附-2-3卷积积分和重迭积分法
1.卷积积分和重迭积分原理
如图-2-7所示，图(a)为跳变沿是ε的阶跃函数；(b)为跳变沿ε→0的理想阶跃函数；(c)为阶跃函数发生于t=τ，表示式分别为：
0,t<0
H (t)={ t/ε，0≤t≤ε
ε 1，t>ε
0,t<0
H(t)= lim H (t)={ 附-2-32 ε→0 ε 1，t>0
0,t<τ
H(t-τ)={ 1,t>τ 一个矩形脉冲可以看作两个阶跃函数，H(t)和-RH(t-τ)迭加而成，如图附-2-8(a)所示；而图附2-8(b)所示说明一个阶梯脉冲可看作四个阶跃函数迭加。同理，任何一个脉冲信号都可看成由若干个发生在不同时刻的阶跃函数迭加而成。图附-2-9所示为单位脉冲波形，图(a)的脉宽为ε何幅度为1/ε；图(b)为脉宽ε→0的理想单位脉冲函数；图(c)为发生于时间t=τ的单位脉冲函数，表示式分别为：
0,t>ε，t<0
δ (t)={ ε t/ε，0≤t≤ε
0,t≠0
δ(t)= lim δ (t)={ 附-2-33 ε→0 ε ∞,t=0
0,t≠τ
δ(t-τ)={
∞,t=τ
单位脉冲函数还具有下列特性：
∞ ε
∫ δ(t)dt=∫ δ(t)dt=1
-∞ 0
∞ τ+ε
∫ δ(t-τ)dt=∫ δ(t-τ)dt=1 附-2-34
-∞ 0
δ(t)= lim H (t)=H(t) 附-2-35
ε→0 ε
∞
∫ f(t)δ(t-τ)dt=f(τ) 附-2-36
-∞
（附-2-34）式表明单位脉冲函数曲线与时间轴t围城的面积等于1，因而成为单位脉冲。（附-2-35）式表明阶跃函数的导数是单位脉冲函数。（附-2-36）式的物理意义说明单位脉冲起着扫描取样脉冲的作用，也就是说，如果在τ时刻出现单位脉冲δ(t-τ)，函数f(t)的值f(τ)便被取出。从这一特性出发可以把任何时间函数f(t)都可看作若干个发生在不同时刻的δ (t-τ)和一定常数的乘积组合而成。
ε
设线性网络的传输函数为N(p)，网络对阶跃函数H(t)的输出响应为h(t)；对脉冲函数δ(t)的输出响应为k(t)，如图附-2-10所示。再令：
H(p)=￡[H(t)];h(p)=￡[h(t)];δ(p)=￡[δ(t)];k(p)=δ[k(t)]
根据（附2-27）式可得：
h(p)=￡[h(t)]=N(p)H(p); (附-2-37)
k(p)=￡[k(t)]=N(p)δ(p); (附-2-38)
H(p)和δ(p)可查表得到，或者直接用（附-2-16）式计算出：
∞ -pt
H (p)=￡[H(t-τ)]= ∫ H(t-τ)e dt
τ 0
τ -pt 1 -pt
= ∫ e dt= e (附-2-39)
0 p
当τ=0时，H(p)=1/p，同样，由（附-2-16）式，并考虑到（附-2-30）式的关系，可得
∞ -pt -pt
δ(p)=￡[δ(t-τ)]= ∫ δ(t-τ)e dt=e (附-2-40)
0
-pt
当τ=0时，δ(p)=1，上列两式中的e 为位移因子，它反应原函数在时间上向后位移了τ值。将（附-2-39），（附-2-40）式分别代入（附-2-37），（附-2-38）式，可得：
1
h(p)=￡[h(t)]= N(p) (附-2-41)
p
k(p)=￡[k(t)]=N(p) (附-2-42)
可见，阶跃响应函数h(t)和脉冲响应函数k(t)完全决定于线性网络的传输函数N(p). 这样，输入给网络的信号为一任意函数x(t), 其输出函数y(t)可由若干个对应的阶跃响应函数或脉冲响应函数线性迭加而成，这就是下面要导出重迭积分和卷积积分的物理基础。
2.重迭积分
设有某一线性网络N(p)，输入函数为x(t)，具有任意波形，但当t<0时，x(t)=0，对应的输出函数为y(t). 我们将输入函数x(t)用阶跃函数序列之和来近似，如图附2-11所示，因此得
x(t)=x(0)H(t)+△x H(t-△τ)+△x H(t-2△τ)+..+△x H(t-n△τ)+...
1 2 n
式中：△x =x(i△τ)-x[(i-1) △τ]
i
根据线性迭加原理，线性网络的输出函数y(t)可近似为：
y(t)=x(0)h(t)+△x h(t-△τ)+...+△x h(t-n△τ)+..
1 n
△x
n i
=x(0)h(t)+ ∑ h(t-i△τ)△τ
i=1 △τ
令：△x→0；n→∞；n△τ→τ，则得
△x
n i
y(t)=x(0)h(t)+ lim ∑ h(t-i△τ)△τ
i=1 △τ
即,
t
y(t)=x(0)h(t)+ ∫ x(t)h(t-τ)dτ 0 或 （附-2-43） t y(t)=x(0)h(t)+ ∫ x(t-τ)h(t)dτ
0
上两式就是所求的重迭积分式。重迭积分式有多种形式，除（附-2-45）式外，下列两种也是常用的重迭积分式：
t
y(t)=h(0)x(t)+∫ x(τ)h(t-τ)dτ 0 （附-2-44） t y(t)=h(0)x(t)+∫ x(t-τ)h(t)dτ
0
下面仍举矩形脉冲通过RC微分电路之例，说明重迭积分的应用。
用x(t)=v (t),y(t)=v (t)代入（附-2-43）式，则为
i 0
t
v (t)=v (0)h(t)+∫ v (τ)h(t-τ)dτ （附-2-45） 0 0 0 i 由图附-2-8（a）可知： v (t)=EH(t)-EH(t-τ ) I 0 再根据（附-2-32）式，得： v (0)=0 i 由（附-2-35）式可得： v (t)=E*H(t)-E*H(t-τ )=E[δ(t)-δ(t-τ )]
i u u
RC电路的传输函数的象函数应为：
R p
N(p)= =
1 1
R+ p+
pC CR
因此
1
￡[h(t)]=
1
p+
CR
查表可得：
-1/RC
e ,t>0
h(t)={
0,t<0
或
-1/RC
h(t)=e *H(t)
将v (0),v` (t),h(t)代入（附-2-45）式得：
I I
T -(t-τ)/RC
v (t)= ∫ E[δ(τ)-δ(τ-τ )]H(t-τ)e dτ
0 0 u
t -(t-τ)/RC t -(t-τ)/RC
=E[∫ δ(τ)H(t-τ)e dτ- ∫ δ(τ-τ )H(t-τ)e dτ]
0 0 u
-1/RC -(t-τ)/RC
=E[e H(t)-e H(t-τ )] （附-2-46） u 上式中的第一项为发生在t=0处的正尖脉冲；第二项则为发生在t=τ 处的负尖脉冲，如图附-2-6所示。 3.卷积积分 与重迭积分的导出方法相似，y(t)可近似地表示为： y(t)=x △τk(t)+x △τk(t-△τ)+...+x △τk(t-n△τ)+... 0 1 n
n
=∑ x △τk(t-i△τ)
i=0 i
令：△τ→0，n→∞；n△τ=τ，得：
n
y(t)= lim ∑ x △τk(t-i△τ)
△x→0 i=0 i
n→∞
即,
t
y(t)= ∫ x(τ)k(t-τ)dτ （附-2-47）
0
或
t
y(t)= ∫ x(t-τ)k(τ)dτ （附-2-48）
0
上面两式就是卷积积分式，它是求网络的输出函数的一种方法。其实，卷积积分式可以很方便的从拉普拉斯变换法求得。设网络的初始状态为零，根据（附-2-27）式可得：
Y(p)=N(p)X(p) （附-2-49）
因此：
-1 -1
y(t)=￡ [Y(p)]=￡ [N(p)X(p)]
1 C+j∞ pt
= ∫ N(p)X(p)e dp
2πj C-j∞
由（附-2-12）式可得：
∞ -pτ
N(p)=￡[k(τ)]= ∫ k(τ)e dτ
0
将N(p)代入（附-2-50）式，则得：
1 C+j∞ pt ∞ -pτ
y(t)= ∫ X(p)e [∫ k(τ)e dτ]dp
2πj C-j∞ 0
∞ 1 C+j∞ p(t-τ)
= ∫ k(τ)[ ∫ X(p)e dp]dτ 0 2πj C-j∞
∞
= ∫ k(τ)x(t-τ)dτ 0
t
= ∫ k(τ)x(t-τ)dτ （附-2-48）
0
可见，卷积积分式和运算法的基本公式（附-2-19）式是相对应的。前者是在时域中表出了网络与输入、输出函数之间关系；而后者则在复频域中表现了这三者的关系。
再应用卷积积分来求解图附-2-6所示的例题，由（附-2-47）式得：
t
v (t)=∫ v (τ)k(t-τ)dτ （附-2-51）
0 0 i
式中，
v (τ)=EH(τ)-EH(τ-τ )
i u
由（附-2-42）式得
1
p RC
￡[k(t)]=N(p)= =1-
1 1
p+ p+
RC CR
查表得：
1 -t/RC
k(t)=δ(t)- e H(t)
RC
将k(t)和v (τ)的结果代入（附-2-51）式：
i
t 1 -(t-τ)/RC
v (t)= ∫ E[H(τ)-H(τ-τ )][δ(t-τ)- e H(t-τ)dτ
0 u RC
t t 1 -(t-τ)/RC
= ∫ E[H(τ)-H(τ-τ )]δ(t-τ)dτ-∫E[H(τ)-H(τ-τ )] e H(t-τ)dτ
0 u 0 u RC
-(t-τ )/RC
-t/RC u
=v (t)-{v (t)-E[e H(t)-e H(t-τ )]}
i i u
-(t-τ )/RC
-t/RC u
=E[e H(t)-e H(t-τ )] （附-2-52）
u
从这个简单的例子可直接清楚的看到，应用卷积积分式求解网络远没有运算法简便有效。因此它不是求解线性网络的一种常用的方法，但它常常作为运算法中求解拉普拉斯反变换等的一种辅助方法，例如，求解下列象函数
1
F(p)=
(p+α)(p+β)
的拉普拉斯反变换，可将F(p)写成：
F(p)=F (p)*F (p)
1 2
式中：
1
F (p)=
1 p+α
1
F (p)=
2 p+β
因此
-1 -αt
f (t)=￡ [F (p)]=e
1 1
-α(t-τ)
f (t-τ)=e
1
-1 -βt
f (t)=￡ [F (p)]=e
2 2
应用卷积积分式则得：
-1 t
f(t)=￡ [F(p)]= ∫ f (t-τ)f (τ)dτ
0 1 2
t -α(t-τ) -βt -αt t -(β-α)τ
=∫ e e dτ=e ∫ e dτ
0 0
1 -βt -αt
= (e -e )
α-β
3.脉冲信号的拉普拉斯变换表
序号 F(p) f(t)(脉冲波形)
1 1/p
-ap
2 e /p
3 1
-ap
4 e
-ap
5 pe
2
6 1/p
-ap 3
7 e /p
-ap
1-e
8
p
-ap -bp
e -e
9
p
-ap 2
(1-e )
10
p
-ap 2
(1-e )
11
2
p
-ap -bp 2
(e -e )
12
2
p
-ap
be
13
p(p+b)
1
14
p+b
-ap
e
15
p+b
1
16
(p+a)(p+b)
-ap -bp
e -e
17
2
p
-ap
1-e
18
2
p
-ap
e +ap-1
19
2
ap
-2cπp/a
a(1-e )
20
2 2
p +a
-2cπp/a
p(1-e )
21
2 2
p +a
-πp/a
a 1+e
22
2 2 -πp/a
p +a 1-e
a 1
23
2 2 -πp/a
p +a 1-e
1
24
-ap
p(1+e )
-ap
e +ap-1
25
-ap
ap (1+e )
1
26
ap
p(1+e )
-ap/v
1-e
27
-ap
p (1+e )
-ap
1-e
28
-ap
p (1+e )
-ap
e -1
29
-ap
p (1+e )
-ap
4-e
30
-ap
p(4+2e )
-ap
1-e
31
ap -ap
p(e +e )
-ap
1-e
32
2 -ap
ap (1+e )
-ap 2
(1-e )
33
2 -4ap
ap (1+e )
-ap/2v 2
2v(1-e )
34
2 -ap
ap (1+e )
-ap 2 ap/v
v(v-1)+ve -v e
35
2 -ap
(v-1)ap (1-e )
a
ap+1-e p
36
2 -ap
ap (1-e )
-ap
2-ap-(2+ap)e
37
2 -ap
ap (1-e )
-ap
2(1-e ) 1
38 -
2 -ap
ap (1-e ) p
1
39
p
p(e -1)
1
40
ap
p(e -1)
1
41
-p
p(1-e )
1
42
-ap
p(1-e )
1
43
2 2
p +a
p
44
2 2
p +a
1
45
2 2
p +a
p
46
2 2
p +a
1
47
2 2
p +a
1
48
2 2 2 2
p +a (p+ p +a )
1
49
2 2
(p+a) +b
-1 a
50 tg ( )
p
第六部分拉普拉斯变换AD采样电路
根据拉普拉斯变换
+∞ -st
F(s)=￡[f(t)]= ∫ e f(t)dt,
0
设φ(s)=F`(s)
F(s)
φ(s)=tgα=
s
-st
φ(s)=tgα=e f(t)dt,
F(s)
α=arctg
s
设w(s)=tgβ
-st
e f(t)
w(t)=tgβ=
t
-st
e f(t)
β=arctg
t
因为α+β=π/2
-st
F(s) e f(t)
arctg +arctg =π/2
s t
-st
F(s) e f(t)
arctg =π/2-arctg
s t
-st
F(s) e f(t)
=tg[π/2-arctg ]
s t
-st
e f(t)
F(s) =tg[π/2 -arctg ]s (1)
t
这样就得到一个计算拉普拉斯变换的公式
同理可证,
-st
e f(t) F(s)
arctg =π/2-arctg
t s
-st
e f(t) F(s)
=tg[π/2-arctg ]
t s
-st F(s)
e f(t) =tg[π/2-arctg ]t
s
F(s) -st
f(t) =tg[π/2-arctg ]t/e (2)
s
这样就得到一个计算拉普拉斯逆变换的公式 下面的电路可参见《数字电路》上册，上海师范大学物理系编，上海人民出版社1975年出版
1
F(p)=
-ap
p(1+e )
因为,
-st
e f(t)
F(s) =tg[π/2 -arctg ]s (1)
t
-st
e f(t) 1
tg[π/2-arctg ]s=
t -as
s(1+e )
这样就得到一个采集方波信号的函数F(s), 用加法器，乘法器乘法器，除法器，tg计算电路表示上面的公式，当有方波信号输入时，等式左右两端电路的电压值相等。同时计算机将采集得到的方法信号经过处理后变成函数F(s)，存储在寄存器中, 当计算机从端口01发送方波信号，被物体反弹回来以后，经过端口02采集这个方波信号，经过上面的计算如果等式左右两端相等，则证明方波信号就是发射出去的方波信号。发射方波信号的函数如下： F(s) -st f(t) =tg[π/2-arctg ]t/e (2) s
1 -st
f(t) =tg[π/2-arctg ]t/e
2 -as
s (1+e )
寄存器A和寄存器B里面的数据相互比较，如果两者相等减法器输出0, 此时，或门输出1，与门输出1，状态寄存器A保存1，证明接收信号就是发射的信号。 下面的电路可参见《数字电路》上册，上海师范大学物理系编，上海人民出版社1975年出版
-ap
1-e
F(p)=
2 -ap
ap (1+e )
因为
F(s) -st
f(t) =tg[π/2-arctg ]t/e (2)
s
-as
1-e -st
f(t) =tg[π/2-arctg ]t/e
2 -as
as (1+e )
这样就得到一个采集方波信号的函数f(t), 用加法器，乘法器乘法器，除法器，tg计算电路表示上面的公式，这样就形成了一个产生三角波的电路.
定积分是把函数在某个区间上的图像[a,b]分成n份，用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，再求当n→∞时所有这些矩形面积的和, 习惯上，我们用等差级数分点，即相邻两端点的间距△x是相等的。但必须指出，△x不相等，积分值仍然相同。我们假设这些“矩形面积和”。
S=f(x )△x +f(x )△x +...+f(x )△x
1 1 2 2 n-1 n-1
那么当n→∞时，△x的最大值趋于0，所以所有的△x趋于0，所以S仍然区域积分值。
利用这个规律，在我们了解牛顿-莱布尼兹公式之前，我们便可以对某些函数进行积分。
例如：证明对于函数
x
f(x)=k (k∈Q,k≠-1)有
b a
+∞ bk -ak
∫ f(x)dx=
0 k+1
证明：选择等比级数来分点，令公比
a
k a-b
q= , q=k
b
k
那么矩形面积和为
a a k 2
S =k (aq -a)+k q (aq -aq)
n
a
提取k (aq-a),则有
a (k+1) 2(k+1) (n-1)(k+1)
S =ak (q-1)[1+q +q +...q ]
n
利用等比级数公式，得到
b a
q-1 b a bk -ak
S = (bk -ak )=
n (k+1) N
q -1
其中,
(k+1)
q -1
N=
q-1
1/v
设k=u/v(u,v∈Z),令q =s，则
(k+1)
(k+1) (k+1) s v-1
s v-1 s v-1 s-1
N= = =
v v v
s -1 s -1 s -1
s-1
令n增加，则s,q都趋于1，因而N的极限为
u+v u
= +1=k+1
v v
根据拉普拉斯变换
+∞ -st
F(s)=￡[f(t)]= ∫ e f(t)dt,
0
因为,
x
f(x)=k (k∈Q,k≠-1)有
b a
+∞ bk -ak
∫ f(x)dx=
0 k+1
-st
设φ(s)=e f(t)
同理可证：
-bs -as
+∞ -st be f(t)-ae f(t)
∫ e f(t)dt=
0 -s
[e f(t)]+1
所以,
-bs -as
+∞ -st be f(t)-ae f(t)
F(s)=￡[f(t)]=∫ e f(t)dt= (3)
0 -s
[e f(t)]+1
所以,
-bs -as
be f(t)-ae f(t)
F(s)=
-s
[e f(t)]+1
-bs -as
-s be f(t)-ae f(t)
[e f(t)]+1=
F(s)
-bs -as
-s be f(t)-ae f(t)
e f(t)- +1=0 F(s)
1
f(t)=
-bs -as
be -ae -s
-e
F(s)
F(s)
f(t)= (4)
-bs -as -s
be -ae -e F(s)
下面的电路可参见《数字电路》上册，上海师范大学物理系编，上海人民出版社1975年出版
1
F(p)=
-ap
p(1+e )
-bs -as
+∞ -st be f(t)-ae f(t)
F(s)=￡[f(t)]=∫ e f(t)dt= (3) 0 -s [e f(t)]+1
-bs -as
be f(t)-ae f(t) 1
=
-s -as
[e f(t)]+1 s(1+e )
这样就得到一个采集方波信号的函数F(s), 用加法器，乘法器乘法器，除法器，tg计算电路表示上面的公式，当有方波信号输入时，等式左右两端电路的电压值相等。同时计算机将采集得到的方法信号经过处理后变成函数F(s)，存储在寄存器中, 当计算机从端口01发送方波信号，被物体反弹回来以后，经过端口02采集这个方波信号，经过上面的计算如果等式左右两端相等，则证明方波信号就是发射出去的方波信号。发射方波信号的函数如下：
F(s)
f(t)= (4)
-bs -as -s
be -ae -e F(s)
1
-as
s(1+e )
f(t)=
-s
-bs -as e
be -ae -
-as
s(1+e )
-s
-bs -as e
be -ae - -as
s(1+e )
f(t)=
-as
s(1+e )
下面的电路可参见《数字电路》上册，上海师范大学物理系编，上海人民出版社1975年出版
-ap
1-e
F(p)=
2 -ap
ap (1+e )
F(s)
f(t)= (4)
-bs -as -s
be -ae -e F(s)
2 -ms
1 ms (1+e )
f(t)=
-ms -ms
-bs -as -s 1-e 1-e
be -ae -e
2 -ms
ms (1+e )
这样就得到一个采集方波信号的函数f(t), 用加法器，乘法器乘法器，除法器，tg计算电路表示上面的公式，这样就形成了一个产生三角波的电路.
第七部分梅林变换
根据梅林变换
+∞ s-1
{Mf}(s)=φ(s)= ∫ x f(x)dx
0
逆变换是：
1 +∞ -s
{M φ}(x)=f(x)= ∫ x φ(s)ds
2πi 0
这是在复平面上的垂直线上的线积分。在melin反演定理中给出了这种反演有效的条件。
这个转换以芬兰数学家Hjalmar Mellin命名。
例1，求函数f(t)=1的梅林变换
解：由梅林变换的定义，有
+∞ s-1
φ(s)=M(1)= ∫ x dx
0
1 +∞
= x 2πi 0
1
= (Re(t)>0)
s
例2.求函数f(x)=x的梅林变换
解：由梅林变换的定义有
+∞ s-1
φ(s)=M(s)= ∫ x xdx
0
+∞ s
= ∫ x dx
0
1 s+1 +∞
= x
s+1 0
x
=
s+1
n
例3.求函数f(x)=x 的梅林变换，其中n是正整数，Re(s)>0
解：
n +∞ s-1 n
φ(s)=M(s )= ∫ x x dx
0
+∞ s-1+n
= ∫ x dx
0
1 s+n +∞
= x s+1 0
n
x
=
s+n
ax
例4.求函数f(x)=e 的梅林变换
解：
ax +∞ s-1 ax
φ(s)=M(e )= ∫ x e dx
0
1 s-1 ax +∞ s-1 +∞ s-2 ax
= x e - ∫ x e dx
a 0 a 0
s-1 s-2 s-1 s-2 s-3
= M[x ]= =M[x ]=...
a a a
(s-1)! (s-1)!
= M[1]=
n n
a sa
下面的内容可参见《富利叶变换》，苏联I.N.Sneddon著，何衍睿，张燮译，科学出版社1958年出版。
1.积分变换式
在相当的一段时期中，人们已经认识到，奥里佛*赫维赛德所创造的用来求解物理学与电工学中的瞬时问题的运算微积。在形式上是等于拉普拉斯变换式的系统应用的。这正是大多数运算微积的近代数本所采用的表现方法。
注：例如，参看
H.Jeffreys,"Operational Methods in Mathematical Ohysics"(剑桥，伦敦，1931）,
J.RCarrson,"Electric Circuit Theory and the Operational Calculus"(MeGraw-Hill,纽约，1926）, N.W.MeLachlan,"Complex Variable and the Operator Calculus"(剑桥，伦敦，1942）；
G.Doetsch,"Theorie und Anwendung der Laplace-Transformation"(Dover,纽约，1944）
H.S.Carslaw and J.C.Jaeger,"Operational Methods in Applied Matematics"(牛津，纽约，1941）；
R.V.Churchill,"Modern Operational Mathematics in Engineering"(MeGraw-Hill,纽约，1944)
例如说，倘若函数f(x)是由一个微分方程与某些边界条件所决定的。那么在某些场合下，可将f(x)的边值问题化为函数。
∞ -px
φ(p)=∫ f(x)e dx (1)
0
-px
的边值问题比较简便，而这个函数是由f(x)乘以e 再对x由0到∞求积分而得的。
用此种方式所定义的函数φ(p)显然是变数p的函数，它叫做函数f(x)的拉普拉斯变换式。
∞
I (α)=∫ f(x)K(α,x)dx (2)
0
是收敛的，那么由方程（2）便决定变数α的一个函数，这个函数叫做函数f(x)的以K(α,x)为核的积分变换式。此种核的最简单的例子为:
-αx
K(α,x)=e
由它可以引出拉普拉斯变换式（1）。另一个在这种方式下常常用到的核是
α-1
K(α,x)=x
由它可以引出变换式
∞ α-1
F(α)=∫ f(x)x dx (3)
0
梅林最先有系统的研究了这种类型的积分变换式，因而由方程（3）所决定的函数F(α)便叫做函数f(x)的梅林变换式。
注：H.Mellin,Aeta Soc.Fennicae,21,1-115(1896);Acta Math.,25,139(1902)。
当核K(α,x)是正弦或余弦，或者是贝塞而微分方程的解案时，便有特殊的变换式产生，以后我们要定义这些变换式，并讨论它们的一些性质。由定义（2）立刻可以看出，倘若f(x),g(x)是两个函数，它们具有以K(α,x)为核的积分变换式，那么f(x),g(x)之和的积分变换式即为
∞ ∞ ∞
∫ (f+g)K(α,x)dx=∫ f(x)K(α,x)dx+∫ g(x)K(α,x)dx
0 0 0
也就是说，它等于函数f(x),g(x)的积分变换式之和，其次，倘若c是一个常数，那么
∞ ∞
∫ cf(x)K(α,x)dx=c∫ f(x)K(α,x)dx
0 0
这些方程说明了一件事情：将函数f(x)化为它的积分变换式I (f)的算子是一个线性算子。此时我们也可以将方程(2)看作是函数f(x)与I (f)之间的一种变换。并利用巴拿哈空
α
间的性质来建立此种类型的变换的抽象理论，这种方案在数学上是极有趣的。
但若我们的主要目的是在数学物理中的应用时，那么这样的做法并不会有多少成果。因此，这里不易作出这种讨论。我们仅仅考虑积分变换式的某些性质，它们在以后的边值问题的分析中是有用的。
定理10.设F(a)为函数f(x)的富利叶变换式，设
1 ∞ iax
F(a)= ∫ f(x)e dx (38)
2π -∞
那么f(x)便可以由F(a)用下面的关系式表出：
1 ∞ -iax
F(a)= ∫ F(a)e dx (38a)
2π -∞
我们注意一点：函数f(x)与它的富利叶变换式F(a)的关系并不是对称的，而函数与它的富利叶余弦及正弦变换式F (a),F (a)的关系却是对称的。这些结果往往也可以用稍微不
c s
同的形式陈述出来。
例如，我们往往把方程（38）与（38a）写成如此的式样比较便利：
倘若
∞ iax
f(a)=∫ f(x)e dx (39)
-∞
那么
1 ∞ -iax
f(x)= ∫ f(x)e dx (39a)
2π -∞
1
将变换式的定义里面的因子 略去
2π
这种写法显然是常用的，但它却破坏了函数f(x)与它的变换式之间的一部分对称性。必须指出，我们只有在如次的情形下，才有权利来应用这些公式：函数f(x)在适当的区间(-∞,∞)或者(0,∞)内满足狄利克莱条件，而且积分
∞
∫ │f(x)│dx
-∞
是收敛的。
6.梅林变换式
6.1梅林变换定理
以前我们已经看到（1），函数f(x)的梅林变换式F(s)是由如次的表达式来定义的：
∞ s-1
F(s)=∫ f(x)x dx (99)
0
倘若在方程（38）中，令
x
ξ=e ,s=e+ia，
那么它便化为下面的式样：
s-c 1 ∞ -c s-1
F( )= ∫ ξ f(lnξ)ξ dξ
i 2π 0
用同样的代换，也可以将（38a）化为
1 ∞ s-c c-s
f(lnξ)= ∫ F( )ξ ds
i 2π 0 i
因此，如果我们令
-1/2 -c
g(ξ)=(2π) ξ f(lnξ )
s-c
G(s)= F( )
i
的话，便得到梅林变换的反演公式如下：
定理15.倘若对于某个k>0而言，积分
∞ k-1
∫ ξ │g(ξ)│dξ
0
是有界的，并设
∞ s-1
G(s)=∫ ξ g(ξ)dξ
0
那么,
1 c+i∞ -s
g(ξ)= ∫ G(s)ξ ds
2πi c-i∞
其中c>k,
函数的各阶导数的梅林变换式之间的关系，没有富利叶变换式与拉普拉斯变换式的情形那样简单，例如，
r r-1 r-1
∞ d f d f s-1 ∞ ∞ d f s-2
∫ x dx=[ x ] -(s-1) ∫ x dx
0 r r-1 0 0 r-1
dx dx dx
因此，倘若我们假设f是如此的函数，使得上式的方括号化为零，那么我们便得到下面的关系式：
(r) (r-1)
F (s)=-(s-1)F (s-1)
r
(r) d f 其中F (s)代表导数 f的梅林变换式。 r dx 重复应用这种规则，便可以得到
(r) r Γ(s)
F (s)=(-1) F(s-r) (100)
Γ(s-r)
注：Γ(s)表示s!,Γ(s-r)表示(s-r)!
这个公式将已知函数的导数的梅林变换式用函数本身的梅林变换式表出。
6.2关于梅林变换的褶合式定理
设F(s)和G(s)分别为函数f(x)和g(x)的梅林变换式，则由定义可知，乘积f(x)g(x)的梅林变换式为
∞ s-1 ∞ s-1 1 c+i∞ -σ
∫ f(x)g(x)x dx=∫ g(x)x dx ∫ F(σ)x dσ=
0 0 2πi c-i∞
1 c+i∞ -σ ∞ s-σ-1
= ∫ F(σ)x dσ∫ g(x)x dx
2πi c-i∞ 0
1 c+i∞
= ∫ F(σ)G(s-σ)dσ (101)
2πi c-i∞
此式有一特殊情形： 1 ∞ c+i∞ -s ∫f(x)g(x)dx= ∫ g(x)dx ∫ F(s)x ds 2πi 0 c-i∞
1 c+i∞
= ∫ F(s)G(1-s)ds (101a)
2πi c-i∞
放此，我们也可以得到乘积F(s)G(s)的梅林变换式如下： 1 c+i∞ -s ∫ F(s)G(s)x ds= 2πi c-i∞
1 c+i∞ -s ∞ s-1
= ∫ F(s)x ds∫ g(u)u du
2πi c-i∞ 0
∞ du 1 c+i∞ x -s
=∫ g(u) ∫ F(s)( ) ds
0 u 2πi c-i∞ u
∞ x du
=∫ f( )g(u) (102)
0 u u
1 c+i∞ 1 c+i∞ ∞ s-1
∫ F(s)G(s)ds= ∫ F(s)ds∫ g(u)u du=
2πi c-i∞ 2πi c-i∞ 0
∞ du 1 c+i∞ 1 -s
=∫ g(u) ∫ F(s)( ) ds
0 u 2πi c-i∞ u
∞ 1 du
=∫ f( )g(u) (102a)
0 u u
第八部分梅林变换
根据梅林变换
+∞ s-1
{Mf}(s)=φ(s)= ∫ x f(x)dx
0
逆变换是：
1 c+i∞ -s
{M φ}(x)=f(x)= ∫ x φ(s)ds
2πi c-i∞
这是在复平面上的垂直线上的线积分。在melin反演定理中给出了这种反演有效的条件。这个转换以芬兰数学家Hjalmar Mellin命名。
设φ(s)=F`(s)
φ(s)
g(s)=tgα=
s
-st
g(s)=tgα= x f(x)dx
φ(s)
α=arctg
s
设w(s)=tgβ
s-1
x f(x)
w(t)=tgβ=
x
s-1
x f(x)
β=arctg
x
因为α+β=π/2
s-1
φ(s) x f(x)
arctg +arctg =π/2
s x
s-1
φ(s) x f(x)
arctg =π/2-arctg
s x
s-1
φ(s) x f(x)
=tg[π/2-arctg ]
s x
s-1
x f(x)
φ(s)=tg[π/2 -arctg ]s (1)
x
这样就得到一个计算梅林变换的公式,同理可证,
s-1
x f(x) φ(s)
arctg =π/2-arctg
x s
s-1
x f(x) φ(s)
=tg[π/2-arctg ]
x s
s-1 φ(s)
x f(x)=tg[π/2-arctg ]x
s
φ(s) 2-s
f(t) =tg[π/2-arctg ]x (2)
s
这样就得到一个计算梅林逆变换的公式。 根据梅林变换，得
1
φ(s)=
1
s+ n a 它的原函数f(x的图像如右图所示
s-1
x f(x)
φ(s)=tg[π/2 -arctg ]s (1)
x
s-1
x f(x) 1
tg[π/2 -arctg ]s=
x 1
s+
n
a
这样就得到一个采集方波信号的函数φ(s)，用加法器，乘法器乘法器，除法器，tg计算电路表示上面的公式，当有方波信号输入时，等式左右两端电路的电压值相等。同时计算机将采集得到的方法信号经过处理后变成函数F(s)，存储在寄存器中。当计算机从端口01发送方波信号，被物体反弹回来以后，经过端口02采集这个方波信号，经过上面的计算如果等式左右两端相等，则证明方波信号就是发射出去的方波信号。发射方波信号的函数如下： φ(s) 2-s f(t) =tg[π/2-arctg ]x (2) s
1 2-s
f(t) =tg[π/2-arctg ]x
1
1+
n
sa
根据梅林变换，得
1
s-
n
a
φ(s)=
2 1
as (s+ )
n
a
它的原函数f(x的图像如右图所示
因为,
φ(s) 2-s
f(t) =tg[π/2-arctg ]x (2)
s
1
s-
n
a 2-s
f(x) =tg[π/2-arctg ]x
2 1
as (s+ )
n
a
这样就得到一个采集方波信号的函数f(t)，用加法器，乘法器乘法器，除法器，tg计算电路表示上面的公式，这样就形成了一个产生三角波的电路。
定积分是把函数在某个区间上的图像[a,b]分成n份，用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，再求当n→∞时所有这些矩形面积的和, 习惯上，我们用等差级数分点，即相邻两端点的间距△x是相等的。但必须指出，△x不相等，积分值仍然相同。我们假设这些“矩形面积和”。
S=f(x )△x +f(x )△x +...+f(x )△x
1 1 2 2 n-1 n-1
那么当n→∞时，△x的最大值趋于0，所以所有的△x趋于0，所以S仍然区域积分值。
利用这个规律，在我们了解牛顿-莱布尼兹公式之前，我们便可以对某些函数进行积分。
例如：证明对于函数
k
f(x)=x (k∈Q,k≠-1)有
k+1 k+1
+∞ b -a
∫ f(x)dx=
0 k+1
证明：选择等比级数来分点，令公比
n a b
q= , =q
b a
n 2
b=a*q ,x =a, x =a
0 2
(i+1) i
且△x =x -x =aq -aq
i i+1 i
那么矩形面积和为
k k k 2 k (n-1)k n (n-1)
S =a (aq-a)+a q (aq -aq)+...+a q [aq -aq ] n
n
k
提取a (aq-a),则有
(k+1) (k+1) 2(k+1) (n-1)(k+1)
S =a (q-1)[1+q +q +...+q ]
n
利用等比级数公式，得到
(k+1) (k+1)
q-1 (k+1) (k+1) b -a
S = (b -a )=
n (k+1) N
q -1
其中,
(k+1)
q -1
N=
q-1
1/v
设k=u/v(u,v∈Z),令q =s，则
u+v
(k+1) u+v s v-1
s v-1 s v-1 s-1
N= = =
v v v
s -1 s -1 s -1
s-1
令n增加，则s,q都趋于1，因而N的极限为
u+v u
= +1=k+1
v v
根据梅林变换
+∞ s-1
{Mf}(s)=φ(s)= ∫ x f(t)dt,
0
因为,
k
f(x)=x (k∈Q,k≠-1)有
k+1 k+1
+∞ b -a
∫ f(x)dx=
0 k+1
s-1
设g(t)=x f(x)dx
同理可证：
s s
+∞ s-1 b f(x)-a f(x)
∫ x f(x)dx=
0 s-1
[x f(x)]+1
所以,
s s
+∞ s-1 b f(x)-a f(x)
{Mf}(s)=φ(s)=∫ x f(x)dx= (3)
0 s-1
[x f(x)]+1
所以,
s s
b f(x)-a f(x)
{Mf}(s)=φ(s)=
s-1
[x f(x)]+1
s s
s-1 b f(x)-a f(x)
[s f(x)]+1=
φ(s)
s s
s-1 b f(x)-a f(x)
x f(x)- +1=0 φ(s)
s s
s-1 b -a
f(x)[x - ]+1=0 φ(s)
1
f(x)=
s s
b -a s-1
-x
φ(s)
φ(s)
f(x)= (4)
s s s-1
b -a -x φ(s)
根据梅林变换，得
1
F(p)=
1
s+
n
a
它的原函数f(x的图像如右图所示
因为, s s +∞ s-1 b f(x)-a f(x) {Mf}(s)=φ(s)=∫ x f(x)dx= (3) 0 s-1 [x f(x)]+1
s s
b f(x)-a f(x) 1
=
s-1 -as
[x f(x)]+1 s(1+e )
这样就得到一个采集方波信号的函数φ(s)，用加法器，乘法器乘法器，除法器，tg计算电路表示上面的公式，当有方波信号输入时，等式左右两端电路的电压值相等。
同时计算机将采集得到的方法信号经过处理后变成函数F(s)，存储在寄存器中
当计算机从端口01发送方波信号，被物体反弹回来以后，经过端口02采集这个方波信号，经过上面的计算如果等式左右两端相等，则证明方波信号就是发射出去的方波信号。发射方波信号的函数如下：
φ(s)
f(x)= (4)
s s s-1
b -a -x φ(s)
1
-as
s(1+e )
f(t)=
s s s-1 1
b -a -x
-as
s(1+e )
根据梅林变换，得
1
s-
n
a
φ(s)=
2 1
as (s+ )
n
a
它的原函数f(x的图像如右图所示
因为,
φ(s)
f(x)= (4)
s s s-1
b -a -x φ(s)
1
s-
n
m
2 1
ms (s+ )
n
m
f(x)=
1
s-
n
s s s-1 m
b -a -x
2 1
ms (s+ )
n
m
这样就得到一个采集方波信号的函数f(t), 用加法器，乘法器乘法器，除法器，tg计算电路表示上面的公式，这样就形成了一个产生三角波的电路。
