,±1,±2,...)
T/4,-T/2≤t<-T/4
93.φ(t)={ -t,-T/4≤t<0
t,0≤t<T/4
T/4,T/4≤t<T/2
解：
nπ
cos -1
3T T ∞ 2 2nπt
φ(t)= + ∑ cos
16 2 n=1 2 T
π n
(-∞<t<+∞)
94将图12-11所示周期性三角波展开为傅里叶级数。
解：
A 4A ∞ 1 2(2n-1)πt
φ(t)= + ∑ cos
2 2 n=1 2 T
π (2n-1)
(-∞<t<+∞)
95.若锯齿波在一个周期内的函数表达式为
-2At
-A -T/2≤t<0
T
93.φ(t)={
-2At
+A 0≤t<T/2
T
试写出其他前五次谐波。
解：
2A 2πt 2A 4πt 2A 6πt 2A 8πt 2A 10πt
φ(t)≈ sin + sin + sin + sin + sin
π T 2π T 3π T 4π T 5π T
