2.5 向量混合运算

向量加法结合律

$(a+b)+c=a+(b+c)$,图解如图：

向量数乘的分配律：

$k(a+b)=ka+kb$,图解如图：

点积的分配律：

$a(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

向量叉积分配律的几何解释：

$(a+b){\times}c=a\times b+a\times c$

解释一：

首先引入如何画出两个向量的叉积的方法：（注意这里的$c_0$向量是单位向量）

1. 对于c向量，确立一个平面垂直于${\vec{c}}$
2. 将向量投影到这个平面上
3. 再将其进行旋转90°

可以看到$(a+b)\times c=a\times b+a\times c$,即先在原平面进行向量的加法再进行叉乘=先进行叉乘，再在新平面中对新生成的向量进行加法

解释二：

采用有向面积的方式进行证明。有向面积，即面向量，我们也可以将其看作是n个线向量进行叠加得到的面向量。面向量，是一个有方向的平面，它的大小=它的面积，$a\times b\;$便是一个面向量

如图，$a\times b$就是这个面向量，若想证明$(a+b)\times c=a\times c+b\times c$，只需要证明两个分面向量=新生成的面向量，如图：

由于我们可以将面向量看作是向量在一个方向上的叠加，由三角形法则，可以证明
$(a+b)\times c=a\times c+b\times c$