【题目】
给你两个整数，被除数 dividend 和除数 divisor。将两数相除，要求 不使用 乘法、除法和取余运算。
整数除法应该向零截断，也就是截去（truncate）其小数部分。例如，8.345 将被截断为 8 ，-2.7335 将被截断至 -2 。
返回被除数 dividend 除以除数 divisor 得到的 商 。
注意： 假设我们的环境只能存储 32 位 有符号整数，其数值范围是 [−231, 231 − 1] 。本题中，如果商 严格大于 231 − 1 ，则返回 231 − 1 ；如果商 严格小于 -231 ，则返回 -231 。
示例 1:
输入: dividend = 10, divisor = 3
输出: 3
解释: 10/3 = 3.33333.. ，向零截断后得到 3 。
示例 2:
输入: dividend = 7, divisor = -3
输出: -2
解释: 7/-3 = -2.33333.. ，向零截断后得到 -2 。
提示：
-231 <= dividend, divisor <= 231 - 1divisor != 0
【题目解析】
思路
要在不使用乘法、除法和取余运算的条件下实现两数相除，我们可以采用递增倍数法。这种方法的核心思想是逐步减少被除数，同时累计减少的次数作为商。具体步骤如下：
- 处理边界情况：首先检查是否存在溢出情况，例如当被除数为最小整数且除数为 -1 时，结果会溢出。
- 确定符号：确定最终结果的符号。如果被除数和除数符号不同，则结果为负。
- 转换为正数：为简化计算，将被除数和除数都转换为正数。
- 递增倍数减少：从除数开始，每次将除数翻倍（即累加自身），直到它超过或等于被除数。对于每次翻倍，也将倍数累加。然后从被除数中减去当前翻倍的除数，并将对应的倍数累加到结果中。
- 返回结果：根据之前确定的符号返回最终结果。
执行
【总结】
适用问题类型
"两数相除"问题属于数学运算类问题，尤其是在有限制条件下的数学运算。这类问题适用于需要在特定约束（如不使用某些基本运算）下实现算法的场景。特别是在以下情况中，这种方法非常适用：
- 在资源受限的环境中，如嵌入式系统或低级编程语言，需要避免使用某些可能不可用或代价较高的运算。
- 在算法竞赛或面试中遇到的特定问题，需要展示算法思维和创新解决方案的能力。
- 在对性能要求较高的应用中，需要优化算法以减少运算的复杂性。
使用的算法
解决此问题的算法是递增倍数法，结合线性搜索的技术。算法的关键在于：
- 递增倍数：逐步翻倍除数，并在每次翻倍时记录倍数，直到达到或超过被除数。
- 累积商：通过累积这些倍数来逼近最终的商。
- 线性搜索：在每一步翻倍中，使用线性搜索来找到不超过被除数的最大倍数。
算法细节
- 特殊情况处理：检查溢出情况，如被除数为最小整数且除数为 -1。
- 符号处理：确定结果的符号，并将被除数和除数转换为正数以简化计算。
- 循环翻倍减除：在保证不超过被除数的情况下，逐步翻倍除数并减去相应的倍数。
算法性能
- 时间复杂度：O(logn)，其中 n 是被除数和除数的比率。算法的效率在于通过翻倍快速逼近商。
- 空间复杂度：O(1)，只使用了固定数量的变量。
总结与扩展
"两数相除"问题不仅是一个关于基础算术运算的问题，而且还是一个关于算法设计和创新解决方案的问题。这个问题的解决方案展示了在特定约束条件下如何有效地实现基本数学运算。通过这个问题，我们可以学习到如何在不使用常规工具的情况下解决问题，这对于编程竞赛、算法设计以及在资源受限的环境中编程非常有价值。掌握这种方法可以帮助开发者在面对更复杂的算法挑战时，提供更多的解决思路和创新方法。
