二维前缀和

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题目描述

给你一个 n 行 m 列的矩阵 A ，下标从1开始。

接下来有 q 次查询，每次查询输入 4 个参数 x₁ , y₁ , x₂ , y₂

请输出以 (x₁, y₁) 为左上角 , (x₂,y₂) 为右下角的子矩阵的和，

输入描述：

第一行包含三个整数n,m,q.

接下来n行，每行m个整数，代表矩阵的元素

接下来q行，每行4个整数$x$₁,$y$₁, $x$₂, $y$₂，分别代表这次查询的参数

$1≤n,m≤1000$
$1≤q≤10$⁵
$−10$⁹$≤a[i][j]≤10$⁹
$1≤x$₁≤$x$₂$≤n$
$1≤y1≤y2≤m$

输出描述：

输出q行，每行表示查询结果。

示例1

输入：

 3 4 3
 1 2 3 4
 3 2 1 0
 1 5 7 8
 1 1 2 2
 1 1 3 3
 1 2 3 4

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输出：

 8
 25
 32

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备注：

 读入数据可能很大，请注意读写时间。

解题

先看题，题目中第一行输入的前两位是二维数组的行和列，第三位数是要查询的次数

而且和一维数组不一样的是，二维数组求的是矩阵的和，也就是一个长方形的和，并不是从某一个位置到某一个位置的区间和。

解这题要是能联想到数学中的求面积就能做出来，我们直接画图

假设给出的是 4 × 4的二维数组，要查询的是11 32这个矩阵的值，所以图应该这样画

绿色部分就是这个矩阵，而且返回的就是这个矩阵中所有数之和，那么我们和一维前缀和一样，创建一个二维数组dp，用它来记录从

00 ij这个矩阵的和，如果题目要求的是中间部分的矩阵，我们在减去其他部分，例如上图，我们先求出00 32这个矩阵的和，记录到dp[3][2]中，在减去dp[3][0]这块矩阵就好了。

但如果要求的矩阵如下图绿色部分

它所处的位置是中间，那么就需要减去上部分和左部分，这样就会减2次dp[0][0]，所以要再加上一个dp[0][0]。

那还需要判断是需要减一次还是减两次吗？岂不是很繁琐，而且你还没说求和到底怎么求呢（求和部分在下面）。 并不需要，和一维数组一样，题目中的下标是从1开始的，如果我们创建二维数组的时候把范围多加1，然后赋值下标从1开始，就会这样的效果，如下图

下标从1开始的话，以0下标为行和列的部分就默认初始化为0了，这样我们无论在求和还是减去多余的部分的时候，都不需要判断是否为边界，因为0对于数值加减没有影响，如下图。

当下标从1开始之后，绿色部分就为边界，仍然可以用11 32部分减去上部分和左部分再加上重复的部分。

那下面就说说如何求得dp[i][j]

方法是相同的，假设我们要求得dp[1][2]，如下图。那么我们就可以橙色区域加上绿色区域，然后再减去重复相加的部分，也就是橙色绿色混合区域，再加上arr[1][2]本身的值。这样就得出dp[1][2]。

剩下的就是将区域转换成坐标了，绿色部分的值其实就是dp[0][2]，橙色部分就是dp[1][1]，重复部分就是dp[0][1]。

所以得出公式：

求dp[i][j]：$dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] - dp[i - 1][j - 1] + arr[i][j]$

求最终值result：$result = dp[x$₁$][y$₁$] + dp[x - 1][y - 1] - dp[x - 1][y$1$] - dp[x$₁$][y - 1]$

代码

 import java.util.Scanner;
 ​
 public class Main {
     public static void main(String[] args) {
         Scanner in = new Scanner(System.in);
         //输入行、列、查询次数
         int n = in.nextInt();
         int m = in.nextInt();
         int q = in.nextInt();
         //创建数组
         int[][] arr = new int[n + 1][m + 1];
         long[][] dp = new long[n + 1][m + 1];
         //下标从1开始
         for (int i = 1; i <= n; i++) {
             for (int j = 1; j <= m; j++) {
                 //先赋值
                 arr[i][j] = in.nextInt();
                 //同时求得dp[i][j]，放到一个循环里就不需要再额外遍历一次
                 dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] + arr[i][j] - dp[i - 1][j - 1]; 
             }
         }
         for (int i = 0; i < q; i++) {
             //输入矩阵坐标
             int x = in.nextInt();
             int y = in.nextInt();
             int x1 = in.nextInt();
             int y1 = in.nextInt();
             //根据区域减法求得result
             long result = dp[x1][y1] + dp[x - 1][y - 1] - dp[x - 1][y1] - dp[x1][y - 1];
             System.out.println(result);
         }
     }
 }