用程序编写计算公式的高次方程数字计算机

用程序编写计算公式的高次方程数字计算机 用程序编写计算公式的高次方程数字计算机是一种可以计算高次方程的数字计算机，它由按键，液晶显示器，中央处理器组成。按键输入的程序保存在磁带上面，中央处理器在程序的作用下计算方程式。按照方程式的求根公式进行编程，按照数学计算公式进行编程。 中央处理器由程序语句判断执行电路，程序语句判断控制电路，端口，加法器，减法器，乘法器，除法器，n次方计算器，对数计算器，三角函数计算器构成。 键盘输入的程序按每行保存在磁带中，程序语句判断电路根据键盘输入的程序的关键字判断电路执行相应的操作，例如输入ADD，电路执行加法操作，程序语句判断控制电路根据键盘输入的程序的关键字控制电路的工作，例如输入NIUDUN DIEDAI，电路将上面计算电路执行多次，进行牛顿迭代计算。 它的相关资料下载网址为： 链接:pan.baidu.com/s/1rICunk-o… 提取码:r1e2

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第一部分高次方程数字计算机 该计算器首先通过晶振产生32768HZ的谐振方波信号，再经过分频电路将这个方波信号的频率降低为100HZ,，即周期为0.01秒，再将这个100HZ的信号接入到按键的公共端，按键共有60个，它们的一端接到一起，另外一端分别接到倍频器上。相当于这些按键并联在一起，当某个按键被按下时，100HZ的信号就会接入到倍频器上，经过倍频后，频率变为1HZ， 为什么按键上面的频率是100HZ，这是因为100HZ的频率，周期是1毫秒，通常使用者按下按键的时间在1毫秒左右，所以，只有这个频率的信号才会在按下按键时输入到后级电路中。键值计算电路由十进制转二进制电路组成，当有数字键按下时，对应的数字按键输出端输出对应的数值。数值按键的输出端接上或门，或门两两相接，最后输出一个或门，当有任何计算符号按键按下时，或门输出高电平，或门后面接上计数器，计数器记录按键按下的次数，当有按键按下时，计数器将对应的次数输入到加法器，加法器给键值乘以10，100，1000，等倍数。当连续按2次按键时，需要用乘法器给键值乘以10，连续按下3次按键时，需要用乘法器给键值乘以100，依次类推。所有数值按键的输出端连接到一起，输出到计算符号电路，进行计算。计算符号编码电路产生对应计算符号的编码，输送给计算符号按键电路。用计算符号按键输入计算符号+-×÷,cos,sin,ln,log,等，

当RS触发器的输入端R,S都是1时，触发器保持输出端没有变化。利用这个特点，当按键输入高电平1时，电路输出高电平1给存储器，当按键断开输入低电平0时，RS触发器仍然给存储器输入1，当清零键按下时，RS触发器的S端输入0，触发器给存储器输入0，存储器清零。

当有按键按下时RS触发器Q输出1， Q 输出0，按下清零键以后，RS触发器Q端输出0， Q 端输出0 按键编码器产生二进制编码，每个编码对应一个按键。 当数字键1，按下时，这个与门输出0000001给后面计算电路，所有按键存储器后面两两之间接上或门，或门后面再接上或门，最后接上计数器，当按键按下时，计数器变为1，对应的存储器输出对应键值。当按键按下第二次时，计数器输出2，输出两位数字，当按键按下第三次时，计数器输出3，输出三位数字。 经过两个异或门和一个或门以后输出高电平111111111，这使后面的与门输出按键的数值到寄存器1， 当开始输入时，按清零键，计算机按键输入为0.此时，开始输入字符，将字符输入到寄存器1，

按键输入的程序存储在磁带A上面，超强磁性磁带的基材由50%醋酸酯DAC，50%醋酸酯TAC构成，超强磁性磁带的磁性粉末粘合剂有1%氯乙烯，1%醋酸乙烯共聚体，1%苯乙烯-丁二烯共聚体，1%硝化纤维素。1%纤维素，1%丁腈橡胶，1%丙烯酸酯橡胶，1%无定形聚酯，1%氨酯橡胶，1%聚氨基甲酸乙酯树脂，环氧树脂，密胺树脂，1%醋酸乙烯，1%丙烯酸酯丁基系的软质树脂，超强磁性磁带的磁性粉末分散剂由10ml乙醇，20g尿素，10ml双氧水，10g蔗糖，20g聚乙二醇4000，油酸钾皂试剂20g，黄色色素10g,司盘80试剂10ml，氧化铝10g，氨水50g，大豆油10g，α-烯基磺酸钠5g,十二烷基苯磺酸钠5g,烯丙基磺酸钠5g,二甲苯磺酸钠5g，椰子油脂肪酸渗透二乙醇酰胺6501日化，1%卵磷脂组成，磁性粉末稳定剂有对氯乙烯系粘合剂，使用硬脂酸钡等金属无机盐。磁性粉末防带静电剂是在磁性层内渗入炭黑或石墨等固体导电粉末。超强磁性磁带的磁性粉由二氧化铬，三氧化二铁，铬化铁，氧化镍，氧化钴，氧化钇，镝，二氧化锰。把磁性粉末，粘合剂，增塑剂，稳定剂，分散剂，加入水中，使各个磁性粉末相互溶解到水里，再球磨机混合均匀，最后用刮片涂覆到基材上面。 注意：收音机磁带使用涂着四氧化三铁的硝酸纤维素条，铁芯（铁氧体/羟基铁芯），0.32-0.45mm变压器钢片，线圈（0.08mm漆包线1200-1500匝），放音头间隙0.02mm，工作间隙0.5mm，磷铜萡/黄铜箔，

磁带录音机电路如下：

按键电路如下：

计算机中央处理器CPU电路原理图

程序语句判断电路 程序关键字判断电路，程序关键字判断电路，查询到关键字，并执行该关键字所要求的功能。 程序计算符号判断电路，程序计算符号判断电路，查询到计算符号，并执行该计算符号所要求的功能。 数据判断电路，程序数据判断电路，查询到数据符号，并执行该数据符号所形成的数据。 字符判断电路，程序字符判断电路，查询到字符，并执行该字符的功能。 磁带程序判断执行电路原理图。 语句执行电路，按照语句判断的输出，执行这条语句，输出到CPU端口并执行。

关于数字电路加法器，计数器，分频器的电路可参见《中国集成电路大全》丛书，《中国集成电路大全编写委员会编，国防工业出版社1987年出版.

该计算器首先通过晶振产生32768HZ的谐振方波信号，再经过分频电路将这个方波信号的频率降低为100HZ,，即周期为0.01秒，再将这个100HZ的信号接入到按键的公共端，按键共有60个，它们的一端接到一起，另外一端分别接到倍频器上。相当于这些按键并联在一起，当某个按键被按下时，100HZ的信号就会接入到倍频器上，经过倍频后，频率变为1HZ为什么按键上面的频率是100HZ，这是因为100HZ的频率，周期是1毫秒，通常使用者按下按键的时间在1毫秒左右，所以，只有这个频率的信号才会在按下按键时输入到后级电路中。键值编码电路由二进制编码电路组成，当有按键按下时，对应的按键输出端输出对应的按键编码。每个按键的输出端接上或门，或门两两相接，最后输出一个或门，当有任何计算按键按下时，或门输出高电平，这个或门在和每个按键的输出端接上与门，这些与门在两两之间接上或门，最后一个或门接上按键寄存器。按键寄存器将输入的按键输出保存到磁带寄存器A中，计算机CPU通过算法语言关键字判断语句，计算符号判断电路，中断判断电路，定时器判断电路，数据判断电路，选择性的判断执行磁带存储器A中的按键输入程序。计算机CPU通过执行电路执行上面语句判断电路输出的内容。最后将执行结果通过IO端口输出，并用液晶显示器显示出来。 如果出现PROGRAM BEGIN说明程序开始，与门导通，如果出现空格说明前面是一个关键字，或字符或数据，与门导通。如果出现回车说明前面是一个程序段，需要执行这段程序，与门导通。 关键字比较电路，和每个关键字的代码相互比较，如果代码相同·，执行该关键字的功能。 字符比较电路，和每个字符的代码相互比较，如果代码相同·，执行该字符的功能。 数据比较电路，和每个数据的代码相互比较，如果代码相同·，产生该数据的二进制编码。 磁带程序判断执行电路原理图

出现NIUDUN DIEDAI 时，程序将重新执行上面的计算，出现DIEDAI CISHU M=4时，程序将从新执行上面的计算4次， 出现DIEDAI TIME T=0.1S 时，程序将执行上面的计算1次的时间是0.1S，也就是控制计算开启关闭的定时器的时间是0.1秒， 出现JISUAN2#时，下面程序执行中的数据都存储到JISUAN2#寄存器组， 出现XXJS SANCI FANGCHENG B时，计算机将电路切换到牛顿弦线法计算电路， 出现RUN XXJS时，计算机将键盘输入的数据输入到牛顿弦线法计算电路中，并执行该电路。 出现OUTPUT JISUAN2# 01#时，计算机将电路在计算中所有寄存器里面的数据输入到端口01。 出现INPUT 02# A=3,B=-4,C=-6,D=-12时，计算机将端口02#输入的数据保存到电路寄存器A,B,C,D当中。 磁带程序判断执行控制电路原理图

计算机原理图如下：

第二部分 二元方程组计算电路 下面的资料可参见《计算方法讲义》，中国科学院计算技术研究所编，科学出版社1958年出版。 例.求方程组 2
φ (x,y)=x+3lgx-y =0 1

              2          
  φ   (x,y)=2x  -xy-5x+1=0          
    1   

的根。 1.牛顿法的使用，容易求出 Ә φ 3M
1 =1+ ，其中M-0.43429 Ә x x

 Ә φ            
      1  =-2y, 

Әy

 Ә φ            
      2  =4x-y-5,

Әx

 Ә φ            
      2  =-x

Әy 我们取x =3.4,y =2.2作为初始近似，那么 0 0 φ (x ,y )=0.1545， 1 0 0

φ (x ,y )=-0.72， 2 0 0

 Ә φ           

( 1 ) =1.383， Ә x
0

 Ә φ           

( 1 ) =-4.4, Ә y
0

 Ә φ           

( 2 ) =6.4, Ә x
0

 Ә φ           

( 2 ) =-3.4, Ә y
0
将这些值代入校正公式（8）就得h ,k 1 1

  △           △

h= 1 , k= 2 (8) D D 其中,

   Ә φ               Ә φ      

( 1 ) ( 1 )
Ә x Ә y
0 0 1.383 -4.4 D= = =23.4578
Ә φ Ә φ 6.4 -3.4 ( 2 ) ( 2 ) Ә x Ә y
0 0

                      Ә φ      

-φ (x ,y ) ( 1 )
1 0 0 Ә y
0 -0.1545 -4.4 △= = =3.6933
1 Ә φ 0.72 -3.4 -φ (x ,y ) ( 2 ) 2 0 0 Ә y
0

   Ә φ                 

( 1 ) -φ (x ,y )
Ә x 1 0 0
0 1.383 -0.1545 △= = =1.98456 2 Ә φ 6.4 0.72 ( 2 ) -φ (x ,y )
Ә x 2 0 0 0

   △       3.6933 

h = 1 = =0.157444 1 D 23.4578

   △       1.98456 

k = 2 = =0.084601 1 D 23.4578

h =0.157,k =0.085, 1 1 从而我们有, x =3.4+0.157=3.557,y =2.285, 1 1 同样又可得 φ (x ,y )=-0.011， 1 1 1

φ (x ,y )=0.3945，
2 1 1

   Ә φ               Ә φ      

( 1 ) =1.367 ( 1 ) =-4.57 Ә x Ә y
1 1

  Ә φ                 Ә φ                  

( 2 ) =6.943, ( 2 ) =-3.557, Ә x Ә y
1 1
再将这些值代入矫正公式（8）求得, h =-0.0685,k =-0.0229， 2 2 从而有, x =3.4885,y =2.2621, 2 2 重复这种过程，我们有 h =-0.0018,k =-0.000561， 3 3 所以第三近似是 x =3.4872,y =2.2615, 3 3 这些值小数点后四位都是正确的。 程序： PROGRAM BEGIN 程序开始 JISUAN1# FANGCHENGZU YUNSUAN 1#计算，计算方程组，用运算方式，即通过输入程序来实现电路之间的连接，不需直接接入某一种定制电路，用计算公式将自变量x和y通过加法器，减法器，乘法器，除法器等连接起来 DISPLAY ON 在计算机显示器上显示下面的公式 Φ(X,Y)=X+3LGX-Y^2=0 将方程式Φ的表达式表示出来 F(X,Y)=2X^2-XY-5X+1=0
ӘΦ/ӘX=1-0.43429/X ӘΦ/Ә Y=-2Y ӘF/Ә X=4X-Y-5 ӘF/ӘY=-X D=(Ә Φ/ӘX)( ӘF/ӘY)-( ӘΦ/ӘY)( ӘF/ӘX)
△#=( ӘΦ/ Ә Y)F(3.4,2.2)-Φ(3.4,2.2)*( Ә F/ Ә Y)
△=Φ(3.4,2.2)*( ӘF/ӘX)-( ӘΦ/ӘX)F(3.4,2.2) H=△#/D,K=△/D X=3.4+H,Y=2.2+K DISPLAY OFF 关闭在计算机显示器上显示公式 WRITE1# FANGCHENGZU Φ ON 将方程式Φ的表达式写入到Φ寄存器 Φ EQU X ADD ( 3 MUL LGX ) SUB (Y^2) Φ表示函数，EQU表示等号，X表示自变量，ADD表示加法，MUL表示乘法，LGX表示X的对数，SUB表示减法，Y^2表示Y的平方。 WRITE1# OFF 关闭1#写入 WRITE2# FANGCHENGZU F ON
F EQU 2 MUL (X^2) SUB ( X MUL Y ) SUB ( 5 MUL X ) ADD 1
F表示函数，EQU表示等号，2表示数字2，MUL表示乘法，X^2表示X的平方，SUB表示减法，5表示数字5，MUL表示乘法，ADD表示加法
WRITE2# OFF WRITE3# FANGCHENGZU ӘΦ/ ӘX ON
ӘΦ/Ә X EQU 1 SUB ( 0.43429 DIV X ) WRITE3# OFF WRITE4# FANGCHENGZU ӘΦ/ӘY ON ӘΦ/ӘY EQU 0 SUB ( 2 MUL Y )
WRITE4# OFF WRITE5# FANGCHENGZU ӘF/ӘX ON
ӘF/ӘX EQU ( 4 MUL X ) SUB Y SUB 5
WRITE5# OFF WRITE6# FANGCHENGZU ӘF/Ә Y ON ӘF/Ә Y EQU 0 SUB X WRITE6# OFF WRITE7# FANGCHENGZU D ON D EQU (ӘΦ/ӘX) MUL (ӘF/ӘY) SUB (ӘΦ/ӘY) MUL (Ә F/ ӘX) WRITE7# OFF WRITE8# FANGCHENGZU D ON △# EQU (ӘΦ/ӘY) MUL F(3.4,2.2) SUB Φ(3.4,2.2) MUL (ӘF/ӘY) WRITE8# OFF WRITE9# FANGCHENGZU D ON △ EQU Φ(3.4,2.2) MUL (ӘF/ӘX) SUB (ӘΦ/ӘX) MUL F(3.4,2.2) WRITE9# OFF WRITE10# FANGCHENGZU D ON △ EQU Φ(3.4,2.2) MUL (ӘF/ӘX) SUB (ӘΦ/ӘX) MUL F(3.4,2.2) WRITE10# OFF WRITE11# FANGCHENGZU D ON H EQU △# DIV D WRITE11# OFF WRITE12# FANGCHENGZU D ON K EQU △$ DIV D WRITE12# OFF X=3.4+H,Y=2.2+K FANGCHENGZU NIUDUN DIEDAI RUN 执行方程组的牛顿迭代法计算电路 DIEDAI X,Y 对X,Y进行牛顿迭代法计算 DIEDAI TIME 0.1S 进行一次迭代的时间是0.1s DIEDAI CISHU M=3, 迭代次数为3次,保存在M寄存器里面 DISPLAY ON 在计算机显示器上显示计算结果X,Y寄存器里面的数据 X,Y DISPLAY OFF 关闭显示 RUN JISUAN1# 将计算结果保存到JISUAN1#寄存器 PROGRAM OVER 程序结束 用数字电路加法器，乘法器，除法器，各种数值按上面的程序连接电路，电路如下图所示

第三部分 牛顿弦线法计算电路 下面的资料可参见《微积分学教程》第一卷第一分册，P80，Г.М.菲赫哥尔次著，叶彦谦等译，人民教育出版社1956年出版。 考察例题，方程式。 3 2
3x -4x -6x-12=0 可以设 3 2
f(x)= 3x -4x -6x-12 可以将x=1,x=2,x=3,x=4分别代入函数f(x)，计算函数值 f(2)=-16.f(3)=15， 所以可得 有一根在2与3之间，因为若用f(x)表示式子的左端，就有， f(2)=-16<0,f(3)=15>0.， 兹规定要算出这根是准确度达到0.01. 在区间[2,3]内，两种导数， 2
f(x)=9x -8x-6及f``(x)=18x-8 都保持着正号（情形Ⅰ）； 一阶导数在这区间内的最小值是m=9*2*2-8*2-6=14， 就是说当x取最小值，即x=2时， f(x)=922-8*2-6=14， 就有： f(2) *(3-2) 16
x =2- =2+ =2+0.5161... 1 f(3)-f(2) 31

四舍五入，令x =2+0.5161... ≈2.51 1 因为f(2.51)=-4.760647, 故依不等式（6），还没有达到要求的准确度。继续计算 (3-2.51)f(2.51) 0.49f(2.51) 0.49*(-4.760647) 2.33271703 x =2.51- = 2.51- = 2.51- = 2.51+
2 f(3)-f(2.51) f(3)-f(2.51) 15-(-4.760647) 19.760647
=2.51+0.1180... 或四舍五入， x =2.51+ 0.1180...≈2.63 2 算出f(2.63)=-0.87326, 并使用不等式（6），仍旧看出还没有达到目的。最后，
(3-2.63)f(2.63) 0.37f(2.63) 0.37*(-0.87326) 0.3231062 x =2.63- = 2.63- = 2.63- = 2.63+
3 f(3)-f(2.63) f(3)-f(2.63) 15-(-0.87326) 15.87326
=2.63+0.203553.. 用四舍五入法凑足小数第二位令 x =2.63+ 0.203553...≈2.83 3 因为我们是在《向根的一侧》凑足小数第二位，所以x 可能会跳到这根的右边去； 3 但现在并未发生这种情形，这可由符号上看到，因为 f(2.83)=6.9799>0, f(2.63)=-0.87326<0 就有：
f(2.63)(2.83-2.63) 0.873260.2 0.1746
x =2.63- = 2.63+ = 2.63+ = 2.63+0.0222...
4 f(2.83)-f(2.63) 6.9799+0.87326 7.85316
四舍五入，令 x =2.63+ 0.0222... ≈2.65 4 因为f(2.65)=-0.161125, 故依不等式（6），还没有达到要求的准确度。继续计算 (2.83-2.65)f(2.65) 0.18f(2.65) 0.18*(-0.161125) 0.0290025 x =2.65- = 2.65- = 2.63- = 2.63+
5 f(2.83)-f(2.65) f(2.83)-f(2.65) 6.9799+0.161125 7.141025
=2.63+0.203553.. 四舍五入，令 x =2.63+ 0.004061... ≈2.654 4 因为f(2.654)=-0.016864 在这一次，依不等式（6）， 0.016864
｜x -ξ｜=ξ-x < <0.001204
4 4 14 这样,2.654<ξ<2.655,即ξ=2.654+0.001, 因为f(2.655)=0.19384125, f(2.654)<0, f(2.655)>0 所以真实根在区间[2.654,2.655]之间, 我们可以将3.63到3.64之间分成10等分
3 2
f(2.6541)≈32.6541 -42.6541 -62.6541-12 = 56.0884-28.17698-15.9246-12
=-0.01318
3 2
f(2.6542)≈32.6542 -42.6542 -62.6542-12
= 56.0947-28.17691-15.9252-12 =-0.00741
3 2
f(2.6543)≈32.6543 -42.6543 -62.6543-12
= 56.10108-28.1812-15.9258-12 =-0.00592 3 2
f(2.6546)≈32.6546 -42.6546 -62.6546-12 = 56.12011-28.1876-15.9276-12 =-0.00491 3 2
f(2.6549)≈32.6549 -42.6549 -62.6549-12
= 56.139146-28.19397-15.9294-12
=-0.00491 3 2
f(2.6544)≈32.6544 -42.6544 -62.6544-12
= 56.10743-28.18336-15.9264-12 =-0.00233 3 2
f(2.6545)≈32.6545 -42.6545 -62.6545-12
= 56.11377-28.185481-15.927-12 =0.001289 故依不等式（6），还没有达到要求的准确度。继续计算
(2.655-2.654)f(2.654) 0.001f(2.654) 0.001(-0.016864) 0.00016864 x =2.654- = 2.654- =2.634- =2.634+
6 f(2.655)-f(2.654) f(2.655)-f(2.654) 0.19384125+0.016864 0.210705

=2.654+0.00080036... 四舍五入，令 x =2.654+ 0.00080036... ≈2.6548 6 因为f(2.6548)=0.01214, 故依不等式（6），还没有达到要求的准确度。继续计算. (2.6548-2.654)f(2.654) 0.0008f(2.654) 0.0008*(-0.016864) 0.0000134912 x =2.654- = 2.654- =2.634- =2.634+
7 f(2.6548)-f(2.6540) f(2.655)-f(2.6548) 0.01214+0.016864 0.029004

=2.654+0.00046515... 四舍五入，令
x =2.654+ 0.00046515... =-0.00233<0 7 因为 3 2
f(2.6545)≈32.6545 -42.6545 -6*2.6545-12
= 56.11377-28.185481-15.927-12 =0.001289>0 所以 x =2.654+ 0.00046515... =-0.00233是方程的近似解 7 用数字电路表示上边的计算过程， 程序：

计算下面方程式的根， 3 2
3x -4x -6x-12=0 可以将x=1,x=2,x=3,x=4分别代入函数f(x)，计算函数值f(2)=-16.f(3)=15， 用数字电路加法器，乘法器，除法器，各种数值表示上面的方程，

PROGRAM BEGIN 程序开始 JISUAN2# DISPLAY ON 3 2
3X -4X -6X-12=0 DISPLAY OFF XXJS SANCI FANGCHENG B 执行三次方程的牛顿弦线法计算法电路 INPUT IO02# A=3,B=-4,C=-6,D=-12 将方程式的系数用A,B,CD存储器存储起来,

        3      2     

三次方程AX +BX +CX+D=0是一个固定电路，只需要需要改A,B,C,D的值就可以形成不同三次方程的计算电路，可以将端口02#输入的A=3,B=-4,C=-6,D=-12分别代入电路中的寄存器，计算函数值 MAKEB X1=1,X2=2,X3=3,X4=4 可以将键盘输入的x1=1,x2=2,x3=3,x4=4分别代入电路中的寄存器，计算函数值, 可以将x=1,x=2,x=3,x=4分别代入函数f(x)，计算函数值, 当输入数据X2=2时，计算得到负数，与门A导通，与门B导通，将数据2输入到电路中进行计算

RUN XXJS 执行牛顿弦线法计算法电路,接通三次方程的计算电路 OUTPUT JISUAN2# 1#IO 将计算结果输出到计算机端口01# SAVE JISUAN2# ZU 将计算中的寄存器数据都保存到JISUAN寄存器组 DISPLAY ON 在计算机显示器上显示计算结果X, X DISPLAY OFF PROGRAM END 程序结束 用数字电路表示上面的计算过程，计算下面方程式的根 3 2
3x -4x -6x-12=0 可以将x=1,x=2,x=3,x=4分别代入函数f(x)，计算函数值， f(2)=-16.f(3)=15， 用数字电路加法器，乘法器，除法器，各种数值表示上面的方程，

用牛顿迭代法计算对数方程的根，下面的资料可参见《计算方法讲义》，中国科学院计算技术研究所编，科学出版社1958年出版， 例.求方程2x-lgx=7的实根，把原方程改写成，x=(lgx+7)/2， 从曲线y =2x-7和y =lgx之交点得其粗糙的近似值3.8。 1 2、 取这个值作为初始近似。于是按迭代公式得

x =(lg3.8+7)/2=3.79 1

x =(lg3.79+7)/2=3.7893
2

x =(lg3.7893+7)/2=3.7892 3 第二和第三近似完全一致。这可以作为方程的具有五位准确度的近似根。 程序： PROGRAM BEGIN JISUAN x=(lgx+7)/2 DDJS DUISHU FANGCHENG A 执行对数方程的牛顿迭代法计算法电路 TAKE A=1,B=7,E=1/2 通过计算机键盘向寄存器输入数据A=1,B=7,E=1/2,，改变的对数方程电路的参数，使电路参数变为变为x=(lgx+7)/2 GET M=3.8 可以将M=3.8分别代入函数f(x)，计算函数值 RUN DDJS 执行牛顿迭代法计算法电路 OUTPUT JISUAN 2#IO 将计算结果输出到端口2# PROGRAM END x =(lg3.8+7)/2=3.79 1

x =(lg3.79+7)/2=3.7893 2

x =(lg3.7893+7)/2=3.7892 3 用数字电路加法器，乘法器，除法器，各种数值表示上面的方程， 计算电路如下：

用牛顿迭代法计算三角函数方程的根 例.求方程x+tgx=1的实根 把原方程改写成x=1-tgx， 从曲线y=1-x和y=tgx之交点得其粗糙的近似值1。取这个值作为初始近似。于是按迭代公式得 x =1-tg1=1-0.01745506=0.9825 1 x =1-tg0.98=1-0.0171058=0.982894 2

x =1-tg0.9828=1-0.0171547=0.982894 3 第二和第三近似完全一致。这可以作为方程的具有五位准确度的近似根。 注意对于ax+btgx=c的方程，取其解的近似值为c/a 注意对于ax+bsinx=c的方程，取其解的近似值为c/a 注意对于ax+bcosx=c的方程，取其解的近似值为c/a 注意对于ax+bctgx=c的方程，取其解的近似值为c/a

用牛顿迭代法计算三角函数方程的根 例.求方程2x+tgx=5的实根， 把原方程改写成x=(5-tgx)/2 从曲线y=5-2x和y=tgx之交点得其粗糙的近似值2.5。 取这个值作为初始近似。于是按迭代公式得 x =(5-tg2.5)/2=(5-0.04366094)/2=2.456 1

x =(5-tg2.456)/2=(5-0.04289155)/2=2.4571 2

x =(5-tg2.4571)/2=(5-0.04291079)/2=2.4570 3 第二和第三近似完全一致。这可以作为方程的具有五位准确度的近似根。、 用牛顿迭代法计算三角函数方程的根 例.求方程sinx+tgx=1的实根 把原方程改写成x=arcsin(1-tgx) 从曲线y=1-sinx和y=tgx之交点得其粗糙的近似值1。 取这个值作为初始近似。于是按迭代公式得 x =arcsin(1-tg1)=arcsin(1-0.017455)=arcsin0.9825=1.3635 1

x =arcsin(1-tg1.3635)=arcsin(1-0.0238)=arcsin0.97619=1.3439 2

x =arcsin(1-tg1.3439)=arcsin(1-0.0234597)=arcsin0.97654=1.34 3 第二和第三近似完全一致。这可以作为方程的具有五位准确度的近似根。 用牛顿迭代法计算三角函数方程的根。 例.求方程3sinx+tgx=2的实根 把原方程改写成x=arcsin[(2-tgx)/3]， 从曲线y=2-3sinx和y=tgx之交点得其粗糙的近似值2/3=0.6666。取这个值作为初始近似。于是按迭代公式得 x =arcsin[(2-tg0.666666)/3]=arcsin0.64339=0.6981 1

x =arcsin[(2-tg0.6981)/3]=arcsin0.654481=0.7155 2 x =arcsin[(2-tg0.7155)/3]=arcsin0.654178=0.7155 3 第二和第三近似完全一致。这可以作为方程的具有五位准确度的近似根。 注意对于asinx+btgx=c的方程，取其解的近似值为c/a。 注意对于asinx+bcosx=c的方程，取其解的近似值为c/a。 注意对于asinx+bctgx=c的方程，取其解的近似值为c/a。 程序： PROGRAM BEGIN 程序开始 JISUAN1# 3sinx+tgx=2 计算方程式3sinx+tgx=2的根 FANGCHENG HUANJIAN x=arcsin[(2-tgx)/3] 将方程式化简为 DDJS SANJIAO FANGCHENG A 执行三角函数方程的牛顿迭代法计算法电路 MAKE A=2,B=-1,C=3 将方程式的系数用A,B,CD存储器存储起来，通过计算机键盘向寄存器输入数据A=2,B=-1,E=3,，改变三角函数方程电路的参数，使电路参数变为变为x=(lgx+7)/2 GET M=A/C=0.6666 可以将M=3.8分别代入函数f(x)，计算函数值 RUN DDJS 与门导通接通方程式计算电路， OUTPUT JISUAN1# 3#IO 将计算结果输出到计算机2#端口 PROGRAM OVER 程序结束

x =arcsin[(2-tg0.666666)/3]=arcsin0.64339=0.6981 1

x =arcsin[(2-tg0.6981)/3]=arcsin0.654481=0.7155 2

x =arcsin[(2-tg0.7155)/3]=arcsin0.654178=0.7155 3 用数字电路加法器，乘法器，除法器，各种数值表示上面的方程，电路结构图如下：

第四部分 牛顿切线法计算电路 下面的资料可参见《微积分学教程》第一卷第一分册，P80，Г.М.菲赫哥尔次著，叶彦谦等译，人民教育出版社1956年出版。 2）第二个例题是解方程式 x*log x=1 10 利用这机会，给读者说明，怎么可以用函数的图示法来预测方程式的根的位置。 满足于方程式 1
log x= 10 x 的x值，显然表示两曲线 1
y=log x及y= 10 x 的交点的横标。 即使由它们的草图（图35）也可立刻看出，所求的根位于2与3之间。 y y=1/x

                                                              y=log  x              
                                                                   10
                                                                             
                             o    1       2       3      4                x




                                       图85

这是容易计算来检验的，因为令 f(x)=xlog x-1 10 ，就有 f(2)==20.30103-1=-0.39793...<0，f(3)=30.47712125471-1=0.43136...>0， 注：查《中学数学用表》可知 log 2=0.3010, log 3=0.4771 10 10 现在要计算这根使准确度达到0.0001, 显然，在2≤x≤3时， f(x)=(x*log x-1)=(xlog x)-(1)=x*logx+x*log x x*log e
=log x+
x =log x+log e>0 f``(x)= (log x+log e)=log x+log` e

   x*log e   

= >0 （情形Ⅰ）；
x 可以令m=0.7. 因为f(3)刚好与f``(x)同号，故依公式（8） 3*log 3-1
f(3) 10
x =3- =3- 1 f(3) log 3+log e 10 10

                    3*0.47712125471-1   
             =3-                                         
                  0.47712125471+0.434294  
                  0.43136...               
             =3-              =3-0.473...               
                  0.91141...       

令x =3-0.47=2.53 1 就有f(x )=f(2.53)=0.019894...
1 于是
0.0199
x` -ξ≤ <0.03
1 0.7 再求

2.53*log 2.53-1
f(2.53) 10
x =2.53- =2.53- 2 f(2.53) log 2.53+log e 10 10

                    2.53*0.4031205211758-1 
             =2.53-                                         
                   0.4031205211758+0.434294 
                    0.019894...              
             =2.53-            =2.53-0.02375...             
                    0.83741... 

注：log 2.53=0.4031205211758 10

取 x` =2.53-0.0237=2.5063
2 依不等式（6）估计误差： 用计算机器算得
log 2.5063=0.399033 10 f(2.5063)=2.5063log 2.5063-1=2.50630.399033-1=0.000096...

       0.000096...                

x -ξ≤ <0.0002 2 0.7 即2.5061<ξ<2.5063 在这种情形，就有已经达到所求准确度的根, ξ=2.5602±0.00001, [实际上2.5062是ξ的盈近似值，因为f(2.5062)>0] 用数字电路表示上面的计算过程。 计算下面方程式的根 x*log x=1 10 即使由它们的草图（图35）也可立刻看出，所求的根位于2与3之间。显然，在2≤x≤3时， f(x)=(x*log x-1)=(x*log x)-(1)=xlogx+xlog x x*log e =log x+ x =log x+log e>0 f``(x)= (log x+log e)=log x+log e

   x*log e   

= >0 （情形Ⅰ）；
x 可以将x=1,x=2,x=3,x=4分别代入函数f(x)，计算函数值, f(2)==20.30103-1=-0.39793...<0， f(3)=30.47712125471-1=0.43136...>0， f(x)=xlog x-1 10 程序： PROGRAM BEGIN 程序开始 JISUAN3# DUISHU FANGCHENG xlog x-1=0 计算对数方程式的根 10 QXJS DUISHU FANGCHENG B 执行对数方程的牛顿切线计算法电路 MAKEA A=-1,B=x,E=0 可以将键盘输入的A=-1,B=x,E=0分别代入电路中的寄存器，计算函数值 MAKEB X1=1,X2=2,X3=3,X4=4 可以将键盘输入的x1=1,x2=2,x3=3,x4=4分别代入电路中的寄存器，计算函数值 RUN QXJS 与门导通，连接牛顿切线计算法电路 DISPALY ON 显示计算得到的根X X DISPALY OFF

OUTPUT JISUAN3# 5#IO 将计算中JISUAN电路中所有寄存器里面的数据输出到计算机5#端口 PROGRAM END 程序结束 用数字电路加法器，乘法器，除法器，各种数值表示上面的方程，

156.例题及习题 在这一段内我们将专门使用切线法。 1)计算方程式 3 2
x -2x -4x-7=0 的根，使准确度达到0.01，已知这根在区间（3，4）内[参阅154]。我们有 3 2
f(x)=x -2x -4x-7，f(3)=-10<0，f(4)=+9>0, 2
在3≤x≤4时f(x)=3x -4x-4>0，f``(x)=6x-4>0, （情形Ⅰ）；｜f(x)｜的最小值是m=11. 现在由给定区间的右端b=4出发，因为在这端点处函数f(x)与f``(x)有相同的符号。依公式（8） f(4) 9
x=4- =4- =4-0.32... f(4) 28 四舍五入，令 x` =4-0.3=3.7. 1 因为

      f(x`  )=f(3.7)=1.473,
         1

故依不等式（6），
1.473
x -ξ< <0.14 1 11 即还不够达到所需的准确度。再求 f(3.7) 1.473 x =3.7- =3.7- =3.7-0.066... 2 f(3.7) 22.27 令 x =3.7-0.066=3.634 2 在这一次f(x)=f(3.634)=0.042...，于是根据（6）， 0.042 x -ξ< <0.004
11 因此3.630<ξ<3.634,而ξ=3.63 已达到所求的准确度。（同是得出这一结果，在154内用弦线法却需要做三次）。 还可以再把准确度提高一点,所以真实根在区间[3.63,3.64]之间, 我们可以将3.63到3.64之间分成10等分.
3 2
f(3.631)≈3.631 -23.631 -43.631-7=
= 47.871688591+ 26.368322+ 14.524 = -0.020633409 3 2
f(3.632)≈3.632 -23.632 -43.632-7=
= 47.911251968+ 26.382848+ 14.528 = 0.000403968 由于 ｜0.000403968｜< ｜-0.020633409｜ 所以3.632更接近于真实根，它就是方程的近似根
程序： PROGRAM BEGIN 3 2
JISUAN4# SANCI FANGCHENG x -2x -4x-7=0 QXJS SANCI FANGCHENG A 执行四次方程的牛顿切线计算法电路 MAKEA A=-7,B=-4,C=-2,D=1 将方程式的系数用A,B,CD存储器存储起来 可以将键盘输入的A=-7,B=-4,C=-2,D=1分别代入电路中的寄存器，计算函数值 MAKEB X1=1,X2=2,X3=3,X4=4 当输入数据X3=4时，计算得到正数，与门A导通，与门B导通，将数据4输入到电路中进行计算 RUN QXJS 与门导通，连接牛顿切线计算法电路 DISPALY ON 显示计算结果X X DISPALY OFF OUTPUT JISUAN4# C 6#IO 将计算中JISUAN4#电路中所有寄存器里面的数据输出到计算机6#端口 PROGRAM END 计算方程根的电路, 3 2
f(x)=x -2x -4x-7 用数字电路加法器，乘法器，除法器，各种数值表示上面的函数， f(x)计算电路

第五部分 计算实习电路 下面内容可参看《计算实习》，初等部分，王德人等编，高等教育出版社1959年出版 3.秦九韶除法[秦九韶程序]

a a a …… a a 0 1 2 n-1 n

        S    x        S    x           S    x        S    x             
          0    0        1    0          n-2   0       n-1   0

S S S …… S S =P(x ) 0 1 2 n-1 n 0 例设 4 3 2
P(x)=x -2x +3x +x-5 求x =1.32219时P(x )的值。计算表如下： 0 0

1 -2 3 1 -5

1.32219 ,-0.89619=-0.677811.32219 , 2.78164=2.103811.32219, 5.00005=3.78164*1.32219

1, -0.67781=-2+1.32219, 2.10381=3-0.89619, 3.78164=1+2.78164, 0.00005=-5+5.00005 因为, P(x )=S 0 0

因为, S =S x +a ,(k=1,2,...,n),S =a (5) k k-1 0 k 0 0

S =S x +a
4 3 0 4

S =S x +a
3 2 0 3

S =S x +a
2 1 0 2

S =S x +a
1 0 0 1

S   =a
  0    0

所以, P(1.32219)=S =0.00005 4 程序： PROGRAM BEGIN 程序开始

                          4   3     2           

JISUAN1# DUOXIANGSHI P(x)=x -2x +3x +x-5 计算多项式P(X)的数值 QJSJS SICI DUOXIANGSHI A 用秦九韶法计算四次多项式的数值，电路切换到秦九韶法计算四次多项式值的固定电路 MAKEA A=1,B=-2,C=3,D=1,E=-5, 用键盘输入四次多项式的参数A=1,B=-2,C=3,D=1,E=-5 TAKEA X=1.32219 用键盘给电路中的X输入数值1.32219进行计算 RUN QJSJS 与门导通，四次多项式的秦九韶法计算电路接通，进行计算
DISPLAY ON 显示多项式P(X)的数值 P(X) DISPLAY OFF 关闭显示 OUTPUT JISUAN1# 2#IO 将计算方程式JISUAN1#中所有寄存器的数值输出到端口2# PROGRAM END 程序结束 计算公式如下： P(1.32219)=S =0.00005 4

S =S x +a
4 3 0 4

S =S x +a
3 2 0 3

S =S x +a
2 1 0 2

S =S x +a
1 0 0 1

S   =a
  0    0

用数字电路加法器，乘法器，除法器，各种数值表示上面的函数，

例1.用基本牛顿程序求方程2-x=logx的最小正根，并验证收敛条件。 首先，函数P(x)=logx+x-2在区间（0，+∞）内有意义，它的微商 1 P(x)= loge+1, (loge≈0.4329448) x 在（0，+∞）内恒为正的，因此至多有一正根。 其次，由§1，（一）中的例知道，可取x =1.7作为初始近似， 0 注：§1，（一）中说明的是画图法求近似值，画出f(x)=2-x和函数f(x)=logx的图像，它们的交点近似值是1.7。 我们来验证收敛条件。因为P(1.7)=-0.6955,P(1.7)=1.25547, 故可取 P(x )
0
η= =0.0554 P(x ) 0 1 B=0.76952，（因为 =0.76951445...) P(x )
0

在x =1.7的邻域│x-1.7│≤2η=0.1108内考虑P(x)的二阶微商 0

                1         
     P``(x)=-           loge
                  2
               x  

最大绝对值，得│P(x)│≤│P(1.5892)│≤0.17196 故可取K=0.17196, 最后我们得到h=BKη≤0.007<1/2, 因此，在邻域│x-1.7│≤0.1108内有方程的根。最后，由于P(x)，P`(x)的函数值很容易求出， 故不必列出计算函数值的表。我们列出程序计算表如下： 表14
n 0 1 2 3 x n 1.7 1.75540 1.7558 1.75558 logx n 0.23045 0.24438 0.24442 P(x ) n -0.06955 -0.00022 0 P(x ) n 1.25547 1.24740

      P(x    )
         n

△x =- P`(x ) n 0.05540 0.00018 0 因此，x=1.75558即为方程的近似根。 因为初始近似x 选得较好，因此h较小，收敛也就较快。 0
这里的h=0.007，它当然小于0.05，参照表11知道， -4 当n=2时，表中h=0.05那一行给出估计为0.182510 ， -4 -5 而我们这里的η=0.0554，故有误差不超过0.1825η10 <0.112*10

程序： PROGRAM BEGIN 程序开始 JISUAN1# DUISHU FANGCHENG logx+x-2=0 计算对数方程的根。进入对数方程计算根的电路 NDJS DUISHU FANGCHENG C 与门导通，接入秦九韶法计算方程式根的电路 MAKEA A=1,B=1,C=-2, 键盘输入对数方程的系数A=1,B=1,C=-2 MAKEB F=1,G=loge,H=1, 键盘输入P(x)导数的系数F=1,G=loge,H=1 TAKEA X=1.7 用键盘给电路中的X输入数值1.7 RUN QJSJS 接通电路进行计算 DISPLAY ON 显示计算得到的根X X DISPLAY OFF OUTPUT JISUAN1# 3#IO 将计算电路JISUAN1#中所有寄存器的数据输出到3#端口 PROGRAM END 程序结束 计算方程根的公式如下：
P(x ) n x =x +△x =x - n+1 n n 1 P`(x ) n 上式中, P(x)=logx+x-2, 1
P``(x)=- loge+1, (loge≈0.4329448) x 用数字电路加法器，乘法器，除法器，各种数值表示上面的函数，

例2.用牛顿法求方程 4 3 2
P(x)=x +3x +0.8x -0.1x-2=0 的最小正实根。因P(1)=正数，P(0)=-1，故[0,1]间有根，我们取x =0.7，不难求得 0 B=0.15,η=0.06011，K=32, 故 h=0.27951, 由收敛定理得知用牛顿法计算时收敛，并且由表11可知h=0.3时， -1
只要计算三步即n=3，就可以使误差不超过0.2784η10 <0.1710 现在我们按5位小数计算于表：

n 0 1 2 3 x n 0.7 0.76011 0.75546 0.75543 P(x ) n -0.4089 0.03752 0.00022 -0.00002 P(x ) n 6.82 8.07275 7.96984 7.96918

      P(x    )
         n

△ =- n P`(x ) n 0.06011 -0.00465 -0.00003 0.00000

得最小正实根为x=0.75543, 由此可见，上面的收敛速度的估计准确。 程序： PROGRAM BEGIN 程序开始 4 3 2
JISUAN1# SICI FANGCHENG P(x)=x +3x +0.8x -0.1x-2=0 计算1#，计算四次方程的根 QJSJS QJSSICI FANGCHENG B 用秦九韶法计算四次方程式的根
MAKEA A=1,B=3,C=0.8,D=-0.1,E=-2 用键盘输入方程式P(X)的系数A=1,B=3,C=0.8,D=-0.1,E=-2 MAKEB F=3,G=9,H=1.6,I=-0.1, 用键盘输入方程式P(X)的系数F=3,G=9,H=1,I=-0.1 TAKEA X=1.7 用键盘输入X的初始值1.7 RUN QJSJS 接通电路进行计算 DISPLAY ON 液晶显示器显示JISUAN1#电路中所有寄存器的数据，和根X的数值 JISUAN1#,X DISPLAY OFF 关闭显示 PROGRAM END 程序结束 计算方程根的公式如下： P(x ) n x =x +△x =x - n+1 n n 1 P(x ) n 上式中, 4 3 2
P(x)=x +3x +0.8x -0.1x-2=0

   3       2                         

P(x)=3x +9x +1.6x-0.1=0 计算公式如下： P(1.32219)=S =0.00005 4

S =S x +a
4 3 0 4

S =S x +a
3 2 0 3

S =S x +a
2 1 0 2

S =S x +a
1 0 0 1

S   =a
  0    0

用数字电路加法器，乘法器，除法器，各种数值表示上面的函数， 用秦九韶除法计算多项式P(x)的值

例，求方程 4 3 2
P(x)≡x +x -3x +12x-12=0 的最小正实根，按四位小数进行计算。 首先，因P(0)<0,P(2)>0,故在(0,2)内必有方程的根。又因P(x)的微商 3 2
P(x)=4x +3x +6(2-x) 在（0，2）内是正的，因此，方程在（0，2）内只有一个根，即在（0，2）内方程的根是最小正根。其次，取初始近似x =1，而把方程改写成下面形式： 0 4 3 2 x=-(x +x -3x -12)/12=φ(x) 但 3 2 φ(x)=-(4x +3x -6x)/12 在x =1的值为φ`(1)=1/12很小，因此可以进行叠代。 0 计算表格如下： 根据秦九韶除法计算多项式 4 3 2
x=-(x +x -3x -12)/12=φ(x) 的值，如下表所示 表10 x i a =1 0 a =1 1 a =-3 2 a =0 3 a =-12 4 φ(x )=-S /12 I 4
1 1=11 2=21 -1=-11 -1=-11 1.0833 1 2=1+1 -1=21-3 -1=-11-0 S =-13=-1*1-12 4 1.0833 1.0833 2.2568 -0.8051 -0.8722 1.0727 1 2.0833 -0.7432 -0.8051 -12.8722 1.0727 1.0727 2.2234 -0.8331 -0.8937 1.0745 1 2.0727 -0.7766 -0.8331 -12.8937 1.0745 1.0745 2.2291 -0.8283 -0.8900 1.0742 1 2.0745 -0.7709 -0.8283 -12.8000 1.0749 1.0742 2.2281 -0.8292 -0.8907 1.0742 1 2.0742 -0.7719 -0.8292 -12.8907 由此得到所求的最小正根的近似值为1.0742， 注：秦九韶除法计算多项式的公式如下 S =S x +a ,(k=1,2,...,n),S =a (5) k k-1 0 k 0 0

表5 a a a …… a a 0 1 2 n-1 n

        S    x        S    x           S    x        S    x             
          0    0        1    0          n-2   0       n-1   0

S S S …… S S =P(x ) 0 1 2 n-1 n 0 程序： PROGRAM BEGIN 程序开始 4 3 2
JISUAN2# SICI FANGCHENG x=-(x +x -3x -12)/12=φ(x) 计算1#，计算四次方程的根 QJSJS DDSICI FANGCHENG A 选择秦九韶法，迭代计算四次方程的根的计算电路 MAKEA A=1,B=1,C=-3,D=0,E=-12,K=-12
用键盘给四次方程计算电路输入参数A=1,B=1,C=-3,D=0,E=-12,K=-12 TAKEA X=1 用键盘输入X的初始值1 RUN QJSJS 与门导通，接通四次方程计算电路，开始计算 DISPLAY ON 液晶显示屏显示计算得到的根X,计算中所有寄存器的数值 P(X)，JISUAN4# DISPLAY OFF OUTPUT P(X) 2#IO 将计算得到的根X输出到计算机端口2# PROGRAM END 程序结束 计算公式如下： P(1)=S =1 4

S =S x +a
4 3 0 4

S =S x +a
3 2 0 3

S =S x +a
2 1 0 2

S =S x +a
1 0 0 1

S   =a
  0    0

用数字电路加法器，乘法器，除法器，各种数值表示上面的函数， 计算电路如下

第六部分 罗巴切夫斯基法电路
例1.用罗巴切夫斯基法求方程 5 4 3 2
P(x)≡x -2.04878x -13.08943x +14.06504x +23.90244x-1.08943=0 的所有根。首先计算系数，在计算中我们取五倍以上有效数字，见表29.

表29 k m=2 a 0 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 0 1=2 1 -2.04878 -13.08943 14.06504 23.90244 -1.08943 2 1

  2

a =4.19750 1

-2a a =26.17886 0 2 2 a =171.33318 2

-2a a =57.633234 1 3

-2a a =47.80488 0 4 2 a =197.82535 3

-2a a =625.73864 2 4

-2a a =4.46400 1 5 2 a =571.32664 4

-2a a =30.64575 3 5 2 a =1.18686 5

1

2=2 1 2 3.0376410 2 2.7677010 3 8.2803010 2 6.0197210 1.18686 4

	          2

9.22726*10

      2

-5.5354010 4
7.6601610

       3

-50.30514*10

       2

12.0394410 4 68.5633710

        4   

-32.32156*10

72.1050610 4
36.2370310

        2          

-19.65512*10

2

4=2

1 2 3.6918610 4
2.7500410 4
35.3139110 4
36.0404810

1.40864 8

	          4

13.62983*10

      4

--5.5000810 8
7.5627210

       8

-2.60748*10

       4

72.0809610 3
1247.0722410

         3

-198.22552*10

       2

10.4010010 8 1298.9162010

        4

-99.4891710 3 8=2 1 2 8.1297510 8 4.9624510 11 1.0488510 11 1.29891*10 1.98427 16

	           8

66.09284*10

       8

-9.92490*10

          16      

64.62591*10

       15

-17.05378*10

       11

2.5978210 22
1.1000910

       19

-12.88145*10

0 8
1.68717*1022

0 4 16=2 1 9 5.6167910 17 2.2920610 22 1.0872110 22 1.6871710 3.98733 32

	           18

31.54883*10

       17

-4.5841210 34 5.2535410

        31

-12.21326*10

0 44 1.18203*10

       39

-7.73419*10

0 44 2.84654*10

0

5

32=2 1 19 3.1089910 34 5.2413310 44 1.819510 44 2.8465410 1.55026*10 64

	           38

9.66582*10

       34

-10.4826610 68 27.4715410

0

0 88 1.39701*10

0

0 88 8.10279*10

0

5

32=2 1 38 9.6647710 69 2.7471510 88 1.3970110 88 8.1027910 2
2.403310 128 76 93.4077810

       69

-5.49430*10

          138

7.54683*10

0

0 176 1.95164*10

0

0 176 65.65521*10

0

  6

128=2 1 77 9.3407810 138 7.5468310 176 1.9516410 177 6.5655210 4 5.77585*10 注：表中所写的0，并非真为0，只说明在我们所取的有效数字范围内不起作用。

从表29中看出，方程只有实根，而且

 (7)     (6)   2                               

a = (a ) , (i=0,1,2,3,4,5) i i 7
所以计算即可停止。此时m=2 =128，从关系式 (7)
a
128 i x = , (i=0,1,2,3,4,5) (7)
a
i-1

求实根的绝对值│x │,(i=1,2,3,4,5) i 由表29得 128 77
x =9.34078*10 1 两边同时取对数得 128lg│x │=77+lg9.34078=77.97038, 1

lg│x │=0.6091449,│x │=4.0658, 1 1 同时查表29，得 128lg│x │=138+lg7.54683-77-lg9.34075=60.90738 2

lg│x │=0.475839,│x │=2.99115, 2 2

128lg│x │=176+lg1.95164-138-lg7.54683=37.41264 3

lg│x │=0.292286,│x │=1.96014, 3 3

128lg│x │=177+lg6.56552-176-lg1.95164=1.52687 4

lg│x │=0.011929,│x │=1.02785,
4 4

128lg│x │=4+lg5.77585-177-lg6.56552=-173.055656
5

lg│x │=-1.351997=2.648003,│x │=0.04446, 5 5 最后由观察与计算定出x 的正负号，因此得到方程的全部根如下： i

x =4.0658,x =-2.99115,x =1.96014,x =-1.02785,x =0.04446,
1 2 3 4 5

程序： PROGRAM BEGIN 程序开始

JISUAN1# WUCI FANGCHENG 5 4 3
P(x)≡x -2.04878x -13.08943x +14.06504x +23.90244x-1.08943=0 1#计算，计算五次方程式的根
LBQJS WUCI FANGCHENG D 选择罗巴切夫斯基法计算五次方程式的根的电路 MAKEA A=1,B=-2.04878,C=-13.08943，D=14.06504,E=23.90244,F=-1.08943, 用键盘输入计算电路的参数A=1,B=-2.04878,C=-13.08943,D=14.06504,E=23.90244,F=-1.08943 GET X1,X2,X3,X4,X5 将计算得到的根X1,X2,X3,X4,X5存储在存储器中 RUN LBQJS 与门导通，接入罗巴切夫斯基法计算电路，进行计算 DISPLAY ON 在液晶显示器上显示方程式的五个根X1,X2,X3,X4,X5 X1,X2,X3,X4,X5 DISPLAY OFF OUTPUT JISUAN1# 3#IO 将计算1#中的寄存器中的所有数据输出到计算机3#端口 PROGRAM END 程序结束 计算上面方程根的罗巴切夫斯基方法见上面的表29。 用数字电路加法器，乘法器，除法器，各种数值表示表29的计算公式， 电路图如下所示