在社交网络分析中，中心性（Centrality）是衡量节点重要性的关键指标，不同指标从不同角度评估节点的地位和作用。以下是常见中心性指标的详细介绍：
1. 度中心性（Degree Centrality）(社交达人,网红)
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定义：衡量节点直接连接的邻居数量。是最简单直观的指标。
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计算：
- 无向图：节点的度数（直接连接的边数）。
- 有向图：分为入度（被其他节点指向的数量）和出度（指向其他节点的数量）。
- 归一化：通常除以最大可能度数（即整个网络中总的节点数减1
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应用场景：识别“社交达人”，如微博中的大V用户。
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优缺点：
- 优点：计算简单，反映直接影响力。
- 缺点：忽略间接连接和网络整体结构。
2. 紧密中心性（Closeness Centrality）(数据中心)
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定义：衡量节点到其他所有节点的最短距离之和的倒数。值越高，信息传播越快。
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计算：
- 节点到所有其他节点的最短路径长度之和的倒数：Cclose(v)=n−1∑u≠vd(v,u)Cclose(v)=∑u=vd(v,u)n−1，其中 d(v,u)d(v,u) 是节点 vv 到 uu 的最短路径长度。
- 若网络不连通，可使用调和接近中心性（仅计算可达节点）。
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应用场景：流行病传播中的关键节点，或需要快速传递信息的角色。
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优缺点：
- 优点：反映全局信息传播效率。
- 缺点：对不连通网络敏感，计算复杂度高。
3. 中介中心性（Betweenness Centrality）(交通枢纽,网络瓶颈)
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定义：衡量节点作为“桥梁”控制信息流的能力，即多少最短路径经过该节点。
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计算：
- 对所有节点对 (s,t)(s,t)，计算经过节点 vv 的最短路径占比：
Cbetween(v)=∑s≠v≠tσst(v)σstCbetween(v)=∑s=v=tσstσst(v)，
其中 σstσst 是 ss 到 tt 的最短路径总数，σst(v)σst(v) 是经过 vv 的路径数。 - 归一化：除以 (n−1)(n−2)22(n−1)(n−2)（无向图）或 (n−1)(n−2)(n−1)(n−2)（有向图）。
- 对所有节点对 (s,t)(s,t)，计算经过节点 vv 的最短路径占比：
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应用场景：识别连接不同社群的“桥梁人物”，如跨部门协调员。如果该节点消失,那么可能导致网络断裂
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优缺点：
- 优点：揭示节点对信息流的控制能力。
- 缺点：计算复杂度极高（O(n3)O(n3)），大型网络需近似算法。
4. 特征向量中心性（Eigenvector Centrality）
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定义：认为节点的重要性取决于其邻居的重要性，强调质量而非数量。
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计算：
- 通过邻接矩阵 AA 的主特征向量计算，即满足 λx=Axλx=Ax，其中 λλ 是最大特征值，xx 是中心性向量。
- PageRank是改进版本，引入阻尼因子（通常0.85）模拟随机跳转：
PR(v)=1−dn+d∑u∈N(v)PR(u)L(u)PR(v)=n1−d+d∑u∈N(v)L(u)PR(u)，
其中 L(u)L(u) 是节点 uu 的出度。
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应用场景：衡量长期影响力（如学术引用网络、网页排名）。
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优缺点：
- 优点：考虑邻居质量，适合影响力分析。
- 缺点：计算依赖迭代法，对大规模网络效率低。
5. Katz中心性（Katz Centrality）
- 定义：在特征向量中心性基础上增加一个初始固有中心性，解决非强连通图的问题。
- 计算：
CKatz(v)=∑k=1∞αk(Ak)viCKatz(v)=∑k=1∞αk(Ak)vi，
其中 αα 是衰减因子（需小于邻接矩阵谱半径的倒数）。 - 应用场景：适用于广泛网络结构，尤其是存在多个连通分量的情况。
6. 其他变种与扩展
- 流中介中心性（Flow Betweenness） ：基于最大流而非最短路径，适用于需要考虑容量的网络（如交通网络）。
- 子图中心性（Subgraph Centrality） ：衡量节点参与闭合路径（如三角形结构）的数量，反映局部聚类重要性。
指标对比与选择建议
| 指标 | 核心关注点 | 计算复杂度 | 适用场景 |
|---|---|---|---|
| 度中心性 | 直接连接数量 | 低 | 快速识别高曝光节点 |
| 紧密中心性 | 信息传播速度 | 中 | 流行病控制、快速信息传递 |
| 中介中心性 | 信息流控制能力 | 高 | 桥梁节点识别、关键枢纽分析 |
| 特征向量/PageRank | 邻居质量与长期影响力 | 中-高 | 影响力排名（如社交网络、网页） |
| Katz中心性 | 广泛网络结构的节点重要性 | 中 | 非强连通网络、多社群分析 |
实际应用注意事项
- 网络类型：有向图需调整计算（如入度/出度），加权图需考虑边权重。
- 归一化：跨网络比较时需归一化处理。
- 组合使用：结合多个指标（如度中心性+中介中心性）可更全面评估节点重要性。
通过理解不同中心性指标的特点，可根据具体需求（如传播效率、控制能力或影响力）选择合适的方法，从而深入挖掘社交网络中的关键角色。
