【C】浮点数

小数在C语言中称为浮点数(floating-point number)，有float、double和long double三种类型。相比于整数，浮点数能表示更广范围的、更精确的数，常用于数学和金融领域。

浮点数的数值表示：1.231、1.5E16。

C语言的浮点数遵循IEEE 754标准，其规格化的表示为：

$\mathbf{(-1)^{sign} \times 1.mantissa \times 2^{exponent - offset} = (-1)^{sign} \times (1+\frac{mantissa}{2^{23}}) \times 2^{exponent - 127}}$

$\mathbf{\frac{mantissa}{2^{23}}}$表示将mantissa的小数点移动至最前方。

C语言中的float可以叫做单精度浮点数，存储长度为4 byte。

系统通常使用32位bit存储单精度浮点数，其中，1位表示符号位sign，8位表示指数或阶码exponent的值及其符号，23位表示尾数mantissa或称为有效数字significand。符号位控制正负；指数控制了小数点的最后位置，决定了表示范围；尾数控制有效数字，也就是表示精度。指数使用移码¹表示，偏置量为127；尾数使用原码表示，隐藏了1位整数部分1。

小数的有效数字是指从左边第一个非零数字开始，一直到最后一个数字。例如，0.01230的有效数字位数为4，1.02的有效数字位数为3。

C标准规定float类型必须至少能表示6位有效数字，并且至少提供$10^{-37} \sim 10^{37}$​这个范围的数。

那float类型的实际精度是多少？

大部分的验证法如下：

由于$log_{10}{2^{23}} \approx 6.92$，得出精度为6-7位。

较少的验证法：

我们说的有效数字是在十进制情况下。假设mantissa达到最小，即最后一位为1，值为$2^{-23} \approx 0.000000119$，第二小的为$2^{-22} \approx 0.000000238$，其次为$2^{-21} \approx 0.000000476$​，加上隐藏位1，这三个数之间的数是float类型无法进行表示的，也就是说，到了精度为8的时候，是无法表示所有数在内的，这只是部分精确。得出精度为7位。

本文考虑在计算有效位数的时候，加上对阶码的分析：

假设小数部分为$1.xx···x$，计算阶码部分对它的影响后，变为$0.00···1xx···x$，最小正数为$2^{-(126-23)} = 0.00···100···0 \approx 9.8607613e-32$，其次为$2^{-103}+2^{-126} \approx 9.8607624e-32$​​。浮点数越小，变化幅度越小，密度越大。这样看能达到的最少有效位数是6。

怎么做是对的呢？

然后是float类型的实际范围。当尾数和指数达到最大值时，达到float范围边界。由于指数为-127、128时有特殊用途²，所以指数最大为127，对应移码为1111 1101；尾数全1时最大。故$\pm 1.111···1 \times 2^{127} \approx \pm 3.4 E 38$​为float范围边界。

C语言的double类型是双精度浮点型，要求的最小范围与float相同，但标准扩展了最小有效数字位数到了10位。并且，增加了32位额外bit，既可以补充指数，也可以补充尾数，或者两者皆有之。无论哪种做法，至少产生13位有效数字。根据IEEE 754标准，双精度浮点型使用64位来存储，其中有1位用于符号位，11位用于指数部分，剩下的52位用于尾数部分。double的实际精度为16，验证方式同上。double的表示范围为$-1.79\text{E308} \sim +1.79\text{E308}$。

疑问：为什么无论哪种做法，至少产生13位有效数字？

一般来说，CPU处理单精度浮点数的速度比处理双精度浮点数快。

为了更高精度，C标准还提供了long double类型。其具体实现取决于系统，但是至少会比double更加精确。

Footnotes

1. 移码又叫增码或偏置码，符号位使用1表示正数，使用0表示负数，数值部分与补码相同。 ↩

2. 128对应的阶码 = 1000 0000 + 0111 1111 = $1111 1111$​，-127的对应的阶码 = -0111 1111 + 0111 1111 = 0000 0000。 ↩