2.3 向量内积的几何和物理意义

内积的两个定义：

内积也叫数量积、标积、点积
def：

1. $a{\cdot}b=ab{\cos{{\theta}}}$
2. $a{\cdot}b=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z$

解释：

1. a,b两个向量的长度之积乘以他们夹角的余弦值
2. 坐标分量乘积之和

两个公式之间的关系：

对于公式$a{\cdot}b=ab{\cos{{\theta}}}$,$\;\;\;\;b{\cdot}cos\theta$即为a向量上的分量

向量内积的几何解释

1. 一个向量在另一个向量上的投影的积
2. 两个向量的接近程度

解释一：

（一个向量在另一个向量上的投影的积，即同方向上的积），如果a是一个坐标轴的单位向量，那么$a\cdot b$就是b向量在这个坐标轴上的坐标值

如图$b_x$就是$b$向量在x轴上的坐标

解释二：

$a\cdot b>0时$，说明两个向量指向相同方向（夹角<90°），内积为负则说明相反方向，$a\cdot b=0 时$，则说明a,b两个向量刚好垂直，通过公式我们发现我们可以通过$cos\theta$来描述两个向量方向的相关性

向量内积的物理解释：

矩阵的乘法的本质也是内积

2. 力对物体做的功：将力和位移进行分别对于xy轴的分解将得到$W=F_xS_x+F_yS_y$,若将力分解为平行于位移方向和垂直于位移方向，将得到公式$W=F_sS=Fcos\theta S=FScos\theta$