子域，扩展域
设在域P中，有一部分元素组成集合P，而且对于域P中的那些运算这一个集合构成一个域，亦即从P中任意两元素a,b所得出的属于P中的元素a+b,ab,a-b,和当b≠0时的a/b都在域P内, (P所适合的定律1，2，3，4，5显然对于P仍能适合), 那么称P为域P的子域，而P为域P的扩展域。显然，域P的零元素与么元素都属于P内，而且亦是P的零元素和幺元素。例如有理数域是实数域的子域，所有的实数域是复数域的子域。
环属于集合，同时满足下面的条件,
域属于集合，同时满足下面的条件,
1.加法可易律：a+b=b+a,
2.加法可群律：a+(b+c)=(a+b)+c,
3.乘法可易律：ab=ba,
4.乘法可群律：a(bc)=(ab)c,
5.结合加法与乘法的分配率：(a+b)c=ac+bc,
可易环是满足可易律的环，不可易环是不满足可易律的环, 可易域是满足可易律的域，不可易域是不满足可易律的域,
卡尔丹公式的证明 调用复数的方根，注：1的立方根共有三个
调用三次方程根的判别式
调用结式求方程的判别式
调用求任意未知量非线性方程的解，可参看代数几何
调用欧几里得演段
调用对称多项式的性质
调用多项式代数无关定义
调用韦达定理
方程有重根的条件
注意：非线性方程组，是n个未知量是高次方程组成的方程组, 齐次线性方程组，里面的方程的n个未知量都是相同次数的,
其中,
3
ε =1,
因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是,
ε =1, ε =-1/2+i√3/2, ε =-1/2+i√3/2
0 1 2
推导过程可参见7.复数的方根,
推导过程可参见А.Г.УРОШ库洛什著高等代数教程1953年版,
38.结式、未知量的消去法、判别式,
例：求出三次多项式f(x)=x +ax +bx+c的判别式。由(23),
3 s s
1 2
D= s s s
2 2 3
s s s
2 3 4
由上节我们知道,
s =σ =-a
1 1
2 2
s =σ -σ =a -2b
2 1 2
2 2 3
s =σ -σ σ +3σ =-a +3ab-3c
3 1 2 3
应用牛顿公式，由σ =0，我们求出,
4
4 2 2 4 2 2
s =σ -4σ σ +4σ σ +2σ =a -4a b-4ac+2b
4 1 1 2 1 2 2
故,
3 2 2 2 2 3 3
D=3s s +2s s s -s -s s -3s =a b -4b -4a c+18abc-27c (24)
2 4 1 2 3 2 1 4 3
所以,
2 2 3 3
D=a 0 -40 -4a c+18a0c-27c
3
D=-4a c-27c
因为, a=0,b=p,c=q,
所以,
3
D=-4a c-27c
一个域P上面的n未知量x ,x ,x ,...,x 的多项式
1 2 3 n
f(x ,x ,...,x )是指系数在数域P中的有限个形为x x ...x 各项
1 2 n 1 2 n
之和，其中所有的k ≥0
n
4.说明，计算一元三次立方根的卡尔丹公式如下：
3 2
y +ay +by+c=0 (1)
设y=x+h,得
3 2
(x+h) +a(x+h) +b(x+h)+c=0
3 2 2 3
x +(3h+a)x +(3h +2ah+b)x+h +bh+c=0
上面方程可转化为,
3
x +px+q=0 (3)
其中, y=x-a/3, (2)
h=-a/3,
2 2
p=3h +b+2ah=b-a /3,
3 3
q=h +bh+c=-a /27-ab/3+c,
方根来表出：
3 3
2 3 2 3
-q q p q q p
x =
+ + + - - +
1 2 4 27 2 4 27
3 3
2 3 2 3
-q q p 2 q q p
x =ε
+ + +ε - - +
2 2 4 27 2 4 27
3 3
2 3 2 3
2 -q q p q q p
x =ε
+ + +ε - - +
3 2 4 27 2 4 27
其中,
3
ε =1,
因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是
ε =1, ε =-1/2+i√3/2, ε =-1/2+i√3/2,
0 1 2
推导过程可参见7.复数的方根,
三.计算一元四次，五次方程的近似解法
1.计算一元四次方程的近似解
4 3 2
x +ax +bx +cx+d=0
4 4
假设x 的系数k ≠1, 可以给方程左边同时除以k，使x 的系数k变成1,
设x=y+h，得
4 3 2
(y+h) +a (y+h) +b(y+h) +c(y+h)+d=0 (1)
化简(1)得,
4 3 2 2 3 4 3 2 2 3 2 2
y +4h y+6h y +4hy +h +ay +3ah y+3ahy +ah +by +2bhy+bh +cy+ch+d=0
4 3 2 2 3 2 4 3 2
y +(4h+a)y +(6h +3ah+b)y +(4h +3ah +2bh)y+h +ah +bh +ch+d=0 (2)
设 a+4h=0,得
h=-a/4,
化简(2)得
4 2 2 3 2 4 3 2
y +(6h +3ah+b)y +(4h +3ah +2bh)y+h +ah +bh +ch+d=0
设y=u-v+w，得
4 2 2 3 2 4 3 2
(u+v) +(6h +3ah+b)(u+v) +(4h +3ah +2bh)(u+v)+h +ah +bh +ch+d=0
4 3 2 2 3 4 2 2 2 2 2
u +4uv +6u v +4u v+v +(6h +3ah+b)u +2(6h +3ah+b)uv+(6h +3ah+b)v
3 2 3 2 4 3 2
+(4h +3ah +2bh)u+(4h +3ah +2bh)v+h +ah +bh +ch+d=0
3 3 2 2 2 3 2 3
u[u +4v +6uv+4u v+(6h +3ah+b)u+2(6h +3ah+b)v+(4h +3ah +2bh)]+v[v +
2 3 2 4 3 2
(6h +3ah+b)v+(4h +3ah +2bh)]+h +ah +bh +ch+d=0
所以，可以这样选取u,v使得
3 3 2 2 2 3 2
u[u +4v +6uv+4u v+(6h +3ah+b)u+2(6h +3ah+b)v+(4h +3ah +2bh)]=0 (3)
{
3 2 3 2 4 3 2
v[v +(6h +3ah+b)v+(4h +3ah +2bh)]+h +ah +bh +ch+d=0 (4)
由(4)得,
3 2 3 2 4 3 2
v[v +(6h +3ah+b)v+(4h +3ah +2bh)]=-(h +ah +bh +ch+d=0)
3 2 3 2
v[v +(6h +3ah+b)v+(4h +3ah +2bh)]
=1
4 3 2
-(h +ah +bh +ch+d)
3 2 3 2
v[v +(6h +3ah+b)v+(4h +3ah +2bh)] 1
=
4 3 2 100000
-100000(h +ah +bh +ch+d)
由于上面方程左右两边的值都小于0.0001，所以给方程左边除以一个数v，再给方程右边乘以一个数v，方程左右两边近似相等,
3 2 3 2
v[v +(6h +3ah+b)v+(4h +3ah +2bh)]
=0.00001v
4 3 2
-100000(h +ah +bh +ch+d)
注意：
3 2 3 2 4 3 2
v +(6h +3ah+b)v+(4h +3ah +2bh)≈-0.01v(h +ah +bh +ch+d)
4 3 2
0.01v(h +ah +bh +ch+d)中的0.0001的取值和方程系数a,b,c有关系有关系，
4 3 2
当a,b,c都小于100时，取0.01v(h +ah +bh +ch+d),
4 3 2
当a,b,c都大于100时，且a,b,c的值都小于1000时，取0.001v(h +ah +bh +ch+d),
4 3 2
当a,b,c都大于1100时，且a,b,c的值都小于10000时，取0.0001v(h +ah +bh +ch+d),
其它情况依次类推, 所以,
3 2 4 3 2 3 2
v +[(6h +3ah+b)+0.01(h +ah +bh +ch+d)]v+(4h +3ah +2bh)≈0
上面方程（5）可转化为,
3
x +px+q=0,
其中, x`=v,
2 4 3 2
p`=[(6h +3ah+b)+0.01(h +ah +bh +ch+d)]
3 2
q`=4h +3ah +2bh
根据一元三次方程卡尔丹公式上面方程的根为:
3 3
2 3 2 3
-q q p q q p
v =
+ + + - - +
0 2 4 27 2 4 27
3 3
2 3 2 3
-q q p 2 q q p
v =ε
+ + +ε - - +
1 2 4 27 2 4 27
3 3
2 3 2 3
2 -q q p q q p
v =ε
+ + +ε - - +
2 2 4 27 2 4 27
其中,
3
ε =1,
因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是
ε =1, ε =-1/2+i√3/2, ε =-1/2+i√3/2,
0 1 2
推导过程可参见7.复数的方根,
由(3)得,
3 3 2 2 2 3 2
u +4v +6uv+4u v+(6h +3ah+b)u+2(6h +3ah+b)v+(4h +3ah +2bh)=0 (9)
上面方程（9）可转化为,
3 2
y +ay +by+c=0 (1)
其中, a``=4v,
2
b``=6h +3ah+b+6v,
3 2 3 2
c``=4v +2(6h +3ah+b)v+(4h +3ah +2bh)
上面方程可转化为,
3
x +px+q=0 (3)
其中,
y=x-a``/3 (2)
2
p=-a +b``,
q=-ab/3+c,
上面方程的根为:
3 3
2 3 2 3
-q q p q q p
u =
+ + + - - + -a``/3
0 2 4 27 2 4 27
3 3
2 3 2 3
-q q p 2 q q p
u =ε
+ + +ε - - + -a``/3
1 2 4 27 2 4 27
3 3
2 3 2 3
2 -q q p q q p
u =ε
+ + +ε - - + -a``/3
2 2 4 27 2 4 27
其中,
3
ε =1,
因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是
ε =1, ε =-1/2+i√3/2, ε =-1/2+i√3/2,
0 1 2
推导过程可参见7.复数的方根,
推导过程可参见А.Г.УРОШ库洛什著高等代数教程1953年版,
最后得到上面一元四次方程的解, x=y+h=u+v+h=u+v-a/4,
3 3
2 3 2 3
-q q p q q p
x =
+ + + - - +
0 2 4 27 2 4 27
3 3
2 3 2 3
-q q p q q p
+ + + + - - + -a``/3-a/4
2 4 27 2 4 27
3 3
2 3 2 3
-q q p 2 q q p
x =ε
+ + +ε - - +
1 2 4 27 2 4 27
3 3
2 3 2 3
-q q p 2 q q p
+ε
+ + +ε - - + -a``/3-a/4
2 4 27 2 4 27
3 3
2 3 2 3
2 -q q p q q p
x =ε
+ + +ε - - +
2 2 4 27 2 4 27
3 3
2 3 2 3
2 -q q p q q p
+ε
+ + +ε - - + -a``/3-a/4
2 4 27 2 4 27
2.计算一元五次方程的近似解
5 4 3 2
x +ax +bx +cx +dx+e=0
5 5
假设x 的系数k ≠1, 可以给方程左边同时除以k，使x 的系数k变成1,
设x=y+h，得
5 4 3 2
(y+h) +a (y+h) +b(y+h) +c(y+h) +d (y+h)+e=0 (1)
化简(1)得,
5 4 2 3 3 2 4 5 4 3 2 2 3
y +5hy +10h y +10h y +5h y+h +ay +4ahy +6ah y +4ah y
4 3 2 2 3 2 2
+ahn +by +3bhy +3bh y+bh +cy +2chy +ch +dy+dh+e=0
5 4 2 3 2 3 2 3 4 5
y +(a+5h)y +(4a+10h +b)y +(6ah +10h +c+3bh)y +(4ah +5h +2ch+3bh+d)y+h
4 3 2
+ah +bh +ch +dh+e=0
设a+5h=0,得, h=-a/5, x=y-a/5,
化简(2)得,
5 2 3 2 3 2 3 4 5 4
y +(4a+10h +b)y +(6ah +10h +c+3bh)y +(4ah +5h +2ch+3bh+d)y+h +ah
3 2
+bh +ch +dh+e=0
设 y=u+v，得
5 2 3 2 3 2 3 4
(u+v) +(4a+10h +b)(u+v) +(6ah +10h +c+3bh)(u+v) +(4ah +5h
5 4 3 2
+2ch+3bh+d)(u+v)+h +ah +bh +ch +dh+e=0 (3)
因为,
5 5 4 2 3 3 2 4 5
(u+v) =u +5vu +10v u +10v u +5v u+v (4)
2 3 3 2 2 3 2 3 2 2
(4a+10h +b)(u+v) =4au +12avu +12av u+4av +10h u +30h vu
2 2 2 3 3 2 2 3
+30h v u+10h v +bu +3bvu +3bv u+bv (5)
2 3 2 2 2 2 2 3 2 3
(6ah +10h +c+3bh)(u+v) =6ah u+12ah vu+6ah v +10h u +20h vu
3 2 2 2 2 2
+10h v +cu +2cuv+cu +3bhu +6bhu+3bhu (6)
3 4 3 4 3 4
(4ah +5h +2ch+3bh+d)(u+v)=4ah u+5h u+2chu+3bhu+du+4ah v+5h v+2chv+3bhv+dv (7)
化简(3)得,
4 3 2 2 3 4 2 2 2
u[u +5vu +10v u +10v u+5v +(4a+10h +b)u +3v(4a+10h +b)u
2 2 2 3 2 3
+3v (4a+10h +b) +(6ah +10h +c+3bh)u+2v(6ah +10h +c+3bh)
3 4 4 2 2 2 3
+(4ah +5h +2ch+3bh+d)]+v[v +(4a+10h +b)v +(6ah +10h +c+3bh)v
3 4 5 4 3 2
+(4a +5h +2ch+3bh+d)]+h +ah +bh +ch +dh+e=0
所以，可以这样选取u,v，使得
4 3 2 2 3 4 2 2 2 2 2
u[u +5vu +10v u +10v u+5v +(4a+10h +b)u +3v(4a+10h +b)u+3v (4a+10h +b)
2 3 2 3 3 4
+(6ah +10h +c+3bh)u+2v(6ah +10h +c+3bh)+(4ah +5h +2ch+3bh+d)]=0 (8)
{
4 2 2 2 3 3 5 4 3
v[v +(4a+10h +b)v +(6ah +10h +c+3bh)v+(4a +5h +2ch+3bh+d)]+h +ah +bh
2
+ch +dh+e=0 (9)
由(9)得
4 2 2 2 3 3 4
v[v +(4a+10h +b)v +(6ah +10h +c+3bh)v+(4a +5h +2ch+3bh+d)]
5 4 3 2
=-(h +ah +bh +ch +dh+e)
4 2 2 2 3 3 4
v[v +(4a+10h +b)v +(6ah +10h +c+3bh)v+(4a +5h +2ch+3bh+d)]
=1
5 4 3 2
-(h +ah +bh +ch +dh+e)
4 2 2 2 3 3 4
v[v +(4a+10h +b)v +(6ah +10h +c+3bh)v+(4a +5h +2ch+3bh+d)] 1
=
5 4 3 2
-100000(h +ah +bh +ch +dh+e) 100000
由于上面方程左右两边的值都小于0.0001，所以给方程左边除以一个数v，再给方程右边乘以一个数v，方程左右两边近似相等,
4 2 2 2 3 3 4
v[v +(4a+10h +b)v +(6ah +10h +c+3bh)v+(4a +5h +2ch+3bh+d)]
≈0.00001v
5 4 3 2
-100000(h +ah +bh +ch +dh+e)
4 2 2 2 3 3 4
v +(4a+10h +b)v +(6ah +10h +c+3bh)v+(4a +5h +2ch+3bh+d)
5 4 3 2
≈-0.01v(h +ah +bh +ch +dh+e)
注意：
5 4 3 2
0.001v(h +ah +bh +ch +dh+e)中的0.0001的取值和方程系数a,b,c有关系有关系，
5 4 3 2
当a,b,c都小于100时，取0.01v(h +ah +bh +ch +dh+e)
当a,b,c都大于100时，且a,b,c的值都小于1000时，
5 4 3 2
取0.001v(h +ah +bh +ch +dh+e),
当a,b,c都大于1100时，且a,b,c的值都小于10000时，
5 4 3 2
取0.0001v(h +ah +bh +ch +dh+e),
其它情况依次类推, 所以,
4 2 2 2 3 3 4
v +(4a+10h +b)v +(6ah +10h +c+3bh)v+(4a +5h +2ch+3bh+d)
5 4 3 2
+0.01v(h +ah +bh +ch +dh+e)≈0
上面方程（10）可转化为,
4 2
x +px +qx+r=0
上式中,
v=x`,
2
p`=4a+10h +b,
2 3 5 4 3 2
q`=6ah +10h +c+3bh+0.01(h +ah +bh +ch +dh+e)
4 3
r`=4a +5h +2ch+3bh+d
根据一元四次方程费拉里公式上面方程的根为:
p
q
2t
± 2t -4( +t` + )
0 0 2 0 2 2t`
0
v=x`= -
2
其中,
3 3
2 3 2 3
-q q p -q q p
t
= + + + - + -p/3
0 2 4 27 2 4 27
3 3
2 3 2 3
-q q p 2 -q q p
t
=ε + + +ε - + -p/3
1 2 4 27 2 4 27
3 3
2 3 2 3
2 -q q p -q q p
t
=ε + + +ε - + -p/3
2 2 4 27 2 4 27
上式中,
2
p```=-r+p /4-p`/3,
3 2 2
q```=-p /27-p(-r+p )/12-q` /8
由(8)得
4 3 2 2 3 4 2 2 2 2 2
u +5vu +10v u +10v u+5v +(4a+10h +b)u +3v(4a+10h +b)u+3v (4a+10h +b)
2 3 2 3 3 4
+(6ah +10h +c+3bh)u+2v(6ah +10h +c+3bh)+(4ah +5h +2ch+3bh+d)=0
4 3 2 2 2 3 2 2 3
u +5vu +(10v +4a+10h +b)u +[10v +3v(4a+10h +b)+6ah +10h +c+3bh]u
4 2 3 3 4
+5v +2v(6ah +10h +c+3bh)+(4ah +5h +2ch+3bh+d)=0 (11)
上面方程（11）可转化为,
4 3 2
y +ay +by +cy+d=0
上式中, a``=5v,
2 2
b``=10v +4a+10h +b
3 2 2 3
c``=10v +3v(4a+10h +b)+6ah +10h +c+3bh
4 2 3 3 4
d``=5v +2v(6ah +10h +c+3bh)+(4ah +5h +2ch+3bh+d)
预先代以y=x-a``/4化方程为:
4 2
x +px +qx+r=0
上式中,
h=-a/4,
2 4 3
p=6h +3ah, r=h +ah +h+d, y=x-a``/4,
3 2
q=4h +3ah +c``
解得,
p
q
2t
± 2t -4( +t` + )
0 0 2 0 2 2t`
0
u=y
=x-a``/4= -
2
其中,
3 3
2 3 2 3
-q q p -q q p
t
= + + + - + -p/3
0 2 4 27 2 4 27
3 3
2 3 2 3
-q q p 2 -q q p
t
=ε + + +ε - + -p/3
1 2 4 27 2 4 27
3 3
2 3 2 3
2 -q q p -q q p
t
=ε + + +ε - + -p/3
2 2 4 27 2 4 27
上式中,
2
p````=-r+p /4-p``/3,
3 2 2
q````=-p /27-p(-r+p )/12-q`` /8
最后得到上面一元四次方程的解x=y+h=u+v+h=u+v-a/4,
p
q
2t
± 2t -4( +t` + )
0 0 2 0 2 2t`
0
x= -
2
p
q
2t
± 2t -4( +t`` + )
0 0 2 0 2 2t``
0
+ - -a``/4-a/4
2
3.由数学归纳法可知，计算一元n次方程近似解的公式如下
n 3 2
x +...+ax +bx +cx+d=0
4 4
假设x 的系数k ≠1, 可以给方程左边同时除以k，使x 的系数k变成1,
设x=y+h，得,
n 3 2
(y+h) +...+a (y+h) +b(y+h) +c(y+h)+d=0 (1)
化简(1)得,
n n 3 2 2 3 2 2
y +...+h +...+ay +3ah y+3ahy +ah +by +2bhy+bh +cy+ch+d=0
n n-1 2 3 4 3 2
y +(nh+a)y +(...+3ah+b)y +(...+3ah +2bh)y+...+h +ah +bh +ch+d=0 (2)
设a+nh=0,得, h=-a/n
化简(2)得,
n 2 3 4 3 2
y +(...+3ah+b)y +(...+3ah +2bh)y+...+h +ah +bh +ch+d=0
n次方程各项的系数可以通过二项式定理计算, 二项式展开公式如下:
n 0 n 1 n-1 k n-k k n n
(a+b) =C a +C a b+...+C a b +...+C b
n n n n
设y=u-v+w，得
n 2 3 4 3 2
(u+v) +(...+3ah+b)(u+v) +(...+3ah +2bh)(u+v)+...+h +ah +bh +ch+d=0
n-1 3 3 2 2 2 3 2
u[u +...+u +4v +6uv+4u v+(6h +3ah+b)u+2(6h +3ah+b)v+(4h +3ah +2bh)]
n-1 3 2 3 2 n 4 3 2
+v[v +...+v +(6h +3ah+b)v+(4h +3ah +2bh)]+h +...+h +ah +bh +ch+d=0
所以，可以这样选取u,v使得,
n-1 3 3 2 2 2 3 2
u[u +...+u +4v +6uv+4u v+(6h +3ah+b)u+2(6h +3ah+b)v+(4h +3ah +2bh)]=0 (3)
{
n-1 3 2 3 2 n 4 3 2
v[v +...+v +(6h +3ah+b)v +(4h +3ah +2bh)]+h +...+h +ah +bh +ch+d=0 (4)
由(4)得,
n-1 3 2 3 2 n 4 3 2
v[v +...+v +(6h +3ah+b)v +(4h +3ah +2bh)]=-(h +...+h +ah +bh +ch+d)
n-1 3 2 3 2
v[v +...+v +(6h +3ah+b)v +(4h +3ah +2bh)]
=1
n 4 3 2
-(h +...+h +ah +bh +ch+d)
n-1 3 2 3 2
v[v +...+v +(6h +3ah+b)v +(4h +3ah +2bh)] 1
=
n 4 3 2 100000
-100000(h +...+h +ah +bh +ch+d)
由于上面方程左右两边的值都小于0.0001，所以给方程左边除以一个数v，再给方程右边乘以一个数v，方程左右两边近似相等,
n-1 3 2 3 2
v[v +...+v +(6h +3ah+b)v +(4h +3ah +2bh)]
≈0.00001v
n 4 3 2
-100000(h +...+h +ah +bh +ch+d)
注意：
n-1 3 2 3 2 4 3 2
v +...+v +(6h +3ah+b)v +(4h +3ah +2bh)≈-0.01v(h +ah +bh +ch+d)
n 4 3 2
0.01v(h +...+h +ah +bh +ch+d)中的0.0001的取值和方程系数a,b,c有关系有关系，
n 4 3 2
当a,b,c都小于100时，取0.01v(h +...+h +ah +bh +ch+d),
n 4 3 2
当a,b,c都大于100时，且a,b,c的值都小于1000时，取0.001v(h +...+h +ah +bh +ch+d),
当a,b,c都大于1100时，且a,b,c的值都小于10000时，
n 4 3 2
取0.0001v(h +...+h +ah +bh +ch+d)
其它情况依次类推, 所以,
n-1 3 2 4 3 2 3 2
v +...+v +[(6h +3ah+b)+0.01(h +ah +bh +ch+d)]v+(4h +3ah +2bh)≈0 (5)
上面方程（5）可转化为:
n-1
x +...+px+q=0
其中, x`=v,
2 4 3 2
p`=[(6h +3ah+b)+0.01(h +ah +bh +ch+d)]
3 2
q`=4h +3ah +2bh
根据一元n-1次方程求根公式:
3 3
2 3 2 3
-q q p -q q p
v = + + + - + (6)
0 2 4 27 2 4 27
3 3
2 3 2 3
-q q p 2 -q q p
v =ε + + +ε - + (7)
1 2 4 27 2 4 27
3 3
2 3 2 3
2 -q q p -q q p
v =ε + + +ε - + (8)
2 2 4 27 2 4 27
上式中,
3
ε =1,
因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是
ε =1, ε =-1/2+i√3/2, ε =-1/2+i√3/2,
0 1 2
推导过程可参见7.复数的方根,
由(3)得,
n-1 3 3 2 2 2 3 2
u +...+u +4v +6uv+4u v+(6h +3ah+b)u+2(6h +3ah+b)v+(4h +3ah +2bh)=0 (9)
上面方程（9）可转化为:
n-1 2
y +...+ay +by+c=0 (1)
其中, a``=4v,
2 3 2 3 2
b=6h +3ah+b+6v, c=4v +2(6h +3ah+b)v+(4h +3ah +2bh)
上面方程可转化为:
n-1
x +...+px+q=0 (3)
其中,
y=x-a``/3 (2)
2
p=-a +b , q=-ab/3+c``
上面方程的根为:
3 3
2 3 2 3
-q q p -q q p
u = + + + - + -a``/3
0 2 4 27 2 4 27
3 3
2 3 2 3
-q q p 2 -q q p
u =ε + + +ε - + -a``/3
1 2 4 27 2 4 27
3 3
2 3 2 3
2 -q q p -q q p
u =ε + + +ε - + -a``/3
2 2 4 27 2 4 27
3
其中, ε =1,
因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是:
ε =1, ε =-1/2+i√3/2, ε =-1/2+i√3/2,
0 1 2
推导过程可参见7.复数的方根,
推导过程可参见А.Г.УРОШ库洛什著高等代数教程1953年版,
最后得到上面一元n-1次方程的解, x=y+h=u+v+h=u+v-a/4,
3 3
2 3 2 3
-q q p -q q p
x = + + + - +
0 2 4 27 2 4 27
3 3
2 3 2 3
-q q p -q q p
+ + + + - + -a``/3-a/4
2 4 27 2 4 27
3 3
2 3 2 3
-q q p 2 -q q p
x =ε + + +ε - +
1 2 4 27 2 4 27
3 3
2 3 2 3
-q q p 2 -q q p
+ε + + +ε - + -a``/3-a/4
2 4 27 2 4 27
3 3
2 3 2 3
2 -q q p -q q p
x =ε + + +ε - +
2 2 4 27 2 4 27
3 3
2 3 2 3
2 -q q p -q q p
+ε + + +ε - + -a``/3-a/4
2 4 27 2 4 27
- 说明，计算一元三次立方根的卡尔丹公式如下：
3 2
y +ay +by+c=0
上面方程可转化为:
3
x +px+q=0
其中, y=x-a/3, h=-a/3,
2 2 3 2
p=3h +b+2ah=b-a /3, q=h +bh+c=-a /27-ab/3+c
上面方程的根为:
3 3
2 3 2 3
-q q p -q q p
y = + + + - +
0 2 4 27 2 4 27
3 3
2 3 2 3
-q q p 2 -q q p
y =ε + + +ε - +
1 2 4 27 2 4 27
3 3
2 3 2 3
2 -q q p -q q p
y =ε + + +ε - +
2 2 4 27 2 4 27
3
其中, ε =1,
因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是:
ε =1, ε =-1/2+i√3/2, ε =-1/2+i√3/2,
0 1 2
