【题目】
给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。
请必须使用时间复杂度为 O(log n) 的算法。
示例 1:
输入: nums = [1,3,5,6], target = 5
输出: 2
示例 2:
输入: nums = [1,3,5,6], target = 2
输出: 1
示例 3:
输入: nums = [1,3,5,6], target = 7
输出: 4
提示:
1 <= nums.length <= 10^4-10^4 <= nums[i] <= 10^4nums为 无重复元素 的 升序 排列数组-10^4 <= target <= 10^4
【题目解析】
思路
二分查找法
要在O(log n)的时间复杂度内解决这个问题，我们可以利用二分查找算法。二分查找是一种在有序数组中查找特定元素的高效方法，其基本思想是通过比较数组的中间元素与目标值，逐步缩小搜索范围，直到找到目标值或确定其应插入的位置。
-
初始化：定义两个指针
left和right，分别指向数组的起始和结束位置。 -
查找过程：计算中间位置
mid，并比较nums[mid]与target的值：- 如果
nums[mid]等于target，直接返回mid。 - 如果
nums[mid]小于target，说明target应位于mid的右侧，更新left为mid + 1。 - 如果
nums[mid]大于target，说明target应位于mid的左侧，更新right为mid - 1。
- 如果
-
确定插入位置：当
left > right时，循环结束。由于left指针总是指向第一个大于或等于target的元素，所以left即为target的插入位置。
执行
【总结】
在算法设计和编程实践中，处理有序数组并在其中高效地定位元素或确定其潜在插入位置是一个常见而关键的任务。这一类问题的核心挑战在于如何保证搜索过程的高效性，尤其是在数据规模较大时保持低时间复杂度。对此，“搜索插入位置”问题提供了一个经典案例，展现了二分查找算法在解决有序数组搜索问题中的强大能力和应用广泛性。
适用问题类型
二分查找法及其变种适合应用于一系列与有序数据集相关的搜索问题，具体包括但不限于：
- 在有序数组中查找特定元素的存在性或其索引。
- 确定一个元素在有序数组中的正确排序位置，即使该元素当前不在数组中。
- 分析和处理部分有序数据结构，如旋转排序数组的元素查找。
- 应用于计算几何、统计分析等领域中的最值问题和范围查询问题，其中元素的顺序或其间的比较关系对于算法的决策过程至关重要。
使用的算法：二分查找法
“搜索插入位置”问题通过二分查找法实现，展示了这一算法在处理有序数组中的搜索和插入问题时的效率和效果。二分查找法的核心在于通过比较中间元素与目标值，逐步缩小搜索范围，从而以对数时间复杂度（O(log n)）快速定位目标值或其应插入的位置。
算法特点
- 时间复杂度：O(log n)，其中n是数组长度。这一时间复杂度标志着算法在处理大规模数据时具有显著的效率优势。
- 空间复杂度：O(1)，算法在原地执行，不依赖于额外的存储空间，是一种空间效率极高的解决方案。
算法优化和实践意义
虽然二分查找算法的基本形式相对简单，但在实际应用中，其变种和优化策略的正确实现却需要深入理解和细致处理，包括但不限于：
- 处理查找范围的更新逻辑，以避免无限循环。
- 考虑整数溢出的可能性，尤其是在计算中点索引时。
- 对于特定变种问题，如本题中的插入位置查找，准确理解并应用算法的变形逻辑。
总之，二分查找算法及其在“搜索插入位置”问题中的应用，不仅提供了一种高效解决有序数组搜索问题的方法，也强调了算法设计中对问题理解的深度、对算法原理的掌握以及对细节处理的重要性。深入学习和掌握这一算法，对于提高编程和算法解决能力，尤其是在面对性能敏感的应用场景时，具有重要的实践价值和长远意义。
