数学通识01-数学的起点前言好记性不如烂笔头，听B站数学通识课，做一下笔记，都是些基础知识。通识课的目标：从理解初等

前言

好记性不如烂笔头，听B站数学通识课，做一下笔记，都是些基础知识。

通识课的目标：从理解初等数学到理解高等数学，对于数字与数学概念的理解，从静态的具体的，上升到动态的规律的。

1.数学的起点

1.1从猜想到定理

以现代科学的眼光来看，在人类早期社会中，充斥着 ‘前科学’，也就是经验性、巫术性的知识，它们没有经过严密的系统论证，加之受到时代的局限、宗教思想左右，常常有不少逻辑上的漏洞。

将数学这一知识，从‘前科学’阶段过渡到真正系统性学科的第一人是 —— 毕达哥拉斯。 他确立了数学的起点，也就是必须经过严格的逻辑证明，才能得到结论的研究方法。
这样一来，就将数学从需要通过日常经验、测量与观察中脱离出来，并且与物理学、天文学等需要观察测量的学科根本性的区分开来，成为这些学科之上的根本性的具有方法论性质的学科。

西方社会之所以将我们熟知的勾股定理，称之为毕达哥拉斯定理，是因为我国古代先贤是发现了多组勾股数，如勾三股四弦五，但没有将其提炼、归纳为普适性系统性的定理，另外最早在美索不达米亚文明、古埃及文明都发现了多组勾股数，比古代中国有文字记载的更早，但都不能称之为定理。

1.2数学的预见性

数学是建立在逻辑上的，必须具有严密的推理证明，无法用物理实验来证实某一定理的所有情况，例如无穷大、无穷小、无理数等等。

毕达哥拉斯坚信世界由数字组成，数字必须是完美的，都能写成 $\displaystyle{\mathbf{\frac{a}{b}}}$ 的形式，a与b都是整数.
然而，毕达哥拉斯定理反倒预示了 无理数(无限不循环小数) 的存在, 接下来用简单的推导证实：

毕达哥拉斯定理核心公式： $a^2 + b^2 = c^2$ ，（下文中简称老毕定理）那么如果一个直角三角形的两条直角边长都为1，那么套入公式即 $1^2+1^2 = c^2$ , 可得斜边C的平方等于2，即C是一个与自身相乘等于2的数.

在毕达哥拉斯的世界中，一切数字都是完美的，我们先假设他是对的，那么该斜边C就一定可以写成 ${\frac{a}{b}}$ ，即 $c = {\frac{a}{b}}$ ，那么 $c^2$ 就可以写成 ${(\frac{a}{b})^2}$ ，且a,b互素，也就是说不能再约分了，还有一个条件就是 ${(\frac{a}{b})^2} = 2$

总结下这三个条件：

$c = {\frac{a}{b}}$ ,a与b都是整数.
a、b互素，即不能再约分了。
${(\frac{a}{b})^2} = 2$

接下来我们将 ${(\frac{a}{b})^2} = 2$ 变换一下去掉括号： ${\frac{a^2}{b^2}} = 2$ ---> $a^2 = 2b^2$ ，此时a 是一个偶数还是奇数呢？如果我们看等式的右边是2乘以某个数，那么显然a只能是一个偶数。
如果a是一个偶数那么它可以写成 2r的形式，r是一个整数，即 $a^2 = (2r)^2$ , 将其代入上面的等式---> $(2r)^2 = 2b^2$ , 展开即为： $4r^2 = 2b^2$ ,等式两边都可以化简除以2得到： $2r^2 = b^2$ 。

此时你可能发现了问题，等式的右边b是偶数还是奇数？如果看等式的左边是2乘以某个数，b为偶数，可是我们总结的三个条件中的第二条要求a、b互素，不能再约分了，可是逻辑推导下a、b都满足偶数的性质，与条件产生了矛盾。

回顾一下推导过程，并没有错误，那要么是数学本身错了，要么是我们存在一个认知错误，老毕定理是经过严密的逻辑认证的肯定也不会错，那么只能是存在某个数字，是我们无法写成 $\displaystyle{\mathbf{\frac{a}{b}}}$ 的有理数形式。

老毕的一位弟子将这一发现告诉了老师，但遗憾的是老毕是一个将数学看作宗教的人，自己就是教主，如果这个发现公之于众，会对数学的大厦造成毁灭性的打击，这是历史上第一次数学危机，为了保卫宗教的完美，老毕将这一弟子淹死在了海里，成为了后世人眼里他身上的一大污点。

今天我们知道了，这个与自身相乘等于2的数字称为无理数，即 $\sqrt{2}$ ，它是无限不循环小数。

2.总结

在浩荡的历史长河中，往往危机就意味着机遇，历史上的第一次数学危机为人们带来了无理数，丰富了人类对于自然界的认知，提供了新的数学思想。

当我们在遇到逻辑上的矛盾时，如果推导确定没有错误，那么必然隐含着一个重大问题，例如物理学家亚当里斯在计算宇宙质量时，发现最后结果是负数，这怎么可能呢？经过反复推导确认逻辑上没有错误，那么必然有地方出了问题，要么是观测的仪器，要么是数学本身，最后他们确认在数学上是正确的，并提出了宇宙中存在一种我们看不见的能量———暗能量，荣获了诺贝尔物理学奖。

从数学的定理出发，可以推导出对现实世界的一些推论，从而改变我们对现实世界的看法，这就是数学的预见性。