关系代数

关系代数是关系数据库中的一种代数系统，用于描述和操作关系数据库中的关系。在关系代数中，关系是一个二维表格，由行和列组成，每行表示一个元组，每列表示一个属性。关系代数中的基本操作包括选择、投影、连接、并、差等。

元组：就是表中 行 的意思。

域

• 域是相同类型的值的集合
• 域可以是有限集，可以是无穷集
• 如果域D为有限集时，则称 D 中元素的个数为D的基数，记作|D|

笛卡尔积（直积）

笛卡尔积的概念

卡尔积是指从每个集合中选择一个元素组成的元组的集合。

定义：设 A，B 为集合，A 与 B 的笛卡尔积记作 AxB，即 AxB={<x,y> | x∈A∩y∈B}

|AxB| = m * n （基数数量）
 m n
 

给定 $n$ 个域 $D_1,D_2,D_n$ 上的笛卡尔记作：$D_1 × D_2 × ... × D_n$，且

$D_1 × D_2 × ... × D_n$ = {($d_1,d_2,...,d_n)|d_1∈D_1∩D_2∈D_n∩...∩ d_n∈D_n$}

每个元素 ($d_1,d_2,...,d_n)$ 都称为一个 $n$-元组（简称元组）。

for example:

假设我们有2个域 $A={\{1, 2\}, B=\{a, b\}}$ ，要计算这2个域的笛卡尔积，即 $A × B$ 。
因此，我们可以计算 $A × B$ 如下：

$A × B = \{(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)\}$，基数就是 ${2 \times 2} = 4$

关系

在关系代数中，一个 n 元关系指的是具有 n 个属性的关系。例如，一个包含学生信息的关系可以包括学生的学号、姓名、年龄等属性，如果这个关系有三个属性，即学号、姓名和年龄，那么这个关系就是一个三元关系。 总的来说，关系代数中的关系是一个二维表格，n 元关系指的是具有 n 个属性的关系。关系代数通过对关系进行各种操作，实现对数据库中的数据进行查询、插入、更新和删除等操作。

关系的性质

• 关系是笛卡尔积的子集，即元组（行）的集合，所以，关系（表）中的行的次序不重要，关系（表）中不能包含两个相同的元组（行）
• 列的顺序不重要
• 只考虑有序关系；关系每个属性必须是原子的。

关系的码

• 超码：超码是能唯一标识关系中元组的属性或属性组合，但不一定是最小的。换句话说，超码包含了候选码以及其他属性，可能包含冗余信息。超码是候选码的超集，可以用来唯一标识元组，但不是最小的唯一标识。
• 码：是一种极小（特殊）的超码。
• 主码：关系中用来唯一标识每个元组的属性或属性组合，通常作为表的主键使用。
  • 码中的属性称为主属性，而不再任何码中出现的属性称为非主属性。
• 候选码（Candidate Key）：候选码是可以作为主码的备选属性或属性组合。可以有多个候选码，但最终只能选择一个作为主码。

关系模式

关系模式的规范化，实质上就是概念的单一化。

关系模式概念对应与程序设计语言中的类型概念，是对关系型的描述，可以表示为

$R(U,DOM,D,F)$，简写为 $R(U)$

• $R$ 关系模式名（理解为表名）
• $F$ （函数依赖）：函数依赖描述了关系中属性之间的依依赖通常表示为X→ Y,表示属性集合X的取值决定了属性集合 Y 的取值。依赖关系，即一个属性的值决定另一个属性的值。
• $DOM$ （属性域） 为$U$到$D$的映射，属性域是关系中属性的取值范围，即属性可以取的所有可能值的集合。属性域可以是数字、字符串、日期等不同类型的数据。
• $U$为关系模式的诸属性集合，即关系中包含的属性。（字段集合）
• $D$为属性名，每个属性都有一个唯一的名称。属性名描述了关系中存储的数据的特征或属性

for example:

考虑一个关系模式 R(学生ID, 姓名, 年龄, 课程, 成绩)，其中：

• U = {学生ID, 姓名, 年龄, 课程, 成绩} 表示关系模式包含了这些属性

• DOM = {整数, 字符串} 表示属性的取值范围分别为整数和字符串

• F 可以包含各种函数依赖，例如：
  学生ID → 姓名 表示学生ID 唯一确定了学生的姓名学生ID,课程 → 成绩 表示学生ID 和课程 唯一确定了学生在某门课程的成绩

ER图向关系模型的转换（考试）

1. 识别实体和属性

• 首先，识别 ER 图中的实体（Entity）和属性（Attribute）。
• 每个实体对应一个关系表，每个属性对应表中的一个字段。

2. 确定主键

• 为每个实体确定主键（Primary Key），通常是实体的唯一标识符。
• 主键可以是单个属性，也可以是多个属性的组合。

3. 处理关系

• 处理 ER 图中的关系（Relationship），将其转换为外键（Foreign Key）。
• 如果两个实体之间存在一对一或一对多关系，可以在一个实体的表中添加另一个实体的主键作为外键，以建立关联。
  • 对于两个实体间的1:n联系，转换关系模型的原则是：将1方的主码放到n方实体对应的关系模式中作为外码，联系属性一并加入到实体对应的关系模型中（冗余字段设计，减少查询，提高查询效率，存在一致性问题）。

......

做题解析：主要是给出 实体、联系。

完整性约束规则

实体完整性

关系R的所有元组在主码上的值必须唯一，并且主码不能取空值。

参照完整性规则

典型的案例就是FK外码。

用户自定义的完整性规则。

设计人员自行定义数据存储规则。

关系代数的5种基本运算

选择运算

从关系中选择满足指定条件的元组，通常表示为 $\sigma<条件>(关系)$ ,其中条件是一个逻辑表达式。

设 $R$ 是一个关系，$F$ 是一个公式，涉及

1. 运算对象，常量或属性名
2. 算术比较运算符，＜、≤、=、≥、＞、≠
3. 逻辑运算符 $\wedge、\vee、\neg$

选择$\sigma_F(R)$ 是 $R$ 中使得公式 $F$ 为真的元组 $t$ 的集合。 元组 $t$ 使得公式 $F$ 为真意指当我们将 $F$ 中所有的属性名用 $t$ 的对应属性值替换时，公式 $F$ 为真。用 $F(t)$ 表示元组 $t$ 使得公式 $F$ 为真，则

$\sigma_F(R)={t|t∈R \wedge F(t)}$

公式 $F$ 理解成条件即可。

选择运算是一个 行运算，生成一个新关系。

For example：

上图中, 对于B属性列表，只要其值 $B='b'$ 就满足条件 $F(t)$ .

投影运算

用于从R中选择出若干属性列组成新的关系(默认去重)，列运算，行删除。通常表示为：

$π_L(R)$

• $L$为$R$中的属性列表
• 结果为只包含$R$中某些列的新的关系
• 结果要去掉重复元组

并运算

并（Union）：并运算用来将两个关系中的元组合并成一个新的关系，去除重复元组。并运算要求两个关系的属性集合必须相同。

$A \cup B=\{{x|x \in A \vee x \in B}\}$

差运算

差（Difference）：差运算用来从一个关系中删除另一个关系中的元组，生成一个新的关系。差运算通常表示为 R - S，表示从关系 R 中去除关系 S 中的元组。

$R - S=\{{x|x \in R \wedge x ∉ S}\}$

笛卡尔积

两个集合，表示为X × Y，第一个对象是X的成员而第二个对象是Y的所有可能有序对的其中一个成员。

交运算

$R∩S = \{t|t∈R \wedge t∈S\}$

除运算

关系代数中的除运算是一种相对较复杂的操作，用于解决除法相关的查询问题。在关系代数中，关系除运算表示为 R ÷ S，它的含义是在关系 R 中找出所有不在关系 S 中的元组。除运算的结果是一个新的关系，包含了满足条件的元组。

$R ÷ S = P(X)$,

$R(X,Y) ÷ S(Y,Z) = P(X)$

除运算的具体步骤如下：

1. 确定两个关系 R 和 S，它们的属性集合必须相同。
2. 对于关系 R 中的每个元组，检查是否存在一个元组在关系 S 中与之匹配。如果不存在匹配的元组，则将该元组添加到结果关系中。
3. 最终得到的结果关系包含了满足条件的元组，即在关系 R 中存在，但在关系 S 中不存在的元组。 除运算通常用于解决一些复杂的查询问题，例如找出某个关系中满足一定条件但不在另一个关系中的数据。

在实际数据库查询中，除运算的使用相对较少，因为它通常需要对关系进行比较耗时的计算。

For example：

假设有两个关系 R 和 S，它们的属性集合相同，分别如下： 关系 R 包含元组 (1, 'Alice'), (2, 'Bob'), (3, 'Charlie'), (4, 'David') 关系 S 包含元组 (1, 'Alice'), (3, 'Charlie') 现在我们进行 R ÷ S 的除运算，即找出在关系 R 中存在但在关系 S 中不存在的元组。 首先，我们对关系 R 中的每个元组进行检查：

• 元组 (1, 'Alice') 在关系 S 中存在，所以不满足条件，排除
• 元组 (2, 'Bob') 在关系 S 中不存在，满足条件，保留
• 元组 (3, 'Charlie') 在关系 S 中存在，所以不满足条件，排除
• 元组 (4, 'David') 在关系 S 中不存在，满足条件，保留

最终，除运算的结果为新的关系，包含满足条件的元组： 结果关系为 (2, 'Bob'), (4, 'David') 这就是一个简单的除运算的例子，展示了如何从一个关系中找出不在另一个关系中的元组。

连接运算

连接运算是关系代数中的一种基本操作，用于将两个关系中的元组进行组合，生成一个新的关系。连接运算通常基于两个关系中的共同属性进行匹配，可以是等值连接或自然连接。

等值连接

等值连接（Equi-Join）是连接运算中最常见的形式，它基于两个关系中的共同属性进行匹配。两个关系中的共同属性值相等的元组会被组合成一个新的元组。等值连接通常表示为

$R ⨝<条件> S$，

其中条件是两个关系中共同属性的等值条件。

举个简单的例子：
假设有两个关系 R 和 S，分别如下：
关系 R 包含元组 (1, 'Alice'), (2, 'Bob'), (3, 'Charlie')
关系 S 包含元组 (1, 'Math'), (2, 'Science'), (3, 'History')

现在我们进行 $R ⨝<R.属性=S.属性> S$ 的等值连接操作，即基于两个关系的第一个属性进行匹配。
在这个例子中，我们基于关系 R 和 S 的第一个属性进行匹配，找出共同属性值相等的元组：

• 元组 (1, 'Alice') 和 (1, 'Math') 匹配，生成新元组 (1, 'Alice', 'Math')
• 元组 (2, 'Bob') 和 (2, 'Science') 匹配，生成新元组 (2, 'Bob', 'Science')
• 元组 (3, 'Charlie') 和 (3, 'History') 匹配，生成新元组 (3, 'Charlie', 'History')

最终，等值连接的结果为新的关系，包含了匹配的元组：
结果关系为 (1, 'Alice', 'Math'), (2, 'Bob', 'Science'), (3, 'Charlie', 'History')

自然连接运算

基于两个关系中的共同属性进行匹配，并且自动去除重复的属性。自然连接会将两个关系中具有相同属性名的属性进行等值比较，然后生成一个新的关系。

表示为 $R ⨝ S = (R._B=S._B)$

举个简单的例子：

假设有两个关系 R 和 S，分别如下：
关系 R 包含元组 (1, 'Alice', 25), (2, 'Bob', 30), (3, 'Charlie', 28)
关系 S 包含元组 (1, 'Math', 'A'), (2, 'Science', 'B'), (3, 'History', 'C')
现在我们进行 R ⨝ S 的自然连接操作，基于两个关系中相同属性名的属性进行匹配。

在这个例子中，关系 R 和 S 中都有第一个属性名为 ID，所以这个属性将用于连接：

• 元组 (1, 'Alice', 25) 和 (1, 'Math', 'A') 匹配，生成新元组 (1, 'Alice', 25, 'Math', 'A')
• 元组 (2, 'Bob', 30) 和 (2, 'Science', 'B') 匹配，生成新元组 (2, 'Bob', 30, 'Science', 'B')
• 元组 (3, 'Charlie', 28) 和 (3, 'History', 'C') 匹配，生成新元组 (3, 'Charlie', 28, 'History', 'C')

最终，自然连接的结果为新的关系，包含了匹配的元组：
结果关系为 (1, 'Alice', 25, 'Math', 'A'), (2, 'Bob', 30, 'Science', 'B'), (3, 'Charlie', 28, 'History', 'C')

注意：

• 当 R 和 S 不具有相同的属性则自然退化为笛卡尔积。

关系代数表达式

1. 列出系编号为MA(数学系)的所有学生的详细信息
   $\sigma_{dno='MA'} (Students)$

2. 列出所有课程的课程号、课程名和学分
   $\pi_{cno,cname,credit} (Courses)$

3. 列出年龄不超过45岁的所有副教授的姓名、性别和年龄。
   $\pi_{tname,sex,age}(\sigma_{age≤45 \wedge title='副教授'}) (Teachers)$

   ....